專題18 三平行相似模型-2024年中考數(shù)學(xué)核心幾何模型重點(diǎn)突破（解析版）

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析→典例分析→模型演練內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析→典例分析→模型演練若AB=a,CD=b,EF=c,!證明：∵EF//AB,同理△BEF∽△BCD,,即②①+②,得【例1】如圖，□ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,且∠ABC=60°,AB=2BC,連接OE.下列結(jié)論：其中正確的有()個(gè)A.1B.2則AB=2a,.綜上所述：正確的是①③④,共3個(gè).【分析】根據(jù)AC//EF//DB,可得△BEF∽△BCA,△AEF∽△ADB,從而得到即可求解.即分別交AB、DB、AC于點(diǎn)E、F、G,已知AD=6,BC一、單選題與BD相交于點(diǎn)M,已知AB=12m,CD=15m,則點(diǎn)M離地面的高度MH為()【答案】A【分析】根據(jù)已知易得△ABM∽△CDM,可得對(duì)應(yīng)高BH與HC之比，易得MH//AB,可得△MCH∽△ACB,利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得比例式，把相關(guān)數(shù)值代入求解即可.【解析】∵AB和CD表示兩根直立于地面的柱子，(相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比),∴點(diǎn)M離地面的高度MH為2.如圖，樹AB在路燈O的照射下形成投影AC,已知樹的高度AB=3m,樹影AC=4m,樹AB與路燈O的水平距離AP=6m,則路燈高PO的長(zhǎng)是()A.2mB.4.5mC.7【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)直接求解即可.【解析】解：∵根據(jù)題意可知AB//PO,m,∴路燈高PO的長(zhǎng)是7.5m,3.如圖1,小明在路燈下筆直的向遠(yuǎn)離路燈方向行走，將其抽象成如圖2所示的幾何圖形.已知路燈燈泡距地面的距離AB等于4米，小明CD身高1.5米，小明距離路燈燈泡的正下方距離BC等于4米，當(dāng)小明走到E點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)影子長(zhǎng)度增加2米，則小明走過的距離CE等【答案】A【分析】根據(jù)題意證明△DCM∽△ABM,得到代入數(shù)值求出CM=2.4,再證判斷即可.【解析】由圖可知小明在點(diǎn)C處時(shí)，其影長(zhǎng)為CM,在點(diǎn)E處時(shí)，其影長(zhǎng)為EN,解得∴小明走過的距離CE在3和4之間，4.如圖，已知AB⊥BC、DC⊥BC,AC與BD相交于點(diǎn)O,作OM⊥BC于點(diǎn)M,點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)F,若AB=4,CD=6,則OM-EF值為()【答案】A【分析】利用三角形中位線定理分別求得2,得到EF=1,再證明據(jù)此即可求解.又∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，,,持豎直向下，當(dāng)阻力F_不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)F動(dòng)的大小變化情況是()A.越來越小B.不變C.越來越大D.無法確定【答案】B【分析】由圖證明△MOE∽△NOF,從而得到即ME·NO=NF·MO,再根據(jù)題意得出答案.即ME·NO=NF·MO,∵阻力Fa不變，即ME不變，垂足為F,若AB=2,CD=3,則EF的長(zhǎng)度為()【答案】D【分析】通過證明△BEF∽△BDC,△CEF∽△CAB,可得即可求解.【解析】解：∵EF⊥BC,7.如圖，已如矩形ABCD,將△BCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BEF,連接AC,BF,若點(diǎn)A,C,F恰好在同一條直線上，則即得出,即將b看作已知數(shù)，根據(jù)公式法即可求出根據(jù)a>0,可知,最后代入即可.【解析】設(shè)AB=a,BC=b,∴△ABC~△AEF,分別為S,S,,S?,S……,則S2p=三、解答題9.如圖，一教學(xué)樓AB的高為20m,教學(xué)樓后面水塔CD的高為30m,已知BC=30m,小張的身高EF為1.6m.當(dāng)小張站在教學(xué)樓前E處時(shí)，剛好看到教學(xué)樓頂端A與水塔頂端D【分析】如圖，過點(diǎn)F作FN⊥CD,交CD于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)M,構(gòu)造相似三角形：△AMF∽△DNF,由該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得答案.【解析】解：如圖，過點(diǎn)F作FN⊥CD,交CD于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)M,由題意知，BE=FM,BC=MN=30m,EF=BM=C解得BE=55.2m.故此時(shí)他與教學(xué)樓的距離BE為55.2m.10.如圖，AB//EF//CD,E【答案】見解析式，即可證明結(jié)論,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例:·:·【分析】(1)證明AAEB~△DEC,得到把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可；算，得到答案.【解析】(1)解：∵AB//CD,12.如圖，圓A、圓C為兩個(gè)不相交的圓，記圓A的半徑為r,圓C的半徑為R,有r<R,E是兩圓連心線上的一點(diǎn)，滿足關(guān)系式點(diǎn)F、G為圓A上任意的動(dòng)點(diǎn)，作直線EF、∴AF⊥EF,AG⊥EG,CH⊥EH,CK⊥EK,且點(diǎn)E,點(diǎn)F,點(diǎn)H在公切線1上，點(diǎn)E,∴△EAF~△ECH,△EAG~△ECK,(2)證明：如圖所示，∴△EAG~△EJC,∴EG·EJ的值與G的位置無關(guān).∵IK⊥AC,垂足為點(diǎn)M,∴直線AC平分IK,∠1=90°,IM=KM,∴△EFT=△EGT(SAS),∴點(diǎn)T在∠FEG的角平分線AC上.連接AF,CH,且AF=r,CH=R,由等腰三角形EFG,等腰三角形EHJ得，△FAT∽△HCT,又∵即AT·EC=CT·EA.13.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,此時(shí)點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，線段EF交CD于點(diǎn)M.過點(diǎn)F作FG⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且AE=EF,利用AAS得到△ABE與△EFG全等，據(jù)此即可證明BE=FG;(2)證明△ABE∽△ECM,可得EM=DM,再利用HL證明△AEM≌△ADM即可解決問題.【解析】(1)證明：∵EF⊥AE,即AB·EM=EC·AE,∴△AEM≌△ADM(HL),∴AM垂直平分DE.影長(zhǎng)的相關(guān)知識(shí)，于是自己也想實(shí)際探究一下.為了探究自己在兩路燈下的影長(zhǎng)和在兩路燈的高度為6.4米，兩路燈之間的距離(BD)為12米，已知小明的身高(EF)為1.6米，然后小明在兩路燈之間的線段上行走(如圖所示),測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù).(1)若小明站在人行橫道的中央(點(diǎn)F是BD的中點(diǎn))時(shí)，小明測(cè)得自己在兩路燈下的影長(zhǎng)【分析】(1)通過證明△CDQ~△EFQ,△ABP~△EFP,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解(2)由(1)得，,設(shè)FP=FQ=x,可求出BD=5x=12,求出x的【解析】(1)解：由題意得，∠CDQ=∠EFO,∠COD=∠EOF解得PF=3:(2)小明站在離B點(diǎn)米處的位置，理由如下：設(shè)FP=設(shè)FP=FQ=x,解得.,所以，小明站在離B點(diǎn)米處的位置.15.如圖1,在四邊形ABCD中，∠ABC=90°,中點(diǎn)，連接AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F,∠EDF=∠FBA,連接CF.(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)求△CFD的面積(3)如圖2,連接AC交BD于點(diǎn)O,點(diǎn)P為EC上一動(dòng)點(diǎn)，連接OE、OP.將△OPD沿OP折疊得到△OPM,PM交OC于點(diǎn)N,當(dāng)△PCN為直角三角形時(shí)，求CP的長(zhǎng).(3)2或5【分析】(1)先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再由∠ABC=90°得四邊形ABCD是矩形；求得GF的長(zhǎng)，再得出△CFD的面積；(3)先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)中位線定理求出OE的長(zhǎng)，再由△PCN為直角三角形分兩種情況討論，分別求出CP的長(zhǎng)即可.(2)如圖1,