2022-2023學年人教中考數(shù)學重難點題型分類必刷題 專題09 平行線的性質(zhì)與判定壓軸題真題（解析版）

專題09高分必刷題-平行線的性質(zhì)與判定壓軸題真題(解析版)

專題簡介：本份資料專攻《相交線與平行線》這一章中平行線的性質(zhì)與判定的壓軸題，所選題目源自各名

校月考、期末試題中的壓軸題真題，難度較大，適合于想挑戰(zhàn)滿分的學生考

前刷題使用，也適合于培訓機構的老師培訓尖子生時使用。

1.(師大)如圖1,直線與直線48、C。分別交于點E、F,NMEB與NDFN互補.

(1)若NBE尸與NEFO的角平分線交于點

P,EP與CD交于點G,點H是MN上一點,且G”_LEG,求證：PF//GH；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接P”，K是GH上一點使NPHK=NHPK,作PQ平分NEPK,問

NHPQ的大小是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由.

【解答】解：(1)證明：VZA/EB+ZBEF=180°,NMEB與NDFN互補，：.NBEF=NDFN

J.AB//CD,：.ZBEF+ZDFE=\80c,,又；N8E尸與NEFD的角平分線交于點P

ZFEP+ZEFP=A(ZBEF+ZDFE)=90°,/.ZEPF=90°,HPEGLPF,,：GHLEG,

2

：.PF//GH.

(2)NHPQ的大小不會發(fā)生變化，利用如下：VZPHK=ZHPK,：.ZPKG^2ZHPK,VGW1EG

/.ZKPG=900-NPKG=90°-2ZHPK,：.ZEPK=\S0a-NKPG=90°+2NHPK,

:PQ平分NEPK,:.NQPK=L/EPK=45。+NHPK,:.NHPQ=NQPK-NHPK=45°,

2

的大小不會發(fā)生變化，其值為45°.

2.(雅禮、青竹湖)如圖，已知，BC//OA,ZC=ZOAB=\00°,試回答下列問題：

(1)如圖1,求證：OC〃AB；

(2)如圖2,點E、尸在線段BC上，且滿足NEO8=/AO8,并且O尸平分NBOC：

①若平行移動AB,當/BOC=6NEOF時，求NABO；

②若平行移動AB,那么NAOg+NCOE的值是否隨之發(fā)生變化?若變化，試說明理由；若不變，求出這

ZABO

個比

值.圖1圖2備用圖

【解答】(1)證明：'：BC//OA,；.NC+NCOA=180°,N8A0+/48c=180°,；NC=/84O=

100°,

NCO4=NABC=80°,：.ZCOA+ZOAB=\SOa,AOC//AB；

(2)①如圖②中，設NEOF=x,則NBOC=6x,ZBOF=3x,NBOE=NAOB=4x,

,：ZAOB+ZBOC+ZOCB=180°,4x+6.r+100°=180°,，x=8°,AZABO=ZBOC=6x=

48°.

如圖③中，設NEOF=x,貝i」N8OC=6x,ZBOF=3x,ZBOE=ZAOB=2x,VZAOB+ZBOC+Z

OCB=180°,.?.2x+6x+100°=180°,，x=10°,AZABO=ZBOC=6x=60°.

綜上所述，滿足條件的/ABO為48°或60°：

?'：BC//OA,ZC=100",.,./AOC=80°,'：2E0B=2A0B,二/(70￡：=80°-2ZAOB,

VOC//AB,：.ZBOC^ZABO,：.ZAOB=800-NABO,

.\ZCOE=80°-2/AO8=80°-2(80°-ZABO)=2ZABO-80°,

0

?ZAQC+ZCOE80°+2ZABQ-8Q=2

ZABOZABO

平行移動AB,NAOg+NCOE的值不發(fā)生變化.

ZABO

3.(雅禮)如圖1,已知A8〃C￡>,點E,F是分別是直線A8,C。上的一點且/FE4=5/FE8.

(1)填空：NFEB=°；

(2)如圖1所示，射線EP繞點E從EA開始順時針旋轉至E8便立即回轉至EA位置，EP轉動的速度

是每秒2度.在這個運動過程中，何時射線EP與線段EF的夾角為10°?

(3)如圖2所示，射線EP繞點E從EA開始順時針旋轉至EB便立即回轉至EA位置，射線FQ繞點F

從FC開始逆時針旋轉至FD.若EP轉動的速度是每秒2度，尸。轉動的速度是每秒1度，射線EP先

運動15秒，設射線尸Q的運動時間為r,當f為何值時，射線EP與射線尸?；ハ啻怪?？

圖1圖2【解答】解：⑴?：NFEA=5NFEB,NFEA+

ZFEB=180°,：.ZFEB=30°,ZFEA=150°,故答案為：30；

(2)設經(jīng)過x秒后，射線EP與線段E尸的夾角為10°,

由題意可得：2x+10°=150°或2x70°=150°或2x70°=180°+30°或2JV+10°=180°+30°,

...x=70或80或110或100,

答：經(jīng)過70秒或80秒或110秒或100秒后，射線EP與線段EF的夾角為10°,

(3)由題意可得：150°-2/-300+30°7=90°,解得：/=20,

答：當/為20時，射線EP與射線尸0互相垂直.

4.(青竹湖)將一副直角三角板(NA=30°/F=45°)按圖1方式擺放(即AC與OE重合、8c與。尸

共線).

(1)如圖2,當△OEF繞點。旋轉至EF〃AC時，求/瓦＞8的度數(shù)；

(2)若繞點。以每秒5°的速度順時針旋轉，回到起始位置停止，設旋轉時間為/,當f為何值

時，AB〃EF(AB與EF始終不共線)；

(3)若繞點。以每秒5°的速度順時針旋轉的同時，△A8C也繞點C以每秒20°的速度順時

針旋轉，當△4BC回到起始位置時全都停止旋轉.設旋轉時間為3在運動過程中，當f為何值時，△

ABC的邊所在直線恰好平分NEZJF?試直接寫出，值.

AA

圖1圖2

F【解答】解(1)'：EF//AC,：.ZE=ZADE

=45°,；.NEDB=NADB+NADE=90°+45°=135°；

V

(2)如圖3,若EF與AB在點C兩側，延長BC交EF于點H,圖3

H,

'JEF//AB,.?./A3C=/CHF=60°,;NCHF=NE+NECH=45°+ZECH,：.ZECH^]5°,

.?./ACE=75°,.,.f=Kl-=15s；如圖4,若AB與所在點C同側，設EF與BC交于點”，

5。

'JEF//AB,.?./A8C=/CHF=6(T,，；NCHF=NE+NECH=45°+ZECH,；.NECH=15°,

/.ZACE=90°+15°=105°,,-.r=36(JJ.05=51i，；

5°

綜上所述：當/為15s或51s時，AB//EFi

(3)若AC所在直線恰好平分NEDF,A20/-5/=45,或20/-5/=225,解得：f=3s或15s,

若BC所在直線恰好平分NEQF,.*.20r-5/=135,或20f-5r=315°,

解得：r=9s,或21s>18s(不合題意舍去)

綜上所述：f=3s或9s或15s時，ZVIBC的邊所在直線恰好平分NEOF.

5.(師大)如圖1,已知直線PQ〃仞V,點A、8分別在直線MMP。上，射線AM繞點A以5°/秒的

速度按順時針開始旋轉，旋轉至與AN(或AM)重合后便立即回轉，射線B。繞點B以2°/秒的速度

按順時針開始旋轉，旋轉至與8P重合后便停止轉動，旋轉后的射線分別記為AM和B0.

(1)若射線BQ先轉動30秒，射線AM才開始轉動，在射線4W第一次到達AN之前，射線AM轉動

幾秒后AM'//BQ\

(2)若射線AM,BQ同時轉動，秒，在射線BQ停止轉動之前，記射線AM1與BQ咬于點”，若NAHB

=90°,求r的值；

(3)射線AM,8。同時轉動，在射線AM第一次到達AN之前，記射線AM1與BQ咬于點K,過K作

KCLAK交PQ于點C,如圖2,若NBAN=30°,則在旋轉過程中，N8AK與NBKC有何數(shù)量關系？

【解答】解：(I)由題意當5f=60+2/時,

BQ1//AM',."20s時，BQ'//AM'.

（2）?.?點。的運動時間匣=90（秒），分三種情形：①射線AM第一次到達AN之前：如圖1

2

中，

NAHB=96°,則有2r+180°-5t

=90°,解得f=30（秒），

②射線AM返回途中：如圖2中,

解得/=螫（秒），

7

③射線AM第二次到達AN之前，如圖2中，當NM4M'+NPBQ'=90°時，NAHB=90°,

則有180°-2（+⑸-360°）=90°,解得f=90（秒），

④到達AN再返回途中，如圖1,5/-180+2f=90f=&^秒；

7

綜上所述，滿足條件的t的值為30秒或鯉秒或90秒或？處秒.

77

（3）如圖3中，設/必8=x,ZBKC=y.設直線CK交MN于G.

'：AKLKC,.*./AKG=90°,二/KAG+/AGK=90",,:PQ//MN,NAGK=/QCK,

.?.180°-5f+2f+y=90°,.1=30°-Aj,Vx=30°-（180°-5r）,；.X=5L150°,

；.x=5（30。-Ay）-150°,.,.x=$v,：3/KAB=NBKC.

3-35

6.（青竹湖）已知，如圖1,射線PE分別與直線AB、CO相交于￡、F兩點，NPU）的平分線與直線AB

相交于點M,射線PM交C。于點M設NPFM=a,NEMF=B，且標五五"+1。-30|=0.

（1）a=°,0=°；直線AB與C￡＞的位置關系是；

（2）如圖2,若點G是射線MA上任意一點，且試找出/尸MN與/GHF之間存在

的數(shù)量關系，并證明你的結論；（3）若將圖中的射線PM繞著端點P逆時針方向旋轉（如圖3）,分

別與A3、CD相交于點M\和點N\時，作NPM1B的角平分線M\Q與射線FM相交于點Q,問在旋轉

/FPN

的過程中__一的值變不變？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由.

ZQ

,?'V60-2CI+IP-301-0,；.￡1=。=30,；.NPFM=NMFN=30°,/EMF=30°，

；.NEMF=NMFN,：.AB//CD；故答案為：30：30：AB//CD；

(2)解：NFMN+NGHF=180°.理由："：AB//CD,:.乙MNF=/1PME,?:/MGH=NMNF,

:.NPME=NMGH,：.GH//PN,:*NGHM=NFMN,VZGHF+ZGHM=\S0°,：.ZFMN+4GHF

=180°.

H,/FP%ZFPN.、

(3)解：——1.的值不變，——-_-=2

ZQNQ

理由：如圖3中,作/PEMi的平分線交M\Q的延長線于R.

\'AB//CD,：.4PEMi=NPFN,,:NPER=L/PEMI,NPFQ=工/

22

PFN,.,.ZPER=ZPFQ,

：.ER//FQ,=設NPER=NREB=x,

y=x+ZR方四ZEPM,

則有：，,,可得NEPMi=2/R,：.ZEPM\=2ZFQM\：-----L=2.

2y=2x+ZEPM1ZFQMj

7.（廣益）如圖，兩個形狀，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA,PB與直線重

合，且三角板B4C,三角板P2C均可以繞點尸逆時針旋轉.

（1）①如圖1,ZDPC=度.

②我們規(guī)定，如果兩個三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個三角形為“攣生三角形”，如圖

1,三角板8PQ不動，三角板％C從圖示位置開始每秒10°逆時針旋轉一周（0°〈旋轉＜360°）,

問旋轉時間f為多少時，這兩個三角形是“李生三角形”.

（2）如圖3,若三角板PAC的邊PA從PN外開始繞點P逆時針旋轉，轉速3°/秒，同時三角板PBD

的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉，轉速2°/秒，在兩個三角板旋轉過程中，（PC轉到與PM

重合時，兩三角板都停止轉動）.設兩個三角板旋轉時間為/秒，以下兩個結論：①40PD為定值;②

ZBPN

4BPN+4CPD為定值，請選擇你認為對的結論加以證明.

座11國2用13【解答】解：（1）①

DPC=180°-ZCPA-ZDPB,/CB4=60°,NDPB=30°,

/.ZDPC=180-30-60=90",故答案為90：

②如圖1-1,BD//PC,

圖I/VPC//BD,NDBP=90°,:.NCPN=NDBP=90°,'：ZCPA=60°,:.

乙4PN=30°,

:轉速為10°/秒，，旋轉時間為3秒;

如圖1-2,PC//BD,

D

__

MB/q/,N

圖1-2C,:PC//BC,ZPBD=90°,：.ZCPB^ZDBP=90Q,VZCfl4=60°,

...NAPM=30°,1?三角板/MC繞點尸逆時針旋轉。的角度為180°+30°=210°,：轉速為10"/

秒，旋轉時間為21秒，

如圖1-3,PA//BD,即點。與點C重合，此時/ACP=ZBPD=30°,則AC//BP,

'：PA//BD,：.ZDBP^ZAPN=90°,二三角板B4C繞點尸逆時針旋轉。的角度為90°,

;轉速為10°/秒，.?.旋轉時間為9秒,

如圖1-4,PA//BD,

D

尸=30°,：.AC//BP,'：PA//BD,：.ZDBP^ZBPA=90Q,

.?.三角板雙C繞點尸逆時針旋轉。的角度為90°+180°=270°轉速為10°/秒,

二旋轉時間為27秒，

如圖1-5,AC〃。/＞，點A在上方時,

60°,

...三角板布C繞點尸逆時針旋轉。的角度為60°,?轉速為10°/秒，.?.旋轉時間為6秒,

當A在MN的下方時，同理可求旋轉時間為24秒，

如圖1-6,AC//BD,

:.NDBP=NBAC=90°.?.點A在MN上，，三角板B4C

繞點P逆時針旋轉。的角度為180°轉速為10°/秒，.?.旋轉時間為18秒,

綜上所述：當。為3或6或9或18或21或24或27時，這兩個三角形是“李生三角形”；（2）①正

確，理由如下：設運動時間為，秒，貝

：.ZBPN=\S0Q-It,ZDPM=30°-2t,ZAPN=3l.

ZCPD=180°-ZDPM-ZCPA-NAPN=9Q°-t,

.ZCPD^900-t-1

ZBPN180°-2t~2

②N8PN+NCPQ=180°-2/+900-r=270°-3/,可以看出N8PN+NCP。隨著時間在變化，不為定

值，結論錯誤.

8.（師大梅溪湖）我們已經(jīng)學過了對頂角、鄰補角、同位角等，知道了它們的特征.現(xiàn)在若有兩個角，它們

不是同一個頂點，但這兩角的兩邊相互平行，我們就把滿足這個條件的兩個角稱作“平行角”.如圖1,

已知AB//C0,AD//BC,因此ZB和是''平行角”.

（1）圖1中，證明N8=N￡＞；

（2）如圖2,延長。。到E,可知NA和ZBCE也是“平行角”，但它們的數(shù)量關系是

⑶如圖3,DE平分NADC,BE平分NABC,請說明圖中的N1和N2是''平行角”.

【解答】（1）證明：'：AB//CD,AD//BC,Z.ZD+Z4=180°,/8+N4=180°.：.ZB=ZD.

（2）解：由（1）知NB=NO,同理可得，ZA=ZBCD.VZBCD+ZBCE=,：.ZA+ZBCE=

180°.即/A和NBCE互補.

（3）證明：?.?/B和/。是“平行角”，二/48。=乙4。C平分NA力C,8尸平分/ABC

：.Z\=^ZADC,Z2=AZABC..*.Z1=Z2.又,：AB〃DC,:.—BFC.:.N1=NBFC.

22

DE//BF.：.N1和N2是“平行角”.

9.（廣益）已知AB〃CO,點E為平面內(nèi)一點，BELCE于E.

（1）如圖1,請直接寫出乙和N3CE之間的數(shù)量關系；（2）如圖2,過點E作所_LCD,垂足

為尸，求證：NCEF=ZABE；

（3）如圖3,在（2）的條件下，作EG平分NCEF,交。尸于點G,作ED平分NBE尸，交8于。,

連接如，若ND3E+/"7）=180°，且ZBDE=3NGEF,求NBEG的度數(shù).

BB3

CDFCDFGCD

圖1圖2圖3【解答】解：（1）結論：ZECD

=，90°二+ZABE.」理由：如圖1中，從BE交OC的延長線于從

HCD

圖1'CAB//CH,二N48E=NH,

VBE±CEf工NCEH=9C,

：.ZECH=\S00-ACEH-ZH=180°-90°-NH=90°-NH,AZECD=180°-ZECH=

180°-(90°-NH)=90°+ZH,

：.ZECD=90°+ZABE.

(2)如圖2中,作EM1心,

?

FCD

圖2YEM"CD,CD//AB,

：.AB//CD//EMt；?NBEM=NABE,ZF+ZFEM=

180°,VEF±C￡>,

AZF=90°,AZFEM=90°,：?NCEF與NCEM互余,VBE1CE,AZBEC=90°,

???NBEM與NCEM互余,；?NCEF=NBEM,：.ZCEF=ZABE.

B-K

FoGCD

(3)如圖3中，設/GEF=a,/E￡＞尸=印圖3

:.NBDE=3NGEF=3a,?:EG平分NCEF,:"CEF=2NFEG=2a,ZABE=ZCEF^2a,

'."AB//CD//EM,；.NMED=NEDF=0,NKBD=NBDF=3a+B，NABD+/BDF=180°,

:.NBED=NBEM+NMED=2a+B，'：ED平分NBEF,:.NBED=NFED=2a+B，：.ZDEC=^,

'：ZBEC=90°,.*.20+23=90°,VZDB￡+ZABD=180°,ZABD+ZBDF=180°,

；.NDBE=NBDF=NBDE+NEDF=3a+B,VZABK^180°,；.NABE+NB=DBE+NKBD=

180°,

即2a+(3a+p)+(3a+p)=180°,：.6a+(2a+2p)=180°,；.a=l5°,

:.NBEG=NBEC+NCEG=90°+15°=105°.

10.如圖，點E,F分別在直線AB,CD上，AB//CD,ZCFE=6Q°.射線EM從E4開始，繞點E以每秒

3度的速度順時針旋轉至E8后立即返回，同時，射線FN從FC開始，繞點尸以每秒2度的速度順時

針旋轉至即停止.射線FN停止運動的同時，射線也停止運動，設旋轉時間為f(s).

(1)當射線FN經(jīng)過點E時，直接寫出此時f的值；

(2)當30VY45時，射線EM與FN交于點P,過點P作KPLFN交AB于點K,求NKPE；(用含

f的式子表示)

(3)當EM〃尸N時，求f的值.

(1)的速度為每秒2°,ZCF￡=60°,

當射線FN經(jīng)過點E時,所用的時間f為：，=60°4-2°=30；

(2)過點P作直線如圖所示:

'：AB//CD,：.HQ//AB//CD,:.NFPQ=NCFP=2t,ZEPQ=ZKEP=3t,:.NEPF=NEPQ-N

FPQ=3t-2t=t,,:KPLFN,：.ZKPF=9Q°,；.NKPE=90°-NEPF=9Q°

(3)與FN的速度不相等，.?.當0<K60時，EM與FN不平行;

當60CW90時，EM與FN可能平行，當EM〃月V時，設尸N與A8交于點G,如圖所示:

AZAGF=ZMEB,由題意可得：ZMEB=3t-

NAG尸+/C尸N=180°,,:NCFN=2t,：.3t-1800+2f=180°,解得：r=72.

11.我區(qū)正在打造某河流夜間景觀帶，計劃在河兩岸設置兩座可以旋轉的射燈.如圖1,燈4射線從AM

開始順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線從BP開始順時針旋轉至BQ便立即回轉,兩燈不停交叉

照射.若燈A轉動的速度是2度/秒，燈8轉動的速度是1度/秒，假定河兩岸是平行的,即PQ//MN,

且/R4M=2/8AN.

督■用圖(1)4BAN=60.度?

(2)燈A射線從AM開始順時針旋轉至AN需要90秒:

(3)若燈8射線8。(交MN于點。)先轉動30秒，燈A射線AC(交P。于點C)才開始轉動.設

AC轉動時間為f秒，當AC到達AN之前時，如圖2所示.

①)NPBD=f+30度,QMAC=2t度(用含有f的代數(shù)式表示)；

②求當AC轉動幾秒時，兩燈的光束射線4c〃BD?

(4)在8。到達8。之前，是否還存在某一時刻，使兩燈的光束射線AC〃B。？若存在，直接寫出轉動

時間，若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1)；NBAM+NBAN=180°,ZBAM：ZBAN=2：1,AZBA7V=180°xA=60°,

3

故答案為：60；

(2)燈A射線從AM開始順時針旋轉至AM旋轉了180°,.所需時間為180+2=90(秒)，

故答案為：90；

(3)①；燈B射線BD(交MN于點D)先轉動3()秒，燈A射線4c(交P。于點C)才開始轉動.設

AC轉動時間為/秒，：.NPBD=(r+30)°,ZMAC=2t°,

故答案為:z+30,2t；

②設4燈轉動，秒，當AC到達AN之前，即0<r<90時，兩燈的光束互相平行，理由如下：

如圖：

2cBP

MADN

圖1'：PQ//MN,：.ZPBD=ZBDA,"JAC//BD,：.ZCAM=ZBDA,：.

ZCAM=ZPBD：.2t=l-(30+/),解得r=30(秒)；

(4)80到達8。之前，即90VrV150時，還存在某?時刻，使兩燈的光束射線AC〃8D,如圖：

圖2?：PQ//MN,NP8O+NB￡>A=180°,'JAC//BD,：.4CAN=/

BDA,：.ZPBD+ZCAN=ISOQ

：.l*(30+r)+(2r-180)=180,

解得r=110(秒).

12.如圖1,已知PQ〃MN,且

(1)填空：ZBAN