人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 21.3 一元二次方程（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）

專題21.3一元二次方程（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題知識點(diǎn)一、一元二次方程的定義1．下列關(guān)于x的方程一定是一元二次方程的是（

）A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0C．x2＋﹣1＝0 D．a(chǎn)x2＋bx＋c＝02．若一元二次方程有一個(gè)解為，則k為（

）A． B．1 C． D．03．方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（

）A．m≠±l B．m≥-l且m≠1C．m≥-l D．m＞-1且m≠14．下列方程中，是一元二次方程的有（

）個(gè)①；②；③；④；⑤．A． B． C． D．知識點(diǎn)二、一元二次方程的一般形式5．將方程2x2＝5x－1化為一元二次方程的一般形式，其中二次項(xiàng)系數(shù)為2，則一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（

）A．－5、1 B．5、1 C．5、－1 D．－5、－16．一元二次方程化成一般式后的值為（

）A．3，－10，－4 B．3，－12，－2 C．8，－10，－2 D．8，－12，47．如果a，b，k均為整數(shù)，則滿足下面等式的所有k的取值有(

)A．2個(gè) B．3個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)8．把方程化為的形式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．知識點(diǎn)三、一元二次方程的解9．已知實(shí)數(shù)a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，則a4+a3+8a﹣1的值為（）A．62 B．63 C．64 D．6510．已知a是方程的一個(gè)根，則的值為（

）．A． B．2022 C．2021 D．無法計(jì)算11．若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為，則方程必有一根為（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．202212．根據(jù)下列表格的對應(yīng)值，由此可判斷方程+12x﹣15=0必有一個(gè)解x滿足（

）x﹣111.11.2x2+12x﹣15﹣26﹣2﹣0.590.84A．﹣1<x<1 B．1<x<1.1 C．1.1<x<1.2 D．﹣0.59<x<0.84二、填空題知識點(diǎn)一、一元二次方程的定義13．若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是_____．14．當(dāng)___________時(shí)，方程是一元二次方程．15．已知是關(guān)于的一元二次方程，則的值為_________．16．下列方程中，①7x2+6＝3x；②＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有_____．知識點(diǎn)二、一元二次方程的一般形式17．一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1的一般形式是_____；它的二次項(xiàng)系數(shù)是_____，一次項(xiàng)系數(shù)是_____，常數(shù)項(xiàng)是_____．18．一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)為______，常數(shù)項(xiàng)為______.19．若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，且不含x的一次項(xiàng)，則m＝___，n＝___．20．已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的常數(shù)項(xiàng)是0，則a＝_____．知識點(diǎn)三、一元二次方程的解21．關(guān)于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)兩根為m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，則a的值為______．22．若，是方程的兩根，則的值為______．23．定義新運(yùn)算：，若，是關(guān)于一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，則的值為_________．24．若關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a﹣b+c＝0，稱此方程為“天宮”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宮”方程，求a2+2022a+﹣的值是___．三、解答題25．（1）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，求m的取值范圍．（2）如果是方程的一個(gè)根，求的值．26．根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長x；（2）一個(gè)矩形的長比寬多2，面積是100，求矩形的長x；（3）把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平方，求較短一段的長x．27．若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為，且，求的值．28．試證明關(guān)于的方程無論取何值，該方程都是一元二次方程；參考答案1．B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程）進(jìn)行判斷即可．解：A.x2＋2x＝x2﹣1，整理后是一元一次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；B.m2x2﹣7＋x2＝0是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意；C.x2＋﹣1＝0不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；D.ax2＋bx＋c＝0，a＝0時(shí)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的定義，解題時(shí)，要注意兩個(gè)方面：（1）一元二次方程包括三點(diǎn)：①是整式方程，②只含有一個(gè)未知數(shù)，③所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．2．C【分析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程k2-1=0，解關(guān)于k的方程，然后利用一元二次方程的定義確定k的值．解：把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程：k2-1=0，解得k1=1，k2=-1，而k-1≠0，所以k=-1．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．3．D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及二次根式有意義的條件求解可得．解：∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴，解得，由有意義得，解得：，∴且，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．4．B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷，應(yīng)僅有一個(gè)未知數(shù)，且是最高次數(shù)為2的整式方程．解：①變形為，是一元二次方程；②，整理變形為，最高次數(shù)為4，不是一元二次方程；③，變形為，是一元二次方程；④變形為，不是一元二次方程；⑤，是分式方程；故①③滿足，共有個(gè)一元二次方程故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程，一元二次方程應(yīng)僅有一個(gè)未知數(shù)，且是最高次數(shù)為2的整式方程．5．A【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），a、b、c分別是二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．解：2x2＝5x－1化為一元二次方程的一般形式2x2-5x+1=0，一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是-5，1，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．6．A【分析】通過去括號、移項(xiàng)合并同類項(xiàng)將方程化為一般形式即可得．解：，去括號，得，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，得，則化成一般式后的值為，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的乘法與加減法、一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的概念是解題關(guān)鍵．7．C【分析】先把等式左邊展開，由對應(yīng)相等得出a+b=k，ab=18；再由a，b，k均為整數(shù)，求出k的值即可．解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+18，∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+18，∴a+b=k，ab=18，∵a，b，k均為整數(shù)，∴a=±1，b=±18，k=±19；a=±2，b=±9，k=±11；a=±3，b=±6，k=±9；故k的值共有6個(gè)，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．8．B【分析】先移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1即可．解：移項(xiàng)4y=x+1-合并同類項(xiàng)系數(shù)化為1得故選

B【點(diǎn)撥】把方程變形為y=kx+b的形式，就是解關(guān)于y的方程，根據(jù)等式的性質(zhì)變形是解本題的關(guān)鍵．9．B【分析】把方程的解代入方程得到關(guān)于a的等式，然后利用等式對代數(shù)式進(jìn)行化簡求值．解：∵是一元二次方程的一個(gè)根，∴∴∴故選：【點(diǎn)撥】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到關(guān)于a的等式，利用等式對代數(shù)式進(jìn)行化簡并求出代數(shù)式的值．10．C【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義，得到，然后將其變形得到a2=2022a-1，a2+1=2022a，最后整體代入代數(shù)式求值即可．解：∵a是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，∴，∴a2=2022a-1，a2+1=2022a，∴原式=2022a-1-2021a+=a-1+==-1=2021，故C正確．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的解，分式的運(yùn)算，整體代入求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是運(yùn)用整體代入的思想．11．D【分析】把化為：再結(jié)合題意可得從而可得方程的解.解：可化為：關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為，把看作是整體未知數(shù)，則即有一根為故選D【點(diǎn)撥】本題考查的是一元二次方程的根的含義，掌握“利用整體未知數(shù)求解方程的根”是解本題的關(guān)鍵.12．C【分析】利用表中數(shù)據(jù)得到x=1.1時(shí)，x2+12x﹣15=-0.59<0，x=1.2時(shí)，x2+12x﹣15=0.84>0，則可以判斷方程x2+12x﹣15=0時(shí)，有一個(gè)解x滿足1.1<x<1.2．解：∵x=1.1時(shí)，x2+12x﹣15=-0.59<0，x=1.2時(shí)，x2+12x﹣15=0.84>0，∴1.1<x<1.2時(shí)，x2+12x﹣15=0即方程x2+12x﹣15=0必有一個(gè)解x滿足1.1<x<1.2，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．13．m≠1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解．一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0．由這兩個(gè)條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．解：根據(jù)一元二次方程的定義可得：m-1≠0，解得：m≠1，故答案是：m≠1．【點(diǎn)撥】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．14．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答．解：∵是一元二次方程，∴且，解得，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．15．．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，令2m-1=2，求出m的值即可．解：∵3x2m-1-7x-m=0是關(guān)于x的一元二次方程，∴2m-1=2，∴m=，故答案是：．【點(diǎn)撥】此題考查一元二次方程的概念．解題關(guān)鍵在于掌握只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程．16．①③⑤．【分析】一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．解：①③⑤是一元二次方程，②是分式方程，④是二元二次方程，故答案為：①③⑤．【點(diǎn)撥】此題考查一元二次方程的概念，解題關(guān)鍵在于掌握判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．17．

5x2+8x﹣2＝0

5

8

-2【分析】將等式左邊利用整式的乘法法則計(jì)算，再整理為一元二次方程的一般形式，根據(jù)一元二次方程的定義解答．解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）＝2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2＝0；它的二次項(xiàng)系數(shù)是5，一次項(xiàng)系數(shù)是8，常數(shù)項(xiàng)是﹣2．故答案為：5x2+8x﹣2＝0，5，8，﹣2．【點(diǎn)撥】此題考查一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式，整式的乘法計(jì)算法則，熟記一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．18．

1

【分析】將原方程化簡整理，然后根據(jù)一元二次方程的定義求解即可.解：原方程整理得∴二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為-4故答案為：1，-4.【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程的概念，通過已知條件對原方程進(jìn)行整理是解題的關(guān)鍵.19．

0

7【分析】首先把方程變?yōu)橐辉畏匠痰囊话阈问?，再根?jù)題意可得，進(jìn)而可得答案．解：m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0，整理得，，∵為一元二次方程且不含x的一次項(xiàng)，∴，解得，故答案為：0，7．【點(diǎn)撥】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是掌握任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．20．﹣2．【分析】根據(jù)常數(shù)項(xiàng)是0列式求出a值，結(jié)合一元二次方程的定義a-2≠0，即可得答案.解：∵一元二次方程（a﹣2）x2﹣2x+a2﹣4＝0的常數(shù)項(xiàng)是0，∴a2﹣4＝0，解得：a＝±2，∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴a＝﹣2，故答案為﹣2．【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0(a≠0)，ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)；解題時(shí)注意不要漏掉a≠0這個(gè)隱含條件.21．##1.5##【分析】根據(jù)方程根的定義得到，，然后把(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54變形后，利用整體代入，得到關(guān)于a的一元二次方程，解方程后去掉不合題意的解即可．解：∵關(guān)于x的方程ax2－2bx－3＝0(ab≠0)兩根為m，n，∴，∴，∵(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn－2a)＝54，∴[2（am2－2bm＋a）][3(an2－2bn)－2a]＝54∴解得或∵ab≠0∴a，b均為非零實(shí)數(shù)，∴故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根的定義和整體代入的方法，熟練掌握整體代入的方法是解題的關(guān)鍵．22．1【分析】根據(jù)題意，，變形代入計(jì)算即可．解：∵，是方程的兩根，∴，∴==1，故答案為：1．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的根即使得一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，利用定義變形代入計(jì)算是解題的關(guān)鍵．23．0【分析】由a、b是關(guān)于一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，可得出a2-a=-m、b2-b=-m，根據(jù)定義新運(yùn)算的定義式，將b*b-a*a展開，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．解：∵a、b是關(guān)于一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，∴a2-a=-m，b2-b=-m，∴b*b-a*a=b（b-1）-a（a-1）=b2-b-（a2-a）=-m-（-m）=0．故答案為：0．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的解以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)一元二次方程的解找出a2-a=-m，b2-b=-m，是解題的關(guān)鍵．24．【分析】利用新定義得到“天宮”方程的一個(gè)解為，則，然后利用整體代入的方法計(jì)算．解：∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a﹣b+c＝0，∴“天宮”方程的一個(gè)解為，方程是“天宮”方程，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．利用整體代入的方法計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．25．（1）且；（2）9【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義和二次根式有意義的條件進(jìn)行求解即可；（2）把代入中得到，再由進(jìn)行求解即可