專題01 一元二次方程（知識串講+5大考點）解析版

專題01一元二次方程考點類型知識串講（一）一元二次方程的定義及一般式（1）概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）。其中a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項。（3）【注意】①只含有一個未知數(shù)；②所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③整式方程。（二）一元二次方程的解（1）概念：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。（2）方法技巧：一元二次方程解的應用方法，將解代入方程，化簡式子求解（或是整體思想）考點訓練考點1：一元二次方程的識別典例1：（2022春·八年級課時練習）下列方程中，屬于一元二次方程的有______________________（填題號）．①2x2-3y-5=0；②23④1x+4=x2【答案】②③⑤【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可．【詳解】根據(jù)一元二次方程的定義，得②③⑤是一元二次方程，①④不是，故答案為：②③⑤．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義即含有一個未知數(shù)且含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，熟練掌握定義是解題的關鍵．【變式1】（2023春·浙江·八年級專題練習）若關于x的一元二次方程的一個根是1，且二次項系數(shù)為正整數(shù)，則符合條件的一元二次方程可以是_______．（寫出一個方程即可）【答案】x2【分析】直接利用一元二次方程的解寫成符合題意的一個方程即可．【詳解】解：關于x的一元二次方程的一個根是1，且二次項系數(shù)為正整數(shù)的一個一元二次方程可以是：x-12整理得x2故答案為：x2【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義、方程的根等知識點，正確掌握一元二次方程解是解題關鍵．【變式2】（2022秋·全國·九年級期中）下列方程：（1）2x-1=4-y（2）3x2-1=0（3）(x-1)x-3=x2（4）a2+1x2-2=x（【答案】（2）（4）/（4）（2）【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行判斷即可．【詳解】解：（1）2x-1=4-y中未知數(shù)的最高次數(shù)是1次，因此此方程不是一元二次方程；（2）3x2（3）(x-1)x-3=x2（4）a2+1x2-2=x（5）x+1（6）mx2+2x-3=0綜上分析可知，一定是關于x的一元二次方程的是（2）（4）．故答案為：（2）（4）．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握定義，是解題的關鍵．【變式3】（2023秋·全國·九年級專題練習）判斷下列各式是一元二次方程的是________．①x2+x+1；②9x2-6x=0；③12y2=0；④5x【答案】②③⑥【分析】直接根據(jù)一元二次方程的定義進行判斷即可．【詳解】解：①x2②9x③12④5x⑤x2+xy-3y⑥3y⑦(x+1)(x-1)=x2化簡后沒有二次項，不是2∴②③⑥符合一元二次方程的定義．故答案為：②③⑥．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的辨別，熟練掌握一元二次方程的定義是解答此題的關鍵．考點2：一元二次方程的定義求解字母的值典例2：（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）若關于x的方程a-4xa-2+3x-2=0是一元二次方程，則【答案】-4【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出a-4≠0且a-2=2，再求出a【詳解】解：∵關于x的方程a-4x∴a-4≠0且a-2=2解得：a=-4．故答案為：-4．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義和絕對值，能根據(jù)一元二次方程的定義得出a-4≠0且a-2=2【變式1】（2023春·安徽·八年級淮北一中校聯(lián)考階段練習）若a-1x2+a+1x=2是關于x【答案】a≥-1且a≠1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及二次根式有意義的條件直接列不等式求解即可得到答案；【詳解】解：∵a-1x2+∴a-1≠0，a+1≥0，解得：a≥-1且a≠1，故答案為：a≥-1且a≠1；【點睛】本題考查一元二次方程定義及二次根式有意義的條件，解題的關鍵是熟練掌握兩個知識點．【變式2】（2023秋·云南保山·九年級統(tǒng)考期末）如果關于x的方程(m+3)x|m+1|+4x-2=0是一元二次方程，則m【答案】1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，得到m+1=2，m+3≠0，求解即可得出m【詳解】解：(m+3)x|m+1|+4x-2=0∴m+1∴m=1或-3，∵m+3≠0，∴m≠-3，∴m=1，故答案為：1．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題關鍵是理解一元二次方程的定義：只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0【變式3】（2023秋·新疆烏魯木齊·九年級校考階段練習）若a-3xa-1-2x+3=0是關于x的一元二次方程，則【答案】-3【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解即可．【詳解】解：∵a-3xa-1∴a-3≠0a解得a=-3，故答案為：-3．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，一般地，形如ax2+bx+c=0a≠0，考點3：一元二次方程一般形式（求系數(shù)）典例3：（2023春·安徽亳州·八年級?？茧A段練習）方程3x+22x﹣3【答案】6【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則去括號，然后移項合并同類項即可得到答案．【詳解】解：∵3x+22x-3∴6x∴6x∴6x故答案為：6x【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a【變式1】（2022秋·山東青島·九年級?？计谥校┌岩辉畏匠?xx-2=4化為一般形式是_______________；其中二次項系數(shù)是____________，一次項是【答案】3x2【分析】先去括號，再移項即可化成一般式，從而可得出答案．【詳解】解：3xx-2=4化為一般形式是其中二次項系數(shù)是3，一次項是-6x．故答案為：3x2-6x-4=0；3【點睛】本題考查一元二次方程的一般式及相關概念，形如ax2+bx+c=0a≠0（a、b、c是常數(shù)）的方程叫一元二次方程的上般式，其中ax2是二次項，bx是一次項，【變式2】（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習）若關于x的一元二次方程(2a-4)x2+(3a+6)x+a-8=0沒有一次項，則a【答案】-2【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式可知一次項為(3a+6)x，由方程沒有一次項可得3a+6=0，即可得答案．【詳解】∵關于x的一元二次方程(2a-4)x2∴3a+6=0，解得：a=-2．故答案為：-2．【點睛】本題考查一元二次方程的一般形式，解題的關鍵是掌握一元二次方程的一般形式．一元二次方程：只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程經(jīng)過整理都可化成一般形式ax【變式3】（2022春·八年級課時練習）方程(x-1)2+5=(3x+2)(2x-3)化為一般形式是___________，其中二次項是___________，二次項系數(shù)是___________；一次項是___________，一次項系數(shù)是___________；常數(shù)項是【答案】5x2-3x-12=05x25【分析】根據(jù)一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步驟對選項進行判斷即可．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a【詳解】解：(x-1)去括號得：x即5∴方程(x-1)2+5=(3x+2)(2x-3)其中二次項是5x2，二次項系數(shù)是5；一次項是-3x，一次項系數(shù)是-3【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，將方程化為一般形式是解題的關鍵．考點4：一元二次方程解的應用——求字母的值典例4：（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）若關于x的方程x2－mx－2=0的一個根為3【答案】7【分析】根據(jù)題意把3代入方程，得到關于m的方程，解方程即可得．【詳解】解：依題意得32解得：m=7故答案為：73【點睛】本題考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題關鍵．【變式1】（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）已知x=-1是關于x的一元二次方程x2-4x+m=0【答案】-5【分析】把x=【詳解】解：把x=-1解得：m=-5，故答案為：-5．【點睛】本題考查一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根，掌握一元二次方程的解的定義是解題的關鍵．【變式2】（2023秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）已知關于x的方程x2+kx-10=0的一個根是1，則k的值為【答案】9【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義把x=1代入到方程x2+kx-10=0中求出【詳解】解：∵關于x的方程x2+kx-10=0的一個根是∴1+k-10=0，∴k=9，故答案為：9．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關鍵．【變式3】（2022秋·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）若關于x的一元二次方程a+1x2-ax+a2-1=0的一個根是【答案】1【分析】將x=0代入方程中結(jié)合一元二次方程的二次項系數(shù)不為0即可得出答案．【詳解】解：將x=0代入方程中得a2∴a=±1，∵a+1≠0，∴a=1，故答案為：1．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程解的定義，熟記相關定義是解本題的關鍵．考點5：一元二次方程解的應用——求代數(shù)式的值典例5：（2022秋·河北滄州·九年級統(tǒng)考期中）已知m是方程x2+x-1=0的根，則m3【答案】2024【分析】由m是方程的根，可得m2+m=1，變形m3【詳解】解：∵m是方程x2∴m2∴m==m=m+=1+2023=2024．故答案為：2024．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義及整體代入的思想，解決本題的關鍵是利用根的定義得關于m的等式，變形m3【變式1】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）已知a是方程2x2-x-3=0的一個根，則6【答案】12【分析】根據(jù)a是原方程的解，求得2a2-a=3【詳解】解：∵a是方程2x2-x-3=0∴2a∴6a∴6a故答案為：12．【點睛】本題主要考查了方程的解的定義，通過已知方程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)式內(nèi)式子相等關系的式子是解題的關鍵．【變式2】（2022秋·江蘇連云港·九年級?？茧A段練習）若關于x的一元二次方程ax2+bx-1=0a≠0有一根為x=1，則一元二次方程【答案】2【分析】利用整體思想設x-1=t，得到方程at2+bt-1=0，再根據(jù)a【詳解】解：∵在a(x-1)2∴a∵ax2∴在at2∴即在a(x-1)2∴x=2故答案為：2【點睛】本題考查了換元法解一元二次方程，利用整體思想解一元二次方程是解題的關鍵．【變式3】（2023春·江西吉安·九年級江西省泰和中學?？茧A段練習）若a是方程x2+x-1=0的一個解，則代數(shù)式a2【答案】-1【分析】將a代入一元二次方程的得到a2=1-a，再將代數(shù)式中【詳解】解：∵a是方程x2∴a2∴a2∴a2故答案為：-1．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，已知式子的值化簡代數(shù)式，理解一元二次方程的解是解題的關鍵．同步過關一、單選題1．（2023秋·山東德州·九年級統(tǒng)考期中）下列關于x的方程中，是一元二次方程的為（）A．（a﹣1）x2﹣2＝0 B．x2+2x＝﹣1 C．x2﹣4＝2y D．﹣2x2+3＝【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程）逐個判斷即可．【詳解】A．當a=1時，不是一元二次方程，故不符合題意；B．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合題意；C．是二元二次方程，不是一元二次方程，故不符合題意；D．是一元二次方程，故符合題意；故答案選：D．【點睛】考查了一元二次方程的定義，解題關鍵是熟記一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程．2．（2023秋·湖北武漢·九年級校考階段練習）將一元二次方程3x2﹣3＝6x化成一般形式后，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是（）A．3，﹣3 B．3，0 C．3，6 D．3，﹣6【答案】D【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次項系數(shù)和一次項系數(shù)即可．【詳解】解：3x2﹣3＝6x，移項得：3x2-6x-3=0，二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是3和-6，故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，多項式的項和單項式的系數(shù)等知識點，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關鍵，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），②找項的系數(shù)帶著前面的符號．3．（2022秋·福建漳州·九年級?？计谥校┌逊匠蘹2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10【答案】D【分析】先把x2+2x＝5（x﹣2）化簡，然后根據(jù)一元二次方程的一般形式即可得到a、b、c的值．【詳解】解：x2+2x＝5（x﹣2），x2+2x＝5x﹣10，x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，則a＝1，b＝﹣3，c＝10，故選：D．【點睛】此題主要考查了一元二次方程化為一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．4．（2023秋·河北石家莊·九年級石家莊市第四十一中學校考階段練習）關于x的方程(a-2)x2-4x+1=0A．a(chǎn)=2 B．a(chǎn)≠0 C．a(chǎn)=2或a=-2 D．a(chǎn)=-2【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義知：a-2≠0，據(jù)此可以求得a的取值范圍．【詳解】∵關于x的方程(a-2)x∴a-2≠0∴a≠2只有D選項符合題意，故選D．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的概念是解題的關鍵，一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．5．（2022秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程2x2+x-5=0A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，以及常數(shù)項即可．【詳解】解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，∴二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是2、1、-5，故選：B．【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0）．6．（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）已知m為方程x2+3x-2022=0的根，那么m3A．-2022 B．0 C．2022 D．4044【答案】B【分析】根據(jù)題意有m2+3m-2022=0，即有【詳解】∵m為x2∴m2+3m-2022=0，且m∴m3則有原式=(m故選：B．【點睛】本題考查了利用未知數(shù)是一元二次方程的根求解代數(shù)式的值，由m為x2+3x-2022=0得到7．（2023秋·廣東陽江·九年級統(tǒng)考期中）下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（

）A．x2+3x=0 B．y2【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義即可.【詳解】A.x2B.y2-2x+1=0中含有C.x2-5x=2D.ax2-2=0當故選：C.【點睛】本題考查了一元二次方程的定義；判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．8．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）下列方程中，屬于一元二次方程的是（

）A．32x-1=0； B．x+1x2=3； C．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行判斷即可．【詳解】A、為一元一次方程，不符合題意；B、是分式方程，不是整式方程，不符合題意；C、為一元一次方程，不符合題意；D、為一元二次方程，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，解答本題的關鍵是理解掌握一元二次方程的定義：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫一元二次方程．9．（2023春·八年級課時練習）下列方程①x2﹣5x＝2022，②ax2+bx+c=0，③3x2+x6A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行判斷即可．【詳解】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程；②ax2+bx+c=0，當③3x④(x-2)(x+6)=x所以，一定是關于x的一元二次方程的是①③，共2個，故選：B【點睛】本題主要考查一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級?？计谥校┤舴匠蘭x2+4x-3=2x2是關于xA．m>0 B．m≠0 C．m≠2 D．m≠-2【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個未知數(shù)，可得答案．【詳解】解：由mx2+4x-3=2根據(jù)題意，得m-2≠0．解得m≠2．故選：C．【點睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．11．（2022秋·九年級課時練習）若x=2是關于x的一元二次方程ax2-x-b=0的一個根，則2+8a-2bA．0 B．2 C．4 D．6【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=2代入方程ax2-x-b=0得4a-b=2，再把2+8a-2b變形為2+2（4a【詳解】解：∵x=2是關于x的一元二次方程ax∴4a-2-b=0，∴4a-b=2，∴2+8a-2b=故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，將代數(shù)式進行適當變形是解答本題的關鍵．12．（2023·云南昆明·校考二模）已知a是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，則代數(shù)式﹣2a2+6a+2019的值為（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【答案】B【分析】利用一元二次方程解的定義得到a2﹣3a＝2，再把﹣2a2+6a+2019變形為﹣2（a2﹣3a）+2019，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】∵a是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，∴a2﹣3a﹣2＝0，∴a2﹣3a＝2，∴﹣2a2+6a+2019＝﹣2（a2﹣3a）+2019＝﹣2×2+2019＝2015．故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．13．（2022秋·湖北武漢·九年級校考階段練習）若x=0是一元二次方程x2+b-1x+bA．2 B．-2 C．±2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=0代入x2+b-1x+b【詳解】解：把x=0代入x2+b-1x+b解得b=±2，∵b-1≥0，∴b≥1，∴b=2．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．14．（2022秋·全國·九年級專題練習）下列方程中，是一元二次方程的有（

）個①5x2=x；②x2-32-6=0；③xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷，應僅有一個未知數(shù)，且是最高次數(shù)為2的整式方程．【詳解】①變形為x-5x②x2-32-6=0，整理變形為③x2=1，變形為④7x(x-2)=7x2變形為⑤x2故①③滿足，共有2個一元二次方程故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程，一元二次方程應僅有一個未知數(shù)，且是最高次數(shù)為2的整式方程．15．（2022秋·九年級課時練習）已知下面三個關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2A．0 B．1 C．3 D．不確定【答案】A【分析】把x=a代入3個方程得出a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，3個方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．【詳解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．∵a2+a+1=（a+12）2+34＞∴a+b+c=0．故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解．二、填空題16．（2023秋·四川成都·九年級成都七中萬達學校通錦校區(qū)?？计谥校╆P于x的方程x2﹣kx﹣6＝0有一根為x＝﹣3，則k的值為____．【答案】-1【分析】將x=-3，代入x2-kx-6=0中，即可得到【詳解】解：將x=-3代入x2-323k=-3k=-1故答案為：-1【點睛】本題考查知道一元二次方程的解的應用，根據(jù)相關知識點解題是重點．17．（2022秋·廣東惠州·九年級?？茧A段練習）寫出一個二次項系數(shù)為2，且方程有一個根為0的一元二次方程是____________【答案】2【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a、【詳解】由題意得：2故答案為2x【點睛】本題考查一元二次方程的一般形式以及方程的解，難度較低，熟練掌握相關知識點是解題關鍵.18．（2023秋·江蘇連云港·九年級?？贾軠y）請你寫出一個有一根為1，另一個根介于-2和1之間的的一元二次方程：_______________________.【答案】x-1x+1【詳解】試題分析：此題答案不唯一.因另一個根介于-2和1之間，設另一個根為-1，利用兩交點式建立方程即可.解：根據(jù)題意，設中另一個根為-1，∴x-1x+1故答案為x-1x+119．（2022秋·貴州黔東南·九年級?？计谥校╆P于x方程(m-2)x|m|+2x+3=0是一元二次方程，則m【答案】-2【分析】根據(jù)一元二次方程定義可得，m-2≠0,m【詳解】解：∵關于x方程(m-2)x∴m-2≠0,m解得：m=-2．故答案為：-2．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．一元二次方程定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．20．（2020春·四川內(nèi)江·九年級校考階段練習）關于x的方程ax+m2+b=0的解是x1=-2，x2=1【答案】x1=-4【分析】把后面一個方程中的x＋2看作整體，相當于前面一個方程中的x求解．【詳解】解：∵關于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝?2，x2＝1，（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），∴方程a(x＋m＋2)2＋b＝0變形為a[(x＋2)＋m]2＋b＝0，即此方程中x＋2＝?2或x＋2＝1，解得x＝?4或x＝?1．故答案為：x1＝?4，x2＝?1．【點睛】此題主要考查了方程解的定義．注意由兩個方程的特點進行簡便計算．21．（2023春·浙江·八年級專題練習）若關于x的一元二次方程的一個根是1，且二次項系數(shù)為正整數(shù)，則符合條件的一元二次方程可以是_______．（寫出一個方程即可）【答案】x2【分析】直接利用一元二次方程的解寫成符合題意的一個方程即可．【詳解】解：關于x的一元二次方程的一個根是1，且二次項系數(shù)為正整數(shù)的一個一元二次方程可以是：x-12整理得x2故答案為：x2【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義、方程的根等知識點，正確掌握一元二次方程解是解題關鍵．22．（2023秋·江蘇南通·九年級階段練習）方程(m-2)xm-5x+m-3=0【答案】﹣2【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出答案.【詳解】解：∵(m-2)xm-5x＋m-3＝0是一元二次方程，∴m＝2，m－【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，注意一元二次方程的二次項系數(shù)不能為0.23．（2023秋·湖北襄陽·七年級階段練習）若m-2xm【答案】-2

【詳解】∵m-2x∴m-2≠0m-1=1，解得：點睛：方程m-2xm-1-4=0是一元一次方程需同時滿足兩個條件：（1）m-2≠0；（224．（2022秋·青海西寧·九年級校考期末）關于x的方程(m-1)xm+1+3x-2=0是一元二次方程，則【答案】m=-1【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解．一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0．由這兩個條件得到相應的關系式，再求解即可．【詳解】根據(jù)題意得：{|m|+1=2解得：m=-1．故答案為m=-1.．【點睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．25．（2023秋·北京海淀·九年級期末）關于x的一元二次方程mx2-(m+1)x+1=0有兩個不等的整數(shù)根，m為整數(shù)，那么m【答案】-1.【分析】先利用根的判別式，確定m的范圍，后利用公式法，確定用m表示的方程的根，根據(jù)m的整數(shù)性質(zhì)，根的整數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】∵一元二次方程mx∴△＞0，∴[-(m+1)]2-4m＞∴(m-1)2＞0∴m≠1，∵x=m+1±|m-1|∴當m＞1時，x=m+1±∴x1=m+1+m-12m∵一元二次方程mx2-(m+1)x+1=0∴m=1，與m≠1矛盾，∴此種情形不成立；∴當m＜1時，x=m+1±∴x1=m+1+1-m∵一元二次方程mx2-(m+1)x+1=0∴m=-1，∴此種情形成立；綜上所述，m的值為-1，故答案為：-1.【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，一元二次方程根的判別式，整數(shù)根的意義，熟練利用公式法求方程的根，并活用分類思想，化簡絕對值是解題的關鍵.三、解答題26．（2023秋·八年級課時練習）判斷下列方程哪些是一元二次方程．（1）3x2+6=3x；

（2）x-23x=0；（4）-x2=0；

（5【答案】（1）（4）【分析】本題根據(jù)一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0）．一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0．由這兩個條件得到相應的關系式，再求解即可．【詳解】方程（1）3x方程（2）x-2方程（3）4x方程（4）-x方程（5）x(5x-1)=x(x+3)+4x2經(jīng)化簡為4x故一元二次方程為（1）（4）．【點睛】判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．27．（2023秋·全國·七年級專題練習）x=2是下列方程的解嗎？（1）3x+10-x=20；

（2）【答案】（1）不是；（2）是．【分析】將x=2分別代入（1）（2）中的方程判斷等式兩邊是否相等即可求解．【詳解】解：（1）將x=2代入3x+10-x方程左邊=3×2+10-2=14，方程右邊∵左邊≠右邊，∴x=2不是方程3x+10-x（2）將x=2代入2x方程左邊=2×22+6=14，方程右邊∵左邊=右邊，∴x=2是方程2x【點睛】此題考查了一元二次方程解的含義，將x=2代入（1）（2）中的方程看等式是否成立是解題的關鍵．28．（2022·全國·九年級假期作業(yè)）將4個數(shù)a，b，c，d排成2行2列，兩邊各加一條豎線，記成abcd，定義abcd＝ad－【答案】是，x【分析】根據(jù)題意直接可列出方程，然后根據(jù)一元二次方程的定義進行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得：x+1?2x-整理，得x2它是一元二次方程，一般形式為x2【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義，正確理解定義是解題的關鍵．29．（2023秋·九年級單元測試）若一元二次方程（m﹣3）x2+mx+m2﹣3m=0的常數(shù)項是0，求m的值．【答案】m=0【分析】根據(jù)題意得到m的一元二次方程m2﹣3m=0，且m﹣3≠0，求解方程即可.【詳解】∵一元二次方程（m﹣3）x2+mx+m2﹣3m=0的常數(shù)項是0，∴m2﹣3m=0，且m﹣3≠0，解得m=0，m=3（不符合題意舍）．【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義，解此題的關鍵在于根據(jù)題意可得到m的方程，需要注意的是關于x的方程的二次項系數(shù)不能為0.30．（2023春·八年級課時練習）已知a為方程2x2-3x-1=0【答案】1【分析】將a代入方程中得2a2-3a=1，將所求代數(shù)式化簡整理后，把【詳解】解：∵a為方程2x∴2a∴2a∴原式=a2【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解的概念，以及用整體代入法求代數(shù)