第4章一元一次方程全章復(fù)習(xí)與檢測(cè)卷-七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)學(xué)與練（蘇科版）

第4章一元一次方程全章復(fù)習(xí)攻略與檢測(cè)卷【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【3個(gè)概念】1方程的定義一元一次方程的定義3.方程的解【1個(gè)性質(zhì)】等式的性質(zhì)【1個(gè)解法】一元一次方程的解法【1個(gè)應(yīng)用】一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用【3個(gè)技巧】巧設(shè)未知數(shù)列表分析數(shù)量關(guān)系3.畫(huà)示意圖分析數(shù)量關(guān)系【1種思想】數(shù)形結(jié)合思想【檢測(cè)卷】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【3個(gè)概念】1方程的定義方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．【例1】下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是___________．（填序號(hào)）【答案】①④⑤．2.一元一次方程的定義一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．細(xì)節(jié)剖析：判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．【例2】．（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x的方程（a﹣1）x|a|﹣7＝0是一元一次方程，則a的值為（）A．1 B．±1 C．﹣1 D．0【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫一元一次方程．【解答】解：由題意可知：，解得：a＝﹣1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元一次方程的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式】．（2022秋?興化市期末）若關(guān)于x的方程xa﹣1+2＝0是一元一次方程，則a＝．【分析】根據(jù)一元一次方程的定義可得a﹣1＝1，再解即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程xa﹣1+2＝0是一元一次方程，∴a﹣1＝1，解得a＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫一元一次方程．3.方程的解方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個(gè)方程的解．【例3】（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的一元一次方程的解為，則m的值為（

）A．3 B． C．7 D．【答案】A【分析】把代入再進(jìn)行求解即可．【詳解】解：把代入得：，解得：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步驟．【變式】（2022秋·江蘇鹽城·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程的解是，則a的值為（）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】把代入方程中求出a的值即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程的解是，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程解的定義和解一元一次方程，熟知一元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．【1個(gè)性質(zhì)】等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．【例4】下列變形錯(cuò)誤的是（）A．由3x﹣2＝2x+1得x＝3 B．由x+7＝5得x+7﹣7＝5﹣7 C．由﹣2x＝3得x＝ D．由4﹣3x＝4x﹣3得4+3＝4x+3x【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．∵3x﹣2＝2x+1，∴3x﹣2x＝1+2，∴x＝3，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵x+7＝5，∴x+7﹣7＝5﹣7，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵﹣2x＝3，∴x＝﹣，故本選項(xiàng)符合題意；D．∵4﹣3x＝4x﹣3，∴4+3＝4x+3x，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的性質(zhì)，注意：等式的性質(zhì)是：①等式的兩邊都加（或減）同一個(gè)數(shù)或式子，等式仍成立；②等式的兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)，等式仍成立；等式的兩邊都除以同一個(gè)不等于0的數(shù)，等式仍成立．【變式】下列方程的變形過(guò)程中，正確的是（）A．由x＋2＝7，得x＝7＋2 B．由5x＝7，得C．由x＝7－2x，得x＋2x＝7 D．由x＝1，得x＝【答案】C【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析即可．【詳解】A.由x＋2＝7，得x＝72，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.由5x＝7，得，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.由x＝7－2x，得x＋2x＝7，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D.由x＝1，得x＝，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選C【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，解一元一次方程，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．【1個(gè)解法】一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．(2)去括號(hào)：依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)．(3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊．(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．【例5】（2023秋·江蘇徐州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）按照移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟求解即可；（2）按照去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟求解即可；（3）按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟求解即可；（4）按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟求解即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程的求解步驟．【變式1】．（2022秋·江蘇南通·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可；（2）去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可．【詳解】（1）解：，去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化成1，得；（2）（2），去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化成1得：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)解一元一次方程的步驟“去括號(hào)，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1”求解即可；（2）根據(jù)解一元一次方程的步驟“去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1”求解即可．【詳解】（1）解：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：，系數(shù)化為1，得：；（2）解：去分母，得：去括號(hào)，得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：，系數(shù)化為1，得：．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程．熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題關(guān)鍵．【變式3】．（2022秋·江蘇南通·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）按照去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)的步驟進(jìn)行求解即可；（2）先根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將分子分母化為整系數(shù)，再按照去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，化系數(shù)為1的步驟，進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，得：，合并同類項(xiàng)，得：；（2）解：，整理，得：，去分母，得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)，得：，合并同類項(xiàng)，得：，化系數(shù)為1，得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的方法和步驟．【變式4】．（2022秋·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）按照解一元一次方程的步驟：去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）按照解一元一次方程的步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，進(jìn)行計(jì)算即可解答；【詳解】（1）解：，，，，．（2），，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟解題的關(guān)鍵【1個(gè)應(yīng)用】一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用列方程解應(yīng)用題的步驟：①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為x） ③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系④列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型1.行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率3.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)4.工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量5.銀行存貸款問(wèn)題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期數(shù)6.數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：【例6】六年級(jí)和七年級(jí)分別有192人和133人，現(xiàn)在需要從兩個(gè)年級(jí)選出133人參加“讀書(shū)節(jié)”活動(dòng)，并且要使六年級(jí)，七年級(jí)剩余學(xué)生數(shù)之比為2：1，問(wèn)應(yīng)從六年級(jí)，七年級(jí)各選出多少人？【分析】總?cè)藬?shù)不變，抽出的人數(shù)加上為抽出的人數(shù)等于總?cè)藬?shù)，設(shè)未知數(shù)，由題意列出一元一次方程即可．【詳解】解：設(shè)從六年級(jí)抽出x人，則應(yīng)從七年級(jí)抽出（133x），由題意得：（192x）：[133（133x）]=2：1，即（192x）：x=2：1，解得：x=64，∴13364=69（人）．答；應(yīng)從六年級(jí)抽出64人，從七年級(jí)抽出69人．【點(diǎn)睛】本題是一元一次方程的應(yīng)用，考查的是人員調(diào)配問(wèn)題，關(guān)鍵知道調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系從而可列方程求解．【例7】某公司新研發(fā)一種辦公室用壁掛式電磁日歷，底板是一塊長(zhǎng)方形磁塊，再用31枚圓柱形小鐵片標(biāo)上數(shù)字吸附在底板上作為日期，如圖1是2007年10月份日歷（1）用長(zhǎng)方形和正方形分別圈出相鄰的3個(gè)數(shù)和9個(gè)數(shù)，若設(shè)圈出的數(shù)的中心數(shù)為a，用含a的整式表示這3個(gè)數(shù)的和與9個(gè)數(shù)的和，結(jié)果分別為，．（2）用某種圖形圈出相鄰的5個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)的和能表示成5a的形式，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出一個(gè)這樣的圖形．（3）用平行四邊形圈出相鄰的四個(gè)數(shù)，是否存在這樣的4個(gè)數(shù)使得a+b+c+d＝114？如果存在就求出來(lái)，不存在說(shuō)明理由．（4）第一次翻動(dòng)31枚日歷鐵片，第二次翻動(dòng)其中的30枚，第三次翻動(dòng)其中的29枚，……，第31次只翻動(dòng)其中的一枚，按這樣的方法翻動(dòng)日歷鐵片，能否使鐵板上所有的31枚鐵片原來(lái)有數(shù)字的一面都朝下，試通過(guò)計(jì)算證明你的判斷．【分析】（1）根據(jù)日歷的特點(diǎn)可列出關(guān)于a的方程，求解即可；（2）根據(jù)上下左右的數(shù)量關(guān)系，畫(huà)圖即可．（3）舉例拆分即可．（4）根據(jù)數(shù)字的奇偶性規(guī)律驗(yàn)證．【解析】（1）長(zhǎng)方形中中間數(shù)為a，上下兩數(shù)分別為（a﹣7）；（a+7）∴3個(gè)數(shù)的和為a+（a﹣7）+（a+7）＝3a正方形中中間數(shù)為a，那么左右兩數(shù)分別為（a﹣1）；（a+1）根據(jù)以上規(guī)律左邊三個(gè)數(shù)的和為3（a﹣1）；中間三個(gè)數(shù)的和為3a；右邊三個(gè)數(shù)的和為3（a+1）∴9個(gè)數(shù)的和為3（a﹣1）+3a+3（a+1）＝9a故答案為：3a，9a．（2）如圖所示即可（3）存在，∵b＝a+1，c＝a+6，d＝a+7，∴a+b+c+d＝a+a+1+a+6+a+7＝114，解得：a＝25，∴b＝26，c＝31，d＝32．（4）不能，共翻動(dòng)了31+30+29+28+……+2+1＝（31+1）×31÷2＝496次偶數(shù)次而要使一個(gè)鐵片翻面，需要1次、3次，5次，……奇數(shù)次需要翻動(dòng)的總次數(shù)是奇數(shù)×31＝奇數(shù)次奇數(shù)≠偶數(shù)所以，不能．【例8】甲、乙、丙、丁四人一共做了820個(gè)零件，如果把甲做的個(gè)數(shù)加10個(gè)，乙做的個(gè)數(shù)減去20個(gè)，丙做的個(gè)數(shù)乘以2，丁做的個(gè)數(shù)除以2，那么四人做的個(gè)數(shù)正好相等，問(wèn)乙實(shí)際上做了多少個(gè)零件?【答案】200個(gè)【分析】設(shè)四個(gè)人做的零件數(shù)相等時(shí)為x個(gè)，分別表示出四個(gè)人原來(lái)的量，根據(jù)總數(shù)為820個(gè)列出方程，解之即可得到乙實(shí)際做的數(shù)量．【詳解】解：設(shè)四個(gè)人做的零件數(shù)相等時(shí)為x個(gè)，由題意可得：，解得：x=180，乙：180+20=200個(gè)，∴乙實(shí)際上做了200個(gè)零件．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程，題中條件較多，那么統(tǒng)一設(shè)四個(gè)人做的零件數(shù)相等時(shí)為x個(gè)就比較方便表示出原來(lái)的量，便于列方程．【例9】快車以200km/h的速度由甲地開(kāi)往乙地再返回甲地，慢車以75km/h的速度同時(shí)從乙地出發(fā)開(kāi)往甲地．已知當(dāng)快車回到甲地時(shí)，慢車距離甲地還有225km，則（1）甲乙兩地相距多少千米？（2）從出發(fā)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車相遇？（3）幾小時(shí)后兩車相距100千米？【分析】（1）設(shè)甲、乙兩地相距x千米，根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度結(jié)合兩車相同時(shí)間內(nèi)行駛的路程間的關(guān)系，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)y小時(shí)兩車相遇，分兩車第一次相遇及兩車第二次相遇兩種情況考慮，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，即可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（3）設(shè)t小時(shí)后兩車相距100千米，分兩車第一次相距100千米、第二次相距100千米、第三次相距100千米、第四次相距100千米及第五次相距100千米五種情況考慮，根據(jù)兩車行駛的路程之間的關(guān)系，即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解析】（1）設(shè)甲、乙兩地相距x千米，依題意，得：2x200解得：x＝900．答：甲、乙兩地相距900千米．（2）設(shè)經(jīng)過(guò)y小時(shí)兩車相遇．第一次相遇，（200+75）y＝900，解得：y=36第二次相遇，200y﹣75y＝900，解得：y=36答：從出發(fā)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)3611或36（3）設(shè)t小時(shí)后兩車相距100千米．第一次相距100千米時(shí)，200t+75t＝900﹣100，解得：t=32第二次相距100千米時(shí)，200t+75t＝900+100，解得：t=40第三次相距100千米時(shí)，200t﹣75t＝900﹣100，解得：t=32第四次相距100千米時(shí)，200t﹣75t＝900+100，解得：t＝8；第五次相距100千米時(shí)，75t＝900﹣100，解得：t=32答：經(jīng)過(guò)3211，4011，325，8或32【例10】在某一城市美化工程招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)．經(jīng)測(cè)算：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要90天；若由甲隊(duì)先做20天，剩下的工程由甲、乙兩隊(duì)合作完成．（1）甲、乙兩隊(duì)合作多少天？（2）甲隊(duì)施工一天需付工程款萬(wàn)元，乙隊(duì)施工一天需付工程款2萬(wàn)元．若該工程計(jì)劃在70天內(nèi)完成，在不超過(guò)計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙隊(duì)單獨(dú)完成該工程省錢？還是由甲乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢？【分析】（1）設(shè)甲、乙兩隊(duì)合作t天，甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要90天，所以乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程的速度是甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程的23，由題意可列方程60﹣20＝t（1+（2）把在工期內(nèi)的情況進(jìn)行比較即可；【解析】（1）設(shè)甲、乙兩隊(duì)合作t天，由題意得：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程的速度是甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程的23∴60﹣20＝t（1+2解得：t＝24（2）設(shè)甲、乙合作完成需y天，則有（160+190）×解得，y＝36，①甲單獨(dú)完成需付工程款為60×＝210（萬(wàn)元）．②乙單獨(dú)完成超過(guò)計(jì)劃天數(shù)不符題意，③甲、乙合作完成需付工程款為36×（3.5+2）＝198（萬(wàn)元）．答：在不超過(guò)計(jì)劃天數(shù)的前提下，由甲、乙合作完成最省錢．【例11】小明和父母打算去某火鍋店吃火鍋，該店在網(wǎng)上出售“25元抵50元的全場(chǎng)通用代金券”（即面值50元的代金券實(shí)付25元就能獲得），店家規(guī)定代金券等同現(xiàn)金使用，一次消費(fèi)最多可用3張代金券，而且使用代金券的金額不能超過(guò)應(yīng)付總金額．（1）如果小明一家應(yīng)付總金額為145元，那么用代金券方式買單，他們最多可以優(yōu)惠多少元；（2）小明一家來(lái)到火鍋店后，發(fā)現(xiàn)店家現(xiàn)場(chǎng)還有一個(gè)優(yōu)惠方式：除鍋底不打折外，其余菜品全部6折．小明一家點(diǎn)了一份50元的鍋底和其他菜品，用餐完畢后，聰明的小明對(duì)比兩種優(yōu)惠，選擇了現(xiàn)場(chǎng)優(yōu)惠方式買單，這樣比用代金券方式買單還能少付15元．問(wèn)小明一家實(shí)際付了多少元？【分析】（1）根據(jù)某火鍋店代金券的規(guī)定即可求解；（2）設(shè)小明一家應(yīng)付總金額為x元，分三種情況：當(dāng)50≤x＜100時(shí)，當(dāng)100≤x＜150時(shí)，當(dāng)x≥150時(shí)，列出方程即可求解．【解析】（1）∵145＜150．最多購(gòu)買并使用兩張代金券，∴最多優(yōu)惠50元．（2）設(shè)小明一家應(yīng)付總金額為x元，當(dāng)50≤x＜100時(shí)，由題意得，x﹣25﹣[50+（x﹣50）×0.6]＝15．解得：x＝150（舍去）．當(dāng)100≤x＜150時(shí)，由題意得，x﹣50﹣[50+（x﹣50）×0.6]＝15．解得：x＝（舍去）．當(dāng)x≥150時(shí)，由題意得，x﹣75﹣[50+（x﹣50）×0.6]＝15．解得：x＝275，275﹣75﹣15＝185（元）．答：小明一家實(shí)際付了185元．【3個(gè)技巧】1.巧設(shè)未知數(shù)【例12】（2023秋·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）在下表所示的某年1月份的日歷中，用一個(gè)方框圈出任意個(gè)數(shù)．星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六(1)若從左下角到右上角的三個(gè)數(shù)字之和為42，請(qǐng)問(wèn)中間一天是1月幾號(hào)？這9個(gè)日期的日期之和是多少？(2)這張表中能圈出的9個(gè)數(shù)的最大和是多少？【答案】(1)14，126；(2)207【分析】（1）設(shè)中間的數(shù)字為x，那么得到其余兩個(gè)數(shù)分別為、，然后根據(jù)3個(gè)數(shù)字的和為42就可以列出方程求解，即可得到中間的一天和日期之和；（2）設(shè)中間的數(shù)為a，列出代數(shù)式，分析即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)中間的數(shù)字為x，那么得到其余兩個(gè)數(shù)分別為、，依題意得∴，所以其余兩個(gè)數(shù)是：8，20，∴9個(gè)數(shù)分別是6、7、8、13、14、15、20、21、22，∴這9個(gè)數(shù)的和是126，即中間一天是1月14號(hào)，這9個(gè)日期的日期之和是126；（2）設(shè)中間的數(shù)為a，其余的數(shù)為，，，，，，，，依題意得：，當(dāng)a最大時(shí)，和最大，由上表可知，中間數(shù)a最大為23，即，答：最大和為207．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．解題要點(diǎn)是要了解日歷上相鄰數(shù)之間的關(guān)系．2.列表分析數(shù)量關(guān)系【例13】一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)是個(gè)位上的數(shù)的兩倍，若把兩個(gè)數(shù)字對(duì)調(diào)，則新得到的兩位數(shù)比原兩位數(shù)小36，求原兩位數(shù)。分析：題中數(shù)量關(guān)系如下表（若設(shè)原數(shù)的個(gè)位數(shù)字為X）十位數(shù)字個(gè)位數(shù)字本數(shù)原兩位數(shù)2XX20X+X新兩位數(shù)X2X10X+2X可知相等關(guān)系為：原兩位數(shù)＋36＝新兩位數(shù)解：設(shè)原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為X，則其十位數(shù)字為2X。(10x+2x)+36=20x+x解之得X＝4則原數(shù)的十位數(shù)字為2X＝8答：原兩位數(shù)是84?！咀兪健考讉}(cāng)庫(kù)儲(chǔ)糧35噸，乙倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)糧19噸，現(xiàn)調(diào)糧食15噸，應(yīng)分配給兩倉(cāng)庫(kù)各多少噸，才能使得甲倉(cāng)庫(kù)的糧食數(shù)量是乙倉(cāng)庫(kù)的兩倍？分析：若設(shè)應(yīng)分給甲倉(cāng)庫(kù)糧食X噸，則數(shù)量關(guān)系如下表原有糧食新分給糧食現(xiàn)有糧食甲倉(cāng)庫(kù)35X35+X乙倉(cāng)庫(kù)19(15－X)19+(15－X)相等關(guān)系為：甲倉(cāng)庫(kù)現(xiàn)有糧食的重量＝2×乙倉(cāng)庫(kù)現(xiàn)有糧食的重量解：設(shè)應(yīng)分給甲倉(cāng)庫(kù)糧食X噸，則應(yīng)分給乙倉(cāng)庫(kù)糧食（15－X)噸。35+x=2{19+(15x)}解之得X＝11則15－X＝4答：應(yīng)分給甲倉(cāng)庫(kù)11噸糧食，分給乙倉(cāng)庫(kù)4噸糧食。3.畫(huà)示意圖分析數(shù)量關(guān)系【例14】A、B兩地相距100km，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲騎了1h后，乙從B地出發(fā)，問(wèn)甲經(jīng)過(guò)多少時(shí)間與乙相遇？【答案與解析】解:設(shè)甲經(jīng)過(guò)x小時(shí)與乙相遇.由題意得：．解得，x=2.75．答：甲經(jīng)過(guò)2.75小時(shí)與乙相遇．【總結(jié)升華】等量關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程=100km【1種思想】數(shù)形結(jié)合思想【例15】（2020·浙江省義烏市稠江中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）在一條直線上從左到右有點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離為7個(gè)單位長(zhǎng)度，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，t秒后M，N兩點(diǎn)間距離是1，則t=__________.【答案】1或3或6【分析】根據(jù)已知點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為2和點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離為7可知AC=9.M,N分別從A,B出發(fā)，因?yàn)镸的速度比N的速度快，所以會(huì)出現(xiàn)3種情況：①M(fèi)在N后面1個(gè)單位長(zhǎng)度；②M超過(guò)N一個(gè)單位長(zhǎng)度；③M先到達(dá)C點(diǎn)然后停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)N仍然運(yùn)動(dòng)直到M,N相距一個(gè)單位長(zhǎng)度【詳解】解：①M(fèi)在N后面1個(gè)單位長(zhǎng)度，則有2t=t+21，解得t=1；②M超過(guò)N一個(gè)單位長(zhǎng)度，則有2t=t+2+1，解得t=3；③M先到達(dá)C點(diǎn)需要秒．此時(shí)N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，距離C點(diǎn)還有個(gè)單位長(zhǎng)度．N點(diǎn)需再運(yùn)動(dòng)秒才能到達(dá)距離C點(diǎn)1個(gè)單位長(zhǎng)度的位置，此時(shí)t=6.故答案為：1或3或6【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，能按照題意分情況討論是解題關(guān)鍵．【變式1】解方程|x2|＝3．【答案與解析】解：當(dāng)x2≥0時(shí)，原方程可化為x2＝3，得x＝5．當(dāng)x2＜0時(shí)，原方程可化為(x2)＝3，得x＝1．所以x＝5和x＝1都是方程|x2|＝3的解．【總結(jié)升華】如圖所示，可以看出點(diǎn)1與5到點(diǎn)2的距離均為3，所以|x2|＝3的意義為在數(shù)軸上到點(diǎn)2的距離等于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，即方程|x2|＝3的解為x＝1和x＝5．【變式2】（2023秋·江蘇蘇州·七年級(jí)蘇州草橋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)軸上A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為、3、5，點(diǎn)P為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．點(diǎn)A與點(diǎn)P之間的距離表示為，點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的距離表示為．(1)若，則__________；(2)若，求x的值；(3)若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)__________s，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為4．【答案】(1)1(2)或5(3)1或5【分析】（1）結(jié)合數(shù)軸，進(jìn)行求解即可；（2）分點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)A、B中間，點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，三種情況，列出方程進(jìn)行求解即可．（3）設(shè)后P、Q兩點(diǎn)之間的距離為4，分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，分別列出方程，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：由點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，可知，當(dāng)時(shí)，P在點(diǎn)A、B中間，∴，，∴，解得：；故答案為：1；（2）解：∵若點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)，，，則，解得：；若點(diǎn)P在點(diǎn)A、B中間：，，則，不符合題意；若點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，，，則，解得：；綜上的值為或5．（3）解：設(shè)后P、Q兩點(diǎn)之間的距離為4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，，解得：；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，，解得：；綜上分析可知，經(jīng)過(guò)或，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為4．故答案為：1或5．【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用．熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·江蘇南通·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）絕對(duì)值拓展材料：表示數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離如：表示在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離而，即表示、在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離類似的，有：表示、在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離一般地，點(diǎn)、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，那么、之間的距離可表示為完成下列題目：(1)、分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為．①、兩點(diǎn)之間的距離為．②折疊數(shù)軸，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合；③若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的倍，則點(diǎn)所表示的數(shù)是．(2)若滿足時(shí)，則的值是．(3)求的最小值為，此時(shí)x的值為．【答案】(1)①6；②5；③2或10(2)或2(3)5；【分析】（1）①根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式求解即可；②先根據(jù)折疊的性質(zhì)找出折痕點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式求解即可；③分點(diǎn)P在之間和P在B右側(cè)兩種情況，再分別根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式列出等式求解即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式分三種情況：即，，，再根據(jù)絕對(duì)值運(yùn)算化簡(jiǎn)求值即可．（3）設(shè)數(shù)軸上2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C，x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P，分P在C的左側(cè)；P和C重合；P在B、C之間；P和B重合；P在B、A之間；P和A重合；P在A的右側(cè)，討論即可．【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，∴、兩點(diǎn)之間的距離為，故答案為：6；②折疊數(shù)軸，使A點(diǎn)與B點(diǎn)重合，則折痕點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為設(shè)與表示的點(diǎn)重合的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，則根據(jù)折疊的性質(zhì)、兩點(diǎn)的距離公式得：，解得：，故答案為：5；③設(shè)點(diǎn)P所表示的數(shù)為b，由題意，分以下兩種情況：當(dāng)P在之間時(shí)，則，解得：，當(dāng)P在B右側(cè)時(shí)，則，解得：綜上，則點(diǎn)P所表示的數(shù)是2或10故答案為：2或10；（2）解：∵，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無(wú)解當(dāng)時(shí)，，解得，故答案為：或2；（3）解：表示x與2的距離，表示x與的距離，表示x與的距離，設(shè)數(shù)軸上2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為B，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C，x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P，當(dāng)P在C的左側(cè)時(shí)，如圖，，即；當(dāng)P和C重合時(shí)，如圖，；當(dāng)P在B、C之間時(shí)，如圖，，∵，∴，即；當(dāng)P和B重合時(shí)，如圖，；當(dāng)P在B、A之間時(shí)，如圖，，∵，∴，即；當(dāng)P和A重合時(shí)，如圖，；當(dāng)P在A的右側(cè)時(shí)，如圖，，即；∴在時(shí)取最小值，最小值為5；故答案為：5；．【點(diǎn)睛】本題主要是對(duì)數(shù)軸上知識(shí)的考查，解絕對(duì)值方程，熟練掌握數(shù)軸、絕對(duì)值、兩點(diǎn)的距離是解決本題的關(guān)鍵，難度適中．【檢測(cè)卷】一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?海門市校級(jí)月考）下列方程中是一元一次方程的是（）A．x+y＝3 B．＝4 C．2x﹣x＝0 D．2x﹣x【分析】根據(jù)一元一次方程的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．方程x+y＝3是二元一次方程，不是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B．方程＝4是分式方程，不是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C．方程2x﹣x＝0是一元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意；D．2x﹣x是代數(shù)式不是方程，不是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的定義，能熟記一元一次方程的定義（只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程叫一元一次方程）是解此題的關(guān)鍵．2．（2022秋?姜堰區(qū)校級(jí)月考）若x＝2是關(guān)于x的方程2x+a＝3的解，則a的值是（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【分析】把x＝2代入關(guān)于x的方程2x+a＝3，列出關(guān)于a的新方程，通過(guò)解新方程求得a的值即可．【解答】解：∵x＝2是關(guān)于x的方程2x+a＝3的解，∴2×2+a＝3，解得a＝﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的解的定義．理解方程的解的定義，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．3．（2022秋?云龍區(qū)校級(jí)月考）把方程﹣去分母，正確的是（）A．3x﹣（x﹣1）＝1 B．3x﹣x﹣1＝1 C．3x﹣x﹣1＝6 D．3x﹣（x﹣1）＝6【分析】去分母的方法是方程兩邊同時(shí)乘以各分母的最小公倍數(shù)6，在去分母的過(guò)程中注意分?jǐn)?shù)線起到括號(hào)的作用，以及去分母時(shí)不能漏乘沒(méi)有分母的項(xiàng)．【解答】解：方程兩邊同時(shí)乘以6得：3x﹣（x﹣1）＝6．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】在去分母的過(guò)程中注意分?jǐn)?shù)線起到括號(hào)的作用，并注意不能漏乘沒(méi)有分母的項(xiàng)．4．（2022秋?如皋市校級(jí)月考）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)，變形不正確的是（）A．若x＝y(tǒng)，則x+5＝y(tǒng)+5 B．若a＝b，則ac＝bc C．若x＝y(tǒng)，則 D．若（c≠0），則a＝b【分析】根據(jù)等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或字母），等式仍成立；等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不為零），等式仍成立．【解答】解：A、若x＝y(tǒng)，則x+5＝y(tǒng)+5，此選項(xiàng)正確；B、若a＝b，則ac＝bc，此選項(xiàng)正確；C、若x＝y(tǒng)，當(dāng)a≠0時(shí)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、若（c≠0），則a＝b，此選項(xiàng)正確；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或字母），等式仍成立；等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不為零），等式仍成立．5．（2023?延邊州一模）我國(guó)元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中有個(gè)問(wèn)題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何追及之．這道題的意思是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？如果我們?cè)O(shè)快馬x天可以追上慢馬，則可列方程（）A．240x＝150x+12 B．240x＝150x﹣12 C．240x＝150（x+12） D．240x＝150（x﹣12）【分析】設(shè)快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬，依題意，得：240x＝150（x+12）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?高港區(qū)校級(jí)月考）下列方程變形中，正確的是（）A．方程3x+4＝4x﹣5，移項(xiàng)得3x﹣4x＝5﹣4 B．方程﹣x＝4，系數(shù)化為1得x＝4×（﹣） C．方程3﹣2（x+1）＝5，去括號(hào)得3﹣2x﹣2＝5 D．方程，去分母得3（x﹣1）﹣1＝2（3x+1）【分析】各方程分別移項(xiàng)，系數(shù)化為1，去括號(hào)，以及去分母得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：A、方程3x+4＝4x﹣5，移項(xiàng)得3x﹣4x＝﹣5﹣4，不符合題意；B、方程﹣x＝4，系數(shù)化為1得x＝4×（﹣），不符合題意；C、方程3﹣2（x+1）＝5，去括號(hào)得3﹣2x﹣2＝5，符合題意；D、方程﹣1＝，去分母得3（x﹣1）﹣6＝2（3x+1），不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次方程，以及等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)以及去括號(hào)法則是解本題的關(guān)鍵．7．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）某超市在“元旦”活動(dòng)期間，推出如下購(gòu)物優(yōu)惠方案：①一次性購(gòu)物在100元（不含100元）以內(nèi)，不享受優(yōu)惠；②一次性購(gòu)物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以內(nèi)，一律享受九折優(yōu)惠；③一次性購(gòu)物在350元（含350元）以上，一律享受八折優(yōu)惠；小敏在該超市兩次購(gòu)物分別付了90元和270元，如果小敏把這兩次購(gòu)物改為一次性購(gòu)物，則小敏至少需付款（）元A．288 B．296 C．312 D．320【分析】設(shè)第一次購(gòu)物購(gòu)買商品的價(jià)格為x元，第二次購(gòu)物購(gòu)買商品的價(jià)格為y元，分0＜x＜100及100≤x＜350兩種情況可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之可求出x的值，由第二次購(gòu)物付款金額＝×第二次購(gòu)物購(gòu)買商品的價(jià)格可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之可求出y值，再利用兩次購(gòu)物合并為一次購(gòu)物需付款金額＝×兩次購(gòu)物購(gòu)買商品的價(jià)格之和，即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)第一次購(gòu)物購(gòu)買商品的價(jià)格為x元，第二次購(gòu)物購(gòu)買商品的價(jià)格為y元，當(dāng)0＜x＜100時(shí)，x＝90；當(dāng)100≤x＜350時(shí)，x＝90，解得：x＝100；∵y＝270，∴y＝300．∴（x+y）＝312或320．所以至少需要付312元．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是第一次購(gòu)物的90元可能有兩種情況，需要討論清楚．本題要注意不同情況的不同算法，要考慮到各種情況，不要丟掉任何一種．8．（2022秋?如皋市校級(jí)月考）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有四人共車，一車空；三人共車，九人步，問(wèn)人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每4人共乘一車，最終剩余1輛車；若每3人共乘一車，最終剩余9個(gè)人無(wú)車可乘，問(wèn)共有多少人，多少輛車？設(shè)共有x人，可列方程（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)車的輛數(shù)不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：依題意，得．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣10，OB＝2OA，點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)B向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M、點(diǎn)N同時(shí)出發(fā)），經(jīng)過(guò)幾秒，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別到原點(diǎn)O的距離相等（）A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或者秒 D．秒【分析】根據(jù)點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣10，OB＝2OA，可得點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)，設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，根據(jù)點(diǎn)M、點(diǎn)N到原點(diǎn)O的距離相等，列出方程可解出時(shí)間x的值．【解答】解：∵點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣10，OB＝2OA，∴OB＝2OA＝20，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為20，設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，點(diǎn)M、點(diǎn)N到原點(diǎn)O的距離相等，則點(diǎn)M表示的數(shù)為x﹣10，點(diǎn)N表示的數(shù)為20﹣3x，根據(jù)題意得：|x﹣10|＝|20﹣3x|，∴x﹣10＝20﹣3x或x﹣10＝﹣（20﹣3x），解得：或x＝5，即經(jīng)過(guò)5秒或秒后，點(diǎn)M，點(diǎn)N到原點(diǎn)O的距離相等；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸、絕對(duì)值等知識(shí)，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．10．（2022秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和為9，如果將個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)后所得新數(shù)比原數(shù)小9，則原兩位數(shù)是（）A．45 B．27 C．72 D．54【分析】要求這個(gè)兩位數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為求個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字分別是多少，若設(shè)原數(shù)的個(gè)位數(shù)字是x，因?yàn)閭€(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和是9，則十位數(shù)字是9﹣x．則原數(shù)是：10（9﹣x）+x．新數(shù)是：10x+（9﹣x），本題中的等量關(guān)系是：新數(shù)＝原數(shù)+9．【解答】解：設(shè)原數(shù)的個(gè)位數(shù)字是x，則十位數(shù)字是9﹣x．根據(jù)題意得：10x+（9﹣x）＝10（9﹣x）+x+9，解得：x＝5，9﹣x＝4，則原數(shù)為54．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查一元一次方程的應(yīng)用，求兩位數(shù)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵．并且通過(guò)本題要掌握，已知十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字如何用代數(shù)式表示兩位數(shù)．二．填空題（共8小題）11．（2022秋?啟東市校級(jí)月考）小紅在解關(guān)于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2時(shí)，誤將方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解為x＝1，則原方程的解為x＝﹣1．【分析】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a(bǔ)的值代入原方程求解即可．【解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，得3+1＝3a﹣2，解得a＝2，故原方程為﹣3x+1＝6﹣2，﹣3x＝3，解得x＝﹣1．故答案為：x＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的解的定義．使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．12．（2023春?無(wú)錫月考）關(guān)于x的方程x|m|﹣2＝0是一元一次方程，則m＝±1．【分析】根據(jù)一元一次方程的定義可得|m|＝1，再解即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x|m|﹣2＝0是一元一次方程，由題意得：|m|＝1，解得：m＝±1，故答案為：±1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫一元一次方程．13．（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）若x＝5是關(guān)于x的方程2x+3a＝4的解，則a＝﹣2．【分析】把x＝5代入方程2x+3a＝4得出10+3a＝4，再求出方程的解即可．【解答】解：把x＝5代入方程2x+3a＝4得：10+3a＝4，解得：a＝﹣2，故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出關(guān)于a的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．14．（2023秋?吳江區(qū)月考）若3m﹣7和9﹣m互為相反數(shù)，則m的值是﹣1．【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0得出方程，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解即可．【解答】解：∵3m﹣7和9﹣m互為相反數(shù)，∴3m﹣7+9﹣m＝0，∴3m﹣m＝7﹣9，∴2m＝﹣2，∴m＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．15．（2023春?無(wú)錫月考）若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為x＝b﹣a，則稱該方程為“奇異方程”．例如：2x＝4的解為x＝4﹣2，則該方程2x＝4是“奇異方程”．已知關(guān)于x的一元一次方程4x＝m+3是奇異方程，則m的值為．【分析】先求出方程的解，再根據(jù)方程是奇異方程得出＝m+3﹣4，再求出方程的解即可．【解答】解：解方程4x＝m+3得：x＝，∵關(guān)于x的一元一次方程4x＝m+3是奇異方程，∴＝m+3﹣4，∴＝m﹣1，∴m+3＝4m﹣4，∴m﹣4m＝﹣4﹣3，∴﹣3m＝﹣7，∴m＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出關(guān)于m的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．16．（2023秋?錫山區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣10，點(diǎn)B表示的數(shù)為30．點(diǎn)M以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向右移動(dòng)，點(diǎn)N以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O向右運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)M，點(diǎn)N同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)2或秒，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別到點(diǎn)O的距離相等．【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)t秒點(diǎn)M、N到原點(diǎn)O的距離相等，分兩種情況，一是點(diǎn)M在原點(diǎn)的左邊，二是點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，列方程求出x的值即可．【解答】解：設(shè)經(jīng)過(guò)t秒點(diǎn)M、N到原點(diǎn)O的距離相等，若點(diǎn)M在點(diǎn)O左側(cè)，則﹣（﹣10+4t）＝t，解得t＝2；若點(diǎn)M在點(diǎn)O的右側(cè)，則點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，點(diǎn)M、N到原點(diǎn)O的距離相等，所以﹣10+4t＝t，解得t＝，綜上所述，經(jīng)過(guò)2秒或秒，點(diǎn)M、N到原點(diǎn)O的距離相等，故答案為：2或．【點(diǎn)評(píng)】此題考查解一元一次方程、列一元一次方程解應(yīng)用題等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是按點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)或原點(diǎn)右側(cè)分類討論，求出結(jié)果．17．（2022秋?贛榆區(qū)校級(jí)月考）某課外活動(dòng)小組中女生人數(shù)占全組人數(shù)的一半，如果再增加6名女生，那么女生人數(shù)就占全組人數(shù)的．這個(gè)課外活動(dòng)小組共有12名學(xué)生．【分析】根據(jù)題意可得女生人數(shù)為x人，再加上6人是（x+6）人，這時(shí)學(xué)生人數(shù)為（x+6）人，根據(jù)再加入6名女生就占原來(lái)人數(shù)的，可得．【解答】解：設(shè)該課外活動(dòng)小組共有x人，則可列方程為：．解得：x＝12．答：這個(gè)課外活動(dòng)小組共有12名學(xué)生．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，解題的關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系，有的題目所含的等量關(guān)系比較隱藏，要注意仔細(xì)審題，耐心尋找．18．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝2BE．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿點(diǎn)C﹣D﹣A﹣E勻速運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，若三角形PCE的面積為18cm2，則t的值為或6．【分析】分下列三種情況討論，如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在CD上，即0＜t≤3時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式建立方程求出其解即可；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AD上，即3＜t≤7時(shí)，由S△PCE＝S四邊形AECD﹣S△PCD﹣S△PAE建立方程求出其解即可；如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AE上，即7＜t≤9時(shí)，由S△PCE＝PE?BC＝18建立方程求出其解即可．【解答】解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在CD上，即0＜t≤3時(shí)，∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝8cm．∵CP＝2t（cm），∴S△PCE＝×2t×8＝18，∴t＝；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AD上，即3＜t≤7時(shí)，∵AE＝2BE，∴AE＝AB＝4．∵DP＝2t﹣6，AP＝8﹣（2t﹣6）＝14﹣2t．∴S△PCE＝×（4+6）×8﹣（2t﹣6）×6﹣（14﹣2t）×4＝18，解得：t＝6；當(dāng)點(diǎn)P在AE上，即7＜t≤9時(shí)，PE＝18﹣2t．∴S△CPE＝（18﹣2t）×8＝18，解得：t＝＜7（舍去）．綜上所述，當(dāng)t＝或6時(shí)△APE的面積會(huì)等于18．故答案為：或6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的運(yùn)用，三角形面積公式的運(yùn)用，梯形面積公式的運(yùn)用，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，分類討論等；解答時(shí)要運(yùn)用分類討論思想求解，避免漏解．三．解答題（共8小題）19．（2022秋?興化市校級(jí)月考）解方程：（1）4﹣x＝3（2﹣x）；（2）1﹣＝．【分析】（1）方程去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【解答】解：（1）去括號(hào)得：4﹣x＝6﹣3x，移項(xiàng)合并得：2x＝2，解得：x＝1；（2）去分母：6﹣3（x+1）＝2（2﹣x），去括號(hào)得：6﹣3x﹣3＝4﹣2x，移項(xiàng)合并得：﹣x＝1，解得：x＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．20．（2022秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）若方程2x﹣5＝x﹣2與的解相同，求a的值．（解方程要有詳細(xì)步驟）．【分析】先解方程2x﹣5＝x﹣2，可得x＝3，然后再把x＝3代入中，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：2x﹣5＝x﹣2，2x﹣x＝﹣2+5，x＝3，由題意得：把x＝3代入中可得：3a﹣＝a﹣，30a﹣5（3﹣a）＝10a﹣2（a﹣6），30a﹣15+5a＝10a﹣2a+12，30a+5a﹣10a+2a＝12+15，27a＝27，a＝1，∴a的值為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同解方程，熟練掌握同解方程的意義是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）數(shù)軸上的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣3，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度爬行，當(dāng)它到達(dá)數(shù)軸上的B點(diǎn)后，立即沿原路原速返回A點(diǎn)，共用去11秒．（1）螞蟻爬行的路程是多少？（2）點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？【分析】（1）直接利用路程＝速度×?xí)r間計(jì)算即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，則A、B兩點(diǎn)間的距離為2|x﹣（﹣3）|＝2|x+3|，根據(jù)“2倍AB的距離＝22”列出方程，求解即可．【解答】解：（1）螞蟻爬行的路程為2×11＝22（個(gè)單位長(zhǎng)度）；（2）設(shè)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，則A、B兩點(diǎn)間的距離為2|x﹣（﹣3）|＝2|x+3|，由題意得：2|x+3|＝22，解得：x＝8或﹣14，∴點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為8或﹣14，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)軸、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，熟知在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別表示的數(shù)為a、b，A、B兩點(diǎn)間的距離為|a﹣b|是解題關(guān)鍵．22．（2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：有人說(shuō)，距離能產(chǎn)生美．點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問(wèn)題：（1）數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離是4；（2）數(shù)軸上若點(diǎn)A表示的數(shù)是x，點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣2，則點(diǎn)A和B之間的距離是|x+2|，若AB＝2，那么x為x＝0或x＝﹣4；（3）當(dāng)x是﹣3或2時(shí)，代數(shù)式|x+2|+|x﹣1|＝5；（4）若點(diǎn)A表示的數(shù)﹣1，點(diǎn)B與點(diǎn)A的距離是10，且點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，求運(yùn)動(dòng)幾秒后，PQ＝1？（請(qǐng)寫出必要的求解過(guò)程）【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得答案；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得答案；（3）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，可化簡(jiǎn)方程，根據(jù)解方程，可得答案；（4）根據(jù)PQ的距離為1，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．【解答】解：（1）數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離是1﹣（﹣3）＝4；（2）數(shù)軸上若點(diǎn)A表示的數(shù)是x，點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣2，則點(diǎn)A和B之間的距離是|x+2|，若AB＝2，得x+2＝2或x+2＝﹣2，解得x＝0或x＝﹣4；（3）當(dāng)x＜﹣2時(shí)，﹣x﹣2﹣x+1＝5，解得x＝﹣3，當(dāng)﹣2≤x＜1時(shí)，x+2+1﹣x|＝5，方程無(wú)解，當(dāng)x≥1時(shí)，x+2+x﹣1＝5，解得x＝2，故答案為：4；|x+2|，0或﹣4；﹣3或2；（4）設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后，點(diǎn)Q與點(diǎn)P相距1個(gè)單位，由題意，得①P超過(guò)Q，3x﹣x＝10+1，解得x＝，②P在Q的后邊，3x﹣x＝10﹣1，解得x＝，答：運(yùn)動(dòng)或秒后，點(diǎn)Q與點(diǎn)P相距1個(gè)單位．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，利用兩點(diǎn)間的距離是解題關(guān)鍵，解（4）的關(guān)鍵是利用PQ的距離為1得出方程，要分類討論，以防遺漏．23．（2022秋?相城區(qū)校級(jí)月考）某體育用品商店開(kāi)展促銷活動(dòng)，有兩種優(yōu)惠方案．方案一：不購(gòu)買會(huì)員卡時(shí)，乒乓球享受折優(yōu)惠，乒乓球拍購(gòu)買5副（含5副）以上才能享受折優(yōu)惠，5副以下必須按標(biāo)價(jià)購(gòu)買．方案二：辦理會(huì)員卡時(shí)，全部商品享受八折優(yōu)惠，小健和小康的談話內(nèi)容如下：小?。郝?tīng)說(shuō)這家商店辦一張會(huì)員卡是20元．小康：是的，上次我辦了一張會(huì)員卡后，買了4副乒乓球拍，結(jié)果費(fèi)用節(jié)省了12元．（會(huì)員卡限本人使用）（1）求該商店銷售的乒乓球拍每副的標(biāo)價(jià)．（2）如果乒乓球每盒10元，小健需購(gòu)買乒乓球拍6副，乒乓球a盒，小健如何選擇方案更劃算？【分析】（1）設(shè)該商店銷售的乒乓球拍每副的標(biāo)價(jià)是x元，根據(jù)辦會(huì)員卡購(gòu)買比不辦會(huì)員卡購(gòu)買節(jié)省12元這一相等關(guān)系列方程求出x的值即可；（2）先確定小健不辦會(huì)員卡購(gòu)買的乒乓球和球拍均享受折優(yōu)惠，再按不辦會(huì)員卡與辦會(huì)員卡所付錢數(shù)相同列方程求出a的值，再確定a為多少時(shí)不辦會(huì)員卡劃算、a為多少時(shí)辦會(huì)員卡劃算．【解答】解：（1）設(shè)該商店銷售的乒