2024屆一輪復習人教A版 雙曲線的幾何性質 作業(yè)

2024屆一輪復習人教A版雙曲線的幾何性質作業(yè)一、選擇題1.（2023·廣東湛江高三期末）已知雙曲線的一條漸近線與雙曲線的—條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】雙曲線的漸進線方程為，故雙曲線的漸近線方程為.設雙曲線的方程為.當時，雙曲線的方程為，則，解得：；當時，雙曲線的方程為，則，解得：；故選C2．（2023·寧夏銀川一中高三月考）若雙曲線的一條漸近線被曲線所截得的弦長為2．則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為，由對稱性，不妨取，即．又曲線化為，則其圓心的坐標為，半徑為．由題得，圓心到直線的距離，又由點到直線的距離公式．可得．解得，所以．故選B．3．（2023·重慶八中月考）設雙曲線的左頂點為，右焦點為，若圓與直線交于坐標原點及另一點，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3【答案】B【解析】如圖所示，，設直線上點，，則，即，得，將代入圓，得，即，故.故選：B.4．（2023·湖南師大附中高三月考）已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，線段的垂直平分線過，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（）A． B．3 C．6 D．【答案】C【解析】設橢圓長軸，雙曲線實軸，由題意可知：，又，，兩式相減，可得：，，．，，當且僅當時取等號，的最小值為6.5．（多選題）（2023·江蘇南通月考）已知雙曲線過點且漸近線為，則下列結論正確的是（）A．的方程為 B．的離心率為C．曲線經過的一個焦點 D．直線與有兩個公共點【答案】AC【解析】對于選項A：由已知，可得，從而設所求雙曲線方程為，又由雙曲線過點，從而，即，從而選項A正確；對于選項B：由雙曲線方程可知，，，從而離心率為，所以B選項錯誤；對于選項C：雙曲線的右焦點坐標為，滿足，從而選項C正確；對于選項D：聯(lián)立，整理，得，由，知直線與雙曲線只有一個交點，選項D錯誤.故選AC6.（多選題）（2023·湖北恩施高中高三月考）已知雙曲線C：與直線交于A，B兩點，點為C上任意一點，且直線，的斜率分別為，，且，則下列結論正確的是（）A．雙曲線的漸近線方程為 B．雙曲線的漸近線方程為C．雙曲線的離心率為 D．雙曲線的離心率為【答案】AC【解析】設點，，∴.又∵，兩式相減得，∴.又∵，∴，∴，∴雙曲線的漸近線方程為，故選項A正確；又∵，∴，故選項C正確，故選：AC.二、填空題7．（2023·湖南師大附中月考）過雙曲線的下焦點作軸的垂線，交雙曲線于兩點，若以為直徑的圓恰好過其上焦點,則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】過雙曲線的下焦點作軸的垂線，交雙曲線于，兩點，則，以為直徑的圓恰好過其上焦點，可得：，∴，可得，解得，舍去.8.（2023·云南師大附中高三月考）設雙曲線的右焦點為F，過F作C的一條漸近線的垂線垂足為A，且，O為坐標原點，則C的離心率為_________．【答案】【解析】由題意可得，漸近線方程為，∴，，故．9．（2023·湖北沙區(qū)·沙市中學期末）橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點為，且.若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為_________．【答案】【解析】不妨設P為第一象限的點，在橢圓中：①,在雙曲線中:②,聯(lián)立①②解得,,在中由余弦定理得：即即，，橢圓的離心率，雙曲線的離心率.10．（2023·河北石家莊一中高三月考）設，分別是雙曲線的左?右焦點，若雙曲線右支上存在一點，使，為坐標原點，且，則該雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】取的中點，則∵，∴，∴，∵是的中位線，∴，.由雙曲線的定義得，∵，∴，.中，由勾股定理得，∴，∴.三、解答題11.（2023·全國高三課時練）已知雙曲線(a>0，b>0)的右準線l2與一條漸近線l交于點P，F(xiàn)是雙曲線的右焦點．(1)求證：PF⊥l；(2)若PF＝3，且雙曲線的離心率e＝，求該雙曲線的方程．【解析】(1)證明：右準線為l2：x＝，由對稱性不妨設漸近線l為y＝x，則P，又F(c,0)，∴kPF＝＝－.又∵kl＝，∴kPF·kl＝－·＝－1.∴PF⊥l.(2)∵PF的長即F(c,0)到l：bx－ay＝0的距離，∴，∴b＝3.又e＝＝，∴＝.∴a＝4.故雙曲線方程為－＝1.12.（2023·全國高三課時練）已知橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且直線經過橢圓的右頂點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設不過原點O的直線與橢圓C交于M，N兩點，且，求面積的取值范圍．【解析】（1）∵雙曲線的離心率為，∴橢圓的離心率．又∵直線經過橢圓的右頂點，令，則∴右頂點的坐標為，即，∴橢圓C的標準方