2023北京朝陽區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京朝陽高二（上）期末數(shù)學(xué)2023．1（考試時間120150考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共50一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1{n}為等差數(shù)列，54aa46（A）4（）8（）6（）10M(a,2)a0）到直線l:xy30（a的距離為，則實數(shù)2）已知點1（A）21（）223）設(shè)函數(shù)f(x)xx，則曲線yf(x)f處的切線方程為（）（）21（A）xy10（）xy20（）2xy10（）2xy204）已知F是拋物線C:y24x的焦點，點Py)在拋物線C上，則|0（A）23（）3（）231（）45l:x10，直線l:(a2)x3y10，則“a1”是“l(fā)l1212（A）充分而不必要條件（）充分必要條件（）必要而不充分條件（）既不充分也不必要條件6）如圖，在四面體OABCG是BC的中點，設(shè)OAa，b，c1112（A）abcabcB）22111abcabc（）D）2227f(x)x3x1（aR）有兩個極值點x,x（x21212（A）a或aB）1是f(x)11（）12xxD）1233y28xOyF,F是雙曲線C:x21M在C0，21212第1共頁則FFM的面積為12（）2（）4（A）（）9l,B，是直線l上的兩點，C,DDAlCBl是平面，，4，AB6，CB8，若平面內(nèi)的動點PAPDBPC，則四棱錐PABCD的體積的最大值為A）24B）3C）48D）310）斐波那契數(shù)列{n}（nN*）在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，它是由如下遞推公式給出的：F21，1F21F22F23FmF2m當(dāng)n2FFn1Fn2F100mnA）98C）100（）99（）101第二部分（非選擇題共100二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。）函數(shù)f(x)ex的導(dǎo)函數(shù)f(x)_______．l12的法向量為nl的方向向量為u(,4)m_______．13C:(x2y21的圓心且與直線xy0平行的直線的方程是_______．x2（14）設(shè)點F,F分別為橢圓C:y21的左、右焦點，則橢圓C的離心率為_______；經(jīng)過原點且斜率1220的直線l與橢圓CP,Q兩點，當(dāng)四邊形的面積最大時，_______．112q2n12n015）已知{a}是首項為負數(shù)，公比為的等比數(shù)列，若對任意的正整數(shù)，nnq恒成立，則的值可以是________（16）數(shù)學(xué)家笛卡兒研究了許多優(yōu)美的曲線，如笛卡兒葉形線D在平面直角坐標(biāo)系xOy中的方程為y0a1時，給出下列四個結(jié)論：x33①D不經(jīng)過第三象限；yx②曲線D關(guān)于直線軸對稱；yxkDkR③對任意，曲線與直線一定有公共點；④對任意kRDyk，曲線與直線一定有公共點．其中所有正確結(jié)論的序號是_______．三、解答題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。第2共頁17131設(shè)函數(shù)f(x)x3x3x1．23（Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)x時，求f(x)的最大值與最小值．1814已知{a}是等差數(shù)列，其前項和為（nN*nSa1a9．，5nn1（Ⅰ）求數(shù)列{a}的通項公式及S；nnnT．nnbna條件①：n；條件②：n2nn；1bn條件③：．nan1注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．1914如圖，在四棱錐PABCD中，平面平面ABCD，π//，，PAPB3，BC1，2，AD3，2點O是的中點．（Ⅰ）求證：；POCD（Ⅱ）求二面角APOD的余弦值；PC上是否存在點MPOD？若存在，求的值；若不存在，說明理由．第3共頁2014x22y20）的長軸長為4，且點P3)在橢圓C已知橢圓C:1（abab22（Ⅰ）求橢圓C的方程；M(4,0)的直線l與橢圓C(x,y)，B(x,y)yy0x軸上是否存在點N，121122yy使得直線NANB與軸圍成的三角形始終是底邊在N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．2115在無窮數(shù)列{a}a2，a1，n2|n1a|，nN*．n2n14174（Ⅰ）求與的值；（Ⅱ）證明：數(shù)列{n}中有無窮多項不為0；（Ⅲ）證明：數(shù)列{n}中的所有項都不為0．（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）第4共頁參考答案一、選擇題（共10小題，每小題5分，共501）C6）D2A（）A（）B8B4D（9C5C10B二、填空題（共6小題，每小題5分，共30）(x12）4x213）xy1014）；0215）3（答案不唯一）三、解答題（共5小題，共70171316②④f(x)（Ⅰ）函數(shù)的定義域為R，23．f(x)x2x23x1x30，．12令f(x)x2xx當(dāng)變化時，f(xf(x)的變化情況如下：x(,1(30)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增f(x)(,)所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為(．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上單調(diào)遞減，在區(qū)間4]上單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；………………….8分f(x)4]f8上的最小值為在區(qū)間．．17f(0)1，f(4)f(0)f(4)，所以3f(x)在區(qū)間4]上的最大值為f(0)1…………….13分1814（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a514d．由914d，解得d2．a(chǎn)n1(n1)d，an2n1（nN*(aa)n(2nnSn1nn．………………….6分222（Ⅱ）選條件①：n2n．，n2n22n1第5共頁n1n222n12n124．2又因為b2，所以數(shù)列是首項為2，公比為4的等比數(shù)列．1n414n)2(4nn．………………….14分3選條件②：n2nn．nn2nn2n2n1．b23n[2)35(2n1(21(22(23n(2n(2122232n212n)n22n1n22．………………….14分1選條件③：n．nn1111211n()，nn1(2nn2n12n1nb123n11115151711)2332n12n1121)2n1n．………………….14分2n11914O為的中點，所以．又因為平面，，，．又因為，．…………4分（Ⅱ）取Q為的中點，連接OQ．π//，．，2第6共頁由（Ⅰ）知．又因為，，．如圖，分別以O(shè)B,OQ,為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系O．則(1,0,0),BCD(0)．PA2OA222，所以P22)．22)，(0)．OQ，所以平面的法向量為1．設(shè)平面的法向量為2(,y,z)n22z2即nx3y2令y1x3，z0．2．設(shè)二面角AD為，由題知為銳角，則|nn|10cos|n,n12．12|n||n|1012所以二面角AD的余弦值為．………………….10分（Ⅲ）設(shè)M上一點，則存在．(1,22)，,1,2)．因為平面的法向量為2，//當(dāng)且僅當(dāng)20，1即10，解得．414所以在棱上存在點M，使得//，此時2014．…….14分2a（Ⅰ）由題設(shè)，得132a2ba2，b1．x2所以橢圓C的方程為y21．.………………….4分4第7共頁（Ⅱ）依題意，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為yk(x（k0yk(x由得(4k2x232k2x64k240．x24y24033(32k2)24(4k2k24)0k由．6632k264k42xx，xx．12212214k假設(shè)存在點14k滿足題意，則N(t,0)kkNB0．NA1y2k(1k(22tkNAkNB1t2t1t2xxt4)(xx)tk令k1212．(xt)(xt)122xxt4)(xx)t021x2(t4)(1x2)t0．1212(xt)(xt)12128k4k所以128kt1．28t4)32k2ttk4k120．214k21228t4)32k2ttk0，即t82．xN0)yyNANB與軸圍成的三角形始終是底邊在故在軸上存在點的等腰三角形．.………………….14分2115a2,a1，所以a2a22．1234a22421．a(chǎn)12又a322,a2a324，56324227aa721．.……………….4分4（Ⅱ）假設(shè)數(shù)列{an}中只有有限多個不為0的項．設(shè)ak0是數(shù)列{an}中不為的最后一項．則ak10．0ak2|ak1a|a0，與假設(shè)矛盾．kk所以數(shù)列{an}中有無窮多項不為0．.………………….9分（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）可得12,23,a2a2(2．21，a2(2a(2224567下面證明對任意nN*2(2n13n2，①,為奇數(shù),為偶數(shù),②③(2,n(2n,為奇數(shù),,為偶數(shù).3n(2n1當(dāng)n1時，由（Ⅰ）可得a2,2321．(2k12(2，1假設(shè)當(dāng)nk時，①②③式成立．當(dāng)nk1a3k1|3k3k1|(2kk3(k1)2①式成立，第8共頁3(k1)13k2|a3k13k|(2k1|,k為奇數(shù),|2(2k|2(2k(2|,k為偶數(shù),k(2k,k為奇數(shù),(2k1,k為偶數(shù),②式成立，3(k3k3|3k23k1||(2k2(2k|,k為奇數(shù),|(2k12(2k|,k為偶數(shù),,k為奇數(shù),(2,k為偶數(shù),③式成立．所以對任意nN*，①②③式成立．a(chǎn)0所以對任意nN*an0.………………….15分n（Ⅲ）解法二：由（Ⅰ）可得a2,aa21，123452,a2a222．67下面證明對任意nN*2(2n1，3n2,為奇數(shù),為偶數(shù),(2,n(2n,為奇數(shù),,為偶數(shù).3n(2n1假設(shè)存在t*，使得3t22(2t1或3t1(2(2t,t為奇數(shù),或a3t(2t1,t為偶數(shù).2(2,t13t2t1(2,t．tTtN*3t1設(shè)(2t,(2t,ta3tt1,t取mT所以對任意1≤km2(2k1，3k2,k為奇數(shù),k為偶數(shù),(2,k(2k,k為奇數(shù),,k為偶數(shù).3k(2k1a3m23(m1)1|3(m3(m1)1|(2m1(2m22(2m1，第9共頁3m13(m1)2|3(m1)13(m|m2|2(2m1(2|,m1(2m1|,m1(2,(2,m3m3(m1)3|3(m