高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修一）：集合的概念-重難點(diǎn)題型精講（學(xué)生版）

專題1.1集合的概念-重難點(diǎn)題型精講1．元素與集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．2．元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．3．元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．4．常用的數(shù)集及其記法5．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．注意：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．6．描述法(1)定義：一般地，設(shè)A表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時也用冒號或分號代替豎線．(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．【題型1集合的基本概念】【方法點(diǎn)撥】給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對象”都是這個集合的元素，沒有被“研究的對象”都不是這個集合的元素．【例1】（2021秋?雨花區(qū)期末）下列對象不能組成集合的是（）A．不超過20的質(zhì)數(shù) B．π的近似值 C．方程x2＝1的實(shí)數(shù)根 D．函數(shù)y＝x2，x∈R的最小值【變式1-1】（2021秋?鯉城區(qū)校級期中）以下各組對象不能組成集合的是（）A．中國古代四大發(fā)明 B．地球上的小河流 C．方程x2﹣7＝0的實(shí)數(shù)解 D．周長為10cm的三角形【變式1-2】（2021春?廣南縣期中）下列各對象可以組成集合的是（）A．與1非常接近的全體實(shí)數(shù) B．北附廣南實(shí)驗(yàn)學(xué)校2020～2021學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生 C．高一年級視力比較好的同學(xué) D．中國著名的數(shù)學(xué)家【變式1-3】（2021秋?大安市校級月考）有下列各組對象：①接近于0的數(shù)的全體；②比較小的正整數(shù)的全體；③平面上到點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)的全體；④直角三角形的全體．其中能構(gòu)成集合的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【題型2判斷元素與集合的關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．【例2】（2021秋?河北區(qū)期末）下列關(guān)系中正確的個數(shù)是（）①12∈Q；②2?R；③0∈N*；④A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】（2021秋?桂林期末）下列關(guān)系中，正確的是（）A．﹣2∈{0，1} B．32∈Z C．π∈R D．【變式2-2】（2021秋?岳陽期末）下列元素與集合的關(guān)系中，正確的是（）A．﹣1∈N B．0?N* C．3∈Q D．【變式2-3】（2021秋?綠園區(qū)校級月考）設(shè)集合A＝{2，3，5}，B＝{2，3，6}，若x∈A，且x?B，則x的值為（）A．2 B．3 C．5 D．6【題型3利用集合中元素的特異性求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】①集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時，要明確集合中的元素是什么；②構(gòu)成集合的元素必須是確定的(確定性)，且是互不相同的(互異性)，書寫時可以不考慮先后順序(無序性)．③利用集合元素的特性求參數(shù)問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互異性對集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn)，要注意分類討論思想的應(yīng)用．【例3】（2022?渭濱區(qū)校級模擬）設(shè)集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，則a＝（）A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 C．﹣3或2 D．﹣1或2【變式3-1】（2021秋?興寧區(qū)校級月考）若a∈{1，a2﹣2a+2}，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．0 D．1或2【變式3-2】（2021秋?大安市校級月考）已知集合A含有三個元素2，4，6，且當(dāng)a∈A，有6﹣a∈A，那么a為（）A．2 B．2或4 C．4 D．0【變式3-3】（2021春?西湖區(qū)期中）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三個元素組成的集合，且2∈A，則實(shí)數(shù)m為（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【題型4用列舉法表示集合】【方法點(diǎn)撥】①求出集合的元素；②把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．③用花括號括起來．【例4】（2021秋?合肥期末）集合{x∈N|x﹣2＜2}用列舉法表示是（）A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}【變式4-1】（2021秋?昌吉州期末）集合A={x∈NA．{3，6} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【變式4-2】（2021秋?重慶月考）集合{x∈N|x﹣4＜1}用列舉法表示為（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}【變式4-3】（2021秋?番禺區(qū)校級期中）將集合{（x，y）|x+y=52x?y=1}A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x＝2，y＝3} D．（2，3）【題型5用描述法表示集合】【方法點(diǎn)撥】①用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個有序數(shù)對來表示．②用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．③多層描述時，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)．【例5】（2021秋?金山區(qū)校級期中）用描述法表示所有偶數(shù)組成的集合．【變式5-1】（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）用描述法表示被5整除的整數(shù)組成的集合．【變式5-2】（2021秋?長寧區(qū)校級月考）用描述法表示被3除余2的所有自然數(shù)組成的集合．【變式5-3】（2020秋?徐匯區(qū)校級月考）平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上所有點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合可以用描述法表示為．【題型6集合中的新定義問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)題目所給的有關(guān)集合的新定義問題，結(jié)合集合的相關(guān)知識，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2021秋?長壽區(qū)期末）設(shè)集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定義P?Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，則P?Q中元素的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式6-1】（2021秋?秦淮區(qū)校級月考）設(shè)P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定義P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，則P*Q中元素的個數(shù)為（）A．4 B．5 C．19 D．20【變式6-2】（2021秋?黃陵縣校級期末）設(shè)集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定義集