湖南省天壹名校聯盟2024屆高三上學期9月大聯考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省天壹名校聯盟2024屆高三上學期9月大聯考數學試題一、單項選擇題1．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．2．已知向量，則（）A． B． C． D．3．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則（）A． B． C． D．34．為研究變量的相關關系，收集得到下面五個樣本點：56.5788.598643若由最小二乘法求得關于的經驗回歸方程為，則據此計算殘差為0的樣本點是（）A． B． C． D．5．已知，則（）A． B． C． D．6．如圖，在正方體中，分別是棱和線段上的動點，則滿足與垂直的直線（）A．有且僅有1條 B．有且僅有2條 C．有且僅有3條 D．有無數條7．若等比數列的公比，前項和為，則“”是“成等比數列的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分條件也不必要條件8．已知，則（）A． B． C． D．二、多項選擇題9．圖①是某市某條公共汽車線路收支差額y（萬元）（門票銷售額減去投入的成本費用）關于乘客人數x（萬人）的函數圖象，營運初期該條公共汽車線路為虧損狀態(tài)，為了實現扭虧為盈，公共汽車采取了兩種措施，圖②和圖③中的虛線為采取了兩種措施后的圖象，則下列說法正確的是（）圖①圖②圖③A．圖①中點A的實際意義表示該條公共汽車線路投入的成本費用為1萬元B．圖①中點B的實際意義表示當乘客人數為1.5萬人時，該條公共汽車線路的收支恰好平衡C．圖②該條公共汽車線路實行的措施是降低門票的售價D．圖③該條公共汽車線路實行的措施是減少投入的成本費用10．已知是定義在上不恒為0的奇函數，是的導函數，則（）A．為奇函數 B．為偶函數C．為奇函數 D．為偶函數11．已知數據成公差大于0的等差數列，若去掉數據，則（）A．極差不變 B．第25百分位數變大 C．平均數不變 D．方差變小12．已知函數，則下列說法中正確的是（）A．的最小正周期為B．的圖象關于點對稱C．若在上單調遞增，則D．當時，三、填空題13．已知復數滿足，則的值為__________．14．中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設空間站要將共5名航天員全部安排開展實驗，其中天和核心艙至少要安排2人，問天實驗艙與夢天實驗艙都至少要安排1人，則不同的安排方案共有__________種．（用數字作答）15．米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉、糧棧、米行必備的用具．如圖為一個正四棱臺型米斗，高為，且正四棱臺的所有頂點都在一個半徑為的球的球面上，一個底面的中心與球的球心重合，則該正四棱臺的體積為__________．16．已知橢圓的左、右焦點分別為，經過的直線交橢圓于兩點，為坐標原點，且，則橢圓的離心率為__________．四、解答題17．（本小題滿分10分）在中，角的對邊分別為，且．（1）求的大小；（2）若，角的平分線交于，求的長．18．（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，四邊形均為正方形，為的中點，過點的平面交于點．（1）證明：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．19．（本小題滿分12分）已知數列滿足．（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求證：．20．（本小題滿分12分）某中學為了解學生課外玩網絡游戲（俗稱“網游”）的情況，使調查結果盡量真實可靠，決定在高一年級采取如下“隨機回答問題”的方式進行問卷調查：一個袋子中裝有6個大小相同的小球，其中2個黑球，4個紅球，所有學生從袋子中有放回地隨機摸球兩次，每次摸出一球，約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式①回答問卷，否則按方式②回答問卷”。方式①：若第一次摸到的是紅球，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”；方式②：若你課外玩網游，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”．當所有學生完成問卷調查后，統計畫“√”，畫“×”的比例，用頻率估計概率．（1）若高一某班有45名學生，用X表示其中按方式①回答問卷的人數，求X的數學期望；（2）若所有調查問卷中，畫“√”與畫“×”的比例為1∶2，試用所學概率知識求該中學高一年級學生課外玩網游的估計值．（估計值）21．（本小題滿分12分）已知函數．（1）求證：；（2）求函數的極值．22．（本小題滿分12分）已知動圓過定點，且在軸上截得的弦長為2，記動圓圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）已知正方形有三個頂點在曲線上，求該正方形面積的最小值——★參考答案★——一、單項選擇題1．〖答案〗C〖解析〗依題意，全集，而，所以，故選C．2．〖答案〗D〖解析〗由．對于A，，故A錯誤；對于B，若，由，故B錯誤；對于C，若，由，故C錯誤；對于D，若，則，符合，故D正確，故選D．3．〖答案〗A〖解析〗由題設知，，解得，故選A．4．〖答案〗C〖解析〗由題意可知，，所以回歸方程的樣本中心點為，故殘差為0的樣本點是，故選C．5．〖答案〗A〖解析〗因為，又，所以．故選A．6．〖答案〗D〖解析〗正方體中，分別是棱和線段上的動點，過點作垂直于的平面，交于點，則．因為是上的動點，所以過點與垂直的平面有無數個，所以滿足條件的點也有無數個，所以有無數個滿足條件的直線，即滿足與垂直的直線有無數條．故選D．7．〖答案〗C〖解析〗若，則，，同理，因此對任意的構成等比數列，公比為．再證明：若對任意的構成等比數列，則．若，則為偶數時，，此時不能構成等比數列，與已知矛盾，故成立，故選C．8．〖答案〗B〖解析〗因為，所以，即，故，所以，故選B．二、多項選擇題9．〖答案〗ABD〖解析〗對于A：圖①中點A的實際意義表示該條公共汽車線路投入成本為1萬元，正確；對于B：圖①中點B的實際意義表示當乘客人數為1.5萬人時，該條公共汽車線路的收支恰好平衡，正確；對于C：圖②該條公共汽車線路實行的措施是提高門票的售價，錯誤；對于D：圖③該條公共汽車線路實行的措施是減少投入的成本費用，正確．故選ABD．10．〖答案〗ABD〖解析〗根據題意，可得，因為為奇函數，可得，可得，即，即，所以為偶函數．由，即為奇函數，所以A正確；由，即為偶函數，所以B正確；由，所以為偶函數，所以C錯誤；由，所以為偶函數，所以D正確．故選ABD．11．〖答案〗AC〖解析〗對于A，原數據的極差為，去掉后的極差為，即極差不變，故A正確；對于B，原數據的第25百分位數為，去掉后的第25百分位數為，即第25百分位數變小，故B錯誤；對于C，原數據的平均數為，去掉后的平均數為，即平均數不變，故C正確；對于D，則原數據的方差為，去掉后的方差為，故，即方差變大，故D錯誤，故選AC．12．〖答案〗BC〖解析〗對于A，的最小正周期為，故A錯誤；對于B，因為，所以的圖象關于點對稱，故B正確；對于C，．當時，在上恒成立；當時，在上恒成立，可得，從而有，即；當時，在上恒成立，可得，從而有，即，綜上知，，故C正確；對于D，當時，，當時，，當時，所以，故D錯誤，故選BC．三、填空題13．〖答案〗〖解析〗因為，所以．14．〖答案〗80〖解析〗由題意可先分兩類，第一類核心艙安排3人，其他兩實驗艙各安排1人，則有種安排方案；第二類核心艙安排2人，其他兩實驗艙一個2人，一個1人，則有種安排方案，故不同的安排方案共有80種．三、填空題15．〖答案〗〖解析〗由題意，作正四棱臺的對角面，如圖，為正四棱臺上底面正方形對角線，為正四棱臺下底面正方形對角線，為外接球球心，為線段中點，則，過點作，垂足為．因為，所以，所以正四棱臺的的體積．16．〖答案〗〖解析〗因為，所以，即，所以，所以．設，則，所以，由得，所以，所以，在中，由，得，所以．四、解答題17．解：（1）因為，所以，因為，所以，因為，所以，又，所以；（2）在中，由余弦定理得，即，所以，所以．因為的平分線交于，所以，所以，在中，由正弦定理得，解得．解法二：由易求得．18．（1）證明：，四邊形為平行四邊形，．又平面平面平面，平面，平面平面；（2）解：由（1）知，，∴F為的中點．以為坐標原點，分別為軸、軸和軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，設，則．所以．設平面的一個法向量為，由得可取，則．同理可求得平面的一個法向量為．設平面與平面的夾角為，則，故所求夾角的余弦值為．19．（1）解：當時，，即，所以數列是首項為2、公比為2的等比數列，因此．當時，，所以數列是首項為1、公差為2的等差數列，因此．故數列的通項公式為（2）證明：由（1）知，，記．則①,②，①－②得，化簡得．故．20．解：（1）每次摸到黑球的概率，摸到紅球的概率，每名學生兩次摸到的球的顏色不同的概率．由題意知，高一某班45名學生按方式①回答問卷的人數，所以的數學期望；（2）記事件為“按方式①回答問卷”，事件為“按方式②回答問卷”，事件為“在問卷中畫‘√’號”．由（1）知，，，．由全概率公式，得，所以，所以．故由調查問卷估計，該中學高一年級學生課外玩網游的估計值是．21．解：（1）令．由基本不等式，得，當且僅當時等號成立．又，所以，故；（2）．當時，，所以．設，其中，則，所以在上單調遞減．當時，且．又，則．當時，．當時，且．又，則．綜上，在上恒大于0，在上恒小于0．因此是在的唯一極大值點，且的極大值為．22．解：（1）設圓心．依題意可得，化簡得，故曲線的方程為；（2）正方形有三個頂點在拋物線上，且．設拋物線上的三點為，由題設知直線的斜率均存在且不為0，又由拋物線的對稱性不妨設直線的斜率大于0，結合圖形可知．由及可得，，即①，由可得：，即，化簡得②．聯立①②解得．則該正方形面積．令，則，所以，所以在上單調遞增，故當，即時，該正方形的面積的最小值為8.湖南省天壹名校聯盟2024屆高三上學期9月大聯考數學試題一、單項選擇題1．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．2．已知向量，則（）A． B． C． D．3．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則（）A． B． C． D．34．為研究變量的相關關系，收集得到下面五個樣本點：56.5788.598643若由最小二乘法求得關于的經驗回歸方程為，則據此計算殘差為0的樣本點是（）A． B． C． D．5．已知，則（）A． B． C． D．6．如圖，在正方體中，分別是棱和線段上的動點，則滿足與垂直的直線（）A．有且僅有1條 B．有且僅有2條 C．有且僅有3條 D．有無數條7．若等比數列的公比，前項和為，則“”是“成等比數列的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分條件也不必要條件8．已知，則（）A． B． C． D．二、多項選擇題9．圖①是某市某條公共汽車線路收支差額y（萬元）（門票銷售額減去投入的成本費用）關于乘客人數x（萬人）的函數圖象，營運初期該條公共汽車線路為虧損狀態(tài)，為了實現扭虧為盈，公共汽車采取了兩種措施，圖②和圖③中的虛線為采取了兩種措施后的圖象，則下列說法正確的是（）圖①圖②圖③A．圖①中點A的實際意義表示該條公共汽車線路投入的成本費用為1萬元B．圖①中點B的實際意義表示當乘客人數為1.5萬人時，該條公共汽車線路的收支恰好平衡C．圖②該條公共汽車線路實行的措施是降低門票的售價D．圖③該條公共汽車線路實行的措施是減少投入的成本費用10．已知是定義在上不恒為0的奇函數，是的導函數，則（）A．為奇函數 B．為偶函數C．為奇函數 D．為偶函數11．已知數據成公差大于0的等差數列，若去掉數據，則（）A．極差不變 B．第25百分位數變大 C．平均數不變 D．方差變小12．已知函數，則下列說法中正確的是（）A．的最小正周期為B．的圖象關于點對稱C．若在上單調遞增，則D．當時，三、填空題13．已知復數滿足，則的值為__________．14．中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設空間站要將共5名航天員全部安排開展實驗，其中天和核心艙至少要安排2人，問天實驗艙與夢天實驗艙都至少要安排1人，則不同的安排方案共有__________種．（用數字作答）15．米斗是稱量糧食的量器，是古代官倉、糧棧、米行必備的用具．如圖為一個正四棱臺型米斗，高為，且正四棱臺的所有頂點都在一個半徑為的球的球面上，一個底面的中心與球的球心重合，則該正四棱臺的體積為__________．16．已知橢圓的左、右焦點分別為，經過的直線交橢圓于兩點，為坐標原點，且，則橢圓的離心率為__________．四、解答題17．（本小題滿分10分）在中，角的對邊分別為，且．（1）求的大?。唬?）若，角的平分線交于，求的長．18．（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，四邊形均為正方形，為的中點，過點的平面交于點．（1）證明：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．19．（本小題滿分12分）已知數列滿足．（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求證：．20．（本小題滿分12分）某中學為了解學生課外玩網絡游戲（俗稱“網游”）的情況，使調查結果盡量真實可靠，決定在高一年級采取如下“隨機回答問題”的方式進行問卷調查：一個袋子中裝有6個大小相同的小球，其中2個黑球，4個紅球，所有學生從袋子中有放回地隨機摸球兩次，每次摸出一球，約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式①回答問卷，否則按方式②回答問卷”。方式①：若第一次摸到的是紅球，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”；方式②：若你課外玩網游，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”．當所有學生完成問卷調查后，統計畫“√”，畫“×”的比例，用頻率估計概率．（1）若高一某班有45名學生，用X表示其中按方式①回答問卷的人數，求X的數學期望；（2）若所有調查問卷中，畫“√”與畫“×”的比例為1∶2，試用所學概率知識求該中學高一年級學生課外玩網游的估計值．（估計值）21．（本小題滿分12分）已知函數．（1）求證：；（2）求函數的極值．22．（本小題滿分12分）已知動圓過定點，且在軸上截得的弦長為2，記動圓圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）已知正方形有三個頂點在曲線上，求該正方形面積的最小值——★參考答案★——一、單項選擇題1．〖答案〗C〖解析〗依題意，全集，而，所以，故選C．2．〖答案〗D〖解析〗由．對于A，，故A錯誤；對于B，若，由，故B錯誤；對于C，若，由，故C錯誤；對于D，若，則，符合，故D正確，故選D．3．〖答案〗A〖解析〗由題設知，，解得，故選A．4．〖答案〗C〖解析〗由題意可知，，所以回歸方程的樣本中心點為，故殘差為0的樣本點是，故選C．5．〖答案〗A〖解析〗因為，又，所以．故選A．6．〖答案〗D〖解析〗正方體中，分別是棱和線段上的動點，過點作垂直于的平面，交于點，則．因為是上的動點，所以過點與垂直的平面有無數個，所以滿足條件的點也有無數個，所以有無數個滿足條件的直線，即滿足與垂直的直線有無數條．故選D．7．〖答案〗C〖解析〗若，則，，同理，因此對任意的構成等比數列，公比為．再證明：若對任意的構成等比數列，則．若，則為偶數時，，此時不能構成等比數列，與已知矛盾，故成立，故選C．8．〖答案〗B〖解析〗因為，所以，即，故，所以，故選B．二、多項選擇題9．〖答案〗ABD〖解析〗對于A：圖①中點A的實際意義表示該條公共汽車線路投入成本為1萬元，正確；對于B：圖①中點B的實際意義表示當乘客人數為1.5萬人時，該條公共汽車線路的收支恰好平衡，正確；對于C：圖②該條公共汽車線路實行的措施是提高門票的售價，錯誤；對于D：圖③該條公共汽車線路實行的措施是減少投入的成本費用，正確．故選ABD．10．〖答案〗ABD〖解析〗根據題意，可得，因為為奇函數，可得，可得，即，即，所以為偶函數．由，即為奇函數，所以A正確；由，即為偶函數，所以B正確；由，所以為偶函數，所以C錯誤；由，所以為偶函數，所以D正確．故選ABD．11．〖答案〗AC〖解析〗對于A，原數據的極差為，去掉后的極差為，即極差不變，故A正確；對于B，原數據的第25百分位數為，去掉后的第25百分位數為，即第25百分位數變小，故B錯誤；對于C，原數據的平均數為，去掉后的平均數為，即平均數不變，故C正確；對于D，則原數據的方差為，去掉后的方差為，故，即方差變大，故D錯誤，故選AC．12．〖答案〗BC〖解析〗對于A，的最小正周期為，故A錯誤；對于B，因為，所以的圖象關于點對稱，故B正確；對于C，．當時，在上恒成立；當時，在上恒成立，可得，從而有，即；當時，在上恒成立，可得，從而有，即，綜上知，，故C正確；對于D，當時，，當時，，當時，所以，故D錯誤，故選BC．三、填空題13．〖答案〗〖解析〗因為，所以．14．〖答案〗80〖解析〗由題意可先分兩類，第一類核心艙安排3人，其他兩實驗艙各安排1人，則有種安排方案；第二類核心艙安排2人，其他兩實驗艙一個2人，一個1人，則有種安排方案，故不同的安排方案共有80種．三、填空題15．〖答案〗〖解析〗由題意，作正四棱臺的對角面，如圖，為正四棱臺上底面正方形對角線，為正四棱臺下底面正方形對角線，為外接球球心，為線段中點，則，過點作，垂足為．因為，所以，所以正四棱臺的的體積．16．〖答案〗〖解析〗因為，所以，即，所以，所以．設，則，所以，由得，所以，所以，在中，由，得，所以．四、解答題17．解：（1）因為，