2023北師大版八年級上學期數(shù)學練習-勾股定理的應用

第一章勾股定理

3勾股定理的應用

基礎過關全練

知識點1確定立體圖形上的最短距離

1.如圖，若圓柱的底面周長是50cm,高是120cm,從圓柱底部A處沿側面纏繞一圈

絲線到頂部B處，則這條絲線的最小長度是（）

A.170cmB.70cm

C.145cmD.130cm

2.如圖所示，正方體的棱長為1,一只蜘蛛從正方體的一個頂點A爬行到另一個頂

點B,則蜘蛛爬行的最短距離的平方是（）

A.2B.3C.4D.5

3.如圖是一個底面為等邊三角形的三棱鏡，在三棱鏡的側面上，從頂點A到頂點A'

鑲有一圈金屬絲,已知此三棱鏡的高為5cm,底面邊長為4cm,則這圈金屬絲的長

度至少為（）

A.8cmB.13cmC.12cmD.15cm

4.（教材P13變式題）如圖，圓柱的底面直徑BC=-cm,高AB=8cm,按如圖所示的方

TT

式纏繞細線，則纏繞一周（不記接頭）至少需要cm長的細線.

5.（2022獨家原創(chuàng)）長方體共頂點的三條棱長如圖所示，三只螞蟻同時從點A出發(fā),

同速沿長方體表面爬行去點M處覓食，螞蟻甲、乙、丙的爬行路徑分別為

A—B—M、A-C-M、A-D一M,若三只螞蟻都爬行自己的最短路徑，通過計算

說明哪只螞蟻最先到達,哪只螞蟻最后到達？

知識點2勾股定理的實際應用

6.（2022陜西西安鐵一中學期中）如圖所示，有一個由傳感器A控制的燈，要裝在門

上方離地高4.5m的墻上，任何東西只要移至該燈5m及5m以內時，燈就會自動

發(fā)光.請問一個身高1.5m的學生要走到離墻多遠的地方燈剛好發(fā)光?（）

A.4米B.3米C.5米D.7米

7.有詩曰:“平地秋千未起,踏板一尺離地.送行二歲與人齊,五尺人高曾記.仕女佳人

爭蹴,終朝笑語歡嬉，良工高士好奇,算出索長有幾（注:一步等于5尺，圖示如圖）

能力提升全練

8.（2020四川巴中中考,8,然?）《九章算術》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作，書中有一

個“折竹抵地”問題:“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺問折者高幾何?”意思是:一

根竹子，原來高一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地,

抵地處離原竹子根部三尺遠，問:原處還有多高的竹子?（）

A.4尺B.4.55尺C.5尺D.5.55尺

9.（2021湖南岳陽中考,15,倘）《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，書中有下列問

題:“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何?”其意思為今

有一門，高比寬多6尺8寸，門對角線距離恰好為1丈.問門高、寬各是多少?（1丈

=10尺,1尺=10寸）如圖,設門高AB為x尺，根據(jù)題意，可列方程

為

D

X

B

10.（2018湖北黃岡中考,13,格）如圖,圓柱形玻璃杯的高為14cm，底面周長為32

cm,在杯內壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯

上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為

cm（杯壁厚度不計）.

11.（2021河南駐馬店驛城期中,19,倘）如圖，某沿海開放城市A接到臺風警報，在該

市正南方向100km的B處有一臺風中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動,

已知城市A到BC的距離AD=60km,那么臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移動到

D點?如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域內都會受到臺風的影響，那么正在D點

休息的游人在接到臺風警報后的幾小時內撤離才可脫離危險?

素養(yǎng)探究全練

12」直觀想象］(2022江蘇連云港期中)如圖，在RtAABC中,NACB=

90°,AB=10cm,AC=6cm,動點P從點B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度運動，設運

動時間為t(s).

(1)當^ABP為直角三角形時，求t的值；

(2)當4ABP為等腰三角形時，求t的值.

備用圖

13.［直觀想象］為籌備迎新晚會，同學們設計了一個圓筒形燈罩,底色漆成白色，然后

纏繞紅色油紙，如圖.已知圓筒的高為108cm,其橫截面周長為36cm,如果在表面

均勻纏繞油紙4圈,應裁剪多長的油紙？

答案全解全析

基礎過關全練

1.D如圖，圓柱側面展開圖為長方形，連接AB,根據(jù)勾股定理得AB2=502+1202=16

900=1302,所以AB=130cm,故選D.

2.D將正方體的前面、上面展開放在同一平面上，連接AB,如圖所示，爬行的最

短路徑為線段AB.由勾股定理得,AB2=(l+l)2+y=5,故選D.

3.B如圖為三棱柱的側面展開圖，則AB=5cm,

A'B=4X3=12cm,由勾股定理得AA'2=A'B2+AB2=122+52=l69=132,

所以AA-13cm,故選B.

4.20

解析如圖為圓柱的側面展開圖，連接AC、CD,由已知得AB=8cm,BC=；xUx兀=6

2TT

cm,在RtAABC中,AC2=AB2+BC2=82+62=1()2,所以AC=10cm,所以至少需要

10x2=20cm長的細線.

AD

/?C

5.解析圖1、圖2、圖3中AM分別為甲、乙、丙三只螞蟻所走的最短路徑.

圖

圖1中AM2=82+92=145.

圖2中AM2=52+122=169.

圖3中AM2=132+42=185.

因為145<169<185,

所以螞蟻甲最先到達，螞蟻丙最后到達.

6.A當人走到點D的位置，頭頂C與點A的距離是5m時，燈剛好自動發(fā)光，作

CE±AB于E,由題意可知,BE=CD=1.5m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3m,AC=5m,

在RtAACE中,CE2=AC2-AE2=52-32=16,

CE=4m.

故學生走到離墻4m遠時,燈剛好發(fā)光,

故選A.

m

7.解析如圖，設OA=x尺，根據(jù)題意，得OB=OA=x尺,BC=10尺,

OC=(x-4)尺,

在RtAOCB+,CO2+CB2=OB2,

即(X-4>+1()2=X2,

解得x=14.5,

所以索長為14.5尺.

能力提升全練

8.B設竹子折斷處離地面x尺廁斜邊為(10-x)尺，

根據(jù)勾股定理得x2+32=(10-x)2,

解得x=4.55.

所以原處還有4.55尺高的竹子.

故選B.

9.(x-6.8)2+x2=102

解析因為門高AB為x尺,所以門寬BC為(x-6.8)尺，依題意得BC2+AB2=AC2,V

AC=1丈=10尺，

(x-6.8)2+x2=1CP.故答案為(x-6.8>+x2=102.

10.20

解析如圖，將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點A1,

5

連接A，B,作AD_LBE,交BE的延長線于D,則A'B的長即為最短距

離,A'B2=A'D2+BD2=162+122=202,

所以A'B=20cm,故答案為20.

11.解析在RtAABD中,根據(jù)勾股定理，得BD2=AB2-AD2=1002-602=6400,，

BD=80km,V80^20=4(h),

...臺風中心經(jīng)過4小時從B點移動到D點.

如圖,?.?距臺風中心30km的圓形區(qū)域內都會受到臺風的影響,.?.游人要在臺風中

心到達E點之前撤離，

BE=BD-DE=80-30=50km,詈2.5(h),

.?.游人在接到臺風警報后2.5小時內撤離才可脫離危險.

素養(yǎng)探究全練

12.解析(1)VZACB=90°,ABC2=AB2-AC2=102-62=64,ABC=8(cm).

當4ABP為直角三角形時,可分為兩種情況進行討論：

①當NAPB=90。時，點P與點C重合，此時BP=BC=8cm,「.t=8勺=8.

②當NBAP=90°時,BP=tcm,CP=(t-8)cm,

在RtAACP中,Ap2=62+(t-8)2,在RtABAP中,AB?+AP2=BP2,

即102+[62+(匕8)2]丸2,解得1=§.

綜上所述，當z\ABP為直角三角形時,t=8或學

(2)由⑴可知,BC=8cm.

當^ABP為等腰三角形時，可分三種情況進行討論：

①當AB=AP時,BP=2BC=16cm,即t=16;

②當BP=BA=10cm時,t=10;

③當PA=PB時，如圖，設BP=PA=xcm,則PC=(8-x)cm,

在RtAACP中,由勾股定理得PC2+AC2=AP2,

:.(8-x>+62=x2,解得x=—,