競(jìng)賽數(shù)學(xué)典型問題解決-數(shù)列與遞推關(guān)系(新)講訴

數(shù)列與遞推關(guān)系第三節(jié)數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù).數(shù)列的有關(guān)問題往往圍繞通項(xiàng)與求和問題展開,數(shù)列問題涉及數(shù)列的通項(xiàng)、求和、數(shù)列的性質(zhì)(如單調(diào)性、周期性、整除性、取值范圍等等);另外,還常與函數(shù)迭代、集合分拆、初等數(shù)論等其它知識(shí)交織成綜合題.由于其中不少問題可以轉(zhuǎn)化歸結(jié)為遞推數(shù)列問題,因此這里主要介紹遞推數(shù)列.一.遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式例1

已知求的表達(dá)式.解一

(輔助數(shù)列法)

令則是首項(xiàng)且公比為2的等比數(shù)列,故疊加得因此,解二

(特征方程法)

解特征方程得可設(shè)有由得解得所以解三

(母函數(shù)法)設(shè)的母函數(shù)為則三式相加,并注意到得即由于故因此,例2

設(shè)函數(shù)記則(2003年,“希望杯”高一第1試)解

(不動(dòng)點(diǎn)法)令得不動(dòng)點(diǎn)于是相比得即由及等比數(shù)列通項(xiàng)公式得所以例3

已知求表達(dá)式.分析對(duì)非齊次遞推式,有時(shí)可采用齊次化方法簡(jiǎn)化遞推關(guān)系,達(dá)到解決問題的目的.解∵∴兩式相加,并整理得令上式說明的奇數(shù)項(xiàng)相等,偶數(shù)項(xiàng)也相等.而故即解特征方程得可設(shè)由得解得于是例4

已知數(shù)列滿足則的值為

.(2004年全國(guó)高中)解

顯然于是由易見及歸納法從而因此∴

“九連環(huán)”是中國(guó)先人創(chuàng)造的智力游戲.在2002年北京世界數(shù)學(xué)家大會(huì)期間,這個(gè)古老的游戲引起了與會(huì)數(shù)學(xué)家們的濃厚興趣.該游戲依賴以下兩個(gè)原則:(1)第1個(gè)環(huán)任何情況下,可下也可上;(2)如果某一環(huán)在上,而它前面所有環(huán)都在下,則這個(gè)環(huán)的后一個(gè)環(huán)可上也可下.記上“連環(huán)”總共需要步；當(dāng)“連環(huán)”完成后接著完成“連環(huán)”個(gè)環(huán)需要步,由原則(2)知先卸下前再上第個(gè)環(huán)要1步,再裝上前個(gè)環(huán)要步,所以,新增加的步驟數(shù)為注意第n個(gè)環(huán)可上也可下又因此“象為數(shù)學(xué)問題就是連環(huán)”問題抽[九連環(huán)]設(shè)數(shù)列前已知例5

項(xiàng)之和為求解

因?yàn)樗杂傻缺葦?shù)列通項(xiàng)公式,有整理得整理得由等比數(shù)列通項(xiàng)公式,有故注：

時(shí),(次).若每秒完成１次,每天做12小時(shí),則７億多次需要90.8年.多么驚人的數(shù)字！和例6

函數(shù)定義在正整數(shù)集上,且滿足則的值是.(2002年,上海市高中)解

依題意,有相減得故所以,二.利用遞推數(shù)列的性質(zhì)解題1.求值問題且解設(shè)實(shí)數(shù)滿足求的值.(第6屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題改編)例7

[好鄰居]

記則為求注意到有相鄰系數(shù)關(guān)系,設(shè)展開并比較系數(shù)得故所以解特征方程得(三重).可設(shè)其中由得解得所以故注：時(shí)即為第6屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題.例8

已知若時(shí)的值都能被9整除,求南省高中)的最小值.(2002年湖解一

(先特殊后一般)計(jì)算知數(shù)列前幾項(xiàng)為1,3,9,33,153,873,…,注意到是9的倍數(shù),由遞推關(guān)系知第5項(xiàng)后各項(xiàng)都是9的倍數(shù),故的最小值為5．解二

(先求通項(xiàng)公式,再考察其規(guī)律)由條件得反復(fù)使用此式可得于是注意時(shí)而計(jì)算知前5項(xiàng)只有倍數(shù),是9的故的最小值為5.例9

已知求證:對(duì)一切非零自然數(shù)總有為整數(shù).(1963年,莫斯科)解∵∴兩式相減,并整理得令上式說明為常數(shù)列.而故即至此,用數(shù)學(xué)歸納法不難證明結(jié)論成立.2.考察數(shù)列的性質(zhì)例10

求證:滿足的數(shù)列是整數(shù)數(shù)列.(2001年,英國(guó)(第2輪))重新整理遞推關(guān)系,化為易應(yīng)用的形式.分析證明由條件可得平方得①②∴削去常數(shù)項(xiàng),得所以或由此可見,若是整數(shù),則也是整數(shù).由用數(shù)學(xué)歸納法不難證明結(jié)論成立.3.證明不等式例11求證:時(shí),(1996年,世界城市數(shù)學(xué)競(jìng)賽)分析

用遞推關(guān)系簡(jiǎn)化通項(xiàng),最后說明設(shè)解

設(shè)則變形,得(構(gòu)造輔助數(shù)列),故所以易見,時(shí),得證.即4.組合計(jì)數(shù)

(1)青蛙每次跳時(shí)有2種不同的選擇方法，解所以跳k-1

2k-1

種不同的方法．次共有又從A出發(fā)的2k-1種不同的跳法分為兩類：例12[荷塘月色]池塘里有3張荷葉A、B、C，

一只青蛙在這3張荷葉上跳來跳去．若青蛙從A

開始，跳k(k≥2)次后又回到A,

不同跳法種數(shù)為并設(shè)所有可能的

(1)k>2時(shí),與的遞推關(guān)系式；間(2)求的值．求

(2)

(1)青蛙每次跳時(shí)有2種不同的選擇方法，解所以跳k-1

2k-1

種不同的方法．次共有又從A出發(fā)的2k-1種不同的跳法分為兩類：一類是第k-1次跳回到A的,有種；第k-1次跳回到B或C的,另一類是再跳一次可跳回到A,有種.所以易知k=3時(shí)有兩種不同的跳法：

(2)

(1)解易知k=3時(shí)有兩種不同的跳法：由(1)可得附：分組數(shù)列將數(shù)列按一定的規(guī)律分組,以組為單位的新數(shù)列稱為原數(shù)列的分組數(shù)列(又叫分群數(shù)列).用數(shù)列的有關(guān)知識(shí)考察分組數(shù)列,是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種新題型.例12

刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,…中的所有完全平方數(shù),得到一個(gè)新數(shù)列,這個(gè)新數(shù)列的第2003項(xiàng)是()(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049(2003年全國(guó)高中)例12刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,…中的所有完全平方數(shù),得到一個(gè)新數(shù)列,這個(gè)新數(shù)列的第2003項(xiàng)是()(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049(2003年全國(guó)高中)解

(利用平方數(shù)特征及選擇支提供的信息解決)故待選項(xiàng)之前刪去的最大完全平方數(shù)是2003+45=2048知選(C).由為第4組,對(duì)正偶數(shù)進(jìn)行“理想配數(shù)”：為第1組,例13

為第2組,為第3組,…,那么2004為第

組的第個(gè)數(shù).(2006年啟東中學(xué)高一測(cè)試題)解

考察各組第1個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列記(差分法)其前n項(xiàng)和為于是由知,2004在第45組.則易知公差為2的等差數(shù)列,是以2為首項(xiàng)且設(shè)2004為第45組的第可k個(gè)數(shù),解得k=12.2004=1982+(k-1)×2,所以,2004為第45組的第12個(gè)數(shù).由通項(xiàng)公式得例14已知一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是1或2,首項(xiàng)為1,且在第k個(gè)1和第k+1個(gè)1之間有個(gè)2,即1,2,1,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,…(1)求該;(2)是否存在正整數(shù)n,數(shù)列前1998項(xiàng)的和使前n項(xiàng)的和?若存在,求n的值;若不存在,請(qǐng)證明你的結(jié)論.(1998年,湖南省高中)分析第(1)小題先確定第1998項(xiàng)在第幾組,再求和就不難了;第(2)小題先假設(shè)存在,再研究其性質(zhì).解

(1)將數(shù)列分組：第i個(gè)1和它后面?zhèn)€2這個(gè)數(shù)稱為第i組.設(shè)第1998項(xiàng)在第k組,則k是滿足的最小正整數(shù),即估算：故k=11.將前11組的各組數(shù)首項(xiàng)1先換成2