專(zhuān)題11.1 不等式及不等式的基本性質(zhì)【十大題型】（舉一反三）（蘇科版）（解析版）

專(zhuān)題11.1不等式及不等式的基本性質(zhì)【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不等式的概念及意義】 1【題型2取值是否滿足不等式】 3【題型3根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出不等式】 4【題型4在數(shù)軸上表示不等式】 6【題型5利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】 8【題型6利用不等式性質(zhì)比較大小】 10【題型8利用不等式性質(zhì)證明（不）等式】 14【題型9利用不等式性質(zhì)求取值范圍或最值】 17【題型10不等關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用】 19【知識(shí)點(diǎn)1認(rèn)識(shí)不等式】定義：用符號(hào)“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”連接而成的式子，叫做不等式。用符號(hào)這些用來(lái)連接的符號(hào)統(tǒng)稱(chēng)不等式.【題型1不等式的概念及意義】【例1】（2022春?郟縣期中）在數(shù)學(xué)表達(dá)式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（）A．1個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【分析】主要依據(jù)不等式的定義──用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子是不等式來(lái)解答．【詳解】解：因?yàn)槌踴＝3；④x2+xy+y2；之外，式子①﹣3＜0；②4x+3y＞0；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中都含不等號(hào)，都是不等式，共4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的識(shí)別，一般地，用不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類(lèi)題關(guān)鍵是要識(shí)別常見(jiàn)不等號(hào)：＞,＜,≤,≥,≠．【變式1-1】（2022春?蒼溪縣期末）下列式子是不等式的是（）A．x+4y＝3 B．x C．x+y D．x﹣3＞0【分析】根據(jù)不等式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、x+4y＝3是等式，不是不等式，故此選項(xiàng)不符合題意；B、x，沒(méi)有不等號(hào)，不是不等式，故此選項(xiàng)不符合題意；C、x+y，沒(méi)有不等號(hào)，不是不等式，故此選項(xiàng)不符合題意；D、x﹣3＞0是不等式，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的定義，注意：用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫不等式，不等號(hào)有：＞，＜，≤，≥，≠等．【變式1-2】（2022春?平泉市期末）某種牛奶包裝盒上表明“凈重205g，蛋白質(zhì)含量≥3%”．則這種牛奶蛋白質(zhì)的質(zhì)量是（）A．3%以上 B．6.15g C．6.15g及以上 D．不足6.15g【分析】根據(jù)蛋白質(zhì)含量大于或等于3%判斷即可．【詳解】解：∵205×3%＝6.15（g），蛋白質(zhì)含量≥3%，∴這種牛奶蛋白質(zhì)的質(zhì)量是6.15g及以上，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的定義，掌握≥表示大于或等于是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022春?曲陽(yáng)縣期末）學(xué)校組織同學(xué)們春游，租用45座和30座兩種型號(hào)的客車(chē)，若租用45座客車(chē)x輛，租用30座客車(chē)y輛，則不等式“45x+30y≥500”表示的實(shí)際意義是租用x輛45座的客車(chē)和y輛30座的客車(chē)總的載客量不少于500人．【分析】主要依據(jù)不等式的定義：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子是不等式來(lái)判斷．【詳解】解：不等式“45x+30y≥500”表示的實(shí)際意義是租用x輛45座的客車(chē)和y輛30座的客車(chē)總的載客量不少于500人．故答案為：租用x輛45座的客車(chē)和y輛30座的客車(chē)總的載客量不少于500人．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的識(shí)別，一般地，用不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類(lèi)題關(guān)鍵是要識(shí)別常見(jiàn)不等號(hào)：＞、＜、≤、≥、≠．【題型2取值是否滿足不等式】【例2】（2022春?臥龍區(qū)期中）下列數(shù)值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的個(gè)數(shù)有4個(gè)．【分析】解得不等式后根據(jù)x的取值范圍確定個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：解1﹣2x＞0，解得：x＜1滿足x＜12的有﹣2、﹣1.5、﹣1、0共故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解集的知識(shí)，解答時(shí)也可以將x的值代入看能否滿足不等式，滿足可以，否則不可以．【變式2-1】（2022春?瀘縣期末）x＝3是下列哪個(gè)不等式的解（）A．x+2＜4 B．13x＞3 C．2x﹣1＜3 D．3x+2＞【分析】根據(jù)解不等式的方法，可得不等式的解集，根據(jù)不等式的解集，可得答案．【詳解】解：A、x＜2，故A不是不等式的解；B、x＞9，故B不是不等式的解；C、x＜2，故C不是不等式的解；D、x＞83，故故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解集，先解不等式，再選出答案．【變式2-2】（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．3【分析】根據(jù)不等式解集的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵不等式x＞2的解集是所有大于2的數(shù)，∴3是不等式的解．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022春?夏津縣期中）請(qǐng)寫(xiě)出滿足下列條件的一個(gè)不等式．（1）0是這個(gè)不等式的一個(gè)解：x＜1；（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解：x＜2；（3）0不是這個(gè)不等式的解：x＜0．【分析】根據(jù)不等式的解集，即可解答．【詳解】解：（1）x＜1，（答案不唯一）（2）x＜2，（答案不唯一）（3）x＜0，（答案不唯一）故答案為：（1）x＜1，（2）x＜2，（3）x＜0．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解集，解決本題的關(guān)鍵是熟記不等式的解集．【題型3根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出不等式】【例3】（2022春?川匯區(qū)期末）小麗和小華先后進(jìn)入電梯，當(dāng)小華進(jìn)入電梯時(shí)，電梯因超重而警示音響起，且這個(gè)過(guò)程中沒(méi)有其他人進(jìn)出，已知當(dāng)電梯乘載的重量超過(guò)300公斤時(shí)警示音響起，且小麗、小華的體重分別為40公斤，50公斤，若小麗進(jìn)入電梯前，電梯內(nèi)已乘載的重量為x公斤，則所有滿足題意的x可用下列不等式表示的是（）A．210＜x≤260 B．210＜x≤300 C．210＜x≤250 D．250＜x≤260【分析】由題意可得，小麗的重量為40公斤，且進(jìn)入電梯后，警示音沒(méi)有響起，小華的重量為50公斤．且進(jìn)入電梯后，警示音響起，分別列出不等式即可求解．【詳解】解：由題意可知：當(dāng)電梯乘載的重量超過(guò)300公斤時(shí)警示音響起，小麗進(jìn)入電梯前，電梯內(nèi)已乘載的重量為x公斤，由圖可知：小麗的重量為40公斤，且進(jìn)入電梯后，警示音沒(méi)有響起，所以此時(shí)電梯乘載的重量x+40≤300，解得x≤260，因?yàn)樾∪A的重量為50公斤．且進(jìn)入電梯后，警示音響起，所以此時(shí)電梯乘載的重量x+40+50＞300，解得x＞210，因此210＜x≤260．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到不等關(guān)系．【變式3-1】（2022?南京模擬）據(jù)深圳氣象臺(tái)“天氣預(yù)報(bào)”報(bào)道，今天深圳的最低氣溫是25℃，最高氣溫是32℃，則今天氣溫t（℃）的取值范圍是（）A．t＜32 B．t＞25 C．t＝25 D．25≤t≤32【分析】根據(jù)今天的最低氣溫是25℃可得：t≥25，根據(jù)最高氣溫是32℃可得：t≤32，再找出t的公共解集即可．【詳解】解：根據(jù)今天的最低氣溫是25℃可得：t≥25，根據(jù)最高氣溫是32℃可得：t≤32，則氣溫范圍是：25≤t≤32，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題列不等式，關(guān)鍵是抓住關(guān)鍵詞“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超過(guò)”等這些詞語(yǔ)出現(xiàn)的地方．所以重點(diǎn)理解這些地方有利于自己解決此類(lèi)題目．【變式3-2】（2022春?玉田縣期末）用不等式表示“a是負(fù)數(shù)”應(yīng)表示為a＜0．【分析】根據(jù)題意可得，負(fù)數(shù)小于0，由此列出不等式即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得a＜0．故答案為：a＜0．【點(diǎn)睛】本題考查列不等式，所考查的知識(shí)點(diǎn)是：負(fù)數(shù)小于0．【變式3-3】（2022秋?婺城區(qū)校級(jí)期末）某種藥品的說(shuō)明書(shū)上貼有如圖所示的標(biāo)簽，一次服用藥品的劑量設(shè)為x，則x的取值范圍是7.5≤x≤40．【分析】若每天服用3次，則所需劑量為10﹣40mg之間，若每天服用4次，則所需劑量為7.5﹣30mg之間，所以，一次服用這種藥的劑量為7.5﹣40mg之間．【詳解】解：若每天服用3次，則所需劑量為10﹣40mg之間，若每天服用4次，則所需劑量為7.5﹣30mg之間，所以，一次服用這種藥的劑量為7.5﹣40mg之間，所以7.5≤x≤40．故答案為：7.5≤x≤40．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的意義、有理數(shù)的除法運(yùn)算．解題的關(guān)鍵是理解題意的能力，首先明白每天要服用的藥量，然后根據(jù)分幾次服用，可求出最小藥量和最大藥量．【題型4在數(shù)軸上表示不等式】【例4】（2022?嘉善縣模擬）數(shù)軸上所表示的關(guān)于x的不等式組的解集為﹣1≤x＜2．【分析】數(shù)軸的某一段上面，表示解集的線的條數(shù)，與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．實(shí)心圓點(diǎn)包括該點(diǎn)，空心圓圈不包括該點(diǎn)，＞向右＜向左．兩個(gè)不等式的公共部分就是不等式組的解集．【詳解】解：由圖示可看出，從﹣1出發(fā)向右畫(huà)出的折線且表示﹣1的點(diǎn)是實(shí)心圓，表示x≥﹣1；從2出發(fā)向左畫(huà)出的折線且表示2的點(diǎn)是空心圓，表示x＜2，不等式組的解集是指它們的公共部分．所以這個(gè)不等式組的解集是：﹣1≤x＜2．故答案為：﹣1≤x＜2．【點(diǎn)睛】此題主要考查不等式組的解法及在數(shù)軸上表示不等式組的解集．不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)（＞，≥向右畫(huà)；＜，≤向左畫(huà)），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個(gè)就要幾個(gè)．在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．【變式4-1】（2022春?永豐縣期中）不等式x≥a的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則a＝2．【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示的解集確定出a的值即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸上的解集得：a＝2，故答案為：2【點(diǎn)睛】此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)（＞，≥向右畫(huà)；＜，≤向左畫(huà)），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個(gè)就要幾個(gè)．在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．【變式4-2】（2022秋?衢州期中）在數(shù)軸上表示下列不等式（1）x＜﹣1（2）﹣2＜x≤3．【分析】（1）根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示方法可畫(huà)出圖示．（2）根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示方法可畫(huà)出圖示．【詳解】解：（1）將x＜﹣1表示在數(shù)軸上如下：（2）將不等式組﹣2＜x≤3表示在數(shù)軸上如下：【點(diǎn)睛】本題主要考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)的方法：“＞”空心圓點(diǎn)向右畫(huà)折線，“≥”實(shí)心圓點(diǎn)向右畫(huà)折線，“＜”空心圓點(diǎn)向左畫(huà)折線，“≤”實(shí)心圓點(diǎn)向左畫(huà)折線．【變式4-3】（2022?防城港模擬）在數(shù)軸上表示﹣2≤x＜1正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)﹣2是實(shí)心點(diǎn)，方向向右，1是空心點(diǎn)，方向向左畫(huà)出圖形即可得到答案．【詳解】解：﹣2是實(shí)心點(diǎn)，方向向右，1是空心點(diǎn)，方向向左，如圖所示：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，掌握“兩定”：一是定界點(diǎn)，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可．定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)2不等式的基本性質(zhì)】性質(zhì)1：若a＜b，b＜c，則a＜c.這個(gè)性質(zhì)叫做不等式的傳遞性.性質(zhì)2：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變。若a＞b，則a±c＞b±c.性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。若a＞b，c＞0，則ac＞bc，ac＞若a＞b，c＜0，則ac＜bc，ac＜【題型5利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】【例5】（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期中）如果有理數(shù)a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（）A．3﹣a＞3﹣b B．a(chǎn)2＜ab C．2a＜2b D．-【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴3﹣a＞3﹣b，∴選項(xiàng)A不符合題意；∵a＜b，∴a2＜ab（a＞0），a2＞ab（a＜0），或a2＝ab（a＝0），∴選項(xiàng)B符合題意；∵a＜b，∴2a＜2b，∴選項(xiàng)C不符合題意；∵a＜b，∴-a∴選項(xiàng)D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變；（3）不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變．【變式5-1】（2022?禪城區(qū)校級(jí)三模）下列結(jié)論中，正確的是（）A．若a＞b，c≠0，則ac＞bc B．若ab＜0，則a＞0，b＜0 C．若a＞0，b＜0，則ab＜0 D．若ab＞1，則a【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷A，D選項(xiàng)；根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷B，C選項(xiàng)．【詳解】解：A選項(xiàng)，當(dāng)c＜0時(shí)不成立，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，也可能是a＜0，b＞0，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，若a＞0，b＜0，則ab＜0，故該選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)，當(dāng)b＜0時(shí)不成立，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022春?大埔縣期末）下列結(jié)論正確的有①④（填序號(hào)）．①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．可得答案．【詳解】解：①∵c＜d，∴﹣c＞﹣d，∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣d，故①正確．②當(dāng)b＜0時(shí)，ab故②錯(cuò)．③若a＝2，b＝﹣1，滿足a＞b，但1a故③錯(cuò)．④∵ac∴c2＞0，∴a＜b，故④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)睛】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)．注意：在不等式兩邊同乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)時(shí)，不僅要考慮這個(gè)數(shù)不等于0，而且必須先確定這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向必須改變．【變式5-3】（2022春?天津期末）判斷以下各題的結(jié)論是否正確（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”）．（1）若b﹣3a＜0，則b＜3a；√（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；×（3）若a＞b，則ac2＞bc2；×（4）若ac2＞bc2，則a＞b；√（5）若a＞b，則a（c2+1）＞b（c2+1）．√（6）若a＞b＞0，則1a＜1【分析】利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：（1）若由b﹣3a＜0，移項(xiàng)即可得到b＜3a，故正確；（2）如果﹣5x＞20，兩邊同除以﹣5不等號(hào)方向改變，故錯(cuò)誤；（3）若a＞b，當(dāng)c＝0時(shí)則ac2＞bc2錯(cuò)誤，故錯(cuò)誤；（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正確；（5）若a＞b，根據(jù)c2+1，則a（c2+1）＞b（c2+1）正確．（6）若a＞b＞0，如a＝2，b＝1，則1a故答案為：√、×、×、√、√、√．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，兩邊同乘以或除以一個(gè)不為零的負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變．【題型6利用不等式性質(zhì)比較大小】【例6】（2022春?閔行區(qū)期中）如果7x＜4時(shí)，那么7x﹣3＜1．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．【分析】直接根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵7x＜4，∴7x﹣3＜4﹣3，即7x﹣3＜1．故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題考查的是不等式的性質(zhì)，熟知不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022春?輝縣市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空（1）a﹣4＜b﹣4（2）a5＜（3）﹣2a＞﹣2b．【分析】（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，兩邊同時(shí)﹣4，不等號(hào)的方向不變即可解答：（2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，兩邊同時(shí)除以5，不等號(hào)的方向不變解答即可：（3）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，兩邊同時(shí)乘以﹣2，不等號(hào)的方向改變即可解答．【詳解】解：（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1可得：a﹣4＜b﹣4；（2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2可得：a5（3）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3可得：﹣2a＞﹣2b，故答案為＜，＜，＞．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)．不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式6-2】（2022春?饒平縣校級(jí)期末）要比較兩個(gè)數(shù)a、b的大小，有時(shí)可以通過(guò)比較a﹣b與0的大小來(lái)解決：（1）如果a﹣b＞0，則a＞b；（2）如果a﹣b＝0，則a＝b；（3）如果a﹣b＜0，則a＜b．若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，試比較x、y的大小．【分析】利用作差法可比較x、y的大?。驹斀狻拷猓河捎趚﹣y＝2a2+3b﹣（a2+3b﹣1）＝a2+1＞0，即x﹣y＞0．所以x＞y．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)．（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式6-3】（2022春?濉溪縣期中）如果a＞b，那么a（a﹣b）＞b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】解：∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴a（a﹣b）＞b（a﹣b）．故答案是：＞．【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式的基本性質(zhì)是本題的關(guān)鍵，不等式的基本性質(zhì)是：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【題型7利用不等式性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式】【例7】（2022秋?余杭區(qū)期中）利用不等式的性質(zhì)解不等式：﹣5x+5＜﹣10．【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，將兩邊不等式同時(shí)減去5，不等號(hào)的方向不變．利用不等式的基本性質(zhì)，將兩邊不等式同時(shí)除以﹣5，不等號(hào)的方向改變．【詳解】解：根據(jù)不等式的性質(zhì)1，在不等式的兩邊同時(shí)減去5，得﹣5x＜﹣15，根據(jù)不等式的性質(zhì)3，在不等式﹣5x＜﹣15的兩邊同時(shí)除以﹣5，得x＞3．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或整式不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)不等號(hào)的方向不變；（3）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)的方向改變．【變式7-1】（2022秋?郴州校級(jí)月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）2x+5＞3；（2）﹣6（x﹣1）＜0．【分析】（1）根據(jù)移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1，可得答案；（2）根據(jù)去括號(hào)、移項(xiàng)、系數(shù)化為1，可得答案．【詳解】解：（1）移項(xiàng)，得2x＞3﹣5，合并同類(lèi)項(xiàng)，得2x＞﹣2，系數(shù)化為1，得x＞﹣1；（2）去括號(hào)，得，﹣6x+6＜0，移項(xiàng)，得﹣6x＜﹣6，系數(shù)化為1，得x＞1．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，利用了解不等式的一般步驟，不等式的兩邊都除以同一負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式7-2】（2022秋?余杭區(qū)期中）試依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，把下列不等式化為x＞a或x＜a的形式（a為常數(shù)）．（1）13x＞-23x﹣2（2）12x≤【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變作答．【詳解】解：（1）利用不等式的基本性質(zhì)1，在不等式的兩邊都加上23x，得13x+23x＞-2即x＞﹣2；（2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2，在不等式的兩邊都乘以2，得12x×2≤12（6﹣x即x≤6﹣x，①再由不等式的基本性質(zhì)1，在不等式①的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)整式x，得2x≤6，②最后利用不等式的性質(zhì)2，在不等式的兩邊同時(shí)除以2，得x≤3．【點(diǎn)睛】主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式7-3】（2022秋?湖州期中）根據(jù)不等式的性質(zhì)把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9（2）6x＜5x﹣3（3）15【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)對(duì)各不等式進(jìn)行逐一分析解答即可．【詳解】解：（1）根據(jù)不等式性質(zhì)1，不等式兩邊都減7，不等號(hào)的方向不變，得x+7﹣7＞9﹣7，即x＞2；（2）根據(jù)不等式性質(zhì)1，不等式兩邊都減去5x，不等號(hào)的方向不變，得6x﹣5x＜5x﹣5x﹣3，即x＜﹣3；（3）根據(jù)不等式性質(zhì)2，不等式兩邊同乘以5，不等號(hào)的方向不變，得x＜2；【點(diǎn)睛】本題考查的是不等式的基本性質(zhì)，需熟練掌握．（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【題型8利用不等式性質(zhì)證明（不）等式】【例8】（2022春?西城區(qū)校級(jí)期中）閱讀下列材料，解決問(wèn)題：【問(wèn)題背景】小明在學(xué)習(xí)完不等式的性質(zhì)之后，思考：“如何利用不等式的性質(zhì)1和2證明不等式的性質(zhì)3呢？”在老師的啟發(fā)下，小明首先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以下的形式：①已知：a＞b，c＜0．求證：ac＜bc．②已知：a＞b，c＜0．求證：ac【問(wèn)題探究】（1）針對(duì)①小明給出如下推理過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并填寫(xiě)依據(jù)：∵c＜0，即c是一個(gè)負(fù)數(shù)∴c的相反數(shù)是正數(shù)，即﹣c＞0∵a＞b∴a?（﹣c）＞b?（﹣c）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變）即﹣ac＞﹣bc不等式的兩端同時(shí)加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)整式，不等號(hào)不變）合并同類(lèi)項(xiàng)可得：bc＞ac即：ac＜bc得證．（2）參考（1）的結(jié)論或證明方法，完成②的證明．【分析】（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行分析即可；（2）仿照（1）的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）∵c＜0，即c是一個(gè)負(fù)數(shù)∴c的相反數(shù)是正數(shù)，即﹣c＞0∵a＞b∴a?（﹣c）＞b?（﹣c）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變），即﹣ac＞﹣bc，不等式的兩端同時(shí)加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)整式，不等號(hào)不變），合并同類(lèi)項(xiàng)可得：bc＞ac，即：ac＜bc，得證．故答案為：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)整式，不等號(hào)不變；（2）∵c＜0，即c是一個(gè)負(fù)數(shù)∴c的相反數(shù)是正數(shù)，即﹣c＞0∵a＞b∴a-c即-a不等式的兩端同時(shí)乘以﹣1可得：-ac×（﹣1）＜-即：ac【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記不等式的基本性質(zhì)．【變式8-1】（2022春?武侯區(qū)期末）求證：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．【分析】根據(jù)不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，不等式的兩邊都加同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變，可得答案．【詳解】證明：∵a＞b，c＞0，∴﹣ac＜﹣bc．f﹣ac＜f﹣bc．∵e＞f，∴e﹣bc＞f﹣bc．∴f﹣ac＜e﹣bc．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，注意不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【變式8-2】（2022春?江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求證：b＜a．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)得出2b＜a+1，1+a＜2a，根據(jù)不等式的傳遞性從而得出結(jié)論．【詳解】證明：因?yàn)閎＜c，所以2b＜b+c，由b+c＜a+1，得2b＜a+1，由1＜a，得1+a＜2a，所以2b＜1+a＜2a，∴b＜a成立．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，要學(xué)會(huì)充分利用不等式的基本性質(zhì)，按照一定的邏輯順序來(lái)展開(kāi)推理論證．【變式8-3】（2022春?夏津縣期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．求證：（1）a＞c；（2）﹣2＜ba【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)可得3a+2b+c＝（a+b+c）2a+b＝2a+b＞0，由a+b+c＝0可得b＝﹣a﹣c，再代入2a+b＞0解答即可；（2）由b＝﹣a﹣c，c＞0，由不等式的性質(zhì)可得b＜﹣a，再根據(jù)2a+b＞0可得﹣2a＜b，所以﹣2a＜b＜﹣a，再由a＞0，結(jié)合不等式的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）∵a+b+c＝0，3a+2b+c＞0，∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，又∵b＝﹣a﹣c，∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0，∴a＞c；（2）∵b＝﹣a﹣c，c＞0，∴b＜﹣a，又∵2a+b＞0，∴﹣2a＜b，∴﹣2a＜b＜﹣a，又∵a＞c＞0，∴﹣2＜ba【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．【題型9利用不等式性質(zhì)求取值范圍或最值】【例9】（2022春?龍鳳區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥﹣2y，則x+y+z的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】設(shè)x+y+z＝t，用x表示z得到z＝x﹣6，則t＝3+x﹣6＝x﹣3，所以x＝t+3，再利用x≥﹣2y，y＝3﹣x得到x≥﹣2（3﹣x），解不等式得到x≤6，所以t+3≤6，然后解不等式得到t的最大值即可．【詳解】解：設(shè)x+y+z＝t，∵x﹣z＝6，∴z＝x﹣6，∵x+y＝3，∴y＝3﹣x，t＝3+x﹣6＝x﹣3，∴x＝t+3，∵x≥﹣2y，即x≥﹣2（3﹣x），∴x≤6，∴t+3≤6，解得t≤3，∴x+y+z的最大值為3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．也考查了等式的性質(zhì)．【變式9-1】（2022春?郫都區(qū)校級(jí)期中）若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，則a的取值范圍是a＞6．【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)不等式的兩邊都乘（6﹣a）后，不等號(hào)的方向改變了，說(shuō)明（6﹣a）是負(fù)數(shù)，從而得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：6﹣a＜0，∴a＞6，故答案為：a＞6．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，掌握①不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，不等號(hào)的方向不變；②不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；③不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022?天門(mén)校級(jí)自主招生）已知正數(shù)a、b、c滿足a2+c2＝16，b2+c2＝25，則k＝a2+b2的取值范圍為9＜k＜41．【分析】根據(jù)已知條件先將原式化成a2+b2的形式，最后根據(jù)化簡(jiǎn)結(jié)果即可求得k的取值范圍．【詳解】解：∵正數(shù)a、b、c滿足a2+c2＝16，b2+c2＝25，∴c2＝16﹣a2，a2＞0所以0＜c2＜16同理：有c2＝25﹣b2得到0＜c2＜25，所以0＜c2＜16兩式相加：a2+b2+2c2＝41即a2+b2＝41﹣2c2又∵﹣16＜﹣c2＜0即﹣32＜﹣2c2＜0∴9＜41﹣2c2＜41即9＜k＜41．【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是熟知不等式的基本性質(zhì)：基本性質(zhì)1：不等式兩邊同時(shí)加或減去同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)方向不變；基本性質(zhì)2：不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)大于0的數(shù)或式子，不等號(hào)方向不變；基本性質(zhì)3：不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)小于0的數(shù)或式子，不等號(hào)方向改變【變式9-3】（2022春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）已知a，b，c為整數(shù)，且a+b＝2006，c﹣a＝2005，若a＜b，求a+b+c的最大值．【分析】由c﹣a＝2005得c＝a+2005，與a+b＝2006相加得a+b+c＝a+4011，由a+b＝2006及a＜b，a為整數(shù)，可得a的最大值為1002，從而得出a+b+c的最大值．【詳解】解：由a+b＝2006，c﹣a＝2005，得a+b+c＝a+4011，∵a+b＝2006，a＜b，a為整數(shù)，∴a的最大值為1002，∴a+b+c的最大值為a+b+c＝a+4011＝5013．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，關(guān)鍵是由已知等式得出a+b+c的表達(dá)式，再求最大值．【題型10不等關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用】【例10】（2022春?饒平縣校級(jí)期末）有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字為a，十位上的數(shù)字為b，如果把這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，得到的兩位