李賢平-概率論基礎(chǔ)-Chap4(高等教學(xué))課件

第四章數(shù)字特征與特征函數(shù)第一節(jié)數(shù)學(xué)期望第二節(jié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩第三節(jié)母函數(shù)(略）第四節(jié)特征函數(shù)第五節(jié)多元正態(tài)分布(略）1高級(jí)教育一、數(shù)學(xué)期望的概念

數(shù)字特征是由隨機(jī)變量決定的一些常數(shù)，期望與方差是其中最重要的兩個(gè)特征，它們只能刻化隨機(jī)變量的部分性質(zhì)。數(shù)學(xué)期望(MathematicalExpectation)是一個(gè)隨機(jī)變量的平均取值，是它所有可能取值的加權(quán)平均，權(quán)是這些可能值相應(yīng)的概率。§4.1數(shù)學(xué)期望2高級(jí)教育例4.1.1一位射擊教練將從兩個(gè)候選人中挑選一人作為他的隊(duì)員，甲還是乙的成績(jī)更好？成績(jī)(環(huán)數(shù))甲的概率乙的概率

80.10.2

90.30.510 0.6 0.3解.以ξ、η分別表示甲、乙射擊一次的結(jié)果，

ξ的數(shù)學(xué)期望(甲射擊一次的平均成績(jī))是

Eξ=8×0.1+9×0.3+10×0.6=9.5(環(huán))，同理，乙射擊一次的平均成績(jī)是

Eη=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(環(huán))。

□3高級(jí)教育二.離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望如果ξ的分布律為級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的條件是為了保證期望不受求和順序的影響。

數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的中心趨勢(shì)。4高級(jí)教育幾種重要的離散型分布的期望：(1)（0—1）分布：(2)二項(xiàng)分布：5高級(jí)教育(3)泊松分布：(4)幾何分布：6高級(jí)教育例隨機(jī)變量取值，對(duì)應(yīng)的概率為，則由于，因此它是概率分布，而且但是因此，的數(shù)學(xué)期望不存在。

從上面的例子可以看出，其中重要的離散型分布的參數(shù)都可由數(shù)學(xué)期望算得，因此它是一個(gè)重要的概念。7高級(jí)教育例4.1.3某人有10萬元，如果投資于一項(xiàng)目將有30%的可能獲利5萬，60%的可能不賠不賺，但有10%的可能損失全部10萬元；同期銀行的利率為2%，問他應(yīng)該如何決策？解.以ξ記這個(gè)項(xiàng)目 的投資利潤(rùn)。利潤(rùn)

50-10概率

0.30.60.1平均利潤(rùn)為：

Eξ=5×0.3+0×0.6+(-10)×0.1=0.5，而同期銀行的利息是10×0.02=0.2，因此從期望收益的角度應(yīng)該投資這個(gè)項(xiàng)目。8高級(jí)教育例4.1.4假定某人設(shè)計(jì)了如下一個(gè)賭局：每個(gè)人從有3張假幣的10張100元紙幣中隨機(jī)地抽出4張。如果全是真的，則贏得這400元；如果這4張中至少有一張假幣，只輸100元。問這種規(guī)則是否公平，或者說你是否愿意參加？解.一個(gè)公平合理的賭博或博弈規(guī)則必須是雙方的平均獲利都等于0。

以ξ記每局賭博中莊家的獲利(可以為負(fù))，則ξ所有可能的取值是-400與100。9高級(jí)教育1540050050□在古典概率模型中已經(jīng)得到ξ的分布律xkpk-400

6100

6

ξ的數(shù)學(xué)期望，即莊家在每局賭博中 的平均獲利為：

Eξ=(-

)+

=

663

這種賭博對(duì)莊家有利，平均每一局他將凈賺16.67元。10高級(jí)教育三.連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望如果ξ的密度函數(shù)p(x)滿足則連續(xù)隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望是積分：否則稱為這個(gè)隨機(jī)變量的期望不存在11高級(jí)教育幾種常用連續(xù)型分布的期望：(1)均勻分布12高級(jí)教育(2)指數(shù)分布(3)柯西分布(期望不存在)由于故數(shù)學(xué)期望不存在。13高級(jí)教育(4)正態(tài)分布14高級(jí)教育(5)Gamma分布15高級(jí)教育四.一般場(chǎng)合：適合一切隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義

若隨機(jī)變量

的分布函數(shù)為F(x)，類似于連續(xù)型的場(chǎng)合，作很密的分割，則

落在中的概率等于，因此

與以概率取值的離散型隨機(jī)變量近似，而后者的數(shù)學(xué)期望為

注意到上式是Stieltjes積分的漸近和式。16高級(jí)教育數(shù)學(xué)期望的一般定義：

如果ξ的分布函數(shù)F(x)滿足

則ξ的數(shù)學(xué)期望定義成Stieltjes積分：否則稱這個(gè)隨機(jī)變量的期望不存在.17高級(jí)教育Riemann積分的推廣:Stieltjes積分(1)F(x)在xk

處具有跳躍度pk

時(shí),化為級(jí)數(shù)(2)F(x)存在導(dǎo)數(shù)p(x)

時(shí),化為Riemann積分18高級(jí)教育設(shè)隨機(jī)變量ξ，g(x)為一元Borel函數(shù)，定義隨機(jī)變量η=g(ξ)，則不必計(jì)算新的隨機(jī)變量的分布。這個(gè)結(jié)果的證明要用到測(cè)度論，超出了本課程的范圍。

1.單個(gè)變量函數(shù)的期望五、隨機(jī)變量函數(shù)的期望19高級(jí)教育離散型場(chǎng)合，上述公式化為則η=g(ξ)的分布列可由下得到這是因?yàn)椋?/p>

的分布列為20高級(jí)教育連續(xù)型場(chǎng)合，若

具有密度函數(shù)p(x)，則事實(shí)上，不妨只考慮g嚴(yán)格單調(diào)增加且可導(dǎo)情形，此時(shí)η=g(ξ)

的密度為21高級(jí)教育例（報(bào)童問題）設(shè)某報(bào)童每日的潛在賣報(bào)數(shù)

服從參數(shù)為

的泊松分布。如果每賣出一份報(bào)可得報(bào)酬a，賣不掉而退回則每份賠償b

。若某日該報(bào)童買進(jìn)n

份報(bào)，試求其期望所得，進(jìn)一步求最佳的買進(jìn)份數(shù)n

。解：若記其真正賣報(bào)數(shù)為

,則

與

的關(guān)系為這里

服從截尾泊松分布，即22高級(jí)教育記所得為

，則因而，期望所得為23高級(jí)教育求n

使E(g(

))達(dá)到極大,這是一個(gè)典型的最優(yōu)化問題.

一般計(jì)算泊松分布的部分和可用下列公式：24高級(jí)教育

例4.1.7假定某公司開發(fā)了一種新產(chǎn)品，他們每賣出一件可獲利500元，而積壓一件將損失

2000元，預(yù)計(jì)這種產(chǎn)品的銷售量ξ服從參數(shù)

0.00001的指數(shù)分布，

p1(x)=0.00001e-0.00001x

，x>0.問應(yīng)該生產(chǎn)多少才能使得平均獲利最大？25高級(jí)教育平均獲利即η的數(shù)學(xué)期望為26高級(jí)教育即平均獲利為：Q(c)=2500×10000(1-e-0.00001c)-2000c關(guān)于c的二階導(dǎo)數(shù)-0.25e-0.00001c

＜0，因此Q(c)具有極大值，令解出c=-10000×ln(2000/2500)=2231.4，即要使平均獲利最大，應(yīng)該生產(chǎn)2231件產(chǎn)品?！?7高級(jí)教育 2.隨機(jī)向量函數(shù)的期望

設(shè)隨機(jī)向量(ξ1,ξ2,…,ξn)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1,x2,…,xn)，g(x1,x2,…,xn)為n元Borel函數(shù)，定義隨機(jī)變量η=g(ξ1,ξ2,…,ξn)，則特別地，28高級(jí)教育六、數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)性質(zhì)1

若a≤

≤b，則a≤E()≤b

.特別地,E(C)

=C,這里C是常數(shù).

性質(zhì)2(單調(diào)性)若幾乎處處地有≤，則

E()≤E().性質(zhì)3(線性性質(zhì)）對(duì)任意常數(shù)及b

，有29高級(jí)教育4.和的期望等于期望的和對(duì)任意n個(gè)隨機(jī)變量ξ1、…、ξn，都有：

E(ξ1+ξ2+…+ξn)=Eξ1+Eξ2+…+Eξn5.獨(dú)立乘積的期望等于期望的乘積如果ξ1、…、ξn相互獨(dú)立，則有：

E(ξ1×ξ2×...×ξn)=Eξ1×Eξ2×…×Eξn注意:該性質(zhì)不是充要條件。30高級(jí)教育例4.1.8計(jì)算正態(tài)分布N(

,σ2)的期望.解.因?yàn)檎龖B(tài)分布ξ可轉(zhuǎn)化為

ξ=

+σξ0，其中ξ0~N(0,1)

顯然有，因此，Eξ=

+σE(ξ0)=

,即正態(tài)分布N(

,σ2)的期望就是參數(shù)

?！趵眯再|(zhì)求期望31高級(jí)教育例4.1.9計(jì)算二項(xiàng)分布及超幾何分布的期望解.定義n個(gè)隨機(jī)變量ξ1、…、ξn，每個(gè)ξi

同分布于參數(shù)M/N的Bernoulli分布1,第i次取到的是次品，0,第i次取到的是合格品32高級(jí)教育有放回抽樣時(shí)它們相互獨(dú)立，即ξ=ξ1+ξ2+…+ξn服從二項(xiàng)分布；無放回抽樣時(shí)它們不獨(dú)立，而η=ξ1+ξ2+…+ξn服從超幾何分布；注意到,每個(gè)ξi的期望都是M/N，因此（1）二項(xiàng)分布B(n,p)的期望為np=nM/N；（2）超幾何分布HG(n,N,M)的期望為nM/N?！?3高級(jí)教育§4.2方差，相關(guān)系數(shù)，矩一、方差二、切比雪夫不等式三、相關(guān)系數(shù)四、矩五、條件數(shù)學(xué)期望34高級(jí)教育哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果例如:炮落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖，哪門炮效果好一點(diǎn)些？又如:甲、乙兩個(gè)合唱隊(duì)都由5名成員組成，身高如下：甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60哪個(gè)合唱隊(duì)演出效果好？35高級(jí)教育一、方差定義

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若存在，則稱為X的方差.記為D(X)或Var(X).

方差的算術(shù)平方根稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差。記為注：方差實(shí)際上就是X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的期望.方差反映了隨機(jī)變量的取值與平均值的偏離程度.36高級(jí)教育證明：推論：常用計(jì)算公式：37高級(jí)教育例4.2.2射擊教練將從他的兩名隊(duì)員中選擇一人參加比賽，應(yīng)該是甲還是丙更合適？成績(jī)(環(huán)數(shù))甲的概率丙的概率

80.10.2

90.30.110 0.6 0.7解.這里甲、丙兩人的平均成績(jī)都是

Eξ=Eη

=9.5需要比較方差，簡(jiǎn)單計(jì)算后可以得到：

Dξ=0.45，Dη

=0.65因此,應(yīng)該選擇甲隊(duì)員去參加比賽。38高級(jí)教育ξp續(xù)例4.1.1,甲乙射擊技術(shù)如下：

8910p0.10.30.6η

89100.20.50.3已經(jīng)知道平均來說甲的成績(jī)比乙好，計(jì)算方差能發(fā)現(xiàn)甲的成績(jī)也比乙穩(wěn)定(Dξ

=0.45,Dη

=0.49).如果只射擊一次，誰的成績(jī)可能更好一些？

需要利用分布律計(jì)算并比較兩個(gè)概率

P(ξ＞η)，以及P(ξ＜η)39高級(jí)教育幾種常見分布的方差:(1)（0—1）分布：(2)二項(xiàng)分布：40高級(jí)教育(3)泊松分布：41高級(jí)教育(4)均勻分布:42高級(jí)教育(5)指數(shù)分布：43高級(jí)教育特別，當(dāng)(6)正態(tài)分布：44高級(jí)教育常見分布的數(shù)學(xué)期望與方差列表：45高級(jí)教育方差的基本性質(zhì)2.隨機(jī)變量線性變換的方差公式:設(shè)a、b

是兩個(gè)常數(shù)，則有D(a+bξ)=b2Dξ.注：與數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)比較：E(a+bξ)=a+bEξ平移改變隨機(jī)變量期望，但不會(huì)改變方差.1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)

=0;46高級(jí)教育

4.獨(dú)立和的方差等于方差的和：若X與Y

獨(dú)立，則注：這條性質(zhì)同樣不是一個(gè)充要條件。推廣：若X1,X2,…,Xn

相互獨(dú)立,則證明：見后面“Chebyshev不等式”部分。3、D(X)=047高級(jí)教育1.如果ξ1、…、ξn

相互獨(dú)立，則有：

D(ξ1

±ξ2±…±ξn)=Dξ1+Dξ2+…+Dξn2.任意隨機(jī)變量和的期望等于期望的和：

E(ξ1±ξ2±…±ξn)=Eξ1±Eξ2±…±Eξn比較：3.

獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘積：E(ξ1

ξ2…

ξn)=Eξ1

Eξ2…Eξn48高級(jí)教育5.若，則。證明：因?yàn)樽ⅲ哼@個(gè)性質(zhì)表明數(shù)學(xué)期望具有一個(gè)重要的極值性質(zhì)：在中,當(dāng)時(shí)達(dá)到極小;這也說明在的定義中取的合理性。49高級(jí)教育例2、已知X~b(n,p)，求D(X)。注：利用方差和的性質(zhì)時(shí)要注意相互獨(dú)立的條件。50高級(jí)教育

“標(biāo)準(zhǔn)化”的目的是通過線性變換把一個(gè)隨機(jī)變量的期望轉(zhuǎn)化為0，方差轉(zhuǎn)化為1.隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化：假設(shè)隨機(jī)變量ξ的期望Eξ及方差Dξ都存在,且Dξ>0，則稱為ξ的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。51高級(jí)教育二.Chebyshev不等式對(duì)于任何具有有限期望與方差的隨機(jī)變量ξ，都有其中ε

是任一正數(shù)。證明:若

F(x)是ξ的分布函數(shù)，則顯然有52高級(jí)教育Chebyshev不等式還常寫成下面的形式:或

Chebyshev不等式的意義：利用隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望及方差對(duì)ξ的概率分布進(jìn)行估計(jì)。它斷言不管ξ的分布是什么，ξ落在中的概率均不小于53高級(jí)教育從Chebyshev不等式還可以看出,當(dāng)方差愈小時(shí),事件的概率也愈小，從這里可以看出方差是描述隨機(jī)變量與其期望值離散程度的一個(gè)量。特別地,若,則對(duì)于任意的，恒有即所以方差為零的隨機(jī)變量是常數(shù)。因此,54高級(jí)教育在不等式中分別取ε=σ，2σ，3σP{|ξ-

|≤σ}≥0P{|ξ-

|≤2σ}≥0.75P{|ξ-

|≤3σ}≥0.8889比較正態(tài)分布的結(jié)果：P{|ξ-

|≤σ}=0.6826，P{|ξ-

|≤2σ}=0.9544，P{|ξ-

|≤3σ}=0.9974。55高級(jí)教育定義

設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,若存在，則稱它為X與Y的協(xié)方差，cov(X,Y).三、相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)向量,我們除了關(guān)心它的各個(gè)分量的情況外,還希望知道各個(gè)分量之間的聯(lián)系,于是引進(jìn)了協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念。常用計(jì)算公式：56高級(jí)教育協(xié)方差的概率意義:

協(xié)方差實(shí)際上是兩個(gè)隨機(jī)變量中心化以后乘積的數(shù)學(xué)期望，是它們關(guān)系的一種度量。

協(xié)方差為正說明ξ、η具有相同變化趨勢(shì)，即平均來說ξ相對(duì)于Eξ變大(或變小時(shí))η也相對(duì)于Eη增加(或減少);反之協(xié)方差為負(fù)則說明ξ、η具有相反的變化趨勢(shì)。57高級(jí)教育a,b為常數(shù)協(xié)方差的性質(zhì)58高級(jí)教育和的方差公式：59高級(jí)教育設(shè)為n維隨機(jī)向量，記協(xié)方差矩陣：簡(jiǎn)記作DX.60高級(jí)教育事實(shí)上,對(duì)任何實(shí)數(shù)有因而,對(duì)于協(xié)方差矩陣有:Remark：3、協(xié)方差矩陣是一個(gè)非負(fù)定矩陣。61高級(jí)教育定義.

稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)。更常用的是如下“標(biāo)準(zhǔn)化”了的協(xié)方差.相關(guān)系數(shù)就是標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量與的協(xié)方差。這里當(dāng)然要求DX,DY為正。以后補(bǔ)充定義常數(shù)與任何隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)為零。相關(guān)系數(shù)：62高級(jí)教育例3求服從多項(xiàng)分布的隨機(jī)向量的各個(gè)分量之間的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。解:顯然因此注意到,因此,這里整數(shù),且63高級(jí)教育因而有從而，相關(guān)系數(shù)為由于可寫出協(xié)方差陣與相關(guān)系數(shù)陣。64高級(jí)教育下面研究相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),先證明一條常用的不等式。定理(Cauchy-Schwarz不等式)等式成立當(dāng)且僅當(dāng)這里是某一個(gè)常數(shù)。對(duì)任意的隨機(jī)變量ξ與η

,如果則有65高級(jí)教育證明:對(duì)任意的實(shí)數(shù)t,定義顯然對(duì)一切，因此二次方程或者沒有實(shí)根或者有一個(gè)重根。所以此外,方程有一個(gè)重根存在的充要條件是這時(shí)，

，因此66高級(jí)教育把柯西-施瓦茲不等式應(yīng)用到及，可以得到相關(guān)系數(shù)的如下重要性質(zhì)。性質(zhì)1對(duì)于ξ與η的相關(guān)系數(shù)ρ

，而ρ

=-1,當(dāng)且僅當(dāng)性質(zhì)1表明,當(dāng)時(shí),ξ與η存在著線性關(guān)系.有線性關(guān)系是一個(gè)極端，ρ=0又是一個(gè)極端。而ρ=1,當(dāng)且僅當(dāng)67高級(jí)教育定義

若隨機(jī)變量

與

的相關(guān)系數(shù)ρ=0，則我們稱

與

(線性)不相關(guān)。性質(zhì)2對(duì)隨機(jī)變量

與

,下面的事實(shí)等價(jià)：不相關(guān)；

獨(dú)立性和不相關(guān)性都是隨機(jī)變量間聯(lián)系“薄弱”的一種反映，自然希望知道這兩個(gè)概念之間的聯(lián)系。性質(zhì)3若

與

獨(dú)立，則

與

不相關(guān)。其逆不成立，請(qǐng)看下面的例子。68高級(jí)教育例4設(shè)服從中的均勻分布，這里a是定數(shù)。試判斷

與

的獨(dú)立性與相關(guān)性。解：因而，

與

的相關(guān)系數(shù)為69高級(jí)教育當(dāng)，X與Y的線性關(guān)系越顯著；當(dāng),X與Y的線性關(guān)系越不顯著；相關(guān)系數(shù)之間線性關(guān)系的一種度量.是X與Y于是，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，存在線性關(guān)系。但是,當(dāng)或時(shí)，，這時(shí)

與

不相關(guān)。但是這時(shí)卻有，因此

與

不獨(dú)立。兩個(gè)隨機(jī)變量不相關(guān)，它們之間可能存在其它關(guān)系。即使Remark：70高級(jí)教育

不相關(guān)性是就線性關(guān)系而言的，而獨(dú)立性是就一般關(guān)系而言的。但是如果它們服從二元正態(tài)分布，那么它們之間的獨(dú)立性和不相關(guān)性是等價(jià)的。性質(zhì)4對(duì)于二元正態(tài)分布，不相關(guān)性與獨(dú)立性等價(jià).這個(gè)結(jié)果可推廣到多元場(chǎng)合。性質(zhì)5若ξ與η

都是取二值隨機(jī)變量，則不相關(guān)性與獨(dú)立性等價(jià).71高級(jí)教育在抽樣調(diào)查中的應(yīng)用

抽樣調(diào)查是社會(huì)經(jīng)濟(jì)中用的最多的統(tǒng)計(jì)方法。為對(duì)總體的某個(gè)指標(biāo)（主要是總值、平均值、比率和百分比）進(jìn)行估算特設(shè)計(jì)某種抽樣方案。

最簡(jiǎn)單的抽樣方式是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。例6袋中有張卡片，各記以數(shù)字，不放回地從中抽出張，求其和的數(shù)學(xué)期望和方差。解:取一張時(shí)，其數(shù)字的分布均值及方差分別為:72高級(jí)教育

若以

記n張卡片的數(shù)字之和,以記第i次抽得的卡片上的數(shù)字，則由于抽簽與順序無關(guān)，因此故所以這里，我們又一次用到抽簽與順序無關(guān)。73高級(jí)教育

在中令，這時(shí)是一個(gè)常數(shù)，因此

,于是因而,最后得到:與有放回抽取的方差相比,多出了一個(gè)因子

，稱為有限總體修正因子。

當(dāng)時(shí)，它等于1；而當(dāng)時(shí)，它取值為0。這與直觀符合。

特別地，若取

則可以得到超幾何分布的均值和方差的表達(dá)式。74高級(jí)教育現(xiàn)代證券組合理論

Markovitz在50年代引進(jìn)的均值--方差模型成了現(xiàn)代證券組合理論的基石。

一個(gè)相當(dāng)自然的假定是：投資者都追求高收益而規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，也即希望有高的均值而不愿有大的方差。

但是，證券市場(chǎng)的歷史記錄表明，高收益常伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)。根本的出路在于采用證券組合，即把全部資金分散投資于各種證券。

假定投資于上述

種證券的資金的比例分別為

假定有種證券可以投資,并把它們的收益率看作是隨機(jī)變量,通常記為

,相應(yīng)的均值和方差分別記為和并以記與的相關(guān)系數(shù)。75高級(jí)教育則總的收益率為顯然其平均收益率為而方差則為因此尋找最優(yōu)證券組合的問題化為：

求投資比例，使等于某個(gè)目標(biāo)值而達(dá)到最小，或者控制在一個(gè)可以接受的水平而使達(dá)到最大。

Markovitz模型兼顧了金融市場(chǎng)中收益和風(fēng)險(xiǎn)兩大要素，而且形式簡(jiǎn)便，為金融學(xué)的發(fā)展開創(chuàng)了新局面，他也因此獲得了1990年度的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。76高級(jí)教育四、

矩

數(shù)學(xué)期望,方差,協(xié)方差是隨機(jī)變量常用的數(shù)字特征，它們都是某種矩。

矩是最廣泛使用的一種數(shù)字特征，在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)種占有重要地位。常用的矩有兩種：原點(diǎn)矩和中心矩定義.對(duì)正整數(shù)，稱為階原點(diǎn)矩.數(shù)學(xué)期望是一階原點(diǎn)矩。定義.對(duì)正整數(shù)，稱為階中心矩.方差是二階中心矩。定理.中心矩和原點(diǎn)矩可相互表達(dá)。77高級(jí)教育證明：事實(shí)上，

此外對(duì)正數(shù)

k

，還可以定義k

階原點(diǎn)絕對(duì)矩及k階中心絕對(duì)矩，它們較少使用。

對(duì)于多維隨機(jī)變量，可以定義各種混合矩，例如稱為k+l階混合中心矩。協(xié)方差是二階混合中心矩，是其中最重要的一種。證畢.78高級(jí)教育解：密度函數(shù)為故原點(diǎn)矩和中心矩相同。顯然,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，例7設(shè)為服從正態(tài)分布，求其k階原點(diǎn)矩和k階中心矩。79高級(jí)教育推廣：若

為服從正態(tài)分布N(

,

2)，其k階中心矩:k階原點(diǎn)矩：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，80高級(jí)教育五、條件數(shù)學(xué)期望1.離散隨機(jī)變量的條件期望Y

關(guān)于隨機(jī)事件(X=x)的條件期望：Remark：Y關(guān)于X的條件期望E(Y|X)是一個(gè)隨機(jī)變量，它取值為E(Y|X=x)的概率是P(X=x

)。其反映了隨機(jī)變量Y的平均值對(duì)隨機(jī)變量X的依賴。81高級(jí)教育2.連續(xù)隨機(jī)變量的條件期望在的條件下，的條件數(shù)學(xué)期望定義為Remark:為隨機(jī)變量:它取值，對(duì)應(yīng)密度為p

(x).注意：條件數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望的所有性質(zhì).82高級(jí)教育所以它服從正態(tài)分布例考慮二維正態(tài)分布，(ξ,η)~從第三章已經(jīng)知道η關(guān)于隨機(jī)事件(ξ=x)的條件分布為因此η關(guān)于隨機(jī)事件(ξ=x)的條件期望就是83高級(jí)教育設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)向量，且E(X)存在，則有證明：只對(duì)連續(xù)性情況證明.設(shè)的概率密度為,則有

定理(全期望公式)

84高級(jí)教育

全期望公式的應(yīng)用:

這公式提供了一個(gè)在大范圍求平均的一種思想方法，即所謂的兩次平均法.85高級(jí)教育例8一名礦工被困在礦井有三個(gè)門的位置，第一個(gè)門與一個(gè)經(jīng)3小時(shí)路程可到達(dá)安全區(qū)的坑道連接；第二個(gè)門與一個(gè)經(jīng)5小時(shí)路程可回到原處的坑道連接；第三個(gè)門與一個(gè)經(jīng)7小時(shí)路程可回到原處的坑道連接。假定該礦工等可能在三個(gè)門種選擇，求他平均需要多少時(shí)間才能到達(dá)安全區(qū)。解：設(shè)該礦工需要小時(shí)到達(dá)安全區(qū)，則的可能取值顯然有由題設(shè)知記礦工平均需要時(shí)間為由全期望計(jì)算式:解得86高級(jí)教育§4.5特征函數(shù)一、特征函數(shù)的定義二、特征函數(shù)的性質(zhì)三、逆轉(zhuǎn)公式與唯一性定理四、分布函數(shù)的再生性五、多元特征函數(shù)87高級(jí)教育一、特征函數(shù)的定義

分布函數(shù)及其密度無疑是描述隨機(jī)變量概率規(guī)律的有力工具，可方便地解決許多與隨機(jī)變量有關(guān)的概率問題。但是，在今后的某些問題中，分布函數(shù)又表現(xiàn)出某些不足。例如：（1）分布函數(shù)本身的分析性質(zhì)不太好，它只是一個(gè)單邊連續(xù)的有界非降函數(shù)。（2）獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布函數(shù)等于各分布函數(shù)的卷積,這在計(jì)算上帶來不少麻煩。

另一方面,數(shù)字特征也只反映了概率分布的某些側(cè)面。一般并不能通過它來確定分布函數(shù)。下面介紹的特征函數(shù),即能完全決定分布函數(shù)，又具有良好的分析性質(zhì)。88高級(jí)教育定義如果與都是概率空間上的實(shí)值隨機(jī)變量，則稱為復(fù)隨機(jī)變量.對(duì)復(fù)隨機(jī)變量的研究本質(zhì)上是對(duì)二維隨機(jī)變量的研究.

如果二維隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則稱復(fù)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立。

定義復(fù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為89高級(jí)教育

對(duì)于復(fù)隨機(jī)變量，可平行的定義或建立一系列結(jié)果。例如:若是相互獨(dú)立的，則又如,若是一個(gè)博雷爾可測(cè)函數(shù)，

則這里,90高級(jí)教育定義若隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則稱為的特征函數(shù)。

特征函數(shù)是一個(gè)實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)，由于，所以它對(duì)一切實(shí)數(shù)t都有意義。

顯然特征函數(shù)只與分布函數(shù)有關(guān)，因此又稱某一分布函數(shù)的特征函數(shù)。91高級(jí)教育這時(shí)，特征函數(shù)是密度函數(shù)p(x)的Fourier變換。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，若其分布列為：則其特征函數(shù)為：

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，若其分布密度為p(x)，則其特征函數(shù)為：92高級(jí)教育一些重要分布的特征函數(shù)例1退化分布的特征函數(shù)例2二項(xiàng)分布的特征函數(shù)例3泊松分布的特征函數(shù)為93高級(jí)教育例4分布

的特征函數(shù)：特別地，指數(shù)分布Exp(λ)：

卡方分布：94高級(jí)教育二、特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1特征函數(shù)有如下性質(zhì)：證明：性質(zhì)2特征函數(shù)在上一致連續(xù)。證明：95高級(jí)教育注意上式右邊已與t無關(guān)。而因此，

可選足夠大的使右邊的第一項(xiàng)任意小，然后選充分小的可使第二個(gè)積分也任意小，從而證明了定理的結(jié)論。96高級(jí)教育性質(zhì)3對(duì)于任意的正整數(shù)及任意的實(shí)數(shù)及復(fù)數(shù)，成立證明：

這個(gè)性質(zhì)稱為非負(fù)定性，是特征函數(shù)的最本質(zhì)的性質(zhì)之一。97高級(jí)教育性質(zhì)4兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于它們各自特征函數(shù)之積。證明：設(shè)與是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，由與的獨(dú)立性不難推得復(fù)隨機(jī)變量與也是獨(dú)立的，則性質(zhì)4可以推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的場(chǎng)合.正是由于性質(zhì)4，才使特征函數(shù)在概率論中占有重要地位.98高級(jí)教育性質(zhì)5設(shè)隨機(jī)變量

的n階矩存在，則它的特征函數(shù)可微分n

次，且當(dāng)時(shí)：證明:

由于的階矩存在，故，因而可作下列積分號(hào)下的微分取，即得結(jié)論成立。利用性質(zhì)5，我們可以方便地求隨機(jī)變量的各階矩。99高級(jí)教育推論.設(shè)隨機(jī)變量

的n階矩存在，則它的特征函數(shù)可作如下展開：性質(zhì)5設(shè)，這里a,b

為常數(shù)，則證明:100高級(jí)教育例5

求正態(tài)分布的特征函數(shù).解:先討論的場(chǎng)合：由于正態(tài)分布的一階矩存在，可對(duì)上式求導(dǎo)，得101高級(jí)教育因此,由于f(0)=1，所以c=0,從而對(duì)于的場(chǎng)合，利用性質(zhì)6可得：102高級(jí)教育例.103高級(jí)教育三、逆轉(zhuǎn)公式與唯一性定理特征函數(shù)和分布函數(shù)是相互唯一確定的，由分布函數(shù)決定特征函數(shù)是顯然的，剩下來的是證明可由特征函數(shù)唯一決定分布函數(shù)。

則引理設(shè)

104高級(jí)教育證明：從數(shù)學(xué)分析中知道狄利克雷積分而105高級(jí)教育定理（逆轉(zhuǎn)公式）

設(shè)分布函數(shù)的特征函數(shù)為，又是的連續(xù)點(diǎn)，則證明：不妨設(shè)，記106高級(jí)教育交換中兩積分的積分順序得到：因?yàn)閷?duì)，有因此，對(duì)，取共軛即知上式也成立。107高級(jí)教育由前面的引理知：有界，因此由勒貝格控制收斂定理并利用引理的結(jié)果可知：108高級(jí)教育若是的連續(xù)點(diǎn)，則109高級(jí)教育定理(唯一性定理)