2024屆湖南省高三九校聯(lián)盟第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

湖南省2024屆高三九校聯(lián)盟第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3

2.如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，是虛數(shù)單位，則（）A.且B.C.D.或3.已知，則（）A.B.C.D.4.某農(nóng)機(jī)合作社于今年初用98萬元購進(jìn)一臺大型聯(lián)合收割機(jī)，并立即投入生產(chǎn).預(yù)計(jì)該機(jī)第一年（今年）的維修保養(yǎng)費(fèi)是12萬元，從第二年起，該機(jī)每年的維修保養(yǎng)費(fèi)均比上一年增加4萬元.若當(dāng)該機(jī)的年平均耗費(fèi)最小時(shí)將這臺收割機(jī)報(bào)廢，則這臺收割機(jī)的使用年限是（）A.6年B.7年C.8年D.9年5.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（）A.B.C.D.0

6.將一個(gè)棱長為4的正四面體同一側(cè)面上的各棱中點(diǎn)兩兩連接，得到一多面體，則這個(gè)多面體的內(nèi)切球體積為（）A.B.C.D.7.在中，點(diǎn)滿足為重心，設(shè)，則可表示為（）A.B.C.D.8.如圖，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與分別在第一?二象限交于兩點(diǎn)，內(nèi)切圓半徑為，若，則的離心率為（）A.B.C.D.二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說法正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，設(shè)，則的方差B.數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為9C.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則的平均數(shù)為8D.用簡單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是10.已知，則（）A.與均有公共點(diǎn)的直線斜率最大為B.與均有公共點(diǎn)的圓的半徑最大為4C.向引切線，切線長相等的點(diǎn)的軌跡是圓D.向引兩切線的夾角與向引兩切線的夾角相等的點(diǎn)的軌跡是圓11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于直線軸對稱B.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱C.的所有零點(diǎn)為D.是以為周期的函數(shù)12.英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).如圖，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替重復(fù)上面的過程得到；一直下去，得到數(shù)列，叫作牛頓數(shù)列.若函數(shù)且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（）A.B.數(shù)列是遞減數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列D.三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)，若為偶函數(shù)，則__________.14.已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)在直線上，則的最大值是__________.15.把個(gè)位?十位?百位上的數(shù)依次成等差數(shù)列（公差小于0）的三位數(shù)稱為“下階梯數(shù)”，則所有的“下階梯數(shù)”共有__________個(gè).16.有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長分別為，用它們拼接成一個(gè)三棱柱或四棱柱.若在所有可能的情形中表面積最小的一個(gè)是四棱柱，則的取值范圍是__________.四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）在中，角所對的邊分別為，已知.（1）求的大??；（2）若，直線分別交于兩點(diǎn)，且把的面積分成相等的兩部分，求的最小值.18.（本小題滿分12分）如圖，四棱柱的底面是正方形，平面.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若是線段上一點(diǎn)，平面與平面夾角的余弦值為時(shí)，求的值.19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義為不超過的最大整數(shù)，例如，求的前項(xiàng)和.20.（本小題滿分12分）從今年起，我國將于每年5月第四周開展“全國城市生活垃圾分類宣傳周”活動，首屆全國城市生活垃圾分類宣傳周時(shí)間為2023年5月22日至28日，宣傳主題為“讓垃圾分類成為新時(shí)尚”，在此宣傳周期間，某社區(qū)舉行了一次生活垃圾分類知識比賽.要求每個(gè)家庭派出一名代表參賽，每位參賽者需測試A，B，C三個(gè)項(xiàng)目，三個(gè)測試項(xiàng)目相互不受影響.（1）若某居民甲在測試過程中，第一項(xiàng)測試是等可能的從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)測試，且他測試三個(gè)項(xiàng)目“通過”的概率分別為.已知他第一項(xiàng)測試“通過”，求他第一項(xiàng)測試選擇的項(xiàng)目是的概率；（2）現(xiàn)規(guī)定：三個(gè)項(xiàng)目全部通過獲得一等獎(jiǎng)，只通過兩項(xiàng)獲得二等獎(jiǎng)，只通過一項(xiàng)獲得三等獎(jiǎng)，三項(xiàng)都沒有通過不獲獎(jiǎng).已知居民乙選擇的順序參加測試，且他前兩項(xiàng)通過的概率均為，第三項(xiàng)通過的概率為.若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，求他獲得二等獎(jiǎng)的概率的最小值.21.（本小題滿分12分）已知拋物線為拋物線外一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為（在軸兩側(cè)），與分別交軸于.（1）若點(diǎn)在直線上，證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；（2）若點(diǎn)在曲線上，求四邊形的面積的范圍.22.（本小題滿分12分）已知，直線是在處的切線，直線是在處的切線，若兩直線夾角的正切值為2，且當(dāng)時(shí)，直線恒在函數(shù)圖象的下方.（1）求的值；（2）設(shè)，若是在上的一個(gè)極值點(diǎn)，求證：是函數(shù)在上的唯一極大值點(diǎn)，且.湖南省2024屆高三九校聯(lián)盟第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）題號12345678答案DCABBDCD1.D【解析】，而，若時(shí)，，滿足條件；若時(shí)，，要使，只需，或，所以或，所以滿足條件的實(shí)數(shù)有3個(gè)，故選D.2.C【解析】由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得解得.故選C.3.A【解析】因?yàn)椋?，兩邊平方可得，解?故選A.4.B【解析】設(shè)第年的維修保養(yǎng)費(fèi)為萬元，數(shù)列的前項(xiàng)和為，該機(jī)的年平均耗費(fèi)為，據(jù)題意，數(shù)列是首項(xiàng)為12，公差為4的等差數(shù)列.則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最小值38.所以這臺冰激凌機(jī)的使用年限是7年，故選.5.B【解析】在的圖象上任取一點(diǎn)，它關(guān)于的對稱點(diǎn)為.故點(diǎn)在的圖象上，從而.當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞減可知，在區(qū)間上的最大值為，故選B.6.D【解析】由題意知正八面體的棱為原正四面體每個(gè)側(cè)面三角形的中位線，故正八面體由棱長為2的兩個(gè)正四棱錐構(gòu)成，正四棱錐的底面是邊長為2的正方形，取正方形一組對邊中點(diǎn)，作出軸截面，利用相似或者等面積可算出內(nèi)切球半徑，故內(nèi)切球體積為，故選D.7.C【解析】.，故選C.8.D【解析】設(shè)，內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓在上的切點(diǎn)分別為，由及雙曲線的定義可知，，故四邊形是正方形，得，于是，故，所以，于是，在中，由余弦定理可得，從而，所以.故選D.

二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）題號9101112答案BCADACACD9.BC【解析】對于，易知，而，所以，A錯(cuò)誤；對于，共有7個(gè)數(shù)據(jù)，而，故第60百分位數(shù)為9，B正確；對于，若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則的平均數(shù)為，C正確；對于D，由古典概型可知：從51個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是，錯(cuò)誤.10.AD【解析】由題意知，與兩圓均有公共點(diǎn)，且斜率最大的直線恰為那條兩圓斜率為正的內(nèi)公切線，由相似比可知其與軸交于，進(jìn)而可求得其斜率為，選項(xiàng)正確.與均有公共點(diǎn)的圓的半徑可以任意大（無最大值），選項(xiàng)B錯(cuò)誤.向引切線，切線長相等的點(diǎn)的軌跡是直線，選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)的圓心分別為，點(diǎn)對切線的夾角等于點(diǎn)對切線的夾角，于是由相似三角形知，可得到點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，選項(xiàng)D正確.11.AC【解析】因?yàn)椋蔄正確.因?yàn)?，，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對稱，B錯(cuò)誤.由，得，即，故的所有零點(diǎn)為.C正確.因?yàn)?，故不恒成立，故D錯(cuò)誤.12.ACD【解析】，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，令0，得，故A正確.，故，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤，C正確，所以，D正確.三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.【解析】，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則恒成立，從而恒成立，即恒成立，所以.14.【解析】由題意，，則.15.20【解析】公差為-1時(shí)，有共8個(gè)；公差為-2時(shí)，共6個(gè)；公差為-3時(shí)，共4個(gè)；公差為-4時(shí)，951，840共2個(gè).所以一共有個(gè).16.【解析】共有如下6種拼圖方式，在圖2圖6中，圖4表面積最小.據(jù)題意，，則，解得.四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.【解析】（1）方法一：由已知，即，，又.方法二：，即.（2），，.在中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號成立，的最小值為.18.【解析】（1）連接交于點(diǎn).因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平?又平面，所以平面平面.因?yàn)槠矫妫?，又，所?在Rt中，，所以.又為的中點(diǎn)，所以且，又平面平面，所以平面.故點(diǎn)到平面的距離為.（2）以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，由（1）知，平面的一個(gè)法向量，設(shè)，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得取，設(shè)平面與平面的夾角為，則有，解得，即.19.【解析】（1）由已知，故有，從而，且，所以，從而是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，所以.所以.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.這時(shí).所以時(shí)，，綜上，20.【解析】（1）記事件“第一項(xiàng)測試選擇了項(xiàng)目”，“第一項(xiàng)測試選擇了項(xiàng)目”，“第一項(xiàng)測試選擇了項(xiàng)目”，記事件“第一項(xiàng)測試合格”，由題意知，，，又事件互斥，則，即，所以在居民甲第一項(xiàng)測試“合格”的條件下，他第一個(gè)項(xiàng)目選擇了的概率為：，即已知居民甲第一項(xiàng)測試“合格”，他第一項(xiàng)測試選擇的項(xiàng)目是的概率是.（2）由居民乙獲一等獎(jiǎng)的概率為，可知.則.令.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).所以.所以的最小值為.21.【解析】（1）設(shè)，直線，聯(lián)立可得.在軸兩側(cè)，，，點(diǎn)處的切線方程為，同理點(diǎn)處的切線方程為，由可得又在直線上，.直線過定點(diǎn).（2）由（1）可得在曲線上，.