理論力學(xué) 第2版 12動(dòng)量定理

第十二章動(dòng)量定理第一節(jié)動(dòng)量與沖量一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定義：單位：二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量1.定義2.實(shí)用算式質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定義為質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和，記作，即1二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量2.實(shí)用算式其中，m

為質(zhì)點(diǎn)系的全部質(zhì)量；為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心的速度說明：在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量時(shí)，一般應(yīng)采用投影法。2[例1]圖示三個(gè)物塊用繩相連，質(zhì)量分別為

m1=2m2=4m3=m。不計(jì)繩的質(zhì)量和變形，設(shè)某瞬時(shí)，三物塊的速度大小同為

v

，試計(jì)算由三物塊組成的質(zhì)點(diǎn)系在此瞬時(shí)的動(dòng)量.建立圖示直角坐標(biāo)系，得解：由定義式，該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為3故得質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的大小質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量與

x

軸夾角的正切4[例2]圖示橢圓規(guī)，已知

OC=AC=BC=l

；曲柄

CO

以等角速度

繞定軸

O

轉(zhuǎn)動(dòng)；曲柄

CO

、連桿

AB

以及滑塊

A、B

的質(zhì)量均為

m

，其中曲柄

CO

、連桿

AB

可視為勻質(zhì)桿，試求系統(tǒng)的動(dòng)量。解：建立圖示坐標(biāo)系，系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為5將上述兩式分別對時(shí)間

t

求導(dǎo)，得系統(tǒng)的質(zhì)心速度

vC

在x、y軸上的投影為6系統(tǒng)的動(dòng)量在

x、y

軸上的投影為7故得系統(tǒng)的動(dòng)量的大小系統(tǒng)的動(dòng)量與

x

軸夾角的正切8三、力的沖量常力的沖量：變力的元沖量：（2）實(shí)際計(jì)算時(shí)常用投影法說明（1）單位：變力的沖量：9解：設(shè)

t1=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于

A，經(jīng)[例3]質(zhì)量為

m

的質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)沿一半徑為

r

的圓周作勻速運(yùn)動(dòng)，其速度大小為

v

，質(zhì)點(diǎn)所受力的大小

F=mv2

/

r

，方向始終指向圓心。試求該力在質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過半圓周的過程中的沖量。建立圖示直角坐標(biāo)系，過半圓周后運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)

B

，對應(yīng)時(shí)間t2=

r

/

v得力

F

在

x、y

軸上的投影分別為10在質(zhì)點(diǎn)由

A

運(yùn)動(dòng)到

B

的過程中，該力的沖量在

x、y

軸上的投影分別為11所以，該力沖量的大?。悍较颍褐赶?/p>

y

軸的負(fù)向12第二節(jié)動(dòng)量定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理1.微分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元沖量，即2.積分形式在一段時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在該段段時(shí)間內(nèi)的沖量，即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理的積分形式又稱為質(zhì)點(diǎn)的沖量定理13二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理1.微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的外力元沖量的矢量和，即2.積分形式在一段時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的變化量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的外力在該段時(shí)間內(nèi)沖量的矢量和，即或者：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力的矢量和，即說明：動(dòng)量定理為矢量形式，實(shí)際運(yùn)用時(shí)一般都用其投影形式·沖量定理14三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律若作用于質(zhì)點(diǎn)系上外力的主矢恒為零，則該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒，即或者：若作用于質(zhì)點(diǎn)系上外力在某坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該坐標(biāo)軸上的投影保持不變，即15[例4]質(zhì)量為的

m1平臺

AB

與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為

f，質(zhì)量為m2

的小車

D

相對平臺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

s=b

t

2

/

2（b為常數(shù)）。若不計(jì)絞車質(zhì)量，試求平臺的加速度。解：選取系統(tǒng)為研究受力分析運(yùn)動(dòng)分析對象建立圖示直角坐標(biāo)軸，系統(tǒng)動(dòng)量在

x、y

軸上的投影16根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理其中，摩擦力

Fk

=f

FN解得平臺的加速度17解：選取系統(tǒng)為研究對象[例5]兩個(gè)重物的質(zhì)量分別為

m1和

m2

，系在兩根質(zhì)量不計(jì)的細(xì)繩上；兩根繩分別纏繞在半徑為

r1

和

r2上的鼓輪上；鼓輪總質(zhì)量為m3

，其質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸

O

上。若鼓輪以角加速度

繞軸

O

逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，試求軸承

O

的約束力。受力分析運(yùn)動(dòng)分析系統(tǒng)動(dòng)量在

x、y

軸上的投影建立圖示直角坐標(biāo)軸18根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，有

其中，、19

得軸承

O

的約束力20解：（1）先選取小車

A

[例6]質(zhì)量各為

600

kg、800

kg的兩小車

A、B

在水平軌道上分別以勻速vA=1

m/s、vB=0.4

m/s

運(yùn)動(dòng)。一質(zhì)量為

40

kg

的重物

C

從傾角為

30°的斜面以速度

vC=2

m/s

落入小車

A

內(nèi)。假設(shè)小車

A

與小車

B

相碰后以同一速度一起運(yùn)動(dòng)，并不計(jì)摩擦，試求兩車共同的速度。與重物

C

為研究對象系統(tǒng)水平方向不受外力作用，故其沿水平方向動(dòng)量守恒重物

C

與小車

A

相碰前重物

C

與小車

A

相碰后由

p1x

=p0x，求得重物

C

與小車

A

共同的速度21得兩車的共同速度為（2）再選取小車

A（含重物

C）與小車

B

為研究對象設(shè)

A

車與

B

車相碰后的共同速度為

v2

，同理有22第三節(jié)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積，等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和，即一、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理其投影形式其中，m

為整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量；aC

為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心加速度結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不會影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，只有外力才能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。23二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律若作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力的主矢為零，則其質(zhì)心速度不變；如果初始時(shí)質(zhì)心靜止，則質(zhì)心位置不變。即或者：若作用于質(zhì)點(diǎn)系上的外力在某軸上投影的代數(shù)和為零，則其質(zhì)心速度在該軸上的投影不變；如果初始時(shí)速度投影為零，則質(zhì)心沿該軸坐標(biāo)不變。即24[例7]如圖，質(zhì)量為

m1，長為

l

的勻質(zhì)曲柄

AO

以等角速度

繞定軸

O

轉(zhuǎn)動(dòng)，并帶動(dòng)質(zhì)量為

m2的滑塊

A

在滑桿

BDE

的豎直滑槽內(nèi)滑動(dòng)。滑桿

BDE

沿水平導(dǎo)軌滑動(dòng)，質(zhì)量為

m3

，質(zhì)心位于點(diǎn)

G

處。開始時(shí)，曲柄

AO

水平向右。不計(jì)各處摩擦，試求（1）系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；（2）軸

O

處的最大水平約束力。25取整個(gè)系統(tǒng)為研究對象解：建立圖示直角坐標(biāo)系系統(tǒng)質(zhì)心

C

的坐標(biāo)為運(yùn)動(dòng)分析——26整理得系統(tǒng)質(zhì)心

C

的運(yùn)動(dòng)方程為27將上述第一式對時(shí)間

t

求二階導(dǎo)數(shù)，得質(zhì)心加速度在

x軸上的投影28受力分析系統(tǒng)在水平方向上所受的外力只有軸

O

的水平約束力根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理所以，軸

O

處的最大水平約束力為29[例8]電動(dòng)機(jī)用螺栓固定在水平基礎(chǔ)上，外殼與定子的重量為

P1，質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸的中心

O1，轉(zhuǎn)子重量為

P2，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心

O2到

O1的距離為

e

，若轉(zhuǎn)子以角速度

勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試求螺栓和地基對電動(dòng)機(jī)的約束力。取整個(gè)電動(dòng)機(jī)為研究對象建立坐標(biāo)系整個(gè)電動(dòng)機(jī)質(zhì)心

C

的坐標(biāo)解：受力分析運(yùn)動(dòng)分析30將上述兩式對時(shí)間

t

求兩階導(dǎo)數(shù)，得電動(dòng)機(jī)質(zhì)心

C

的加速度在

x、y

軸上的投影31根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理32解得螺栓和地基對電動(dòng)機(jī)的約束力當(dāng)電動(dòng)機(jī)不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，螺栓和地基只有向上的約束力

P1＋

P2，稱為靜約束力；電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的約束力稱為動(dòng)約束力；動(dòng)約束力與靜約束力的差稱為附加動(dòng)約束力。33[例9]兩根勻質(zhì)桿

AD

和

BD

在

D

處用光滑鉸鏈相連。已知兩桿長均為

l

，質(zhì)量各為

m1、m2，并且

m1>m2

。開始時(shí)，兩桿豎直靜止立于光滑的水平面上，然后在鉛直平面內(nèi)向兩邊分開倒下。試確定兩桿倒地時(shí)點(diǎn)

D

的位置。由于系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，且初始靜止，故根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律，系統(tǒng)質(zhì)心的橫坐標(biāo)保持不變。取兩桿為研究對象解：受力分析34建立圖示固定直角坐標(biāo)系

Oxy初始時(shí)，兩桿直立，其質(zhì)心坐標(biāo)兩桿倒地時(shí)，設(shè)點(diǎn)

D

向右移動(dòng)

x，則系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)為由

xC1=xC2，求得兩桿倒地時(shí)點(diǎn)

D

的位置35解：選取系統(tǒng)為研究對象受力分析運(yùn)動(dòng)分析[例10]如圖，一長為

l

、質(zhì)量為

mB

的單擺，其支點(diǎn)鉸接在一可沿光滑水平軌道作直線平移的滑塊

A

上，滑塊

A

的質(zhì)量為

mA，擺桿

AB

質(zhì)量不計(jì)。（1）計(jì)算任意時(shí)刻軌道對滑塊

A

的約束力；的運(yùn)動(dòng)方程（表達(dá)為

角的函數(shù)）以及單擺

B

的軌跡方程。，試求滑塊

A（2）若運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，x=x0、

=

0、、

36

系統(tǒng)動(dòng)量在

y

軸上的投影根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理解得軌道對滑塊

A

的約束力