2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)精練（蘇科版）：專(zhuān)題33 已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離（原卷版）

專(zhuān)題33已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離1．閱讀下列一段文字，然后回答下列問(wèn)題．已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點(diǎn)間的距離，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可簡(jiǎn)化為|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），試求A、B兩點(diǎn)間的距離；(2)已知A、B在平行于y軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣1，試求A、B兩點(diǎn)間的距離；(3)已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形狀嗎？說(shuō)明理由．2．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)的橫向（或級(jí)向）距離可以用兩點(diǎn)橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）的差的絕對(duì)值來(lái)表示．(1)如圖，平面內(nèi)點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，則兩點(diǎn)的橫向距離______，縱向距離______，最后，可得______．(2)平面內(nèi)有點(diǎn)，點(diǎn)，請(qǐng)參考（1）中方法求線段的長(zhǎng)．（用含m的式子表示）3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（0，2），B（8，8），點(diǎn)C（m，0）為x正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)m＝4時(shí)，寫(xiě)出線段AC＝，BC＝．（2）當(dāng)0＜m＜8時(shí)，求△ABC的面積．（用含m的代數(shù)式表示）（3）當(dāng)點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)C使△ABC為直角三角形，如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)三角形的面積；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)關(guān)于過(guò)原點(diǎn)的一條直線對(duì)稱(chēng)，則我們稱(chēng)這兩點(diǎn)關(guān)于這條直線互為“鏡面點(diǎn)”，這條直線叫“鏡面直線”．例如：M（﹣1，2）和M′（1，2）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則我們稱(chēng)M和M′關(guān)于y軸互為“鏡面點(diǎn)”，y軸為“鏡面直線”．若已知兩點(diǎn)坐標(biāo)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則P1、P2之間的距離為．如M（﹣1，2）和N（3，5）的距離為．實(shí)驗(yàn)與探究：（1）直線l為∠AOA′角平分線所在的直線，由圖觀察易知A（0，2）關(guān)于直線l的鏡面點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，0），在圖中找出B（5，3）、C（﹣2，5）分別關(guān)于直線l的鏡面點(diǎn)B′、C′的位置，請(qǐng)寫(xiě)出他們的坐標(biāo)：B′、C′；歸納與發(fā)現(xiàn)：（2）結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l的鏡面點(diǎn)P'的坐標(biāo)為；（不必證明）拓展與應(yīng)用：（3）已知兩點(diǎn)D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），試在直線l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出這個(gè)和的最小值．5．?dāng)?shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象，我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題．下面我們來(lái)探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用．探究一：求方程|x﹣1|＝3的解，探究|x﹣1|的幾何意義如圖①，在以O(shè)為原點(diǎn)的數(shù)軸上，設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的數(shù)為x﹣1，由絕對(duì)值的定義可知，點(diǎn)與O的距離為|x﹣1|，可記為：O＝|x﹣1|．將線段O向右平移一個(gè)單位，得到線段AB，此時(shí)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)數(shù)是1，因?yàn)锳B＝O，所以AB＝|x﹣1|．因此，|x﹣1|的幾何意義可以理解為數(shù)軸上x(chóng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B之間的距離AB．（1）求方程|x﹣1|＝3的解，因?yàn)閿?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離都為3，所以方程的解為．探究二：探究的幾何意義，探究的幾何意義如圖②，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，過(guò)M作MP⊥x軸于P，作MQ⊥y軸于Q，則點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)(x，0)，Q點(diǎn)坐標(biāo)(0，y)，|OP|＝x，|OQ|＝y(tǒng)，在RtOPM中，PM＝OQ＝y(tǒng)，則MO＝＝＝，因此的幾何意義可以理解為點(diǎn)M(x，y)與原點(diǎn)O(0，0)之間的距離MO．探究三：探究的幾何意義如圖③，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x﹣1，y﹣5)，由探究（二）（1）可知，O＝，將線段O先向右平移1個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，得到線段AB，此時(shí)A的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，5)．因?yàn)锳B＝O，所以AB＝，因此的幾何意義可以理解為點(diǎn)A(x，y)與點(diǎn)B(1，5)之間的距離AB．（2）探究的幾何意義，請(qǐng)仿照探究二（2）的方法，在圖④中畫(huà)出圖形，并寫(xiě)出探究過(guò)程．（3）的幾何意義可以理解為：．拓展應(yīng)用：（4）的幾何意義可以理解為：點(diǎn)A(x，y)與點(diǎn)E(2，﹣1)的距離與點(diǎn)A(x，y)與點(diǎn)F（填寫(xiě)坐標(biāo)）的距離之和．（5）的最小值為．（直接寫(xiě)出結(jié)果）6．閱讀下列一段文字，然后回答問(wèn)題．【閱讀】已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，，則這兩點(diǎn)間的距離可用下列公式計(jì)算：例如：已知，，則這兩點(diǎn)間的距離．特別地，如果兩點(diǎn)，所在的直線與坐標(biāo)軸重合或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸，那么這兩點(diǎn)間的距離公式可簡(jiǎn)化為或．【解答】（1）已知，，試求，兩點(diǎn)間的距離；（2）已知，在平行于軸的同一條直線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，試求，兩點(diǎn)間的距離；（3）已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，你能判定的形狀嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由．7．閱讀理解：我們知道，任意兩點(diǎn)關(guān)于它們所連線段的中點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為（，）．觀察應(yīng)用：（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P1（0，－1），P2（2，3）的對(duì)稱(chēng)中心是點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_______；（2）另取兩點(diǎn)B（－1.6，2.1），C（－1，0）．有一電子青蛙從點(diǎn)P1處開(kāi)始依次關(guān)于點(diǎn)A，B，C作循環(huán)對(duì)稱(chēng)跳動(dòng)，即第一次跳到點(diǎn)P1關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2處，接著跳到點(diǎn)P2關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P3處，第三次再跳到點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P4處，第四次再跳到點(diǎn)P4關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P5處……則點(diǎn)P3，P8的坐標(biāo)分別為_(kāi)_______，________．拓展延伸：（3）求出點(diǎn)P2018的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出在x軸上與點(diǎn)P2018，C構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)．8．閱讀理解，在平面直角坐標(biāo)系中，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1P2的距離．如圖1，作Rt△P1P2Q，在Rt△P1P2Q中，＝＋＝，所以＝．因此，我們得到平面上兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離公式為＝．根據(jù)上面得到的公式，解決下列問(wèn)題：（1）已知平面兩點(diǎn)A(－3，4)，B(5，10)，求AB的距離；（2）若平面內(nèi)三點(diǎn)A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，試判斷△ABC的形狀，說(shuō)明理由；（3）如圖2，在有對(duì)稱(chēng)美的正方形AOBC中，A(－4，3)，點(diǎn)D在OA邊上，且D(－1，)，直線l經(jīng)過(guò)O，C兩點(diǎn)，點(diǎn)E是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求DE＋EA的最小值．9．定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)和，我們把它們的橫、縱坐標(biāo)的差的平方和的算術(shù)平方根稱(chēng)作這兩點(diǎn)的“湘一根”，記作，即（1）若A（2，1）和B（，3），則______；（2）若點(diǎn)M（1，2），，其中a為任意實(shí)數(shù)，求的最小值（3）若m為常數(shù)，且，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，5m），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（8m，），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代數(shù)式表示）10．閱讀下列一段文字：在直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N兩點(diǎn)之間的距離可以用公式MN＝計(jì)算．解答下列問(wèn)題：（1）若點(diǎn)P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q兩點(diǎn)間的距離；（2）若點(diǎn)A（1，2），B（4，﹣2），點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷△AOB是什么三角形，并說(shuō)明理由．11．閱讀下列一段文字，然后回答下列問(wèn)題：材料1：已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)間的距離可用下列公式計(jì)算：．例如：已知，則這兩點(diǎn)的距離材料2：在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為例如：點(diǎn)、點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，即如圖，已知，求線段的長(zhǎng)度和中點(diǎn)的坐標(biāo)；若為軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，你能判定的形狀嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．12．認(rèn)真閱讀下列材料，然后完成解答：【材料】如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），如何求A、B兩點(diǎn)間的的距離|AB|的值？過(guò)點(diǎn)A向y軸作垂線AN1、過(guò)點(diǎn)B向x軸作垂線BM2，垂足分別為N1（0，y1）和M2（x2，0），直線AN1和BM2相交于點(diǎn)Q．在Rt△AQB中，|AB|2=|AQ|2+|BQ|2為了計(jì)算AQ和BQ，過(guò)點(diǎn)A向x軸作垂線，垂足為M1（x1，0）；過(guò)點(diǎn)B向y軸作垂線，垂足為N2（0，y2），于是有|AQ|=|M1M2|=|x3-x1|，|BQ|=|N1N2|=|y2-y1|．所以，|AB|2=．由此得到A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)間的距離公式：．根據(jù)定義：兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離．因此，線段AB的長(zhǎng)度計(jì)算公式為．【問(wèn)題】（1）平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（0，1）、B（2，3），求線段AB的長(zhǎng)；（2）表示線段MN的長(zhǎng)，其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)N的坐標(biāo)為_(kāi)_____；（3）如圖，在x軸上有一點(diǎn)P（x，0），試求PA+PB的最小值．13．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（a，0），B（b，c），且（a﹣8）2＋|b﹣3|＋＝