六年奧數(shù)綜合練習(xí)題八(數(shù)論的方法技巧)

六年奧數(shù)綜合練習(xí)題八（數(shù)論的方法技巧）數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個數(shù)學(xué)分支，它歷史悠久，而且有著強(qiáng)大的生命力。數(shù)論問題敘述簡明，“很多數(shù)論問題可以從經(jīng)驗中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠(yuǎn)非易事”。因而有人說：“用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生，如能把當(dāng)今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出，就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵，并勸他將來從事數(shù)學(xué)方面的工作?！彼栽趪鴥?nèi)外各級各類的數(shù)學(xué)競賽中，數(shù)論問題總是占有相當(dāng)大的比重。小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)論問題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的結(jié)論有：1．帶余除法：若a，b是兩個整數(shù)，b＞0，則存在兩個整數(shù)q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。特別地，如果r=0，那么a=bq。這時，a被b整除，記作b|a，也稱b是a的約數(shù)，a是b的倍數(shù)。2．若a|c，b|c，且a，b互質(zhì)，則ab|c。3．唯一分解定理：每一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即其中p1＜p2＜…＜pk為質(zhì)數(shù)，a1，a2，…，ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。（1）式稱為n的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解。4．約數(shù)個數(shù)定理：設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為（1），則它的正約數(shù)個數(shù)為：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。5．整數(shù)集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式x＜y與x≤y-1是等價的。下面，我們將按解數(shù)論題的方法技巧來分類講解。一、利用整數(shù)的各種表示法對于某些研究整數(shù)本身的特性的問題，若能合理地選擇整數(shù)的表示形式，則常常有助于問題的解決。這些常用的形式有：1．十進(jìn)制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；2．帶余形式：a=bq+r；4．2的乘方與奇數(shù)之積式：n=2mt，其中t為奇數(shù)。例1紅、黃、白和藍(lán)色卡片各1張，每張上寫有1個數(shù)字，小明將這4張卡片如下圖放置，使它們構(gòu)成1個四位數(shù)，并計算這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差。結(jié)果小明發(fā)現(xiàn)，無論白色卡片上是什么數(shù)字，計算結(jié)果都是1998。問：紅、黃、藍(lán)3張卡片上各是什么數(shù)字？解：設(shè)紅、黃、白、藍(lán)色卡片上的數(shù)字分別是a3，a2，a1，a0，則這個四位數(shù)可以寫成1000a3+100a2+10a1+a0，它的各位數(shù)字之和的10倍是10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差是990a3+90a2-9a110a3+10a2-a0比較上式等號兩邊個位、十位和百位，可得a0=8，a2=1，a3=2。所以紅色卡片上是2，黃色卡片上是1，藍(lán)色卡片上是8。解：依題意，得a+b+c＞14，說明：求解本題所用的基本知識是，正整數(shù)的十進(jìn)制表示法和最簡單的不定方程。例3從自然數(shù)1，2，3，…，1000中，最多可取出多少個數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和能被18整除？解：設(shè)a，b，c，d是所取出的數(shù)中的任意4個數(shù)，則a+b+c=18m，a+b+d=18n，其中m，n是自然數(shù)。于是c-d=18（m-n）。上式說明所取出的數(shù)中任意2個數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個余數(shù)為r，則a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，其中a1，b1，c1是整數(shù)。于是a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。因為18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因為1000=55×18+10，所以，從1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56個數(shù)，它們中的任意3個數(shù)之和能被18整除。例4求自然數(shù)N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內(nèi)，它共有10個約數(shù)。解：把數(shù)N寫成質(zhì)因數(shù)乘積的形式由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指數(shù)ak為自然數(shù)或零。依題意，有（a1+1）（a2+1）…（an+1）=10。由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2個不同的質(zhì)因數(shù)5和7，因為a4+1≥3＞2，故由（a3+1）（a4+1）=10知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=52-1×75-1=5×74=12005。例5如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個2與1個奇數(shù)的積？解：因為210=1024，211=2048＞2000，每一個不大于2000的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)相乘，其中2的個數(shù)不多于10個，而1024=210，所以，N等于10個2與某個奇數(shù)的積。說明：上述5例都是根據(jù)題目的自身特點，從選擇恰當(dāng)?shù)恼麛?shù)表示形式入手，使問題迎刃而解。二、枚舉法枚舉法（也稱為窮舉法）是把討論的對象分成若干種情況（分類），然后對各種情況逐一討論，最終解決整個問題。運(yùn)用枚舉法有時要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?，分類的原則是不重不漏。正確的分類有助于暴露問題的本質(zhì)，降低問題的難度。數(shù)論中最常用的分類方法有按模的余數(shù)分類，按奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等。例6求這樣的三位數(shù)，它除以11所得的余數(shù)等于它的三個數(shù)字的平方和。分析與解：三位數(shù)只有900個，可用枚舉法解決，枚舉時可先估計有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計算量。設(shè)這個三位數(shù)的百位、十位、個位的數(shù)字分別為x，y，z。由于任何數(shù)除以11所得余數(shù)都不大于10，所以x2+y2+z2≤10，從而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中：100，101，102，103，110，111，112，120，121，122，130，200，201，202，211，212，220，221，300，301，310。不難驗證只有100，101兩個數(shù)符合要求。例7將自然數(shù)N接寫在任意一個自然數(shù)的右面（例如，將2接寫在35的右面得352），如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱為魔術(shù)數(shù)。問：小于2000的自然數(shù)中有多少個魔術(shù)數(shù)？對N為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別討論。N|100，所以N=10，20，25，50；N|1000，所以N=100，125，200，250，500；（4）當(dāng)N為四位數(shù)時，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合條件的有1000，1250。綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個數(shù)為14個。說明：（1）我們可以證明：k位魔術(shù)數(shù)一定是10k的約數(shù)，反之亦然。（2）這里將問題分成幾種情況去討論，對每一種情況都增加了一個前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。例8有3張撲克牌，牌面數(shù)字都在10以內(nèi)。把這3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光3人。每個人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復(fù)幾次后，3人各自記錄的數(shù)字的和順次為13，15，23。問：這3張牌的數(shù)字分別是多少？解：13+15+23=51，51=3×17。因為17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了3次，3張撲克牌數(shù)字之和是17，可能的情況有下面15種：①1，6，10②1，7，9③1，8，8④2，5，10⑤2，6，9⑥2，7，8⑦3，4，10⑧3，5，9⑨3，6，8⑩3，7，7(11)4，4，9(12)4，5，8(13)4，6，7(14)5，5，7(15)5，6，6只有第⑧種情況可以滿足題目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。這3張牌的數(shù)字分別是3，5和9。例9寫出12個都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。分析一：在尋找質(zhì)數(shù)的過程中，我們可以看出100以內(nèi)最多可以寫出7個連續(xù)的合數(shù)：90，91，92，93，94，95，96。我們把篩選法繼續(xù)運(yùn)用下去，把考查的范圍擴(kuò)大一些就行了。解法1：用篩選法可以求得在113與127之間共有12個都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。分析二：如果12個連續(xù)自然數(shù)中，第1個是2的倍數(shù)，第2個是3的倍數(shù)，第3個是4的倍數(shù)……第12個是13的倍數(shù)，那么這12個數(shù)就都是合數(shù)。又m+2，m+3，…，m+13是12個連續(xù)整數(shù)，故只要m是2，3，…，13的公倍數(shù)，這12個連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù)。解法2：設(shè)m為2，3，4，…，13這12個數(shù)的最小公倍數(shù)。m+2，m+3，m+4，…，m+13分別是2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，4的倍數(shù)……13的倍數(shù)，因此12個數(shù)都是合數(shù)。說明:我們還可以寫出13！+2，13！+3，…，13！+13（其中n！=1×2×3×…×n）這12個連續(xù)合數(shù)來。同樣，（m+1）！+2，（m+1）！+3，…，（m+1）！+m+1是m個連續(xù)的合數(shù)。三、歸納法當(dāng)我們要解決一個問題的時候，可以先分析這個問題的幾種簡單的、特殊的情況，從中發(fā)現(xiàn)并歸納出一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑。這種從特殊到一般的思維方法稱為歸納法。例10將100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個數(shù)字串，依次完成以下5項工作叫做一次操作：（1）將左邊第一個數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊；（2）從左到右兩位一節(jié)組成若干個兩位數(shù)；（3）劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)；（4）所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同者，保留左邊的一個，其余劃去；（5）所余的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼次序又組成一個新的數(shù)字串。問：經(jīng)過1999次操作，所得的數(shù)字串是什么？解：第1次操作得數(shù)字串711131131737；第2次操作得數(shù)字串11133173；第3次操作得數(shù)字串111731；第4次操作得數(shù)字串1173；第5次操作得數(shù)字串1731；第6次操作得數(shù)字串7311；第7次操作得數(shù)字串3117；第8次操作得數(shù)字串1173。不難看出，后面以4次為周期循環(huán)，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得數(shù)字串與第7次相同，是3117。例11有100張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開始按如下的順序進(jìn)行操作：把最上面的第一張卡片舍去，把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面。再把原來的第三張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面。反復(fù)這樣做，直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第幾張？分析與解：可以從簡單的不失題目性質(zhì)的問題入手，尋找規(guī)律。列表如下：設(shè)這一摞卡片的張數(shù)為N，觀察上表可知：（1）當(dāng)N=2a（a=0，1，2，3，…）時，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的最后一張，即第2a（2）當(dāng)N=2a+m（m＜2a）時，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第取N=100，因為100=26+36，2×36=72，所以剩下這張卡片是原來那一摞卡片的第72張。說明：此題實質(zhì)上是著名的約瑟夫斯問題：傳說古代有一批人被蠻族俘虜了，敵人命令他們排成圓圈，編上號碼1，2，3，…然后把1號殺了，把3號殺了，總之每隔一個人殺一個人，最后剩下一個人，這個人就是約瑟夫斯。如果這批俘虜有111人，那么約瑟夫斯的號碼是多少？例12要用天平稱出1克、2克、3克分析與解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡單的情形開始研究。（1）稱重1克，只能用一個1克的砝碼，故（2）稱重2克，有3①增加一個1克②用一個2克③用一個3克的砝碼，稱重時，把一個1克的砝碼放在稱重盤內(nèi)，把3克（3）稱重3克，用上面的②③兩個方案，不用再增加砝碼，因此方案①（4）稱重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰?？傊?，用1克、3克（5）接著思索可以進(jìn)行一次飛躍，稱重5克9-（3+1）=5，即用一個9克重的砝碼放在砝碼盤內(nèi)，1克、3克而要稱14克14+13=27（克），可以稱到1+3+9+27=40（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重?？傊?，砝碼的重量為1，3，32，33這個結(jié)論顯然可以推廣，當(dāng)天平兩端都可放砝碼時，使用1，3，這是使用砝碼最少、稱重最大的砝碼重量設(shè)計方案。四、反證法反證法即首先對命題的結(jié)論作出相反的假設(shè)，并從此假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，這就否定了作為推理出發(fā)點的假設(shè)，從而肯定了原結(jié)論是正確的。反證法的過程可簡述為以下三個步驟：1．反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而其反面成立；2．歸謬：由“反設(shè)”出發(fā)，通過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實矛盾或自相矛盾；3．結(jié)論：因為推理正確，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤，既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立。運(yùn)用反證法的關(guān)鍵在于導(dǎo)致矛盾。在數(shù)論中，不少問題是通過奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。解：如果存在這樣的三位數(shù)，那么就有100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。上式可化簡為80a=b+c，而這顯然是不可能的，因為a≥1，b≤9，c≤9。這表明所找的數(shù)是不存在的。說明：在證明不存在性的問題時，常用反證法：先假設(shè)存在，即至少有一個元素，它符合命題中所述的一切要求，然后從這個存在的元素出發(fā)，進(jìn)行推理，直到產(chǎn)生矛盾。例2將某個17位數(shù)的數(shù)字的排列順序顛倒，再將得到的數(shù)與原來的數(shù)相加。試說明，得到的和中至少有一個數(shù)字是偶數(shù)。解：假設(shè)得到的和中沒有一個數(shù)字是偶數(shù)，即全是奇數(shù)。在如下式所示的加法算式中，末一列數(shù)字的和d+a為奇數(shù)，從而第一列也是如此，因此第二列數(shù)字的和b+c≤9。將已知數(shù)的前兩位數(shù)字a，b與末兩位數(shù)字c，d去掉，所得的13位數(shù)仍具有“將它的數(shù)字顛倒，得到的數(shù)與它相加，和的數(shù)字都是奇數(shù)”這一性質(zhì)。照此進(jìn)行，每次去掉首末各兩位數(shù)字，最后得到一位數(shù)，它與自身相加是偶數(shù)，矛盾。故和的數(shù)字中必有偶數(shù)。說明：顯然結(jié)論對（4k+1）位數(shù)也成立。但對其他位數(shù)的數(shù)不一定成立。如12+21，506+605等。例3有一個魔術(shù)錢幣機(jī)，當(dāng)塞入1枚1分硬幣時，退出1枚1角和1枚5分的硬幣；當(dāng)塞入1枚5分硬幣時，退出4枚1角硬幣；當(dāng)塞入1枚1角硬幣時，退出3枚1分硬幣。小紅由1枚1分硬幣和1枚5分硬幣開始，反復(fù)將硬幣塞入機(jī)器，能否在某一時刻，小紅手中1分的硬幣剛好比1角的硬幣少10枚？解：開始只有1枚1分硬幣，沒有1角的，所以開始時1角的和1分的總枚數(shù)為0+1=1，這是奇數(shù)。每使用一次該機(jī)器，1分與1角的總枚數(shù)記為Q。下面考查Q的奇偶性。如果塞入1枚1分的硬幣，那么Q暫時減少1，但我們?nèi)』亓?枚1角的硬幣（和1枚5分的硬幣），所以總數(shù)Q沒有變化；如果再塞入1枚5分的硬幣（得到4枚1角硬幣），那么Q增加4，而其奇偶性不變；如果塞入1枚1角硬幣，那么Q增加2，其奇偶性也不變。所以每使用一次機(jī)器，Q的奇偶性不變，因為開始時Q為奇數(shù)，它將一直保持為奇數(shù)。這樣，我們就不可能得到1分硬幣的枚數(shù)剛好比1角硬幣數(shù)少10的情況，因為如果我們有P枚1分硬幣和（P+10）枚1角硬幣，那么1分和1角硬幣的總枚數(shù)為（2P+10），這是一個偶數(shù)。矛盾。例4在3×3的方格表中已如右圖填入了9個質(zhì)數(shù)。將表中同一行或同一列的3個數(shù)加上相同的自然數(shù)稱為一次操作。問：你能通過若干次操作使得表中9個數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)嗎？為什么？解：因為表中9個質(zhì)數(shù)之和恰為100，被3除余1，經(jīng)過每一次操作，總和增加3的倍數(shù)，所以表中9個數(shù)之和除以3總是余1。如果表中9個數(shù)變?yōu)橄嗟?，那?個數(shù)的總和應(yīng)能被3整除，這就得出矛盾！所以，無論經(jīng)過多少次操作，表中的數(shù)都不會變?yōu)?個相同的數(shù)。五、構(gòu)造法構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它靈活多樣，數(shù)論中的許多問題都可以通過構(gòu)造某些特殊結(jié)構(gòu)、特殊性質(zhì)的整數(shù)或整數(shù)的組合來解決。例59999和99！能否表示成為99個連續(xù)的奇自然數(shù)之和？解：9999能。因為9999等于99個9998之和，所以可以直接構(gòu)造如下：9999=（9998-98）+（9998-96）+…+=（9998-2）+9998+（9998+2）+…+=（9998+96）+（9998+98）。99！不能。因為99！為偶數(shù)，而99個奇數(shù)之和為奇數(shù)，所以99！不能表示為99個連續(xù)奇數(shù)之和。說明：利用構(gòu)造法證明存在性問題，只要把滿足題設(shè)要求的數(shù)學(xué)對象構(gòu)造出來就行。例6從1，2，3，…，999這999個數(shù)中，要求劃去盡量少的數(shù)，使得余下的數(shù)中每一個數(shù)都不等于另外兩個數(shù)的乘積。應(yīng)劃去哪些數(shù)？解：我們可劃去2，3，…，30，31這30個數(shù)，因為劃去了上述這30個數(shù)之后，余下的數(shù)中，除1以外的任何兩個數(shù)之積將大于322=1024＞999。另一方面，可以通過構(gòu)造三元數(shù)組來證明30是最少的個數(shù)。（2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，（30，33，30×33），（31，32，31×32）。上面寫出的這些數(shù)都是互不相同的，并且這些數(shù)中的最大數(shù)為31×32=992。如果劃去的數(shù)少于30個，那么上述三元數(shù)組至少剩下一個，這樣就不滿足題設(shè)條件。所以，30是最少的個數(shù)。六、配對法配對的形式是多樣的，有數(shù)字的湊整配對，也有集合間元素與元素的配對（可用于計數(shù)）。傳說高斯8歲時求和（1+2+…+100）首創(chuàng)了配對。像高斯那樣，善于使用配對技巧，常常能使一些表面上看來很麻煩，甚至很棘手的問題迎刃而解。例7求1，2，3，…，9999998，9999999這9999999個數(shù)中所有數(shù)碼的和。解：在這些數(shù)前面添一個數(shù)0，并不影響所有數(shù)碼的和。將這1000萬個數(shù)兩兩配對，因為0與9999999，1與9999998，…，4999999與5000000各對的數(shù)碼和都是9×7=63。這里共有5000000對，故所有數(shù)碼的和是63×5000000=315000000。例8某商場向顧客發(fā)放9999張購物券，每張購物券上印有一個四位數(shù)的號碼，從0001到9999號。若號碼的前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和，則稱這張購物券為“幸運(yùn)券”。例如號碼0734，因0+7=3+4，所以這個號碼的購物券是幸運(yùn)券。試說明，這個商場所發(fā)的購物券中，所有幸運(yùn)券的號碼之和能被101整除。解：顯然，號碼為9999的是幸運(yùn)券，除這張幸運(yùn)券外，如果某個號碼n是幸運(yùn)券，那么號碼為m=9999-n的購物券也是幸運(yùn)券。由于9999是奇數(shù)，所以m≠n。由于m+n=99