通信系統(tǒng)原理-第2章要點(diǎn)課件

第2章通信信號(hào)分析本章主要內(nèi)容：2.1確知信號(hào)分析方法2.2隨機(jī)信號(hào)分析方法2.3隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)1通信信號(hào)的分類(lèi)方法：1.從信號(hào)在時(shí)間和幅度上連續(xù)或離散的特點(diǎn)，可以分為模擬信號(hào)和數(shù)字信號(hào)；2.從信號(hào)是否可以用明確的表達(dá)式表示，可以分為確知信號(hào)（DeterministicSignal）和隨機(jī)信號(hào)（RandomSignal）。確知信號(hào)又可以分為周期信號(hào)和非周期信號(hào)。3.從信號(hào)中是否攜帶有用信息，可以分為有用信號(hào)和噪聲信號(hào)。22.1確知信號(hào)分析方法

有意義的通信信號(hào)應(yīng)具有隨機(jī)性，但是其中也會(huì)存在確知信號(hào)。

（如表示每個(gè)數(shù)字符號(hào)的信號(hào)是確知的，另外傳輸中的有些信號(hào)如導(dǎo)頻信號(hào)本身也是確知信號(hào)）。

確知信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)分析都很必要。

確知信號(hào)是指其取值在任何時(shí)間都是確定的和可預(yù)知的信號(hào)，通常可以用數(shù)學(xué)公式表示。

隨機(jī)信號(hào)則無(wú)法用明確的數(shù)學(xué)式表示。32.1確知信號(hào)分析方法

信號(hào)的基本分析方法有時(shí)域分析法和頻域分析法。

1.時(shí)域分析法具有直觀體現(xiàn)信號(hào)波形的特點(diǎn)，頻域分析法則更有利于揭示信號(hào)內(nèi)在的頻率特性，從而與通信中信號(hào)的頻譜、帶寬、濾波、調(diào)制、頻分復(fù)用等概念相聯(lián)系。

2.在頻域分析法中，傅里葉變換是重要的理論基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)工具。對(duì)于隨機(jī)信號(hào)分析，還需要用到概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)。本節(jié)主要討論信號(hào)的頻域分析，包括頻譜密度、功率密度、能量譜密度以及希爾伯特變換。42.1確知信號(hào)分析方法

1．周期信號(hào)和非周期信號(hào)

周期信號(hào)和非周期信號(hào)、能量信號(hào)和功率信號(hào)。確知信號(hào)有周期的，也有非周期的。隨機(jī)信號(hào)通常是非周期的。

周期信號(hào)是指經(jīng)過(guò)一定時(shí)間重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)。

非周期信號(hào)不具有周而復(fù)始重復(fù)的特性。52.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度信號(hào)的能量E和功率P。

2.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度

若信號(hào)能量有限，即，此時(shí)，則稱(chēng)此信號(hào)為能量信號(hào)。

若，但信號(hào)功率有限，即，則稱(chēng)此信號(hào)為功率信號(hào)。

72.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度各類(lèi)信號(hào)之間的關(guān)系：

確知的周期信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)是功率信號(hào)；

確知的非周期信號(hào)可能是功率信號(hào)，也可能是能量信號(hào)。

反過(guò)來(lái)說(shuō)，功率信號(hào)可以是確知的周期、非周期信號(hào)或隨機(jī)信號(hào)，能量信號(hào)是非周期信號(hào)。

確知信號(hào)的頻率特性由其各個(gè)頻率分量的分布表示。信號(hào)的頻率特性具體分為：頻譜、頻譜密度、功率譜密度、能量譜密度。大多數(shù)功率信號(hào)是周期信號(hào)，以下分析功率信號(hào)時(shí)均假設(shè)為周期信號(hào)，頻譜與傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)有關(guān)。2.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度9

2．傅里葉級(jí)數(shù)

任何周期為T(mén)的周期數(shù)

，在滿足狄里赫利條件時(shí)，可以由三角傅里葉級(jí)數(shù)表示。式中，

2.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度10將式中同頻率項(xiàng)合并，可寫(xiě)成還可以由指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)表示：—復(fù)振幅

2.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度113．功率信號(hào)的頻譜

三角傅里葉級(jí)數(shù)和指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)都是將一個(gè)周期信號(hào)表示為直流分量和各次諧波分量之和。

將各分量的振幅和相位；或各分量的復(fù)振幅，繪成圖就得到周期信號(hào)的頻譜圖。具體包括幅度譜、相位譜、復(fù)數(shù)振幅譜。

2.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度12

例：脈沖寬度為

，周期為

，幅度為

的周期性矩形脈沖。信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為

設(shè)，，用Matlab繪制出頻譜圖。

2.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度13

圖2-1周期信號(hào)的單邊幅度譜和相位譜

（a）周期性矩形脈沖信號(hào)；（b）單邊幅度譜；（c）單邊相位譜

2.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度14指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)表示式：

圖2-2周期信號(hào)的雙邊幅度譜和相位譜

（

a）雙邊幅度譜；（b）雙邊相位譜

2.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度15

周期信號(hào)頻譜具有三個(gè)特點(diǎn)：離散性、諧波性和收斂性。周期信號(hào)由于諧波振幅具有收斂性，信號(hào)能量的主要集中在低頻分量中?？梢詫⑿盘?hào)的頻帶寬度定義為：從零頻率開(kāi)始到需保留的最高頻率分量之間的頻率范圍。

第一零點(diǎn)帶寬2.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度164．能量信號(hào)的頻譜密度

能量信號(hào)通常是非周期信號(hào)，非周期信號(hào)不能直接用傅里葉級(jí)數(shù)表示。設(shè)能量信號(hào)的傅里葉變換為。

還可表示為

—頻譜密度函數(shù)。

2.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度—頻譜函數(shù)的模，表示非周期信號(hào)中各頻率分量幅值的相對(duì)大小。

17非周期信號(hào)的幅度譜。非周期信號(hào)的相位譜。例：求單個(gè)矩形脈沖信號(hào)的頻譜。

矩形脈沖信號(hào)表達(dá)式

頻譜函數(shù)2.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度18例：求單位沖激信號(hào)的頻譜。解：時(shí)域表達(dá)式傅里葉變換為

2.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度

單位沖激函數(shù)的頻譜在整個(gè)頻率區(qū)間是均勻的，這樣的頻譜常稱(chēng)為“均勻譜”或“白色譜”。

圖2-4沖激信號(hào)的頻譜(a)沖激信號(hào)時(shí)域波形；(b)沖激信號(hào)頻譜密度函數(shù)19和的主要區(qū)別有：（1）是連續(xù)譜，而是離散譜；（2）單位是幅度/頻率，而單位是幅度；（這里都是指其頻譜幅度）；（3）能量信號(hào)的頻譜連續(xù)地分布在頻率軸上，每個(gè)頻率點(diǎn)上的信號(hào)幅度是無(wú)窮小的。周期性功率信號(hào)的頻譜只有在離散的頻率點(diǎn)上有振幅，表示了信號(hào)各頻率分量的大小。

2.1.1信號(hào)的頻譜和頻譜密度

1．帕斯瓦爾（Parseval）定理對(duì)于能量信號(hào)，在時(shí)域中計(jì)算的信號(hào)總能量，等于在頻域中計(jì)算的信號(hào)總能量。即：

稱(chēng)為能量譜，它是沿頻率軸的能量分布密度。對(duì)于周期性功率信號(hào)有

202.1.2信號(hào)的功率譜密度和能量譜密度212．能量譜密度和功率譜密度在頻域引入“密度函數(shù)”的概念：對(duì)密度函數(shù)積分就是總的能量或功率。

對(duì)比

2.1.2信號(hào)的功率譜密度和能量譜密度能量信號(hào)的能量譜密度為周期性功率信號(hào)的功率譜密度2.1.2信號(hào)的功率譜密度和能量譜密度

對(duì)于非周期功率信號(hào)，采用截短函數(shù)求極限：

根據(jù)能量信號(hào)帕斯瓦爾定理得，非周期功率信號(hào)的功率譜密度：

和可直接寫(xiě)成和，區(qū)別只是在于橫軸標(biāo)記不同。

此外，和既可以表示為單邊譜，又可表示為雙邊譜。

單邊譜和雙邊譜是等價(jià)的兩種表示方法。

2.1.2信號(hào)的功率譜密度和能量譜密度例：求脈寬為

的單個(gè)矩形脈沖信號(hào)的能量譜密度。解：?jiǎn)蝹€(gè)矩形脈沖的頻譜能量譜密度定義：?jiǎn)蝹€(gè)矩形脈沖的能量譜密度為：

2.1.2信號(hào)的功率譜密度和能量譜密度例：求周期為

、脈寬為、幅度為的周期性矩形脈沖的功率譜密度。解：根據(jù)前面計(jì)算結(jié)果得到周期性矩形脈沖的功率譜密度如下：

希爾伯特變換在通信領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，它是信號(hào)分析與處理的重要工具。希爾伯特變換可以用于信號(hào)的調(diào)制與解調(diào)，用來(lái)統(tǒng)一描述各種模擬調(diào)制方式的原理，揭示這些方式之間的內(nèi)在聯(lián)系，簡(jiǎn)化理論分析。2.1.3希爾伯特變換（Hilberttransform）2.1.3希爾伯特變換（Hilberttransform）1．希爾伯特變換的定義設(shè)實(shí)值函數(shù)，其中，它的希爾伯特變換定義為常記為由于是函數(shù)與的卷積積分，故可寫(xiě)成2.移相設(shè)，由于，因此。

由得所以是一個(gè)相移系統(tǒng)。

對(duì)正頻率產(chǎn)生的相移。

對(duì)負(fù)頻率產(chǎn)生相移。因此，希爾伯特變換又稱(chēng)為移相器。2.1.3希爾伯特變換（Hilberttransform）2.2隨機(jī)信號(hào)分析方法2.2.1

隨機(jī)過(guò)程1．隨機(jī)過(guò)程的一般概念

隨機(jī)過(guò)程可看成是一個(gè)由全部可能的實(shí)現(xiàn)構(gòu)成的總體，每個(gè)實(shí)現(xiàn)(樣本)都是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)。

換個(gè)角度觀察隨機(jī)過(guò)程，它是時(shí)間t的函數(shù)，在任一時(shí)刻觀察到的值是一個(gè)隨機(jī)變量。2.2.1隨機(jī)過(guò)程定義1：隨機(jī)過(guò)程是樣本函數(shù)的全體，用ξ(t)表示。

其中xi(t)是樣本函數(shù)。定義2：隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。在任意一個(gè)時(shí)刻t1上隨機(jī)過(guò)程的函數(shù)值ξ(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量。2．隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性描述1）隨機(jī)過(guò)程的一維概率分布函數(shù)2）隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)3）隨機(jī)過(guò)程的n維概率分布函數(shù)4）隨機(jī)過(guò)程的n維概率密度函數(shù)2.2.1隨機(jī)過(guò)程3．隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征1）數(shù)學(xué)期望

隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望是時(shí)間t的函數(shù)。a2(t)可以看成隨機(jī)過(guò)程的直流功率。2）方差

方差σ2(t)可以看作隨機(jī)過(guò)程的交流功率。

平均功率2.2.1隨機(jī)過(guò)程3）自協(xié)方差函數(shù)B(t1,t2)與自相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)自協(xié)方差函數(shù)定義為當(dāng)B(t1,t2)=0，表示X(t1)和X(t2)線性不相關(guān)。定義前一項(xiàng)為自相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)2.2.1隨機(jī)過(guò)程2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程1．平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程概念隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性分為嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)。

嚴(yán)平穩(wěn)：

任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)。嚴(yán)平穩(wěn)又稱(chēng)為嚴(yán)格平穩(wěn)或狹義平穩(wěn)。寬平穩(wěn)又稱(chēng)為廣義平穩(wěn)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程性質(zhì)：一維有與時(shí)間無(wú)關(guān)。二維有僅與時(shí)間間隔有關(guān)。嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征的特點(diǎn)：數(shù)學(xué)期望，常數(shù)。方差，常數(shù)。自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔τ的函數(shù)。2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程寬平穩(wěn)2．各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

各態(tài)歷經(jīng)性:

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)在整個(gè)時(shí)間軸上的時(shí)間平均值可以用來(lái)代替其統(tǒng)計(jì)平均值。2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程例：隨機(jī)相位正弦波ξ(t)=sin(ωct+θ)，其中θ是在(0~2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。求：（1）ξ(t)是否廣義平穩(wěn)？

（2）ξ(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性？，解：2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程可見(jiàn)，隨機(jī)相位正弦波滿足廣義平穩(wěn)條件。，2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程當(dāng)T趨近于無(wú)窮時(shí)，所以，隨機(jī)相位正弦波是一個(gè)各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程。2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程3．平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和時(shí)間t無(wú)關(guān)，只與時(shí)間間隔τ有關(guān)：性質(zhì)：1)2)對(duì)偶性3)證明：因?yàn)榉秦?fù)

所以2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程4)證明：

當(dāng)時(shí)間間隔很大時(shí)，可將ξ(t)和ξ(t+τ)看成是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。5)平均功率直流功率交流功率2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程4．功率譜密度非周期功率信號(hào)的功率譜公式

設(shè)隨機(jī)過(guò)程一次實(shí)現(xiàn)的截?cái)嗪瘮?shù)為ξT(t)，它的傅里葉變換為FT(ω)，則該樣本函數(shù)的功率譜為：

隨機(jī)過(guò)程的平均功率譜為：

平均功率為:

2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程5．維納—辛欽定理維納—辛欽定理給出平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系。

它們互為傅里葉變換對(duì)，即：

2.2.2

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程1．高斯分布

高斯分布是最常見(jiàn)和最重要的一種分布，一維概率密度函數(shù)如下：求解誤碼率時(shí)，經(jīng)常用到以下函數(shù)。誤差函數(shù)：補(bǔ)余誤差函數(shù)：

2.2.3

高斯隨機(jī)過(guò)程

高斯過(guò)程是指任意維分布都服從高斯分布的隨機(jī)過(guò)程。1）高斯過(guò)程的n維概率密度函數(shù)—第k個(gè)時(shí)刻的均值—第k個(gè)時(shí)刻的方差—第j個(gè)時(shí)刻和第k個(gè)時(shí)刻的歸一化協(xié)方差函數(shù)

2.2.3

高斯隨機(jī)過(guò)程

1)若高斯過(guò)程是寬平穩(wěn)，必將嚴(yán)平穩(wěn)。若寬平穩(wěn)，則均值和方差是常數(shù),只與時(shí)間間隔有關(guān)，即維概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，所以嚴(yán)平穩(wěn)。

2)如果高斯過(guò)程中的各隨機(jī)變量之間是互不相關(guān)，必將統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。在不同時(shí)刻取值不相關(guān)，則3)經(jīng)過(guò)線性變換仍是高斯過(guò)程。2.2.3

高斯隨機(jī)過(guò)程2.2.4窄帶高斯過(guò)程1．窄帶隨機(jī)過(guò)程

窄帶隨機(jī)過(guò)程滿足：

中心頻率為載頻fc

，帶寬為Δf

，且Δf<<

fc

。46調(diào)制器帶通濾波器解調(diào)器n(t)寬帶噪聲窄帶噪聲

2．窄帶過(guò)程的數(shù)學(xué)表示窄帶過(guò)程的數(shù)學(xué)表示方法有兩種。

第一種用包絡(luò)和相位表示。

aξ(t)隨機(jī)包絡(luò)；φξ(t)隨機(jī)相位。第二種用同相分量和正交分量表示。

ξc(t)同相分量；ξs(t)正交分量。472.2.4窄帶高斯噪聲

3．白噪聲白噪聲的功率譜密度

，n0—單邊功率譜密度

白噪聲的自相關(guān)函數(shù)理想低通白噪聲：

482.2.4窄帶高斯噪聲

窄帶高斯白噪聲表達(dá)式：

特性：1）均值為零的窄帶高斯噪聲n(t)，若平穩(wěn)，則同相分量nc(t)和正交分量ns(t)也是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，高斯分布，且均值和方差與n(t)相同；2）窄帶高斯噪聲的隨機(jī)包絡(luò)an(t)服從瑞利(Rayleigh)分布；3）窄帶高斯噪聲的隨機(jī)相位φn(t)服從均勻分布。492.2.4窄帶高斯噪聲2.2.5正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯過(guò)程的兩種描述方式：方式一：用同相分量和正交分量描述信號(hào)噪聲信號(hào)加噪聲Zc(t)和Zs(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且均為高斯過(guò)程。統(tǒng)計(jì)特性：方式二：用包絡(luò)和相位描述其概率密度2.2.5正弦波加窄帶高斯噪聲

與θ無(wú)關(guān)。正弦波加窄帶高斯過(guò)程包絡(luò)服從廣義瑞利分布或萊斯（Rice）分布2.2.5正弦波加窄帶高斯噪聲0階修正貝塞爾函數(shù)：（1）如果A＝0，則Rice分布就退化成了瑞利分布。（2）若A>3σ時(shí)，Rice分布近似于高斯分布。

正弦波加窄帶高斯過(guò)程相位的概率密度函數(shù)：

小信噪比時(shí)接近于均勻分布

大信噪比時(shí)主要集中在信號(hào)相位附近。2.2.5正弦波加窄帶高斯噪聲2.3隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)2.3.1信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的不失真條件設(shè)系統(tǒng)傳輸函數(shù)，輸入e(t)，輸出r(t)。無(wú)失真?zhèn)鬏敃r(shí)域關(guān)系：頻譜關(guān)系為因此

542.3隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)2.3.2隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)的特性對(duì)于確知信號(hào)，輸入e(t)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)h(t)后,

輸出r(t)可以表示為：頻譜關(guān)系為：功率譜密度之間的關(guān)系