基本初等函數(shù)與函數(shù)圖像知識點與題型(含答案)

第1課時指數(shù)函數(shù)根底根底過關1．根式：(1)定義：假設，那么稱為的次方根①當為奇數(shù)時，次方根記作__________；②當為偶數(shù)時，負數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個次方根且互為相反數(shù)，記作________(a>0).(2)性質：①；②當為奇數(shù)時，；③當為偶數(shù)時，_______＝2．指數(shù)：(1)規(guī)定：①a0＝(a≠0)；②a-p＝；③.(2)運算性質：①(a>0,r、Q)②(a>0,r、Q)③(a>0,r、Q)注：上述性質對r、R均適用.3．指數(shù)函數(shù)：①定義：函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，1)函數(shù)的定義域為；2)函數(shù)的值域為；3)當________時函數(shù)為減函數(shù)，當_______時為增函數(shù).②函數(shù)圖像：1)過點，圖象在；2)指數(shù)函數(shù)以為漸近線(當時，圖象向無限接近軸，當時，圖象向無限接近x軸)；3)函數(shù)的圖象關于對稱.③函數(shù)值的變化特征：①②③①②③典型例題典型例題例1.a=,b=9.求：〔1〕〔2〕.解：〔1〕原式=.÷［a·］==a.∵a=，∴原式=3.〔2〕方法一化去負指數(shù)后解.∵a=∴a+b=方法二利用運算性質解.∵a=∴a+b=變式訓練1：化簡以下各式〔其中各字母均為正數(shù)〕:〔1〕〔2〕解：〔1〕原式=〔2〕原式=-例2.函數(shù)f(x)=x2-bx+c滿足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,那么f(bx)與f(cx)的大小關系是〔〕A.f(bx)≤f(cx)B.f(bx)≥f(cx)C.f(bx)＞f(cx)D.大小關系隨x的不同而不同解：A變式訓練2：實數(shù)a、b滿足等式，以下五個關系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的關系式有〔〕A.1個B.2個C.3個D.4個解：B例3.求以下函數(shù)的定義域、值域及其單調(diào)區(qū)間：〔1〕f(x)=3;〔2〕g(x)=-(.解：〔1〕依題意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1,∴f〔x〕的定義域是〔-∞，1］∪［4，+∞〕.令u=∵x∈〔-∞，1］∪［4，+∞〕，∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥30=1,∴函數(shù)f(x)的值域是［1，+∞〕.∵u=,∴當x∈〔-∞，1］時，u是減函數(shù)，當x∈［4，+∞〕時，u是增函數(shù).而3＞1,∴由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，f〔x〕=3在〔-∞，1］上是減函數(shù)，在［4，+∞〕上是增函數(shù).故f〔x〕的增區(qū)間是［4，+∞〕，減區(qū)間是〔-∞，1］.〔2〕由g(x)=-(∴函數(shù)的定義域為R，令t=(x(t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等號成立的條件是t=2,即g(x)≤9,等號成立的條件是(=2，即x=-1，∴g〔x〕的值域是〔-∞，9］.由g(t)=-(t-2)2+9(t＞0),而t=(是減函數(shù)，∴要求g(x)的增區(qū)間實際上是求g(t)的減區(qū)間，求g(x)的減區(qū)間實際上是求g(t)的增區(qū)間.∵g〔t〕在〔0，2］上遞增，在［2，+∞〕上遞減，由0＜t=(≤2,可得x≥-1,由t=(≥2,可得x≤-1.∴g〔x〕在［-1，+∞〕上遞減，在〔-∞，-1］上遞增，故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是〔-∞，-1］，單調(diào)遞減區(qū)間是［-1，+∞〕.變式訓練3：求以下函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：〔1〕y=(;(2)y=2.解：〔1〕函數(shù)的定義域為R.令u=6+x-2x2,那么y=(.∵二次函數(shù)u=6+x-2x2的對稱軸為x=,在區(qū)間［，+∞〕上，u=6+x-2x2是減函數(shù)，又函數(shù)y=(u是減函數(shù)，∴函數(shù)y=(在［，+∞〕上是增函數(shù).故y=(單調(diào)遞增區(qū)間為［，+∞〕.〔2〕令u=x2-x-6,那么y=2u,∵二次函數(shù)u=x2-x-6的對稱軸是x=,在區(qū)間［，+∞〕上u=x2-x-6是增函數(shù).又函數(shù)y=2u為增函數(shù)，∴函數(shù)y=2在區(qū)間［，+∞〕上是增函數(shù).故函數(shù)y=2的單調(diào)遞增區(qū)間是［，+∞〕.例4．設a＞0,f(x)=是R上的偶函數(shù).〔1〕求a的值；〔2〕求證：f(x)在〔0，+∞〕上是增函數(shù).〔1〕解：∵f〔x〕是R上的偶函數(shù)，∴f〔-x〕=f〔x〕，∴∴〔a-=0對一切x均成立，∴a-=0，而a＞0,∴a=1.〔2〕證明在〔0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2,那么f(x1)-f(x2)=+--=(∵x1＜x2,∴有∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴＞1,-1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),故f(x)在〔0,+∞〕上是增函數(shù).變式訓練4：定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當x∈(0,1)時，f(x)=.〔1〕求f〔x)在［-1，1］上的解析式；〔2〕證明：f(x)在〔0，1〕上是減函數(shù).〔1〕解：當x∈(-1,0)時，-x∈(0,1).∵f〔x〕是奇函數(shù)，∴f〔x〕=-f〔-x〕=-由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在區(qū)間［-1，1］上，有f〔x〕=(2)證明當x∈(0,1)時，f(x)=設0＜x1＜x2＜1,那么f(x1)-f(x2)=∵0＜x1＜x2＜1,∴＞0，2-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),故f(x)在〔0，1〕上單調(diào)遞減.小結歸納小結歸納1．＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一數(shù)量關系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉化，選擇最好的形式進行運算.在運算中，根式常常化為指數(shù)式比擬方便，而對數(shù)式一般應化為同底.2．處理指數(shù)函數(shù)的有關問題，要緊密聯(lián)系函數(shù)圖象，運用數(shù)形結合的思想進行求解.3．含有參數(shù)的指數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題最根本的分類方案是以“底〞大于1或小于1分類.4．含有指數(shù)的較復雜的函數(shù)問題大多數(shù)都以綜合形式出現(xiàn)，與其它函數(shù)(特別是二次函數(shù))形成的函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問題等等，因此要注意知識的相互滲透或綜合.第2課時對數(shù)函數(shù)根底根底過關1．對數(shù)：(1)定義：如果，那么稱為，記作，其中稱為對數(shù)的底，N稱為真數(shù).①以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，記作___________．②以無理數(shù)為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，記作_________．(2)根本性質：①真數(shù)N為(負數(shù)和零無對數(shù))；②；③；④對數(shù)恒等式：．(3)運算性質：①loga(MN)＝___________________________；②loga＝____________________________；③logaMn＝(n∈R).④換底公式：logaN＝(a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)⑤.2．對數(shù)函數(shù)：①定義：函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，1)函數(shù)的定義域為(；2)函數(shù)的值域為；3)當______時，函數(shù)為減函數(shù)，當______時為增函數(shù)；4)函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù).②1)圖象經(jīng)過點()，圖象在；2)對數(shù)函數(shù)以為漸近線(當時，圖象向上無限接近y軸；當時，圖象向下無限接近y軸)；4)函數(shù)y＝logax與的圖象關于x軸對稱．③函數(shù)值的變化特征：①②③①②③典型例題典型例題例1計算：〔1〕〔2〕2(lg)2+lg·lg5+;〔3〕lg-lg+lg.解：〔1〕方法一利用對數(shù)定義求值設=x,那么(2+)x=2-==〔2+〕-1,∴x=-1.方法二利用對數(shù)的運算性質求解==(2+)-1=-1.〔2〕原式=lg〔2lg+lg5〕+=lg(lg2+lg5)+|lg-1|=lg+(1-lg)=1.〔3〕原式=〔lg32-lg49〕-lg8+lg245=(5lg2-2lg7)-×+(2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(2×5)=lg10=.變式訓練1：化簡求值.〔1〕log2+log212-log242-1;〔2〕(lg2)2+lg2·lg50+lg25;〔3〕(log32+log92)·(log43+log83).解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2〔2〕原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.〔3〕原式=(例2比擬以下各組數(shù)的大小.〔1〕log3與log5;〔2〕log1.10.7與log1.20.7;〔3〕logb＜loga＜logc,比擬2b,2a,2c的大小關系.解：〔1〕∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴l(xiāng)og3＜log5.(2)方法一∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞,∴,即由換底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.方法二作出y=log1.1x與y=log1.2x的圖象.如下圖兩圖象與x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.(3)∵y=為減函數(shù)，且,∴b＞a＞c,而y=2x是增函數(shù)，∴2b＞2a＞2c.變式訓練2：0＜a＜1,b＞1,ab＞1，那么loga的大小關系是〔〕A.logaB.C.D.解：C例3函數(shù)f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果對于任意x∈［3，+∞〕都有|f(x)|≥1成立，試求a的取值范圍.解：當a＞1時，對于任意x∈［3，+∞〕，都有f(x)＞0.所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞〕上為增函數(shù)，∴對于任意x∈［3，+∞〕，有f(x)≥loga3.因此，要使|f(x)|≥1對于任意x∈［3，+∞〕都成立.只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.當0＜a＜1時，對于x∈［3，+∞〕，有f(x)＜0,∴|f(x)|=-f(x).∵f〔x〕=logax在［3，+∞〕上為減函數(shù)，∴-f〔x〕在［3，+∞〕上為增函數(shù).∴對于任意x∈［3，+∞〕都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.因此，要使|f(x)|≥1對于任意x∈［3，+∞〕都成立，只要-loga3≥1成立即可，∴l(xiāng)oga3≤-1=loga,即≤3,∴≤a＜1.綜上，使|f(x)|≥1對任意x∈［3，+∞〕都成立的a的取值范圍是：(1，3］∪［，1〕.變式訓練3：函數(shù)f〔x〕=log2(x2-ax-a)在區(qū)間〔-∞,1-］上是單調(diào)遞減函數(shù).求實數(shù)a的取值范圍.解：令g(x)=x2-ax-a,那么g(x)=〔x-〕2-a-,由以上知g(x〕的圖象關于直線x=對稱且此拋物線開口向上.因為函數(shù)f(x)=log2g(x)的底數(shù)2＞1,在區(qū)間〔-∞,1-］上是減函數(shù)，所以g(x)=x2-ax-a在區(qū)間〔-∞,1-］上也是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)＞0.∴解得2-2≤a＜2.故a的取值范圍是{a|2-2≤a＜2}.例4過原點O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過A、B作y軸的平行與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點.〔1〕證明:點C、D和原點O在同一直線上；〔2〕當BC平行于x軸時，求點A的坐標.〔1〕證明設點A、B的橫坐標分別為x1、x2,由題設知x1＞1,x2＞1,那么點A、B的縱坐標分別為log8x1、log8x2.因為A、B在過點O的直線上，所以點C、D的坐標分別為(x1,log2x1)、(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率為k1=,OD的斜率為由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直線上.〔2〕解：由于BC平行于x軸，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x31,代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x31=3x1,又因x1＞1,解得x1=,于是點A的坐標為〔，log8).變式訓練4：函數(shù)f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).〔1〕求f(x)的定義域；〔2〕求f(x)的值域.解：〔1〕f(x)有意義時，有由①、②得x＞1,由③得x＜p,因為函數(shù)的定義域為非空數(shù)集，故p＞1,f(x)的定義域是(1,p).〔2〕f(x)=log2［(x+1)(p-x)］=log2［-〔x-〕2+］(1＜x＜p),①當1＜＜p，即p＞3時，0＜-(x-,∴l(xiāng)og2≤2log2(p+1)-2.②當≤1，即1＜p≤3時，∵0＜-(x-∴l(xiāng)og2＜1+log2(p-1).綜合①②可知：當p＞3時，f(x)的值域是〔-∞,2log2(p+1)-2］;當1＜p≤3時，函數(shù)f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).小結歸納小結歸納1．處理對數(shù)函數(shù)的有關問題，要緊密聯(lián)系函數(shù)圖象，運用數(shù)形結合的思想進行求解.2．對數(shù)函數(shù)值的變化特點是解決含對數(shù)式問題時使用頻繁的關鍵知識，要到達熟練、運用自如的水平，使用時常常要結合對數(shù)的特殊值共同分析.3．含有參數(shù)的指對數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題最根本的分類方案是以“底〞大于1或小于1分類.4．含有指數(shù)、對數(shù)的較復雜的函數(shù)問題大多數(shù)都以綜合形式出現(xiàn)，與其它函數(shù)(特別是二次函數(shù))形成的函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問題等等，因此要注意知識的相互滲透或綜合.第3課時函數(shù)的圖象根底根底過關一、根本函數(shù)圖象特征〔作出草圖〕1．一次函數(shù)為；2．二次函數(shù)為；3．反比例函數(shù)為；4．指數(shù)函數(shù)為，對數(shù)函數(shù)為.二、函數(shù)圖象變換1．平移變換：①水平變換：y＝f(x)→y＝f(x－a)(a>0)y＝f(x)→y＝f(x＋a)(a>0)②豎直變換：y＝f(x)→y＝f(x)＋b(b>0)y＝f(x)→y＝f(x)－b(b>0)2．對稱變換：①y＝f(－x)與y＝f(x)關于對稱②y＝－f(x)與y＝f(x)關于對稱③y＝－f(－x)與y＝f(x)關于對稱④y＝f-1(x)與y＝f(x)關于對稱⑤y＝|f(x)|的圖象是將y＝f(x)圖象的⑥y＝f(|x|)的圖象是將y＝f(x)圖象的3．伸縮變換：①y＝Af(x)(A>0)的圖象是將y＝f(x)的圖象的.②y＝f(ax)(a>0)的圖象是將y＝f(x)的圖象的.4．假設對于定義域內(nèi)的任意x，假設f(a－x)＝f(a＋x)(或f(x)＝f(2a－x))，那么f(x)關于對稱，假設f(a－x)＋f(a＋x)＝2b(或f(x)＋f(2a－x)＝2b)，那么f(x)關于對稱.典型例題典型例題例1作出以下函數(shù)的圖象.〔1〕y=(lgx+|lgx|);〔2〕y=;〔3〕y=|x|.解：〔1〕y=〔2〕由y=,得y=+2.作出y=的圖象，將y=的圖象向右平移一個單位，再向上平移2個單位得y=+2的圖象.〔3〕作出y=〔〕x的圖象，保存y=〔〕x圖象中x≥0的局部，加上y=〔〕x的圖象中x＞0的局部關于y軸的對稱局部，即得y=〔〕|x|的圖象.其圖象依次如下：變式訓練1：作出以下各個函數(shù)的圖象：〔1〕y=2-2x；〔2〕y=|log〔1-x〕|；〔3〕y=.解：〔1〕由函數(shù)y=2x的圖象關于x軸對稱可得到y(tǒng)=-2x的圖象，再將圖象向上平移2個單位，可得y=2-2x的圖象.如圖甲.〔2〕由y=logx的圖象關于y軸對稱，可得y=log〔-x〕的圖象，再將圖象向右平移1個單位，即得到y(tǒng)=log(1-x).然后把x軸下方的局部翻折到x軸上方，可得到y(tǒng)=|log〔1-x〕|的圖象.如圖乙.〔3〕y=.先作出y=-的圖象，如圖丙中的虛線局部，然后將圖象向左平移1個單位，向上平移2個單位，即得到所求圖象.如圖丙所示的實線局部.例2函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖象如圖,那么函數(shù)y=f(x)·g(x)的圖象可能是〔〕解：A變式訓練2：設a＞1,實數(shù)x,y滿足|x|-loga=0,那么y關于x的函數(shù)的圖象形狀大致是()解：B例3設函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3).〔1〕證明：f(x)是偶函數(shù)；〔2〕畫出函數(shù)的圖象；〔3〕指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)；〔4〕求函數(shù)的值域.〔1〕證明f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函數(shù).〔2〕解：當x≥0時，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,當x＜0時，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)=根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如下圖.〔3〕解：函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為［-3，-1〕，［-1，0〕，［0，1〕，［1，3］.f〔x〕在區(qū)間［-3，-1〕和［0，1〕上為減函數(shù)，在［-1，0〕，［1，3］上為增函數(shù).〔4〕解：當x≥0時，函數(shù)f(x)=(x-1)2-2的最小值為-2,最大值為f(3)=2;當x＜0時，函數(shù)f(x)=(x+1)2-2的最小值為-2,最大值為f(-3)=2;故函數(shù)f(x)的值域為［-2，2］.變式訓練3：當x∈(1,2)時,不等式(x-1)2＜logax恒成立,那么a的取值范圍為.解：(1,2］小結歸納小結歸納1．作函數(shù)圖象的根本方法是：①討論函數(shù)的定義域及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；②考慮是否可由根本初等函數(shù)的圖象變換作出圖象；③準確描出關鍵的點線(如圖象與x、y軸的交點，極值點(頂點)，對稱軸，漸近線，等等).2．圖象對稱性證明需歸結為任意點的對稱性證明.3．注意分清是一個函數(shù)自身是對稱圖形，還是兩個不同的函數(shù)圖象對稱.根底過關第4課時冪函數(shù)根底過關1．冪函數(shù)的概念：一般地，我們把形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)；注意：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別．2.冪函數(shù)的性質：〔1〕冪函數(shù)的圖象都過點；〔2〕當時，冪函數(shù)在上；當時，冪函數(shù)在上；〔3〕當時，冪函數(shù)是；當時，冪函數(shù)是．3．冪函數(shù)的性質：〔1〕都過點；〔2〕任何冪函數(shù)都不過象限；〔3〕當時，冪函數(shù)的圖象過．4．冪函數(shù)的圖象在第一象限的分布規(guī)律：〔1〕在經(jīng)過點平行于軸的直線的右側，按冪指數(shù)由小到大的關系冪函數(shù)的圖象從到分布；〔2〕冪指數(shù)的分母為偶數(shù)時，圖象只在象限；冪指數(shù)的分子為偶數(shù)時，圖象在第一、第二象限關于