2023年山西省運(yùn)城市普通高校對(duì)口單招數(shù)學(xué)自考真題(含答案)

2023年山西省運(yùn)城市普通高校對(duì)口單招數(shù)

學(xué)自考真題(含答案)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(10題)

1.等差數(shù)列上:中，ai=3,aioo=36,則as+a98=()

A.42B.39C.38D.36

2.設(shè)集合慶=限降2或x*},B={x||x-l|<3},則為ADB()

A.[-2,2]B.[-2,4]C.[-4,4]D.[2,4]

若函然\(f(x)=-(x-2)A2+3\\),則f⑵的值是()

3.

A.lB.2C.3D.4

4.若a>b.則下列各式正確的是

A.-a>-b

12-5a>12-5Z>

D.

5a+12>5Z>+12

C.

D.a”：

5.已知i是虛數(shù)單位，則l+2i/l+i=()

A.3-i/2B.3+i/2C.3-iD.3+i

、a；RC一久

6.在AABC中，A=60。，|AB|=2,-則邊BC的長(zhǎng)為()

A.a

B.7

C.公

D.3

7.某商品降價(jià)10%,欲恢復(fù)原價(jià)，則應(yīng)提升()

A.10%

B.20%

1

c.§

1

D.ii

8.設(shè)平面向量a(3,5),b(-2,1),則a-2b的坐標(biāo)是()

A.(7,3)B.(-7,-3)C.(-7,3)D.(7,-3)

9、7v=()時(shí)，分式x+1沒(méi)有意義。

A.O

B.±l

C.l

D.-l

10.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-4,3）,則cosa（）

A.4/5B.3/5C.-3/5D.-4/5

二、填空題（10題）

函數(shù)v=2sin（2.v—§）的最小正周期是

11.6

12.拋物線2y=x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.

13.已知aABC中，ZA,ZB,NC所對(duì)邊為a,b,c,C=30°,a=c=2.

則b=.

14.甲，乙兩人向一目標(biāo)射擊一次，若甲擊中的概率是06乙的概率是

0.9,則兩人都擊中的概率是.

15.

設(shè)袋子內(nèi)裝有大小相同，顏色分別為紅，白，黑的球共100個(gè)，其中紅球35個(gè)，從袋

子內(nèi)任取I個(gè)球，若取出白球的概率為625,擇取黑球的概率為

16.若（3x-D'（〃eM?展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為128,則展開(kāi)式中x2項(xiàng)的

系數(shù)為.

]7從123.4.5中任選3個(gè)區(qū)，《一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)丁的《，數(shù)，則這卜位數(shù)是偶數(shù)的微率

*C」

若e.6=e'.e.劃a.A.c由小到大的剛1序是

18.

19.某學(xué)校共有師生2400人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取

一個(gè)容量為160的樣本，已知從學(xué)生中抽取的人數(shù)為150,那么該學(xué)校

的教師人數(shù)是.

20.已知函數(shù)f(x)=ax3的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,4),則a=.

三、計(jì)算題(5題)

21.近年來(lái)，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為“廚余

垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四類，并分別垛置

了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾的正確分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)

抽取了該市四類垃圾箱總計(jì)100噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：

噸)：

“廚余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾24412

可回收垃圾41923

有害垃圾22141

其他垃圾15313

(1)試估計(jì)“可回收垃圾”投放正確的概率;

(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率。

22.有語(yǔ)文書(shū)3本，數(shù)學(xué)書(shū)4本，英語(yǔ)書(shū)5本，書(shū)都各不相同，要把這

些書(shū)隨機(jī)排在書(shū)架上.

(1)求三種書(shū)各自都必須排在一起的排法有多少種？

(2)求英語(yǔ)書(shū)不挨著排的概率P。

1

f(x)+3f(—)=x.

23.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋鹸"0｝,且滿足x

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.

24.有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為10,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)

列，公比為3,求這四個(gè)數(shù).

25.己知⑶｝為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若a3=6,S3=12,求公差d.

四、簡(jiǎn)答題（10題）

26.已知向量a=（1,2）,b=（x,1）,g=a+2b,v=2a-b且（i//v；求

實(shí)數(shù)X。

27.組成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15,并且這三個(gè)數(shù)列分別加上

1、3、5后又成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)

"竹笆G尸+925）2_仲+卜赤（點(diǎn)）3+熊+3）。

Zo.1T舁/

29.一條直線1被兩條直線：4x+y+6=0,3x-5y-6=0截得的線段中點(diǎn)恰好

是坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線1的方程.

30.據(jù)調(diào)查，某類產(chǎn)品一個(gè)月被投訴的次數(shù)為0,1,2的概率分別是

0.4,0.5,0.1,求該產(chǎn)品一個(gè)月內(nèi)被投訴不超過(guò)1次的概率

31.設(shè)等差數(shù)列&:的前n項(xiàng)數(shù)和為Sn,已知

4=工且。向=」,5+$2=21.求{4}

12的通項(xiàng)公式及它的前n項(xiàng)和Tn.

32.如圖：在長(zhǎng)方體從38一中，4)=&=3MB=7^E,F分

別為和AB和40中點(diǎn)。

(1)求證：AF〃平面4。

(2)求與底面ABCD所成角的正切值。

sm(l80-a)個(gè)由(270+。),stn(360?a)

33?化簡(jiǎn)co$(a-180)tan(900+a)co$(a-360)

34.某商場(chǎng)經(jīng)銷某種商品，顧客可采用一次性付款或分期付款購(gòu)買，根

據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用一次性付款的概率是0.6,求3為顧客中至

少有1為采用一次性付款的概率。

35.已知函數(shù)："'",求x的取值范圍。

五、解答題(10題)

36.在直角梯形ABCD中，AB//DC,AB±BC,且AB=4,BC=CD=2.

點(diǎn)M為線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線a_LAB.令A(yù)M=x,記梯

；----------fI

形位于直線a左側(cè)部分的面積S=f(x).；>a(1)求函數(shù)f(x)

的解析式；(2)作出函數(shù)f(x)的圖象.

37.

，數(shù)列卜”｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，S”為其前〃項(xiàng)和，對(duì)于任意〃eJv*，總有

嵋差數(shù)列.

(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(H)求數(shù)列的前〃項(xiàng)和。

38.

已知兩點(diǎn)O(().()).A(6.0),圓。以線段3為直徑.

(1)求圖。的方程；

(2)若直線人的方程為X一2.丫+4=0，直線/：平行于4，且被mC截

得的弦，"N的長(zhǎng)是4，求直線人的方程.

39.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC_L平面ABCD,AB//DC,DC±

AC.

(1)求證：DC,平面PAC;

(2)求證：平面PAB_L平面PAC.

/!\K

/1\\

:-T

40.

設(shè)F和F分別是橢圓=?的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，A是該橢圖與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn),

94

在橢圖上求點(diǎn)P，使得「月.『AJ/77：成等差數(shù)列。

41.給定橢圓C:x2/a2+y2/b2(a>b>0),稱圓Ci：x2+y2=a2+b2為橢圓C的

“伴隨圓已知橢圓C的離心率為/彳72,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1).

(1)求橢圓C的方程；

(2)求直線1:x—y+3=0被橢圓C的伴隨圓Ci所截得的弦長(zhǎng).

42.求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+5的單調(diào)區(qū)間，極值.

43.已知等比數(shù)歹U{an},ai=2,34=16.

(1)求數(shù)列{aj的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列{naj的前n項(xiàng)和{Sn}.

44.如圖，在正方體ABCD—A出ICIDI中，E,F分別為棱AD,AB的

中占

I八、、?

⑴求證：EF〃平面CBiDi；

⑵求證：平面CAAiCi_L平面CBiDi

求在兩坐標(biāo)軸上截距之和等于4,且與直線5肝3y=0垂直的直線方程.

45.

六、單選題(0題)

46.SAABC,A=60°,B=75°,a=10,則c=()

A.5"

B.

】0痣

C；

10箕

D.

參考答案

l.B

等差數(shù)列{。九}中，。1=3,a100=36,貝(]。3+。98

=。1+。100=3+36=39,

故選C

2.A

由題可知，B={x|-4<x<3},所以AnB=[-2,2]。

3.C

4.C

5.B

復(fù)數(shù)的運(yùn)算.=1+2i/l+i=(1+2i)(1-i)f(l+i)(l-i)=l-i+2i-2i2/l-i2=3+i/2

6.C

計(jì)算.???S“=yIAB11ACI?inA-yX

JJJ3J3

2IAC|?y-y|AC，?:Sa若,

IAC|-1.1BCl*-lABI*.*.IAB||+|AC|*

-2IAB||AC|COBA=44-1—2X2X1X

解三角形余弦定理，面積d3.UC百.故選C.

7.C

解析:設(shè)原價(jià)為a，現(xiàn)價(jià)為a(1—10%),設(shè)現(xiàn)

在提價(jià)率為力，則。(1-10%)(1+x)=a

，解得x=]_.

9

8.A

由題可知，a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3)。

9.D

10.D

三角函數(shù)的定義.記P(-4,3),則x=-4,y=3,r=|OP|=/(_4)：+3?=5,故

cosa=x/r=-4/5

11.7T

12.

4?因?yàn)閜=l/4,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為1⑨.

13.三角形的余弦定理.a=c=2,所以A=C=30°,B=120°,所以b2=a2+c2-

2accosB=12,所以b=2c'

14.0.54,由于甲擊中的事件和乙擊中的事件互相獨(dú)立，因此可得甲乙

同時(shí)擊中的概率為P=0.6*0.9=0.54.

15.0.4

16.-189,

解析：本題考查二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和及某一特定

項(xiàng)的求解方法；令1=1可得其展開(kāi)式中各項(xiàng)系

數(shù)的和即(3x1—1)n=128=2n=27,即

n=7,據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+i=C；(3力)

7-r(-1)r,只需令7T=2得丁=5,故其第6

項(xiàng)含，2項(xiàng)，其系數(shù)為c；(3)7*(_1)5

=-189.

17.2/5

18.a<c<b

19.150.分層抽樣方法.該校教師人數(shù)為2400x(160-150)/160=150(人).

20.-2函數(shù)值的計(jì)算.由函數(shù)f(x)=ax3-2x過(guò)點(diǎn)(-1,4),得4=a(-l>-2x(-

1),解得a=-2.

21.

解，⑴依題意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28(噸)

其中投放正確的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19噸

19_19

所以，可估計(jì)“可回收垃圾”投放正確的概率為：19+4+2+3—28

⑵據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，總共抽取了100噸生活垃圾，其中“廚余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃

圾”,“其他垃圾”投放正確的數(shù)量分別為24噸，19噸，14噸，13噸。故生活垃圾投放正

確的數(shù)量為24+19+14+13=70噸，所以，生活拉圾投放錯(cuò)誤的總量為100-70=30噸，

100-(19+24+14+13)_3

所以生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率：------ioo-------二To

22.

解：(1)利用捆綁法

先內(nèi)部排：語(yǔ)文書(shū)、數(shù)學(xué)書(shū)、英語(yǔ)書(shū)排法分別為Z?、6、￡

再把語(yǔ)文書(shū)、數(shù)學(xué)書(shū)、英語(yǔ)書(shū)看成三類，排法為力；

排法為：WW41H=103680

(2)利用插空法

全排列：岑

語(yǔ)文書(shū)3本，數(shù)學(xué)書(shū)4本排法為：

插空：英語(yǔ)書(shū)需要8個(gè)空中5個(gè)：彳

英語(yǔ)書(shū)不挨著排的概率：尸=4津=_1

*99

23.

(1)依題意有

/(x)+3/(-)=x

X

/(l)+3/(x)=l

XX

解方程組可得：

8x

⑵函數(shù)/（X）為奇函數(shù)

???函數(shù)/（x）的定義域?yàn)椋鹸|xw0｝關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且

3-(-x)2_3-x2

/(-X)=

8(—x)8x

二函數(shù)/（X）為奇函數(shù)

24.

解：設(shè)前三個(gè)數(shù)分別為b-10,b,b+10,因?yàn)閎,b+10成等比數(shù)列且公比為3

b+10、

/.-------=3

b

.?.b+10=3b,b=5

所以四個(gè)數(shù)為-5,5,15,45.

25.

解：因?yàn)閍3=6,S3=12,所以S3=12=3(弓+《)=3(q+6)

22

解得ai=2,a3=6=a1+2d=2+2d,解得d=2

26.

〃=a+?=(L2)+(x,l)=(2x.l4)v=(2-x.3)

g//v

1

N=—

二.(2x+1.4)=(2-x,3)得2

27.

解:設(shè)組成等差數(shù)列均三個(gè)數(shù)為a-d.a+d依題意

a-d+a+a+d=\5

(a-d+1X?+d+9)=(a+3>

得:a=5,和d=2或d=—10

當(dāng)a=5,d=2時(shí),這三個(gè)數(shù)分別是3,5,7

當(dāng)fl=5,d=-10時(shí),這三個(gè)數(shù)分別是15,5,-5

28.

原式=(產(chǎn)+(；*+3、(；)2+1=32-2+91=,

29.

解:設(shè)所求直線L的方程為y=kx,由題意得

y=kx..fy=Ax,、

r,(i)r(2)

4x+y+6=0[3x-5y-6=0

解方程組(1)和(2)分別是王^-----,x2=—^―

又...±馬=。_+—^―=o,m=--

24+〃3-5*6

若k不存在,則直線L的方程為x=0

因此這直線方程為y=

30.設(shè)事件A表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)為0”，事件B表示“一個(gè)月內(nèi)

被投訴的次數(shù)為1”

AP(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9

_1_=2

31.(1)3s32々+邑=21；.ai=d=1

又丁等差數(shù)列

h211

?.4-百丁丁工1)

一%

32.

證明(1)取AC的中點(diǎn)0,連接or,OE

在△ACDW，F(xiàn),。分別為AQ“AC的中點(diǎn)

.\rO//DC,且F0=‘DC

2

則，F(xiàn)O//AE：.FO=AE,得四邊形AEO1是平行四邊形

AE//OE

則AF〃平面A.EC

(2)連接AC,AA-L平面ABCD

在RtZ^AAC中，ianN￡CAj=1^=-^=^=[^

因此角的正切值為普

33.sina

34.

P=l-(1-0.6)——OW936

35.

3x-4>0

解，由題意如，_一4>0

3x-4<x2-X—4

X>4

36.

(1)當(dāng)時(shí)，記直線a與AD或

DC的交點(diǎn)為E,再分兩類,當(dāng)時(shí),悌形

在直線a左便)的部分是等腰直角三角形AME.

AM—EM=x./(jr)?SAAME-:當(dāng)2VH

44時(shí).梯形在直線a左側(cè)的部分AME1)是直角

梯形.AM=x.DE=x-2.ME=2,/(x)-

SA4??X2-2M-2.你上.函數(shù)

W”'■()4“W2?

/<x)的解析式為JU)-2

2x-2.2<x<4.

(2)作出函數(shù)/(x)的圖象如下：

37.

(工)解:由已知：對(duì)于,總有2S“=&+a[①成立

.25”_]=%+，1(nN2)②

22

?=a—aa,

①--②得=2Q"”+Q“n-1、-n-1

...4+an-i=a+%戒-%)

4，%均為正數(shù)，=1(n>2)

???數(shù)列同｝是公差為1的峰數(shù)列

又n=l時(shí)，2凡=。1+勾~,解得勾=1

a

■n=n(nwN*)

38.

(1)vo(0.0)?A(6，0)?圖C以線段OA為直徑

二國(guó)心C(3，0)?半徑r=3，

二圖C的方程為(x-3)+y=9.

(2)Q直線人的方程是J2y+4=O...直線/的斜率為1,

又Q/J〃K.直線人的斜率為:

設(shè)直線/：的方程為1,=$-v+b.即八一2y+21>=().

Q,MV|=4.半徑，，=3,.?.圓心C到直線，二的距離為/.

又Q圓心C(3,O)到直線/”X_2.丫+2。=(粕距離</=與引.

勺=6即|3+24=5,解得/>=1或〃=-4.

即直線L的方程為K-2.V+2=?；騲_2y_8=0.

39.(1)VPCABCD,DC包含于平面ABCD,，PC_LDC.又AC

±DC,PCAAC=C,PC包含于平面PAC,AC包含于平面PAC,

CD_L平面PAC.

(2)證明：AB//CD,CD_L平面PAC,，AB_L平面PAC,AB包含于

平面PAB,平面PAB_L平面PAC.

40.

設(shè)點(diǎn)P(x,y)設(shè)點(diǎn)P(x,y)

由于『娟+『囚=6,由于甲州+〃囚=6,

A(0?-2)A(0>-2)

從而由P/7；.PA.jPE成差數(shù)列可得從而由PF.\.PA.PR成差數(shù)列可得

=3,即x+(y+2)=9〃A=3,即x+(y+2)=9

又?|

所以史二一1=。所以二二=。

9494

解得尸4或尸一:

解得y=4或產(chǎn)

41.

：1)記楠圜C的半焦距為c.由發(fā).意,得,,

■u^3..

=1'丁=彳?'=a~b：M得4?2?=1?所以

林圓C的方鍛為.

(2)由(D知.精I(xiàn)WC的方程]+/=1的

4

方程為/+/=5.WI心到向級(jí)/的距離d=

方今一石.所以出線/被留一+/-5所敏得

的弦長(zhǎng)為2，5-(⑶;=272.

42.f(x)=x3-6x-9=3(x+l)(x-3)令f(x)>0,，x>3或x,-1.令f(x)VO

時(shí)，-lVxV3.「.f(x)單調(diào)增區(qū)間為(-8