高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 5.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法課時(shí)提升作業(yè) 理試題

數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.下列說(shuō)法正確的是()A.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}B.數(shù)列1,0,-1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同的數(shù)列C.數(shù)列QUOTE的第k項(xiàng)為1+QUOTED.數(shù)列0,2,4,6,…可記為{2n}【解析】選C.根據(jù)數(shù)列的定義與集合定義的不同可知A,B不正確,D項(xiàng){2n}中首項(xiàng)為2,故不正確,C中an=QUOTE,所以ak=1+QUOTE.【加固訓(xùn)練】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n2-8n+15,則3()A.不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)B.只是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)C.只是數(shù)列{an}中的第6項(xiàng)D.是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)【解析】選D.令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng).2.(2016·武漢模擬)數(shù)列0,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A.an=QUOTE(n∈N*)B.an=QUOTE(n∈N*)C.an=QUOTE(n∈N*)D.an=QUOTE(n∈N*)【解析】選C.將0寫成QUOTE,觀察數(shù)列中每一項(xiàng)的分子、分母可知,分子為偶數(shù)列,可表示為2(n-1),n∈N*;分母為奇數(shù)列,可表示為2n-1,n∈N*.3.(2016·洛陽(yáng)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2(an-1),則a2等于()A.4 B.2 C.1 D.-2【解析】選A.由題可知Sn=2(an-1),所以S1=a1=2(a1-1),解得a1=2.又S2=a1+a2=2(a2-1),解得a2=a1+2=4.4.(2016·岳陽(yáng)模擬)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),則a6=()A.3×44 B.3×44+1C.44 D.44+1【解析】選A.由an+1=3Sn,得到an=3Sn-1(n≥2),兩式相減得:an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,則an+1=4an(n≥2),又a1=1,a2=3S1=3a1=3,得到此數(shù)列除去第一項(xiàng)后,為首項(xiàng)是3,公比為4的等比數(shù)列,所以an=a2qn-2=3×4n-2(n≥2),則a6=3×44.【加固訓(xùn)練】數(shù)列{an}中,a1=1,對(duì)所有的n∈N*,都有a1a2a3…an=n2,則a3+a5=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)閍1a2a3…an=n2,所以a1a2a3…an-1=(n-1)2(n≥2),所以an=QUOTE=QUOTE(n≥2),所以a3=QUOTE,a5=QUOTE,所以a3+a5=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE.5.在數(shù)列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),則QUOTE的值是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由已知得a2=1+(-1)2=2.所以a3·a2=a2+(-1)3,所以a3=QUOTE.所以QUOTEa4=QUOTE+(-1)4,所以a4=3.所以3a5=3+(-1)5,所以a5=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.6.已知數(shù)列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}單調(diào)遞增,則k的取值范圍是()A.(-∞,2] B.(-∞,3)C.(-∞,2) D.(-∞,3]【解析】選B.因?yàn)閍n=n2-kn(n∈N*),且{an}單調(diào)遞增,所以an+1-an>0對(duì)?n∈N*都成立,又an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,所以由2n+1-k>0,即k<2n+1恒成立可知k<(2n+1)min=3.【誤區(qū)警示】本題在求解過(guò)程中常犯“an是關(guān)于n的二次函數(shù),若{an}單調(diào)遞增,則必有QUOTE≤1,k≤2”的錯(cuò)誤.出錯(cuò)的原因是忽視了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性即自變量是正整數(shù).【加固訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=QUOTE,那么這個(gè)數(shù)列是()A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.擺動(dòng)數(shù)列 D.常數(shù)列【解析】選A.因?yàn)閍n+1-an=QUOTE-QUOTE=QUOTE>0,所以an+1>an,數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.7.(2016·大同模擬)設(shè)數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,QUOTE為常數(shù)列,則an=()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解題提示】將Sn轉(zhuǎn)化為an與an-1,再求解.【解析】選B.由題意知,Sn+nan=2,當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1+(n-1)an-1=2,兩式相減得(n+1)an=(n-1)an-1,即QUOTE=QUOTE,從而QUOTE·QUOTE·QUOTE·…·QUOTE=QUOTE·QUOTE·…·QUOTE,有an=QUOTE,當(dāng)n=1時(shí)上式成立,所以an=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)8.數(shù)列{an}滿足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=.【解析】a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把n換成n-1得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,兩式相減整理得an=3n.答案:3n9.(2016·常德模擬)在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),則a2016等于.【解析】由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得該數(shù)列為1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,….由此可得a2016=a336×6=a6=-4.答案:-4【一題多解】本題還可以采用如下解法:an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1,兩式相加可得an+3=-an,an+6=an.所以a2016=a336×6=a6=-4.答案:-4【加固訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}中,a1=b(b為任意正數(shù)),an+1=-QUOTE(n=1,2,3,…),能使an=b的n的數(shù)值是()A.14 B.15 C.16 D.17【解析】選C.a1=b,a2=-QUOTE,a3=-QUOTE,a4=b,所以此數(shù)列的周期為3,故選C.10.已知數(shù)列{an}滿足a1=33,an+1-an=2n,則QUOTE的最小值為.【解析】因?yàn)閍n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2·(n-1)+2(n-2)+…+2×1+33=n·(n-1)+33,所以QUOTE=n+QUOTE-1≥2QUOTE-1,當(dāng)且僅當(dāng)n=QUOTE時(shí),“=”成立.又因?yàn)閚∈N*,因此當(dāng)n=6時(shí),QUOTE=6+5.5-1=10.5.答案:10.5【加固訓(xùn)練】(2016·龍巖模擬)如圖是用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案,則按此規(guī)律第(n)個(gè)圖案中需用黑色瓷磚塊.(用含n的代數(shù)式表示)【解析】第(1),(2),(3)…個(gè)圖案黑色瓷磚數(shù)依次為:15-3=12;24-8=16;35-15=20;…由此可猜測(cè)第(n)個(gè)圖案黑色瓷磚數(shù)為:12+(n-1)×4=4n+8.答案:4n+8(20分鐘40分)1.(5分)(2016·石家莊模擬)已知數(shù)列{an}滿足:a1=QUOTE,對(duì)于任意n∈N*,an+1=QUOTEan(1-an),則a2017-a2016=()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選D.a1=QUOTE,a2=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,a3=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,a4=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,…,歸納可知,當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí),an=QUOTE;當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),an=QUOTE,故a2017-a2016=QUOTE-QUOTE=QUOTE.2.(5分)(2016·龍巖模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,首項(xiàng)a1=-QUOTE,且滿足Sn+QUOTE+2=an(n≥2),則S2016等于()A.-QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】選D.因Sn+QUOTE+2=an=Sn-Sn-1(n≥2)?Sn-1+QUOTE=-2(n≥2),由已知可得,S1+QUOTE=-2?S2=-QUOTE,S2+QUOTE=-2?S3=-QUOTE,S3+QUOTE=-2?S4=-QUOTE,…可歸納出S2016=-QUOTE.3.(5分)(2016·揭陽(yáng)模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n=4,5,…),則a2017=.【解析】由于a1=1,a2=4,a3=9,則a4=a3+a2-a1=12,a5=a4+a3-a2=17,a6=a5+a4-a3=20,a7=a6+a5-a4=25,…,歸納可知an=an-2+8,即數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均是以公差為8的等差數(shù)列,則a2017=a1+1008d=8065.答案:8065【加固訓(xùn)練】(2015·安陽(yáng)模擬)某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下:第k棵樹種植在點(diǎn)Pk(xk,yk)處,其中x1=1,y1=1,當(dāng)k≥2時(shí),T(a)表示非負(fù)實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案第2016棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為.【解題提示】由已知分別利用累加法求出xk,yk,進(jìn)而求x2016,y2016.【解析】根據(jù)題意,x1=1,x2-x1=1-5TQUOTE+5TQUOTE,x3-x2=1-5TQUOTE+5TQUOTE,x4-x3=1-5TQUOTE+5TQUOTE,…xk-xk-1=1-5TQUOTE+5TQUOTE,將上述k個(gè)式子相加得,xk=k-5TQUOTE,所以x2016=2016-5TQUOTE=2016-5×403=1,同理,由y1=1,y2-y1=TQUOTE-TQUOTE,y3-y2=TQUOTE-TQUOTE,y4-y3=TQUOTE-TQUOTE,…yk-yk-1=TQUOTE-TQUOTE,將上述k個(gè)式子相加得,yk=1+TQUOTE,所以y2016=1+TQUOTE=1+403=404,所以第2016棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,404).答案:(1,404)4.(12分)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=(n+1)QUOTE(n∈N*).試問該數(shù)列{an}有沒有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù);若沒有,說(shuō)明理由.【解析】因?yàn)閍n+1-an=(n+2)QUOTE-(n+1)QUOTE=QUOTE·QUOTE,所以當(dāng)n<9時(shí),an+1-an>0,即an+1>an;當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,即an+1=an;當(dāng)n>9時(shí),an+1-an<0,即an+1<an;故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>….所以數(shù)列{an}有最大項(xiàng)a9或a10,其值為10·QUOTE,其項(xiàng)數(shù)為9或10.【加固訓(xùn)練】若數(shù)列QUOTE中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng),求k的值.【解析】方法一:由題意知,解得QUOTE≤k≤1+QUOTE.因?yàn)閗∈N*,所以k=4.方法二:設(shè)an=n(n+4)QUOTE,則an+1-an=(n+1)(n+5)QUOTE-n(n+4)QUOTE=QUOTE=QUOTE.當(dāng)n≤3時(shí),an+1-an>0,即an+1>an,當(dāng)n≥4時(shí),an+1-an<0,即an+1<an,故a1<a2<a3<a4,且a4>a5>a6>…所以數(shù)列中最大項(xiàng)是第4項(xiàng),即k=4.【方法技巧】數(shù)列{an}的最大(小)項(xiàng)的求法:(1)函數(shù)法:借助數(shù)列的單調(diào)性或圖象來(lái)解決.(2)利用轉(zhuǎn)折項(xiàng)法:利用不等式組QUOTE找到數(shù)列的最大項(xiàng);利用不等式組QUOTE找到數(shù)列的最小項(xiàng).5.(13分)已知數(shù)列{an}中,a1=1,前n項(xiàng)和Sn=QUOTEan.(1)求a2,a3.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)由S2=QUOTE