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文檔簡介
培優(yōu)點1洛必達法則專題一
函數與導數“洛必達法則”是高等數學中的一個重要定理,用分離參數法(避免分類討論)解決能成立或恒成立問題時,經常需要求在區(qū)間端點處的函數(最)值,若出現
可以考慮使用洛必達法則.法則1若函數f(x)和g(x)滿足下列條件:(2)在點a的去心鄰域內,f(x)與g(x)可導且g′(x)≠0;法則2若函數f(x)和g(x)滿足下列條件:(2)在點a的去心鄰域內,f(x)與g(x)可導且g′(x)≠0;1.將上面公式中的x→a,x→∞換成x→+∞,x→-∞,x→a+,x→a-洛必達法則也成立.考點一利用洛必達法則求
型最值考點二利用洛必達法則求
型最值專題強化練內容索引利用洛必達法則求
型最值考點一
已知函數f(x)=x2lnx-a(x2-1),a∈R.若當x≥1時,f(x)≥0恒成立,求實數a的取值范圍.例1方法一
f′(x)=2xlnx+x-2ax=x(2lnx+1-2a),因為x≥1,所以2lnx+1≥1,此時f(x)在[1,+∞)上單調遞增,所以f(x)≥f(1)=0,此時f(x)≥0恒成立,則x∈時,f′(x)<0,f(x)單調遞減;x∈
時,f′(x)>0,f(x)單調遞增,所以f(x)min=方法二
由f(x)=x2lnx-a(x2-1)≥0,當x=1時,不等式成立,a∈R,故y=x2-1-2lnx在(1,+∞)上單調遞增,則y=x2-1-2lnx>0,所以g(x)在(1,+∞)上單調遞增.則g(x)>g(1),由洛必達法則知對函數不等式恒成立求參數取值范圍時,采用分類討論、假設反證法.若采取參數與分離變量的方法,在求分離后函數的最值(值域)時會有些麻煩,如最值、極值在無意義點處,或趨于無窮,此時,利用洛必達法則即可求解.洛必達法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止.規(guī)律方法
已知函數f(x)=ex-1-x-ax2,當x≥0時,f(x)≥0恒成立,求實數a的取值范圍.跟蹤演練1當x=0時,f(x)=0,對任意實數a都有f(x)≥0;令h(x)=xex-2ex+x+2(x>0),則h′(x)=xex-ex+1,記φ(x)=h′(x),則φ′(x)=xex>0,∴h′(x)在(0,+∞)上單調遞增,h′(x)>h′(0)=0,∴h(x)在(0,+∞)上單調遞增,h(x)>h(0)=0,∴g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上單調遞增.由洛必達法則知利用洛必達法則求
型最值考點二
已知函數f(x)=ax-a-xln
x.若當x∈(0,1)時,f(x)≥0恒成立,求實數a的取值范圍.例2依題意,ax-a-xln
x≥0恒成立,即a(x-1)≥xln
x恒成立,又x-1<0,令g(x)=x-1-ln
x,x∈(0,1),∴g(x)在(0,1)上單調遞減,∴g(x)>g(1)=0,∴φ′(x)>0,即φ(x)在(0,1)上單調遞增.∴φ(x)>0,故a≤0,綜上,實數a的取值范圍是(-∞,0].對于不常見的類型0·∞,1∞,∞0,00,∞-∞等,利用洛必達法則求極限,一般先通過轉換,規(guī)律方法
已知函數f(x)=2ax3+x.若x∈(1,+∞)時,恒有f(x)>x3-a,求a的取值范圍.跟蹤演練2當x∈(1,+∞)時,f(x)>x3-a,即2ax3+x>x3-a,即a(2x3+1)>x3-x,∴φ(x)在(1,+∞)上單調遞增,專題強化練1.(2022·馬鞍山模擬)已知函數f(x)=ax2-xcos
x+sinx.(1)若a=1,討論f(x)的單調性;12當a=1時,f(x)=x2-xcos
x+sinx,x∈R,f′(x)=2x+xsin
x=x(2+sinx).當x∈(0,+∞)時,f′(x)>0;當x∈(-∞,0)時,f′(x)<0,∴f(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增.(2)當x>0時,f(x)<xex-2x+sinx,求實數a的取值范圍.12當x>0時,有f(x)<xex-2x+sinx恒成立,即x>0時,ax2<xex+xcos
x-2x恒成立,令φ(x)=(x-1)ex-xsin
x-cos
x+2,x>0,φ′(x)=xex-xcos
x=x(ex-cos
x).1212∵x>0,∴ex>1≥cosx,∴φ′(x)>0,∴φ(x)在(0,+∞)上單調遞增,∴φ(x)>φ(0)=0,∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上單調遞增,∴g(x)>1,故a≤1,∴實數a的取值范圍是(-∞,1].(1)求a,b的值;1212解得a=1,b=1.12再令h(x)=(x2+1)ln
x-x2+1(x>0,且x≠1),12故當x∈(0,1)時,φ′(x)<0,當x∈(1,+∞)時,φ′(x)>0;∴h′(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,故h′(x)>h′(1)=0,∴h(x)在(0,+∞)上單調遞增,∵h(1)=0,12∴當x∈(0,1)時,h(x
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