第5講 專題二 構(gòu)造全等三角形的常見輔助線（解析版）

專題二構(gòu)造全等三角形的常見輔助線（解析版）專題解讀：在幾何題目中，我們常常需要作輔助線構(gòu)造全等三角形，例全等三角形的性質(zhì)解決與線段或角有關(guān)的問題，此類題目難度較大，綜合性強(qiáng)，常見的構(gòu)造方法有“倍長(zhǎng)中線”“截長(zhǎng)補(bǔ)短”等類型一倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形方法點(diǎn)撥：已知線段中的或三角形的中線，將中線延長(zhǎng)，使所得線段長(zhǎng)度為原來(lái)的2倍。構(gòu)造8字型全等三角形解決問題。典例1△ABC中，AD為BC邊上的中線，已知AB＝5，AC＝3，求線段AD的長(zhǎng)的取值范圍．【思路引領(lǐng)】延長(zhǎng)AD到E，使AD＝DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出即可．解：延長(zhǎng)AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，∴△ADC≌△EDB，∴EB＝AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：5﹣3＜AE＜5+3，∴1＜AD＜4．故線段AD的長(zhǎng)的取值范圍為：1＜AD＜4．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能推出5﹣3＜AE＜5+3是解此題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．（2020秋?大安市期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【方法感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】（3）如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根據(jù)全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三邊關(guān)系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延長(zhǎng)AE到F，使EF＝AE，連接DF，可證明△ABE≌△FDE，則∠BAE＝∠EFD，∠B＝∠EDF，再由外角的性質(zhì)得出∠ADF＝∠ADC，則△ADF≌△ADC（SAS），則∠AFD＝∠C，從而得出∠C＝∠BAE．（1）解：∵在△ADC和△EDB中，AD=DE∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案為：B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關(guān)系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故答案為：C．（3）證明：如圖，延長(zhǎng)AE到F，使EF＝AE，連接DF，∵AE是△ABD的中線∴BE＝ED，在△ABE與△FDE中，BE=DE∠AEB=∠DEF∴△ABE≌△FDE（SAS），∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，∴∠ADF＝∠ADC，∵AB＝DC，∴DF＝DC，在△ADF與△ADC中，AD=AD∠ADF=∠ADC∴△ADF≌△ADC（SAS）∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的中線，三角形的三邊關(guān)系定理，等腰三角形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．類型二截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形方法點(diǎn)撥：用于解決“線段和差”問題。當(dāng)條件或求證的問題是“線段和差”時(shí)，通過在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，或者延長(zhǎng)短邊使其等于長(zhǎng)邊，從而獲得證明全等所需的“邊相等”的條件，一般需要證明兩次全等。典例2如圖，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分線AD，CE相交于點(diǎn)O．（1）∠AOC＝；（2）求證：AE+CD＝AC．【答案】（1）120°；（2）見解析．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°．根據(jù)角平分線定義得到∠OAC＝∠OAB=12∠BAC，∠OCD＝∠OCA=1（2）在AC上截取AF＝AE，連接OF，如圖，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．（1）解：在△ABC中，∠B＝60°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°．∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠OAC＝∠OAB=12∠BAC，∠OCD＝∠OCA=1在△OAC中，∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°-12（∠BAC+∠ACB）＝180°-12故答案為：120°；（2）∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°．在AC上截取AF＝AE，連接OF，如圖，在△AOE和△AOF中，AE=AF∠OAE=∠OAF∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOE＝∠AOF，∴∠AOF＝60°．∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝120°﹣60°＝60°．又∠COD＝60°，∴∠COD＝∠COF．在△COD和△COF中，∠COD=∠COFOC=OC∴△COD≌△COF（ASA），∴CD＝CF．又∵AF＝AE，∴AC＝AF+CF＝AE+CD，即AE+CD＝AC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，把相關(guān)的線段劃到同一個(gè)三角形中找關(guān)系．針對(duì)訓(xùn)練4．（2021秋?東莞市校級(jí)期末）點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC．（1）如圖1，若∠B＝∠C＝90°，求證：AE平分∠DAB；（2）如圖1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度數(shù)；（3）如圖2，若DE⊥AE，求證：AD＝AB+CD．【答案】（1）證明見解析；（2）35°；（3）證明見解析．【思路引領(lǐng)】（1）延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于F，判定△CDE≌△BFE（AAS），即可得出DE＝FE，再判定等腰三角形ADF，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答即可；（3）在DA上截取DF＝DC，連接EF，判定△CDE≌△FDE（SAS），即可得出CE＝FE，∠CED＝∠FED，再判定△AEF≌△AEB（SAS），可得AF＝AB，進(jìn)而得出AD＝AF+DF＝AB+CD．（1）證明：如圖1，延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于F，∵∠ABC＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠CDE＝∠F，又∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE，∴△CDE≌△BFE（AAS），∴DE＝FE，即E為DF的中點(diǎn)，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，∴∠ADE＝∠F，∴AD＝AF，∴AE平分∠DAB；（2）解：由（1）得AE平分∠DAB，∴∠EAB=12∠∵∠ABC＝∠C＝90°，∴DC∥AB，∴∠ADC+∠DAB＝180°，∵∠DEC＝35°，∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠CDE＝110°，∴∠DAB＝180°﹣110°＝70°，∴∠EAB＝35°；（3）證明：如圖2，在DA上截取DF＝DC，連接EF，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠FDE，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE（SAS），∴CE＝FE，∠CED＝∠FED，又∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE，∴FE＝BE，∵∠AED＝90°，∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠AEB，又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴AF＝AB，∴AD＝AF+DF＝AB+CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的綜合運(yùn)用；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、解決．類型三角平分線與垂線，延長(zhǎng)構(gòu)造全等三角形方法點(diǎn)撥：此類題目的特點(diǎn)是已知角平分線和與角平分線垂直的一條線，將垂線和角的一條邊同時(shí)延長(zhǎng)交于一點(diǎn)，就可以利用“ASA”判定三角形全等典例3如圖，△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90゜，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E．求證：BD＝2AE．【思路引領(lǐng)】延長(zhǎng)BO，AE并交于F，證△ABE≌△FBE，推出AE＝EF，證△BOD≌△AOF推出BD＝AF即可．證明：延長(zhǎng)BO，AE并交于F，∵BD平分∠ABO，AF⊥BD，∴∠1＝∠2，∠AEB＝∠FEB＝90°，在△ABE和△FBE中∠1=∠2BE=BE∴△ABE≌△FBE∴AE＝EF，∵∠AOB＝90゜，∠AED＝90°，∠ADE＝∠BDO，∴∠2＝∠OAF，∵∠AOB＝90°，∴∠DOB＝∠FOA＝90°，∴在△OBD和△OAF中∠2=∠FAOBO=AO∴△OBD≌△OAF，∴BD＝AF，∵AE＝EF，∴BD＝2AE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．針對(duì)訓(xùn)練1．（2021秋?南開區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BD的垂線交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且BD＝2AE．求證：（1）∠EAC＝∠DBC；（2）BD平分∠ABC．【思路引領(lǐng)】（1）由∠EAC+∠ADE＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，因?yàn)椤螦DE＝∠BDC，即可推出∠EAC＝∠CBD．（2）延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F，由△ACF≌△BCD（ASA），推出AF＝BD，由BD＝2AE，AE+EF＝BD，推出AE＝FE，即E為AF中點(diǎn)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明．證明：（1）∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°＝∠C，∵∠EAC+∠ADE＝90°，∠DBC+∠B