浙江省紹興市柯橋區(qū)柯橋中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

浙江省柯橋中學(xué)高一數(shù)學(xué)學(xué)科2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試試題卷（滿分：100分，時(shí)間：120分鐘）一、選擇題：共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的定義求解，并寫(xiě)出區(qū)間形式即可.【詳解】.故選：C2.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義結(jié)合題意求出函數(shù)解析式，即可得解.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，所以，解得，所以，故.故選:C.3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】由題意得，不等式，解得或，所以“”是“”的充分而不必要條件，故選A．考點(diǎn)：充分不必要條件的判定．4.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求得，繼而可得，可得，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故，所以，故選:A5.已知，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用中間量比較，運(yùn)用中間量比較【詳解】則．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．6.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與奇函數(shù)的性質(zhì)，可推出在，上單調(diào)遞增，從而得，解之即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知在，上單調(diào)遞增，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以在，上單調(diào)遞增，綜上，在，上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，.故選：C.7.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，然后判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以排除A，當(dāng)時(shí)，，所以排除C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹驮谏线f增，所以在上遞增，所以排除B，故選：D8.奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由，可得到函數(shù)的周期是4，利用函數(shù)的周期性和奇偶性，將轉(zhuǎn)化為，代入函數(shù)解析式求解即可.【詳解】解：已知奇函數(shù)滿足，是以4為周期的奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，，故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題3分，共12分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得4分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中是真命題的是（）A.已知，則的值為11B.若，則函數(shù)的最小值為C.函數(shù)是偶函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)【答案】AD【解析】【分析】令，求得，可判定A正確；結(jié)合基本不等式，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)的定義和奇偶性的定義，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，可判定D正確.【詳解】A中，由函數(shù)，令，可得，所以A正確；B中，若，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，顯然不成立，所以B錯(cuò)誤；C中，由函數(shù)，則滿足，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以C不正確；D中，由函數(shù)，可得，所以，所以函數(shù)在內(nèi)必有零點(diǎn)，所以D正確.故選：AD.10.下列命題為真命題的是（）A.“”的否定為“”B.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為C.函數(shù)與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)D.若方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】由含量詞命題的否定法則可直接判定選項(xiàng)A；先求定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的同增異減的法則，可求出單調(diào)減區(qū)間，即可判定選項(xiàng)B；化簡(jiǎn)函數(shù)，即可判定選項(xiàng)C；通過(guò)分參法即可求解參數(shù)的范圍，則選項(xiàng)D可判定.【詳解】“”的否定為“”，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；中，即解得，則定義域，又的增區(qū)間為，由復(fù)合函數(shù)同增異減可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選項(xiàng)B正確；由于，可知兩者解析式不一致,則函數(shù)與函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由，可得，又，則，又，所以故選項(xiàng)D正確；故選：BD.11.給出定義：若（其中為整數(shù)），則叫做離實(shí)數(shù)最近的整數(shù)，記作，即.在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)命題：則下列命題中正確有（）A.的定義域是，值域是B.點(diǎn)是的圖像的對(duì)稱中心，其中C.函數(shù)滿足D.函數(shù)在上是增函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)新定義，得到值域是，在對(duì)各選項(xiàng)由定義逐一判定即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以可得值域是，選項(xiàng)A正確；由于，，但是由于值域是，可知不是中心對(duì)稱圖形故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，單調(diào)增當(dāng)時(shí)，單調(diào)增，可得分段函數(shù)在不單調(diào)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.12.已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且對(duì)，，當(dāng)，且時(shí)，成立，若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）A. B. C.0 D.1【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)為偶函數(shù)，且在上為單調(diào)遞增函數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，可得函數(shù)為偶函數(shù)，又因?yàn)楫?dāng)，且時(shí)，成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增函數(shù)，由對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，結(jié)合選項(xiàng)，BCD項(xiàng)符合題意.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分.13.函數(shù)的定義域是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)椋?，解得且，故函?shù)的定義域?yàn)?；故答案為?4.已知函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＋b＝________.【答案】0【解析】【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，f(－x)＝x2－x，－f(x)＝－ax2－bx，故x2－x＝－ax2－bx，所以－a＝1，－b＝－1，即a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.15.已知，則的最小值為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則．因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：16.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】分別畫(huà)出函數(shù)和的圖像，根據(jù)圖像得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，轉(zhuǎn)化為，如圖所示，畫(huà)出函數(shù)和的圖像，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，，滿足，所以在有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，，滿足，所以在有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，，，所以在?nèi)沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，恒有，所以兩個(gè)函數(shù)沒(méi)有交點(diǎn)所以，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共52分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（1）求值；（2）解不等式；（3）已知，求的值域.【答案】（1）8;（2）（3）;.【解析】【分析】（1）可由指對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式直接求解；（2）可將，化為，再求解即可；（3）利用配方法可直接求解.【詳解】（1）；（2）由可得，解得：，所以不等式的解為；（3），又，可得則函數(shù)的值域.18.已知函數(shù)（且）是定義在R上的奇函數(shù).（1）求及的值；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）;.（2）【解析】【分析】（1）可用特值法先求出的值，再檢驗(yàn)是否是奇函數(shù)，再代值求；（2）先分離常數(shù)得到，接著可用直接法，由的范圍，得到的范圍，再利用不等式的性質(zhì)得到的范圍，最后得到的范圍，繼而可求函數(shù)的值域.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（且）是定義在R上的奇函數(shù)，所以，可得，則，可得，經(jīng)檢驗(yàn)：，所以為奇函數(shù),.【小問(wèn)2詳解】,因?yàn)樗岳^而所以，則，即，所以函數(shù)的值域.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）確定函數(shù)的解析式；（2）用定義證明在上是增函數(shù)；（3）解不等式：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）由解出，可確定函數(shù)的解析式；（2）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）利用奇偶性和單調(diào)性解不等式.【小問(wèn)1詳解】由題意，得，∴（經(jīng)檢驗(yàn)符合題意），故．【小問(wèn)2詳解】證明任取，且，則．∵，∴，，．又，∴．∴，即，∴在上是增函數(shù)．小問(wèn)3詳解】由（2）知在上是增函數(shù)，又在上為奇函數(shù)，，∴，∴，解得．∴不等式的解集為．20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；（2）對(duì)于，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；為奇函數(shù)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為，不等式恒成立，結(jié)合換元法和對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由函數(shù)，則滿足，解得或，即函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，所以函數(shù)在定義域上的奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)閷?duì)于，不等式恒成立，所以對(duì)于，不等式恒成立，所以對(duì)于，不等式組恒成立，可得對(duì)于，不等式恒成立，令，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.已知二次函數(shù)（，，為實(shí)數(shù)）．（1）若的解集為，求不等式的解集；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合一元二次不等式的解集得到與的關(guān)系，從而解不等式即可求出結(jié)果；（2）由題意可得，分、討論進(jìn)而結(jié)合不等式的性質(zhì)以及均值不等式即可求出結(jié)果.小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，所以是方程的兩個(gè)根，所以，且，，可得，，所以，解得，所以不等式的解集為；【小問(wèn)2詳解】為二次函數(shù)，所以，由得對(duì)任意恒成立，可得，即，可得，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)即且時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求所有的實(shí)數(shù)，當(dāng)，使得對(duì)任意時(shí)，恒成立；（3）若存在，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）增區(qū)間為、，減區(qū)間為；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）寫(xiě)出的分段函數(shù)形式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定單調(diào)區(qū)間；（2）令，問(wèn)題化為在上恒成立，討論、、、、，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)研究恒成立求參數(shù)范圍；（3）由題意，存在使有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由時(shí)遞增不符合，只需研究，結(jié)合二次函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)及方程有解求參數(shù)范圍.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，對(duì)于在上遞增；對(duì)于，在上遞增，在上遞減；所以增區(qū)間為、，減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，若對(duì)任意時(shí)，恒成立，令，在上恒成立，當(dāng)時(shí)，則，而開(kāi)口向下且對(duì)稱軸為，若，即時(shí)，在上遞增，此時(shí)最大值，不合題意；若，即時(shí)，在上遞增，在上遞減，此時(shí)最大值，不合題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，則時(shí)遞減，此時(shí)，而時(shí)遞增，此時(shí)即可，故，所以，此時(shí)，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，且遞增，此時(shí)，不合題意；綜