第05講用相似三角形解決問(wèn)題（知識(shí)解讀真題演練課后鞏固）

第05講用相似三角形解決問(wèn)題1、理解并掌握用不同方法構(gòu)造相似三角形測(cè)高的原理；2、通過(guò)典型實(shí)例認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，掌握把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題方法.知識(shí)點(diǎn)1利用相似三角形測(cè)量高度測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比例相等”的原理解決.注意：測(cè)量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測(cè)量法影子測(cè)量法手臂測(cè)量法標(biāo)桿測(cè)量法知識(shí)點(diǎn)2利用相似三角形測(cè)量距離測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。

1．如甲圖所示，通?？上葴y(cè)量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長(zhǎng)度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長(zhǎng).2．如乙圖所示，可先測(cè)AC、DC及DE的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算AB的長(zhǎng).

注意：1．比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實(shí)際距離;

2．太陽(yáng)離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽(yáng)光近似看成平行光線．在同一時(shí)刻，兩物體影子之比等于其對(duì)應(yīng)高的比;

3．視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時(shí)，視線與水平方向的夾角．【題型1利用相似三角形測(cè)量高度平面鏡測(cè)量法】【典例1】（2023?子洲縣校級(jí)模擬）西安大雁塔作為現(xiàn)存最早、規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，它是佛塔這種古印度佛寺的建筑形式隨佛教傳入中原地區(qū)，并融入華夏文化的典型物證，凝聚了中國(guó)古代勞動(dòng)人民智慧結(jié)晶的標(biāo)志性建筑．小明同學(xué)想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)測(cè)量大雁塔的高度，如圖，小明在點(diǎn)B處放置一個(gè)平面鏡，站在A處恰好能從平面鏡中看到塔的頂端D，此時(shí)測(cè)得小明到鏡面距離AB為2米，已知平面鏡到塔底部中心的距離BC為86米，小明眼睛到地面距離AE為1.5米，已知AE⊥AC，CD⊥AC，點(diǎn)A、B、C在一條水平線上．請(qǐng)你幫小明計(jì)算出大雁塔CD的高度．（平面鏡的大小忽略不計(jì)）【答案】64.5米．【解答】解：由題意得：∠EBA＝∠DBC，∵EA⊥AC，DC⊥AC，∴∠EAB＝∠DCB＝90°，∴△DCP∽△ABP，∴＝，∴＝，∴AB＝64.5米，∴長(zhǎng)安塔的高度AB為64.5米．【變式11】（2023春?綠園區(qū)期末）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，同時(shí)量得小藝與鏡子的水平距離為2米，鏡子與旗桿的水平距離為10米，則旗桿的高度為8米．?【答案】8．【解答】解：由題意得：∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝，∵AB＝1.6米，OB＝2米，OD＝10米，∴＝，解得：CD＝8，∴旗桿的高度為8米，故答案為：8．【變式12】（2023?寶雞模擬）成都熊貓基地瞭望塔可以看到熊貓基地的全貌，還可以看到339電視塔，成為了成都的新地標(biāo)，也是去成都觀光旅游的新景點(diǎn)．小輝想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量瞭望塔的高度（AB），測(cè)量方法如下：在地面上點(diǎn)C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，然后人向后退，直至站在點(diǎn)D處恰好看到瞭望塔AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合，如圖，其中B，C，D三點(diǎn)在同一直線上．已知小輝的眼睛距離地面的高度EDm，測(cè)得BC＝40m，CD＝1m，請(qǐng)你幫助他求出該瞭望塔的高度AB．【答案】該瞭望塔的高度AB為70m．【解答】解：由題意得：∠ECD＝∠ACB，AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，∴△ABC∽△EDC，∴，∴，∴AB＝70，∴該瞭望塔的高度AB為70m【變式13】（2023?啟東市二模）如圖，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過(guò)木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處．點(diǎn)E到地面的高度DEm，點(diǎn)F到地面的高度CFm，燈泡到木板的水平距離ACm，墻到木板的水平距離為CD＝4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的長(zhǎng)．（2）求燈泡到地面的高度AG．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意可得：FC∥DE，則△BFC∽BED，故，即，解得：BC＝3；（2）∵ACm，∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在鏡面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴，解得：AG＝1.2（m），答：燈泡到地面的高度AGm．【題型2利用相似三角形測(cè)量高度影子測(cè)量法】【典例2】（2023春?岱岳區(qū)期末）如圖，小明欲測(cè)量一座信號(hào)發(fā)射塔的高度．他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他自己影子的頂端正好與塔的影子的頂端重合，此時(shí)他距離該塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影長(zhǎng)是2米．（1）圖中△ABC與△ADE是否相似？為什么？（2）求信號(hào)發(fā)射塔的高度．【答案】19.8米．【解答】解：（1）∵BC⊥AC，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，（2）∵△ABC∽△ADE，∴，即，∴DC＝19.8（米），∴古塔的高度為19.8米．【變式21】（2022秋?濱海新區(qū)校級(jí)期末）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組為了測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，使用長(zhǎng)為2m的竹竿CD作為測(cè)量工具．移動(dòng)竹竿，使竹頂端的影子與旗桿頂端的影子在地面O處重合，測(cè)得OD＝4m，BD＝12m，則旗桿AB的高為8m．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵OD＝4m，BD＝14m，∴OB＝OD+BD＝18m，由題意可知∠ODC＝∠OBA，且∠O為公共角，∴△OCD∽△OAB，∴＝，即＝，解得AB＝8，即旗桿AB的高為8m．故答案為：8．【變式22】（2022秋?武侯區(qū)校級(jí)期末）大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長(zhǎng)，說(shuō)在端”．如圖2所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是9cm，則蠟燭火焰的高度是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【答案】A【解答】解：設(shè)蠟燭火焰的高度是xcm，由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比得到：＝．解得x＝6．即蠟燭火焰的高度是6cm．故選：A．【變式23】（2022秋?鐵西區(qū)校級(jí)期末）如圖，小樹AB在路燈O的照射下形成投影BC．若樹高AB＝2m，樹影BC＝3m，樹與路燈的水平距離BP＝4m，求路燈的高度OP．【答案】路燈的高度OP是m．【解答】解：∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴＝，即＝，∴OP＝（m）．答：路燈的高度OP是m．【題型3利用相似三角形測(cè)量高度手臂測(cè)量法】【典例3】（2023?橫山區(qū)模擬）西安古城墻凝聚了中國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，它作為古城西安的地標(biāo)性建筑，吸引了不少人慕名而來(lái)．節(jié)假日，樂(lè)樂(lè)去城墻游玩，看見宏偉的城墻后，他想要測(cè)量城墻的高度DE．如圖，他拿著一根筆直的小棍BC，站在距城墻約30米的點(diǎn)N處（即EN＝30米），把手臂向前伸直且讓小棍BC豎直，BC∥DE，樂(lè)樂(lè)看到點(diǎn)B和城墻頂端D在一條直線上，點(diǎn)C和底端E在一條直線上．已知樂(lè)樂(lè)的臂長(zhǎng)CM約為60厘米，小棍BC的長(zhǎng)為24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求城墻的高度DE．【答案】城墻的高度DE為12米．【解答】解：由題意可作出下圖：由題意得，AF＝60厘米＝0.6米，AG＝EN＝30米，BC＝24厘米＝0.24米，∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∴＝，∴DE＝12，∴城墻的高度DE為12米．【變式31】（2022?濱?？h校級(jí)三模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺豎直，瞄準(zhǔn)小尺的兩端E、F，不斷調(diào)整站立的位置，使在點(diǎn)D處時(shí)恰好能看到鐵塔的頂部B和底部A（如圖）．設(shè)小明的手臂長(zhǎng)l＝50cm，小尺長(zhǎng)a＝20cm，點(diǎn)D到鐵塔底部的距離AD＝40m，則鐵塔的高度為16m．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：作CH⊥AB于H，交EF于P，如圖，則CH＝DA＝40m，CP＝50cmm，EF＝20cmm，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴，即＝，∴AB＝16（m），即鐵塔的高度為16m．故答案為：16．【題型4利用相似三角形測(cè)量高度標(biāo)桿測(cè)量法】【典例4】（2023春?河口區(qū)期末）學(xué)完了《圖形的相似》這一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量一棵大樹CD的高度，如圖，直立在B處的標(biāo)桿AB＝2.9米，小愛站在F處，眼睛E處看到標(biāo)桿頂A，樹頂C在同一條直線上（人，標(biāo)桿和樹在同一平面內(nèi)，且點(diǎn)F，B，D在同一條直線上）．已知BD＝6米，F(xiàn)B＝2米，EF＝1.7米，請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助實(shí)踐小組求出該樹的高度．【答案】樹高CD為6.5米．【解答】解：過(guò)E作EH⊥CD交CD于H點(diǎn)，交AB于點(diǎn)G，由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四邊形EFDH為矩形，∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米，∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.7＝1.2（米），∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴，∴，解得：CH＝4.8，∴CD＝CH+DH＝4.8+1.7＝6.5（米），答：樹高CD為6.5米．【變式41】（2022秋?惠來(lái)縣期末）綜合實(shí)踐活動(dòng)在現(xiàn)實(shí)生活中，對(duì)于較高的建筑物，人們通常用圖形相似的原理測(cè)量建筑物的高度．如圖，九（1）班數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)們?cè)诰C合實(shí)踐課里測(cè)量學(xué)校里一棟教學(xué)樓MN的高度，他們?cè)诮虒W(xué)樓前的D處豎立一個(gè)長(zhǎng)度為4米的直桿CD，測(cè)得DN等于18米，讓同學(xué)調(diào)整自己的位置，使得他直立時(shí)眼睛A、直桿頂點(diǎn)C和高樓頂點(diǎn)M三點(diǎn)共線．此時(shí)測(cè)量人與直桿的距離BD＝3.2米，眼睛高度AB＝1.6米．請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)求出這棟教學(xué)樓MN的高度．【答案】17.5米．【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥MN于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)E，則四邊形ABDE，四邊形ABNH都是矩形．∴NH＝DE＝AB＝1.6米，AE＝BD＝3.2米，EH＝DN＝18米，∵CD＝4米，∴CE＝CD﹣DE＝4﹣1.6＝2.4（米），∵CE∥MH，∴△ACE∽△AMH，∴＝，∴＝，∴MH＝15.9（米），∴MN＝MH+NH＝15.9+1.6＝17.5（米）．答：這棟教學(xué)樓MN的高度是17.5米．【變式42】（2023?榆林一模）某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量一古建筑的高度（如圖1）．如圖2，在地面BC上取E，G兩點(diǎn)，分別豎立兩根高為2m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為23m，并且古建筑AB，標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點(diǎn)，A、F、D三點(diǎn)成一線；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也成一線．已知B、E、D、G、C在同一直線上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助實(shí)踐小組求出該古建筑AB的高度．【答案】25m．【解答】解：設(shè)BE＝y(tǒng)m，由題意可知，∵EF∥AB，GH∥AB，∴△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，∴，，∵EF＝HG＝2，∴，∴，解得：y＝23，則，即，解得：AB＝25，答：該古建筑AB的高度為25m．【變式43】（2023?臨渭區(qū)二模）慶安寺塔（圖1），位于臨渭區(qū)交斜鎮(zhèn)東堡村南，當(dāng)?shù)厝擞址Q其為來(lái)化塔．如圖2，某校社會(huì)實(shí)踐小組為了測(cè)量慶安寺塔的高度AB，在地面上D處垂直于地面豎立了高度為2米的標(biāo)桿CD，這時(shí)地面上的點(diǎn)E，標(biāo)桿的頂端點(diǎn)C，慶安寺塔的塔尖點(diǎn)A正好在同一直線上，測(cè)得DE＝3米，將標(biāo)桿CD沿BD方向平移14米到點(diǎn)H處（DH＝14）．這時(shí)地面上的點(diǎn)F，標(biāo)桿的頂端點(diǎn)C，慶安寺塔的塔尖點(diǎn)A正好又在同一直線上，測(cè)得FH＝4米，點(diǎn)F，H，E，D與塔底處的點(diǎn)B在同一直線上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算慶安寺塔的高度AB．【答案】30米．【解答】解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，∴∠ABC＝∠CDE＝∠GHF＝90°，∵∠DEC＝∠BEA，∴△EDC∽△EBA，∴＝，∴＝，∵∠HFG＝∠BFA，∴△HFG∽△BFA，∴＝，∴＝，∴＝，∴BD＝42，∴＝，∴AB＝30（米），答：慶安寺塔的高度AB為30米．【題型5利用相似三角形測(cè)量距離】【典例5】（2022春?港閘區(qū)校級(jí)月考）如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C，從點(diǎn)C不經(jīng)過(guò)池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B，連結(jié)AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使CD＝AC，連結(jié)BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使CE＝BC，連結(jié)DE．量得DE的長(zhǎng)為15米，求池塘兩端A，B的距離．【答案】池塘兩端A，B的距離為30米．【解答】解：∵CD＝AC，CE＝BC，∴＝，＝，∴＝，∵∠DCE＝∠ACB，∴△DCE∽△ACB，∴＝＝，∵DE＝15，∴AB＝30（米），答：池塘兩端A，B的距離為30米．【變式51】（2023春?新泰市期末）如圖，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取B，C，D三點(diǎn)，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上，若測(cè)得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，則河的寬度為（）A．20m B．30m C．40m D．60m【答案】C【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，∴，解得：AB＝40，【變式52】（2022?柳北區(qū)模擬）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選取點(diǎn)B和點(diǎn)C，使AB⊥BC，然后再選取點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D，此時(shí)如果測(cè)得BD＝160m，DC＝80m，EC＝50m，求A、B間的大致距離．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意可得：∠ABD＝∠ECD＝90°，∠ADB＝∠EDC，則△ABD∽△ECD，故＝，即＝，解得：AB＝100．答：A、B間的距離為100m．1．（2022?十堰）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等）可測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，則零件的厚度x為（）cm cm cm D．1cm【答案】B【解答】解：∵OA：OC＝OB：OD＝3，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝3cm，∴AB＝9cm，∵某零件的外徑為10cm，∴零件的厚度x為：（10﹣9）÷2＝1÷2＝0.5（cm），故選：B．m的竹竿AB斜靠在石壩旁，量出竿長(zhǎng)1mm，則石壩的高度為（）m m m m【答案】A【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，∵DC⊥AD，BF⊥AD，∴DC∥BF，∴△ACD∽△ABF，∴＝，∴＝，解得：BF＝2.7．故選：A．3．（2022?鹽城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測(cè)距離的方法，步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測(cè)物體在一條直線上；第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時(shí)看到被測(cè)物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測(cè)物體的大小，估算橫向距離的長(zhǎng)度；第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長(zhǎng)度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測(cè)物體離觀測(cè)點(diǎn)的距離值．如圖是用“跳眼法”估測(cè)前方一輛汽車到觀測(cè)點(diǎn)距離的示意圖，該汽車的長(zhǎng)度大約為4米，則汽車到觀測(cè)點(diǎn)的距離約為（）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米【答案】C【解答】解：觀察圖形，橫向距離大約是汽車的長(zhǎng)度的2倍，∵汽車的長(zhǎng)度大約為4米，∴橫向距離大約是8米，由“跳眼法”的步驟可知，將橫向距離乘以10，得到的值約為被測(cè)物體離觀測(cè)點(diǎn)的距離值，∴汽車到觀測(cè)點(diǎn)的距離約為80米，故選：C．4．（2023?小店區(qū)校級(jí)模擬）如圖①，是生活中常見的人字梯，也稱折梯，用于在平面上方空間進(jìn)行工作的一類登高工具，因其使用時(shí)，左右的梯桿及地面構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，看起來(lái)像一個(gè)“人”字，因而把它形象的稱為“人字梯”．如圖②，是其工作示意圖，AB＝AC，拉桿EF∥BC，AE＝，EF＝0.35米，則兩梯桿跨度B、C之間距離為（）A．2米 D．米【答案】B【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝∵AE＝，EF＝0.35米，∴＝，∴BC＝2.1，即兩梯桿跨度B、C之間距離為2.1米，故選：B．5．（2023?南關(guān)區(qū)四模）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國(guó)學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過(guò)小孔O，物體AB在幕布上形成倒立的實(shí)像CD（點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C、D）．若物體AB的高為9cm，小孔O到物體和實(shí)像的水平距離BE、CE分別為12cm、9cm，則實(shí)像CD的高度為（）cm．A．6cm cm cm D．7cm【答案】C【解答】解：由題意得：AB∥CD，∴∠A＝∠ACD，∠D＝∠ABD，∴△OAB∽△OCD，∴＝，∴＝，∴CD＝6.75，∴實(shí)像CDcm，故選：C．6．（2023?裕華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，某同學(xué)在A處看見河對(duì)岸有一大樹P，想測(cè)得A與P的距離，他先從A向正西走90米到達(dá)P的正南方C處，再回到A向正南走30米到D處，再?gòu)腄處向正東走到E處，使得E，A、P三點(diǎn)恰好在一條直線上，測(cè)得DE＝22.5米，則A與P的距離為（） B．120米 C．135米 D．150米【答案】D【解答】解：由題意可得：AC∥DE，∠C＝∠D＝90，則△ACP∽△EDA，故，∵AC＝90m，AD＝30m，DEm，∴PC＝120（m），∴AP＝＝＝150（m）．答：A與P的距離為150m．故選：D．7．（2023?南崗區(qū)校級(jí)四模）如圖，小明設(shè)計(jì)的用激光筆測(cè)量城墻高度的示意圖，在點(diǎn)P處水平放置一面平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該城墻CD的高度為（）A．6 B．8 C．10 D．18【答案】B【解答】解：根據(jù)題意得∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽R(shí)t△CDP，∴，即，∴CD＝8（m）．故選：B．8．（2023?順義區(qū)二模）如圖，要測(cè)量樓高M(jìn)N，在距MN為15m的點(diǎn)Bm的直桿AB，恰好使得觀測(cè)點(diǎn)E、直桿頂點(diǎn)A和高樓頂點(diǎn)N在同一條直線上，若DB＝5m，DEm，則樓高M(jìn)N是（）m m m D．22m【答案】C【解答】解：根據(jù)題意，四邊形EDBC，四邊形CBME都是矩形．∴DB＝EC＝5m，ABm，BM＝CF＝15m，∵DEm，∴AC＝AB﹣BC＝5.5﹣1.5＝4（m），EF＝EC+CF＝5+15＝20（m），∵AC∥NF，∴△EAB∽△ENF，∴，∴，∴NF＝16（m），∴MN＝MF+FM＝16+1.5＝17.5（m）．答：這棟樓MNm．故選：C．9．（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個(gè)測(cè)量塔高的問(wèn)題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過(guò)竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為18.2米．【答案】18.2．【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)H，由題意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），∴塔的高度為18.2米，故答案為：18.2．10.（2022?廣西）古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測(cè)影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽(yáng)光測(cè)金字塔的高度．如圖，木桿EF長(zhǎng)2米，它的影長(zhǎng)FD是4米，同一時(shí)刻測(cè)得OA是268米，則金字塔的高度BO是134米．【答案】134【解答】解：據(jù)相同時(shí)刻的物高與影長(zhǎng)成比例，設(shè)金字塔的高度BO為x米，則可列比例為，，解得：x＝134，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝134是原方程的解，∴BO＝134．故答案為：1341．（2023秋?濟(jì)陽(yáng)區(qū)期中）如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測(cè)“步云閣”的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DP保持水平，邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知直角三角紙板中DE＝18cm，EP＝12cm，測(cè)得眼睛Dm，他與“步云閣”的水平距離CD為114m，則“步云閣”的高度AB是（）m m m m【答案】B【解答】解：在△DEF和△DCB中，∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，∴△DEF∽△DCB，∴，即，解得：BC＝76（m），∵ACm，∴AB＝AC+BC＝1.7+76＝77.7（m），m，故選：B．2．（2023秋?霞浦縣期中）大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第一個(gè)小孔成像的實(shí)驗(yàn)如圖（1），并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長(zhǎng)，說(shuō)在端．”在如圖（2）所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是9cm，則蠟燭火焰的高度是（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm【答案】D【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)F，由題意得：EF⊥CD，AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△AOB∽△DOC，∴＝，∴＝，∴AB＝6cm，∴蠟燭火焰的高度是6cm，故選：D．3．（2023春?萊州市期末）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時(shí)的示意圖，圖3是在打開狀態(tài)時(shí)的示意圖（數(shù)據(jù)如圖，單位：mm），從圖2閉合狀態(tài)到圖3打開狀態(tài)，則點(diǎn)B，D之間的距離減少了（）A．25mm B．20mm C．15mm D．8mm【答案】A【解答】解：連接BD，由題意得，EF∥BC，∴△AEF∽△ABD，∴＝，∴＝，∴BD＝45，∴點(diǎn)B，D之間的距離減少了45﹣20＝25（mm），故選：A．4．（2023秋?開封期中）如圖，已知厚度為xcm的零件外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等）測(cè)量出零件的內(nèi)孔直徑AB，如果，且量得CD＝3cm，則零件厚度x為（）A． B．2cm C．1cm D．【答案】B【解答】解：∵＝＝2，∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△COD，∴＝2，∵CD＝3cm，∴AB＝6cm，∵某零件的外徑為10cm，∴零件的厚度x為：（10﹣6）÷2＝2（cm），故選：B．5．（2022秋?滕州市校級(jí)期末）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測(cè)得邊DF離地面的高度ACm，CD＝9m，則樹高AB為（）A．4m m C．5m D．6m【答案】D【解答】解：∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得：BC＝4.5，∵ACm，∴AB＝AC+BC＝1.5+4.5＝6（m），即樹高6m．故選：D．6．（2023秋?金臺(tái)區(qū)校級(jí)期中）如圖，是圓桌正上方的燈泡Om，桌面距離地面1m，若燈泡O距離地面3m，則地面上陰影部分的面積為（）πm2 πm2 πm2 πm2【答案】C【解答】解：如圖設(shè)C，D分別是桌面和其地面影子的圓心，CB∥AD，∴△OBC∽△OAD∴＝，∵OD＝3，CD＝1，∴OC＝OD﹣CD＝3﹣1＝2，BC＝×1.6＝0.8，∴＝，∴AD＝1.2，∴S⊙D2?ππ（m2），πm2．故選：C．7．（2022秋?宜賓期末）如圖，它是物理學(xué)中小孔成像的原理示意圖，已知物體AB＝30，根據(jù)圖中尺寸（AB∥CD），則CD的長(zhǎng)應(yīng)是（）A．15 B．30 C．20 D．10【答案】D【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴36：AB＝12：CD，即36：30＝12：CD，解得CD＝10．故選：D．8．（2023秋?長(zhǎng)子縣期中）如圖是小孔成像原理的示意圖，這支蠟燭在暗盒中所成的像CD的長(zhǎng)是1cm，則像CD到小孔O的距離為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【解答】解：設(shè)像CD到小孔O的距離為x，由題意知，AB∥CD，∴△ABO∽△DCO，∴∴x＝2，故選：B．9．（2023?鄖陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，比例規(guī)是伽利略發(fā)明的一種畫圖工具，使用它可以把線段按一定比例伸長(zhǎng)或縮短，它是由長(zhǎng)度相等的兩腳AD和BC交叉構(gòu)成的．如果把比例規(guī)的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方（即同時(shí)使OA＝3OD，OB＝3OC），然后張開兩腳，使A、B兩個(gè)尖端分別在線段l的兩個(gè)端點(diǎn)上，若CD＝4cm，則AB的長(zhǎng)是（）A．16cm B．12cm C．8cm D．6cm【答案】B【解答】解：∵OA＝3OD，OB＝3CO，∴OA：OD＝BO：CO＝3：1，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴，∴AB＝3CD，∵CD＝4cm，∴AB＝12cm，故選：B．10．（2022秋?德化縣期末）如圖1所示的是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端會(huì)向上翹起，石頭就被翹動(dòng)了．在圖2中，杠桿的D端被向上翹起B(yǎng)D＝9cm，動(dòng)力臂OA與阻力臂OB滿足AO＝3OB（AB與CD相交于點(diǎn)O）），要把這塊石頭翹動(dòng)，至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓（）A．3cm B．9cm C．15cm D．27cm【答案】D【解答】解：由題意得，AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴，∵AO＝3OB，∴，∴AC＝3BD＝27cm，∴至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓27cm，故選：D．11．（2023秋?福山區(qū)期中）如圖，小明利用自己的身高測(cè)量路燈ABm，在路燈下的影長(zhǎng)為2m，小明到路燈底部的距離為12m．則路燈的高度為m．m．【解答】解：設(shè)路燈高為xm．在同一時(shí)刻，物高與影長(zhǎng)成比例，據(jù)此可得解得x＝10.5，m．m．12．（2023?乾安縣一模）如圖，在河兩岸分別有A、B兩村，現(xiàn)測(cè)得三點(diǎn)A、B、D在一條直線上，A、C、E在一條直線上，若BC∥DE，DE＝90米，BC＝70米，BD＝20米，那么A、B兩村間的距離為70米．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意可得，△ABC∽△ADE，∴，即，解得AB＝70米．13．（2023?海安市一模）為測(cè)量附中國(guó)旗桿的高度，小宇的測(cè)量方法如下：如圖，將直角三角形硬紙板△DEF的斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上．測(cè)得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目測(cè)點(diǎn)D到地面的距離DG＝1.6米，到旗桿的水平距離DC＝18米，按此方法，可計(jì)算出旗桿的高度為10.6米．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵CD⊥AB，△DEF為直角三角形，∴∠DEF＝∠ACD，∵∠ADC＝∠FDE，∴△ACD∽△FED，∴＝，∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DC＝18米，∴＝，∴AC＝9米，∵DG＝1.6米，∴BC＝1.6米，∴AB＝10.6米，故答案為：10.6．14．（2023?錫山區(qū)模擬）如圖，利用標(biāo)桿DE測(cè)量樓高，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分別為E，C．若測(cè)得AE＝1m，DEm，AC＝5m，樓高BC是m．m．【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝7.5（m），答：樓高BCm．m．15．（2023秋?德化縣期中）如圖，李林欲測(cè)量一座信號(hào)發(fā)射塔的高度．他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他自己影子的頂端正好與塔的影子的頂端重合，此時(shí)他距離該塔30米（CE的長(zhǎng)），已知李林的身高DE為1.75米，他的影長(zhǎng)AE為2米．求信號(hào)發(fā)射塔的高度BC．【答案】信號(hào)發(fā)射塔的高度為28米．【解答】解：∵BC⊥AC，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴，即，∴BC＝28（米），∴信號(hào)發(fā)射塔的高度為28米．16．（2023秋?寒亭區(qū)期中）【閱讀材料】配方法不僅可以解一元二次方程