中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)題型精講精練人教版：專題11 解直角三角形模型（專項(xiàng)突破）-解析版

專項(xiàng)突破11解直角三角形模型【思維導(dǎo)圖】◎突破一背靠背型例．（2021·甘肅武威·中考真題）如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑．寶塔建造工藝精湛，與崆峒山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動，具體過程如下：方案設(shè)計(jì)：如圖2，寶塔垂直于地面，在地面上選取兩處分別測得和的度數(shù)（在同一條直線上）．?dāng)?shù)據(jù)收集：通過實(shí)地測量：地面上兩點(diǎn)的距離為．問題解決：求寶塔的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：，．根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程．【答案】【分析】設(shè)，再利用銳角三角函數(shù)用含的代數(shù)式表示再列方程，解方程可得答案．【詳解】解：設(shè)，在中，，

在中，，

，解得，．

答：寶塔的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)建立邊與邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．專訓(xùn)1．（2021·上海楊浦·一模）如圖，為了測量河寬，在河的一邊沿岸選取B、C兩點(diǎn)，對岸岸邊有一塊石頭A，在中，測得，，米，求河寬（即點(diǎn)A到邊的距離）（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】河寬約為33.6米【分析】過A作AD⊥BC于D，并設(shè)AD=x米，則由已知條件可以得到關(guān)于x的方程，解方程即可得到河的寬度．【詳解】解：如圖，過A作AD⊥BC于D，并設(shè)AD=x米，∵∠C=45°，∴∠DAC=90°-45°=45°，∴CD=AD=x，∵∠B=64°，∴BD=，∵BC=50米，∴，解之得：x≈33.6，答：河寬約33.6米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義并結(jié)合方程思想求解是解題關(guān)鍵．專訓(xùn)2．（2021·四川攀枝花·九年級期末）如圖，從一個(gè)建筑物的A處測得對面樓BC的頂部B的仰角為32o，底部C的俯角為45o，觀測點(diǎn)與樓的水平距離AD為31m，則樓BC的高度大約為多少米？（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】50．【分析】在Rt△ABD中，根據(jù)正切函數(shù)求得BD=AD?tan32°=31×0.6=18.6，在Rt△ACD中，求得BC=BD+CD=18.6+31=49.6m．結(jié)論可求．【詳解】解：在Rt△ABD中，∵AD=31,∠BAD=32°，∴BD=AD?tan32°=31×0.6=18.6，在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，∴CD=AD=31，∴BC=BD+CD=18.6+31≈50m．答：樓BC的高度大約為50米．【點(diǎn)睛】本題考查了仰角與俯角的知識，注意能借助仰角與俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．專訓(xùn)3．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）為進(jìn)一步加強(qiáng)疫情防控工作，避免在測溫過程中出現(xiàn)人員聚集現(xiàn)象，某學(xué)校決定安裝紅外線體溫監(jiān)測儀，該設(shè)備通過探測人體紅外輻射能量對進(jìn)入測溫區(qū)域的人員進(jìn)行快速測溫，無需人員停留和接觸，安裝說明書的部分內(nèi)容如表．名稱紅外線體溫檢測儀安裝示意圖技術(shù)參數(shù)探測最大角：∠OBC=73.14°探測最小角：∠OAC=30.97°安裝要求本設(shè)備需安裝在垂直于水平地面AC的支架CP上根據(jù)以上內(nèi)容，解決問題：學(xué)校要求測溫區(qū)域的寬度AB為4m，請你幫助學(xué)校確定該設(shè)備的安裝高度OC．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）【答案】該設(shè)備的安裝高度OC約為2.9m．【分析】根據(jù)題意可得OC⊥AC，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m，所以得AC=AB+BC=4+BC，根據(jù)直角三角形銳角三角函數(shù)列式計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意可知：OC⊥AC，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m，∴AC=AB+BC=4+BC，∴在Rt△OBC中，BC=，在Rt△OAC中，OC=AC?tan∠OAC≈(4+BC)×0.6，∴OC=0.6(4+)，解得OC≈2.9（m）．答：該設(shè)備的安裝高度OC約為2.9m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)得到關(guān)于OC的方程是解題的關(guān)鍵．◎突破二子母型例．（2021·安徽馬鞍山·三模）如圖，在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中，某小組想要測量某條河的寬度，小組成員在專業(yè)人員的協(xié)助下利用無人機(jī)進(jìn)行測量，在處測得，兩點(diǎn)的俯角分別為45°和30°（即，）．若無人機(jī)離地面的高度為120米，且點(diǎn)，，在同一水平直線上，求這條河的寬度．（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】88米【分析】在Rt△APQ和Rt△BPQ中，利用銳角三角函數(shù)，用PQ表示出AQ、BQ的長，然后計(jì)算出AB的長．【詳解】解：，，，在Rt△APQ中，，，（米），在Rt△BPQ，，（米），（米），答：這條河的寬度約為88米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角、俯角問題．解決本題的關(guān)鍵是用含PQ的式子表示出AQ和BQ．專訓(xùn)1．（2020·河南師大附中九年級階段練習(xí)）某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的活動課題是“測量物體高度”．小組成員小明與小紅分別采用不同的方案測量同一個(gè)底面為圓形的古塔高度，以下是他們研究報(bào)告的部分記錄內(nèi)容：課題：測量古塔的高度小明的研究報(bào)告小紅的研究報(bào)告圖示測量方案與測量數(shù)據(jù)

用距離地面高度為1.6m的測角器測出古塔頂端的仰角為35°，再用皮尺測得測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離為30m．在點(diǎn)A用距離地面高度為1.6m的測角器測出古塔頂端的仰角為17°，然后沿AD方向走58.8m到達(dá)點(diǎn)B，測出古塔頂端的仰角為45°．參考數(shù)據(jù)sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，≈1.41計(jì)算古塔高度（結(jié)果精確到0.1m）30×tan35°+1.6≈22.6（m）（1）寫出小紅研究報(bào)告中“計(jì)算古塔高度”的解答過程；（2）數(shù)學(xué)老師說小紅的結(jié)果較準(zhǔn)確，而小明的結(jié)果與古塔的實(shí)際高度偏差較大．針對小明的測量方案分析測量發(fā)生偏差的原因；（3）利用小明與小紅的測量數(shù)據(jù)，估算該古塔底面圓直徑的長度為m．【答案】（1）見解析；（2）小明測量的只是測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離，不是測量測角器所在位置與底面圓心的最短距離；（3）12．【分析】（1）設(shè)CH＝x，在Rt△CHF中根據(jù)∠CFH＝∠FCH＝45°，可知CH＝FH＝x，在Rt△CHE中根據(jù)tan∠CEH＝可得出x的值，由CD＝CH+DH即可得出結(jié)論；（2）小明測量的只是測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離，不是測量測角器所在位置與底面圓心的最短距離；（3）根據(jù)小明與小紅的計(jì)算結(jié)果得出古塔底面的半徑，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)CH＝x，在Rt△CHF中，∵∠CFH＝∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝x，在Rt△CHE中，∵tan∠CEH＝，∴＝tan17°＝0.30，∴x＝25.2，即CH＝25.2（m），∴CD＝CH+DH＝25.2+1.6＝26.8（m），答：古塔CD的高度為26.8m；（2）原因：小明測量的只是測角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離，不是測量測角器所在位置與底面圓心的最短距離．（3）如圖，在EH上取一點(diǎn)P使∠CPH＝35°，則PG＝30，在Rt△CHP中，CH＝25.2，∴PH＝＝＝36，∴GH＝PH﹣PG＝6，∴該古塔底面圓直徑的長度＝2×6＝12（m）．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．專訓(xùn)2．（2020·山東青島·九年級期末）如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌，小明在斜坡的坡腳處測得宣傳牌底部的仰角為，沿斜坡向上走到處測得宣傳牌頂部的仰角為，已知斜坡的坡度，米，米，求宣傳牌的高度．（測角器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，，【答案】宣傳牌的高度為2米．【分析】過E分別作CD、AC的垂線，設(shè)垂足為F、C，則CF=EG，CG=EF，然后在、、中解直角三角形即可．【詳解】解：過分別作、的垂線，設(shè)垂足為、，則，，在中，斜坡的坡度，米，設(shè)米，米，，，米，米，在中，，米，（米），在中，（米），（米）．答：宣傳牌的高度為2米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角、俯角問題，正確作出輔助線、構(gòu)建直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．專訓(xùn)3．（2020·四川涼山·九年級階段練習(xí)）四川省委書記杜青林、國家旅游局副局長張希欽2006年12月16日向獲得“中國優(yōu)秀旅游城市”稱號的西昌市授牌，并修建了標(biāo)志性建筑——馬踏飛燕，如圖．某學(xué)習(xí)小組把測量“馬踏飛燕”雕塑的最高點(diǎn)離地面的高度作為一次課題活動，制定了測量方案，并完成了實(shí)地測量，測得結(jié)果如下表：課題測量“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度測量示意圖如圖，雕塑的最高點(diǎn)B到地面的高度為，在測點(diǎn)C用儀器測得點(diǎn)B的仰角為α，前進(jìn)一段距離到達(dá)測點(diǎn)E，再用該儀器測得點(diǎn)B的仰角為β，且點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)A，C，E在同一條直線上．測量數(shù)據(jù)的度數(shù)的度數(shù)的長度儀器（）的高31°42°3米1.65米請你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度（結(jié)果保留到十分位）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】米【分析】在兩個(gè)直角三角形中，用BG表示DG、FG，進(jìn)而用DG?FG＝DF＝3列方程求出BG即可．【詳解】如圖，延長DF與AB交于點(diǎn)G，設(shè)BG＝x米，在Rt△BFG中，F(xiàn)G＝，在Rt△BDG中，，由DG?FG＝DF得，，即，解得，x＝5.4，∴AB＝AG＋BG＝1.65＋5.4＝7.057.1（米），答：這座“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度為7.1米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，用BG表示DG、FG是列方程求解的關(guān)鍵．◎突破三擁抱型例．（2021·黑龍江大慶·一模）如圖，小瑩在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識對某小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測量，先測得居民樓AB與CD之間的距離AC為35m，后站在M點(diǎn)處測得居民樓CD的頂端D的仰角為45°，居民樓AB的頂端B的仰角為55°，已知居民樓CD的高度為16.6m，小瑩的觀測點(diǎn)N距地面1.6m．求居民樓AB的高度（精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）．【答案】30米【分析】過點(diǎn)N作EF∥AC交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，可得AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可得BE的長，進(jìn)而可得AB的高度．【詳解】解：過點(diǎn)N作EF∥AC交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，則AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，則DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15，在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15，∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20，在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，∴BE＝EN?tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43≈28.6，∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30．答：居民樓AB的高度約為30米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義．專訓(xùn)1．（2020·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)22m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為60°．（1）求炎帝塑像DE的高度．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，1.73）（2）“景點(diǎn)簡介”顯示，“炎帝”塑像高度為63m，請計(jì)算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．【答案】（1）64m；（2）誤差為0.36，減小誤差的合理化建議：多次測量，求平均值．【分析】（1）根據(jù)正切的定義用x表示出BC，再根據(jù)正切的定義求出AC，結(jié)合圖形列出方程，解方程即可得到答案；（2）根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)即可題出建議即多次測量，求平均值．【詳解】（1）解：設(shè)DE=xm，則DC=（x+54）m．在Rt△DCB中，tan∠DBC，∴BC（x+54）．在Rt△ECA中，tanA，∴AC90，由題意得：90（x+54）=22，解得：x≈64，答：炎帝塑像DE的高度約為64m．（2）由（1）知，誤差為減小誤差的合理化建議：多次測量，求平均值．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．專訓(xùn)2．（2021·云南師大附中九年級期末）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)22m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73）【答案】炎帝塑像DE的高度約為64m．【分析】根據(jù)正切的定義用x表示出BC，再根據(jù)正切的定義求出AC，結(jié)合圖形列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：設(shè)DE=xm，則DC=(x+54)m，在Rt△DCB中，tan∠DBC=，∴BC===(x+54)，在Rt△ECA中，tanA=，∴AC=≈=90，由題意得，90﹣(x+54)=22，解得，x≈64，答：炎帝塑像DE的高度約為64m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．專訓(xùn)3．（2020·山西太原·模擬預(yù)測）山西大學(xué)主校區(qū)內(nèi)有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．是山西大學(xué)的標(biāo)志性建筑之一，目前已被列入保護(hù)文物．綜合與實(shí)踐小組的同學(xué)們開展了測量這一毛主席塑像高度的活動．他們在該塑像底部所在的平地上，選取一個(gè)測點(diǎn)，測量了塑像頂端的仰角，調(diào)高測傾器后二次測量了塑像頂端的仰角．為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數(shù)及測傾器高度時(shí)，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果，測量數(shù)據(jù)如下表．課題測量毛主席塑像的高度組長：XXX

組員：XXX，XXX，XXX測傾器，皮尺等成員測量工具測量示意圖說明：線段的長表示塑像從最高點(diǎn)到地面之間的距離，為測點(diǎn)，線段，表示測傾器（點(diǎn)在上），點(diǎn)，，，，都在同一豎直平面