李賢平-概率論基礎(chǔ)-Chap4(高等教學(xué))課件

第四章數(shù)字特征與特征函數(shù)第一節(jié)數(shù)學(xué)期望第二節(jié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩第三節(jié)母函數(shù)(略）第四節(jié)特征函數(shù)第五節(jié)多元正態(tài)分布(略）1高級教育一、數(shù)學(xué)期望的概念

數(shù)字特征是由隨機變量決定的一些常數(shù)，期望與方差是其中最重要的兩個特征，它們只能刻化隨機變量的部分性質(zhì)。數(shù)學(xué)期望(MathematicalExpectation)是一個隨機變量的平均取值，是它所有可能取值的加權(quán)平均，權(quán)是這些可能值相應(yīng)的概率?！?.1數(shù)學(xué)期望2高級教育例4.1.1一位射擊教練將從兩個候選人中挑選一人作為他的隊員，甲還是乙的成績更好？成績(環(huán)數(shù))甲的概率乙的概率

80.10.2

90.30.510 0.6 0.3解.以ξ、η分別表示甲、乙射擊一次的結(jié)果，

ξ的數(shù)學(xué)期望(甲射擊一次的平均成績)是

Eξ=8×0.1+9×0.3+10×0.6=9.5(環(huán))，同理，乙射擊一次的平均成績是

Eη=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(環(huán))。

□3高級教育二.離散隨機變量的數(shù)學(xué)期望如果ξ的分布律為級數(shù)絕對收斂的條件是為了保證期望不受求和順序的影響。

數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量取值的中心趨勢。4高級教育幾種重要的離散型分布的期望：(1)（0—1）分布：(2)二項分布：5高級教育(3)泊松分布：(4)幾何分布：6高級教育例隨機變量取值，對應(yīng)的概率為，則由于，因此它是概率分布，而且但是因此，的數(shù)學(xué)期望不存在。

從上面的例子可以看出，其中重要的離散型分布的參數(shù)都可由數(shù)學(xué)期望算得，因此它是一個重要的概念。7高級教育例4.1.3某人有10萬元，如果投資于一項目將有30%的可能獲利5萬，60%的可能不賠不賺，但有10%的可能損失全部10萬元；同期銀行的利率為2%，問他應(yīng)該如何決策？解.以ξ記這個項目 的投資利潤。利潤

50-10概率

0.30.60.1平均利潤為：

Eξ=5×0.3+0×0.6+(-10)×0.1=0.5，而同期銀行的利息是10×0.02=0.2，因此從期望收益的角度應(yīng)該投資這個項目。8高級教育例4.1.4假定某人設(shè)計了如下一個賭局：每個人從有3張假幣的10張100元紙幣中隨機地抽出4張。如果全是真的，則贏得這400元；如果這4張中至少有一張假幣，只輸100元。問這種規(guī)則是否公平，或者說你是否愿意參加？解.一個公平合理的賭博或博弈規(guī)則必須是雙方的平均獲利都等于0。

以ξ記每局賭博中莊家的獲利(可以為負)，則ξ所有可能的取值是-400與100。9高級教育1540050050□在古典概率模型中已經(jīng)得到ξ的分布律xkpk-400

6100

6

ξ的數(shù)學(xué)期望，即莊家在每局賭博中 的平均獲利為：

Eξ=(-

)+

=

663

這種賭博對莊家有利，平均每一局他將凈賺16.67元。10高級教育三.連續(xù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望如果ξ的密度函數(shù)p(x)滿足則連續(xù)隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望是積分：否則稱為這個隨機變量的期望不存在11高級教育幾種常用連續(xù)型分布的期望：(1)均勻分布12高級教育(2)指數(shù)分布(3)柯西分布(期望不存在)由于故數(shù)學(xué)期望不存在。13高級教育(4)正態(tài)分布14高級教育(5)Gamma分布15高級教育四.一般場合：適合一切隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義

若隨機變量

的分布函數(shù)為F(x)，類似于連續(xù)型的場合，作很密的分割，則

落在中的概率等于，因此

與以概率取值的離散型隨機變量近似，而后者的數(shù)學(xué)期望為

注意到上式是Stieltjes積分的漸近和式。16高級教育數(shù)學(xué)期望的一般定義：

如果ξ的分布函數(shù)F(x)滿足

則ξ的數(shù)學(xué)期望定義成Stieltjes積分：否則稱這個隨機變量的期望不存在.17高級教育Riemann積分的推廣:Stieltjes積分(1)F(x)在xk

處具有跳躍度pk

時,化為級數(shù)(2)F(x)存在導(dǎo)數(shù)p(x)

時,化為Riemann積分18高級教育設(shè)隨機變量ξ，g(x)為一元Borel函數(shù)，定義隨機變量η=g(ξ)，則不必計算新的隨機變量的分布。這個結(jié)果的證明要用到測度論，超出了本課程的范圍。

1.單個變量函數(shù)的期望五、隨機變量函數(shù)的期望19高級教育離散型場合，上述公式化為則η=g(ξ)的分布列可由下得到這是因為：

的分布列為20高級教育連續(xù)型場合，若

具有密度函數(shù)p(x)，則事實上，不妨只考慮g嚴格單調(diào)增加且可導(dǎo)情形，此時η=g(ξ)

的密度為21高級教育例（報童問題）設(shè)某報童每日的潛在賣報數(shù)

服從參數(shù)為

的泊松分布。如果每賣出一份報可得報酬a，賣不掉而退回則每份賠償b

。若某日該報童買進n

份報，試求其期望所得，進一步求最佳的買進份數(shù)n

。解：若記其真正賣報數(shù)為

,則

與

的關(guān)系為這里

服從截尾泊松分布，即22高級教育記所得為

，則因而，期望所得為23高級教育求n

使E(g(

))達到極大,這是一個典型的最優(yōu)化問題.

一般計算泊松分布的部分和可用下列公式：24高級教育

例4.1.7假定某公司開發(fā)了一種新產(chǎn)品，他們每賣出一件可獲利500元，而積壓一件將損失

2000元，預(yù)計這種產(chǎn)品的銷售量ξ服從參數(shù)

0.00001的指數(shù)分布，

p1(x)=0.00001e-0.00001x

，x>0.問應(yīng)該生產(chǎn)多少才能使得平均獲利最大？25高級教育平均獲利即η的數(shù)學(xué)期望為26高級教育即平均獲利為：Q(c)=2500×10000(1-e-0.00001c)-2000c關(guān)于c的二階導(dǎo)數(shù)-0.25e-0.00001c

＜0，因此Q(c)具有極大值，令解出c=-10000×ln(2000/2500)=2231.4，即要使平均獲利最大，應(yīng)該生產(chǎn)2231件產(chǎn)品?！?7高級教育 2.隨機向量函數(shù)的期望

設(shè)隨機向量(ξ1,ξ2,…,ξn)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1,x2,…,xn)，g(x1,x2,…,xn)為n元Borel函數(shù)，定義隨機變量η=g(ξ1,ξ2,…,ξn)，則特別地，28高級教育六、數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì)性質(zhì)1

若a≤

≤b，則a≤E()≤b

.特別地,E(C)

=C,這里C是常數(shù).

性質(zhì)2(單調(diào)性)若幾乎處處地有≤，則

E()≤E().性質(zhì)3(線性性質(zhì)）對任意常數(shù)及b

，有29高級教育4.和的期望等于期望的和對任意n個隨機變量ξ1、…、ξn，都有：

E(ξ1+ξ2+…+ξn)=Eξ1+Eξ2+…+Eξn5.獨立乘積的期望等于期望的乘積如果ξ1、…、ξn相互獨立，則有：

E(ξ1×ξ2×...×ξn)=Eξ1×Eξ2×…×Eξn注意:該性質(zhì)不是充要條件。30高級教育例4.1.8計算正態(tài)分布N(

,σ2)的期望.解.因為正態(tài)分布ξ可轉(zhuǎn)化為

ξ=

+σξ0，其中ξ0~N(0,1)

顯然有，因此，Eξ=

+σE(ξ0)=

,即正態(tài)分布N(

,σ2)的期望就是參數(shù)

?！趵眯再|(zhì)求期望31高級教育例4.1.9計算二項分布及超幾何分布的期望解.定義n個隨機變量ξ1、…、ξn，每個ξi

同分布于參數(shù)M/N的Bernoulli分布1,第i次取到的是次品，0,第i次取到的是合格品32高級教育有放回抽樣時它們相互獨立，即ξ=ξ1+ξ2+…+ξn服從二項分布；無放回抽樣時它們不獨立，而η=ξ1+ξ2+…+ξn服從超幾何分布；注意到,每個ξi的期望都是M/N，因此（1）二項分布B(n,p)的期望為np=nM/N；（2）超幾何分布HG(n,N,M)的期望為nM/N?！?3高級教育§4.2方差，相關(guān)系數(shù)，矩一、方差二、切比雪夫不等式三、相關(guān)系數(shù)四、矩五、條件數(shù)學(xué)期望34高級教育哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果例如:炮落點距目標的位置如圖，哪門炮效果好一點些？又如:甲、乙兩個合唱隊都由5名成員組成，身高如下：甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60哪個合唱隊演出效果好？35高級教育一、方差定義

設(shè)X是一個隨機變量，若存在，則稱為X的方差.記為D(X)或Var(X).

方差的算術(shù)平方根稱為均方差或標準差。記為注：方差實際上就是X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的期望.方差反映了隨機變量的取值與平均值的偏離程度.36高級教育證明：推論：常用計算公式：37高級教育例4.2.2射擊教練將從他的兩名隊員中選擇一人參加比賽，應(yīng)該是甲還是丙更合適？成績(環(huán)數(shù))甲的概率丙的概率

80.10.2

90.30.110 0.6 0.7解.這里甲、丙兩人的平均成績都是

Eξ=Eη

=9.5需要比較方差，簡單計算后可以得到：

Dξ=0.45，Dη

=0.65因此,應(yīng)該選擇甲隊員去參加比賽。38高級教育ξp續(xù)例4.1.1,甲乙射擊技術(shù)如下：

8910p0.10.30.6η

89100.20.50.3已經(jīng)知道平均來說甲的成績比乙好，計算方差能發(fā)現(xiàn)甲的成績也比乙穩(wěn)定(Dξ

=0.45,Dη

=0.49).如果只射擊一次，誰的成績可能更好一些？

需要利用分布律計算并比較兩個概率

P(ξ＞η)，以及P(ξ＜η)39高級教育幾種常見分布的方差:(1)（0—1）分布：(2)二項分布：40高級教育(3)泊松分布：41高級教育(4)均勻分布:42高級教育(5)指數(shù)分布：43高級教育特別，當(dāng)(6)正態(tài)分布：44高級教育常見分布的數(shù)學(xué)期望與方差列表：45高級教育方差的基本性質(zhì)2.隨機變量線性變換的方差公式:設(shè)a、b

是兩個常數(shù)，則有D(a+bξ)=b2Dξ.注：與數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)比較：E(a+bξ)=a+bEξ平移改變隨機變量期望，但不會改變方差.1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)

=0;46高級教育

4.獨立和的方差等于方差的和：若X與Y

獨立，則注：這條性質(zhì)同樣不是一個充要條件。推廣：若X1,X2,…,Xn

相互獨立,則證明：見后面“Chebyshev不等式”部分。3、D(X)=047高級教育1.如果ξ1、…、ξn

相互獨立，則有：

D(ξ1

±ξ2±…±ξn)=Dξ1+Dξ2+…+Dξn2.任意隨機變量和的期望等于期望的和：

E(ξ1±ξ2±…±ξn)=Eξ1±Eξ2±…±Eξn比較：3.

獨立隨機變量乘積的期望等于期望的乘積：E(ξ1

ξ2…

ξn)=Eξ1

Eξ2…Eξn48高級教育5.若，則。證明：因為注：這個性質(zhì)表明數(shù)學(xué)期望具有一個重要的極值性質(zhì)：在中,當(dāng)時達到極小;這也說明在的定義中取的合理性。49高級教育例2、已知X~b(n,p)，求D(X)。注：利用方差和的性質(zhì)時要注意相互獨立的條件。50高級教育

“標準化”的目的是通過線性變換把一個隨機變量的期望轉(zhuǎn)化為0，方差轉(zhuǎn)化為1.隨機變量的標準化：假設(shè)隨機變量ξ的期望Eξ及方差Dξ都存在,且Dξ>0，則稱為ξ的標準化隨機變量。51高級教育二.Chebyshev不等式對于任何具有有限期望與方差的隨機變量ξ，都有其中ε

是任一正數(shù)。證明:若

F(x)是ξ的分布函數(shù)，則顯然有52高級教育Chebyshev不等式還常寫成下面的形式:或

Chebyshev不等式的意義：利用隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望及方差對ξ的概率分布進行估計。它斷言不管ξ的分布是什么，ξ落在中的概率均不小于53高級教育從Chebyshev不等式還可以看出,當(dāng)方差愈小時,事件的概率也愈小，從這里可以看出方差是描述隨機變量與其期望值離散程度的一個量。特別地,若,則對于任意的，恒有即所以方差為零的隨機變量是常數(shù)。因此,54高級教育在不等式中分別取ε=σ，2σ，3σP{|ξ-

|≤σ}≥0P{|ξ-

|≤2σ}≥0.75P{|ξ-

|≤3σ}≥0.8889比較正態(tài)分布的結(jié)果：P{|ξ-

|≤σ}=0.6826，P{|ξ-

|≤2σ}=0.9544，P{|ξ-

|≤3σ}=0.9974。55高級教育定義

設(shè)(X,Y)為二維隨機變量,若存在，則稱它為X與Y的協(xié)方差，cov(X,Y).三、相關(guān)系數(shù)對于隨機向量,我們除了關(guān)心它的各個分量的情況外,還希望知道各個分量之間的聯(lián)系,于是引進了協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念。常用計算公式：56高級教育協(xié)方差的概率意義:

協(xié)方差實際上是兩個隨機變量中心化以后乘積的數(shù)學(xué)期望，是它們關(guān)系的一種度量。

協(xié)方差為正說明ξ、η具有相同變化趨勢，即平均來說ξ相對于Eξ變大(或變小時)η也相對于Eη增加(或減少);反之協(xié)方差為負則說明ξ、η具有相反的變化趨勢。57高級教育a,b為常數(shù)協(xié)方差的性質(zhì)58高級教育和的方差公式：59高級教育設(shè)為n維隨機向量，記協(xié)方差矩陣：簡記作DX.60高級教育事實上,對任何實數(shù)有因而,對于協(xié)方差矩陣有:Remark：3、協(xié)方差矩陣是一個非負定矩陣。61高級教育定義.

稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)。更常用的是如下“標準化”了的協(xié)方差.相關(guān)系數(shù)就是標準化的隨機變量與的協(xié)方差。這里當(dāng)然要求DX,DY為正。以后補充定義常數(shù)與任何隨機變量的相關(guān)系數(shù)為零。相關(guān)系數(shù)：62高級教育例3求服從多項分布的隨機向量的各個分量之間的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。解:顯然因此注意到,因此,這里整數(shù),且63高級教育因而有從而，相關(guān)系數(shù)為由于可寫出協(xié)方差陣與相關(guān)系數(shù)陣。64高級教育下面研究相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),先證明一條常用的不等式。定理(Cauchy-Schwarz不等式)等式成立當(dāng)且僅當(dāng)這里是某一個常數(shù)。對任意的隨機變量ξ與η

,如果則有65高級教育證明:對任意的實數(shù)t,定義顯然對一切，因此二次方程或者沒有實根或者有一個重根。所以此外,方程有一個重根存在的充要條件是這時，

，因此66高級教育把柯西-施瓦茲不等式應(yīng)用到及，可以得到相關(guān)系數(shù)的如下重要性質(zhì)。性質(zhì)1對于ξ與η的相關(guān)系數(shù)ρ

，而ρ

=-1,當(dāng)且僅當(dāng)性質(zhì)1表明,當(dāng)時,ξ與η存在著線性關(guān)系.有線性關(guān)系是一個極端，ρ=0又是一個極端。而ρ=1,當(dāng)且僅當(dāng)67高級教育定義

若隨機變量

與

的相關(guān)系數(shù)ρ=0，則我們稱

與

(線性)不相關(guān)。性質(zhì)2對隨機變量

與

,下面的事實等價：不相關(guān)；

獨立性和不相關(guān)性都是隨機變量間聯(lián)系“薄弱”的一種反映，自然希望知道這兩個概念之間的聯(lián)系。性質(zhì)3若

與

獨立，則

與

不相關(guān)。其逆不成立，請看下面的例子。68高級教育例4設(shè)服從中的均勻分布，這里a是定數(shù)。試判斷

與

的獨立性與相關(guān)性。解：因而，

與

的相關(guān)系數(shù)為69高級教育當(dāng)，X與Y的線性關(guān)系越顯著；當(dāng),X與Y的線性關(guān)系越不顯著；相關(guān)系數(shù)之間線性關(guān)系的一種度量.是X與Y于是，當(dāng)時，當(dāng)時，存在線性關(guān)系。但是,當(dāng)或時，，這時

與

不相關(guān)。但是這時卻有，因此

與

不獨立。兩個隨機變量不相關(guān)，它們之間可能存在其它關(guān)系。即使Remark：70高級教育

不相關(guān)性是就線性關(guān)系而言的，而獨立性是就一般關(guān)系而言的。但是如果它們服從二元正態(tài)分布，那么它們之間的獨立性和不相關(guān)性是等價的。性質(zhì)4對于二元正態(tài)分布，不相關(guān)性與獨立性等價.這個結(jié)果可推廣到多元場合。性質(zhì)5若ξ與η

都是取二值隨機變量，則不相關(guān)性與獨立性等價.71高級教育在抽樣調(diào)查中的應(yīng)用

抽樣調(diào)查是社會經(jīng)濟中用的最多的統(tǒng)計方法。為對總體的某個指標（主要是總值、平均值、比率和百分比）進行估算特設(shè)計某種抽樣方案。

最簡單的抽樣方式是簡單隨機抽樣。例6袋中有張卡片，各記以數(shù)字，不放回地從中抽出張，求其和的數(shù)學(xué)期望和方差。解:取一張時，其數(shù)字的分布均值及方差分別為:72高級教育

若以

記n張卡片的數(shù)字之和,以記第i次抽得的卡片上的數(shù)字，則由于抽簽與順序無關(guān)，因此故所以這里，我們又一次用到抽簽與順序無關(guān)。73高級教育

在中令，這時是一個常數(shù)，因此

,于是因而,最后得到:與有放回抽取的方差相比,多出了一個因子

，稱為有限總體修正因子。

當(dāng)時，它等于1；而當(dāng)時，它取值為0。這與直觀符合。

特別地，若取

則可以得到超幾何分布的均值和方差的表達式。74高級教育現(xiàn)代證券組合理論

Markovitz在50年代引進的均值--方差模型成了現(xiàn)代證券組合理論的基石。

一個相當(dāng)自然的假定是：投資者都追求高收益而規(guī)避風(fēng)險，也即希望有高的均值而不愿有大的方差。

但是，證券市場的歷史記錄表明，高收益常伴隨著高風(fēng)險。根本的出路在于采用證券組合，即把全部資金分散投資于各種證券。

假定投資于上述

種證券的資金的比例分別為

假定有種證券可以投資,并把它們的收益率看作是隨機變量,通常記為

,相應(yīng)的均值和方差分別記為和并以記與的相關(guān)系數(shù)。75高級教育則總的收益率為顯然其平均收益率為而方差則為因此尋找最優(yōu)證券組合的問題化為：

求投資比例，使等于某個目標值而達到最小，或者控制在一個可以接受的水平而使達到最大。

Markovitz模型兼顧了金融市場中收益和風(fēng)險兩大要素，而且形式簡便，為金融學(xué)的發(fā)展開創(chuàng)了新局面，他也因此獲得了1990年度的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。76高級教育四、

矩

數(shù)學(xué)期望,方差,協(xié)方差是隨機變量常用的數(shù)字特征，它們都是某種矩。

矩是最廣泛使用的一種數(shù)字特征，在概率論和數(shù)理統(tǒng)計種占有重要地位。常用的矩有兩種：原點矩和中心矩定義.對正整數(shù)，稱為階原點矩.數(shù)學(xué)期望是一階原點矩。定義.對正整數(shù)，稱為階中心矩.方差是二階中心矩。定理.中心矩和原點矩可相互表達。77高級教育證明：事實上，

此外對正數(shù)

k

，還可以定義k

階原點絕對矩及k階中心絕對矩，它們較少使用。

對于多維隨機變量，可以定義各種混合矩，例如稱為k+l階混合中心矩。協(xié)方差是二階混合中心矩，是其中最重要的一種。證畢.78高級教育解：密度函數(shù)為故原點矩和中心矩相同。顯然,當(dāng)k為奇數(shù)時，；當(dāng)k為偶數(shù)時，例7設(shè)為服從正態(tài)分布，求其k階原點矩和k階中心矩。79高級教育推廣：若

為服從正態(tài)分布N(

,

2)，其k階中心矩:k階原點矩：當(dāng)k為奇數(shù)時，當(dāng)k為偶數(shù)時，80高級教育五、條件數(shù)學(xué)期望1.離散隨機變量的條件期望Y

關(guān)于隨機事件(X=x)的條件期望：Remark：Y關(guān)于X的條件期望E(Y|X)是一個隨機變量，它取值為E(Y|X=x)的概率是P(X=x

)。其反映了隨機變量Y的平均值對隨機變量X的依賴。81高級教育2.連續(xù)隨機變量的條件期望在的條件下，的條件數(shù)學(xué)期望定義為Remark:為隨機變量:它取值，對應(yīng)密度為p

(x).注意：條件數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望的所有性質(zhì).82高級教育所以它服從正態(tài)分布例考慮二維正態(tài)分布，(ξ,η)~從第三章已經(jīng)知道η關(guān)于隨機事件(ξ=x)的條件分布為因此η關(guān)于隨機事件(ξ=x)的條件期望就是83高級教育設(shè)(X,Y)為二維隨機向量，且E(X)存在，則有證明：只對連續(xù)性情況證明.設(shè)的概率密度為,則有

定理(全期望公式)

84高級教育

全期望公式的應(yīng)用:

這公式提供了一個在大范圍求平均的一種思想方法，即所謂的兩次平均法.85高級教育例8一名礦工被困在礦井有三個門的位置，第一個門與一個經(jīng)3小時路程可到達安全區(qū)的坑道連接；第二個門與一個經(jīng)5小時路程可回到原處的坑道連接；第三個門與一個經(jīng)7小時路程可回到原處的坑道連接。假定該礦工等可能在三個門種選擇，求他平均需要多少時間才能到達安全區(qū)。解：設(shè)該礦工需要小時到達安全區(qū)，則的可能取值顯然有由題設(shè)知記礦工平均需要時間為由全期望計算式:解得86高級教育§4.5特征函數(shù)一、特征函數(shù)的定義二、特征函數(shù)的性質(zhì)三、逆轉(zhuǎn)公式與唯一性定理四、分布函數(shù)的再生性五、多元特征函數(shù)87高級教育一、特征函數(shù)的定義

分布函數(shù)及其密度無疑是描述隨機變量概率規(guī)律的有力工具，可方便地解決許多與隨機變量有關(guān)的概率問題。但是，在今后的某些問題中，分布函數(shù)又表現(xiàn)出某些不足。例如：（1）分布函數(shù)本身的分析性質(zhì)不太好，它只是一個單邊連續(xù)的有界非降函數(shù)。（2）獨立隨機變量和的分布函數(shù)等于各分布函數(shù)的卷積,這在計算上帶來不少麻煩。

另一方面,數(shù)字特征也只反映了概率分布的某些側(cè)面。一般并不能通過它來確定分布函數(shù)。下面介紹的特征函數(shù),即能完全決定分布函數(shù)，又具有良好的分析性質(zhì)。88高級教育定義如果與都是概率空間上的實值隨機變量，則稱為復(fù)隨機變量.對復(fù)隨機變量的研究本質(zhì)上是對二維隨機變量的研究.

如果二維隨機變量與相互獨立，則稱復(fù)隨機變量與相互獨立。

定義復(fù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望為89高級教育

對于復(fù)隨機變量，可平行的定義或建立一系列結(jié)果。例如:若是相互獨立的，則又如,若是一個博雷爾可測函數(shù)，

則這里,90高級教育定義若隨機變量的分布函數(shù)為，則稱為的特征函數(shù)。

特征函數(shù)是一個實變量的復(fù)值函數(shù)，由于，所以它對一切實數(shù)t都有意義。

顯然特征函數(shù)只與分布函數(shù)有關(guān)，因此又稱某一分布函數(shù)的特征函數(shù)。91高級教育這時，特征函數(shù)是密度函數(shù)p(x)的Fourier變換。對于離散型隨機變量，若其分布列為：則其特征函數(shù)為：

對于連續(xù)型隨機變量，若其分布密度為p(x)，則其特征函數(shù)為：92高級教育一些重要分布的特征函數(shù)例1退化分布的特征函數(shù)例2二項分布的特征函數(shù)例3泊松分布的特征函數(shù)為93高級教育例4分布

的特征函數(shù)：特別地，指數(shù)分布Exp(λ)：

卡方分布：94高級教育二、特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1特征函數(shù)有如下性質(zhì)：證明：性質(zhì)2特征函數(shù)在上一致連續(xù)。證明：95高級教育注意上式右邊已與t無關(guān)。而因此，

可選足夠大的使右邊的第一項任意小，然后選充分小的可使第二個積分也任意小，從而證明了定理的結(jié)論。96高級教育性質(zhì)3對于任意的正整數(shù)及任意的實數(shù)及復(fù)數(shù)，成立證明：

這個性質(zhì)稱為非負定性，是特征函數(shù)的最本質(zhì)的性質(zhì)之一。97高級教育性質(zhì)4兩個相互獨立的隨機變量之和的特征函數(shù)等于它們各自特征函數(shù)之積。證明：設(shè)與是兩個相互獨立的隨機變量，由與的獨立性不難推得復(fù)隨機變量與也是獨立的，則性質(zhì)4可以推廣到n個獨立隨機變量之和的場合.正是由于性質(zhì)4，才使特征函數(shù)在概率論中占有重要地位.98高級教育性質(zhì)5設(shè)隨機變量

的n階矩存在，則它的特征函數(shù)可微分n

次，且當(dāng)時：證明:

由于的階矩存在，故，因而可作下列積分號下的微分取，即得結(jié)論成立。利用性質(zhì)5，我們可以方便地求隨機變量的各階矩。99高級教育推論.設(shè)隨機變量

的n階矩存在，則它的特征函數(shù)可作如下展開：性質(zhì)5設(shè)，這里a,b

為常數(shù)，則證明:100高級教育例5

求正態(tài)分布的特征函數(shù).解:先討論的場合：由于正態(tài)分布的一階矩存在，可對上式求導(dǎo)，得101高級教育因此,由于f(0)=1，所以c=0,從而對于的場合，利用性質(zhì)6可得：102高級教育例.103高級教育三、逆轉(zhuǎn)公式與唯一性定理特征函數(shù)和分布函數(shù)是相互唯一確定的，由分布函數(shù)決定特征函數(shù)是顯然的，剩下來的是證明可由特征函數(shù)唯一決定分布函數(shù)。

則引理設(shè)

104高級教育證明：從數(shù)學(xué)分析中知道狄利克雷積分而105高級教育定理（逆轉(zhuǎn)公式）

設(shè)分布函數(shù)的特征函數(shù)為，又是的連續(xù)點，則證明：不妨設(shè)，記106高級教育交換中兩積分的積分順序得到：因為對，有因此，對，取共軛即知上式也成立。107高級教育由前面的引理知：有界，因此由勒貝格控制收斂定理并利用引理的結(jié)果可知：108高級教育若是的連續(xù)點，則109高級教育定理(唯一性定理)