人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 24.41 《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）

專題24.41《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．下列關(guān)于圓的說(shuō)法，正確的是（

）A．弦是直徑，直徑也是弦B．半圓是圓中最長(zhǎng)的弧C．圓的每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸D．過(guò)三點(diǎn)可以作一個(gè)圓2．如圖，在等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)D與以AB為直徑的⊙O的位置關(guān)系是（

）A．圓上 B．圓內(nèi) C．圓外 D．不能確定3．如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，BC＝OD＝2，DC的長(zhǎng)等于（

）A．2 B．4 C． D．24．如圖，在半徑為5的中，弦BC，DE所對(duì)的圓心角分別是，．若，，則弦BC的弦心距為（

）.A． B． C．4 D．35．如圖，點(diǎn)I為的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)D，點(diǎn)E為弦的中點(diǎn)，連接，，，當(dāng)，，時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A．5 B．4.5 C．4 D．3.56．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，半徑為2，則圖中陰影部分的面積為（）A．30﹣4π B． C．60﹣16π D．7．如圖，已知AB為⊙O的弦，C為的中點(diǎn)，點(diǎn)D在優(yōu)弧上一點(diǎn)，連接AD下列式子一定正確的是（）A．∠ADC＝∠B B．∠ADC+2∠B＝90°C．2∠ADC+∠B＝90° D．∠B＝30°8．如圖，扇形OBA中，點(diǎn)C在弧AB上，連接BC，P為BC中點(diǎn)．若，，則點(diǎn)C沿弧從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的過(guò)程中，點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．69．如圖，將兩個(gè)正方形如圖放置（B，C，E共線，D，C，G共線），若AB＝3，EF＝2，點(diǎn)O在線段BC上，以O(shè)F為半徑作⊙O，點(diǎn)A，點(diǎn)F都在⊙O上，則OD的長(zhǎng)是（

）A．4 B． C． D．10．如圖，C為半圓內(nèi)一點(diǎn)，O為圓心，直徑長(zhǎng)為，，將繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)在上，則邊掃過(guò)區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，的半徑為13，，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線交于點(diǎn)C，則________．12．已知的半徑為5，為圓內(nèi)的一點(diǎn)，，則過(guò)點(diǎn)P的弦長(zhǎng)的最小值是________．13．如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是_______．14．如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)E是射線CD上一點(diǎn)，連接BE，點(diǎn)P在BE上，連接AP，若，則面積的最大值為_(kāi)_________．15．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，），⊙A與x軸相切，點(diǎn)P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點(diǎn)B．若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．16．在正六邊形ABCDEF中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)M，則的值為_(kāi)_____．17．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，以A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，得，連接AC、AE，用圖中陰影部分作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為_(kāi)_____．18．已知，OA是⊙O的半徑，延長(zhǎng)AO至點(diǎn)B，使得OB=3OA=3，以B為直角頂點(diǎn)，做等腰直角△BMC，且滿足點(diǎn)M始終在⊙O上（如圖所示），連接OC，則OC的最大值為_(kāi)_____．三、解答題19．與圓相關(guān)的定理，我們?cè)诔踔须A段已經(jīng)學(xué)習(xí)了很多．例如：垂徑定理、圓周角定理和切線長(zhǎng)定理等．實(shí)際上，與圓相關(guān)的定理還有很多，比如下面的定理：若內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，則圓心到一邊的距離等于這條邊所對(duì)的邊的一半，如下給出了不完整的“已知”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并證明．已知：四邊形是的內(nèi)接四邊形，________，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E．求證：．20．已知在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D（如圖）．（1）求證：AC=BD；（2）若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓O到直線AB的距離為6，求AC的長(zhǎng)．21．已知是的直徑，弦與相交，.（Ⅰ）如圖①，若為的中點(diǎn)，求和的大?。唬á颍┤鐖D②，過(guò)點(diǎn)作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，求的大小.22．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，OD⊥AB交AC于點(diǎn)E，∠D＝2∠A．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求證：DE＝DC；(3)若OD＝5，CD＝3，求AE的長(zhǎng)．23．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，以為直徑在正方形內(nèi)部作半圓O，點(diǎn)E在邊上，，連接，和．(1)求證：是半圓O的切線；(2)請(qǐng)直接寫出圖中陰影部分的面積（用含π的代數(shù)式表示）．24．閱讀與思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家、靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，留給后人的最有價(jià)值的書是《阿基米德全集》．在該書的“引理集”中有這樣一道題：如圖1，以為直徑作半圓O，弦是一個(gè)內(nèi)接正五邊形的一條邊（即：），點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與直徑的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M．求證：是半圓的半徑．下面是勤奮小組的部分證明過(guò)程：證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H．∵，∴．（依據(jù)1）∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴．∵，∴．∴．（依據(jù)2）∵以為直徑作半圓O，∴．（依據(jù)3）∴．∵四邊形是半圓O的內(nèi)接四邊形，∴．（依據(jù)4）∵，∴．∵于點(diǎn)M，∴．∵，∴．∵．∵．∴．∴．……通過(guò)上面的閱讀，完成下列任務(wù)：(1)任務(wù)一：直接寫出依據(jù)1，依據(jù)2，依據(jù)3和依據(jù)4；(2)任務(wù)二：根據(jù)勤奮小組的解答過(guò)程完成該題的證明過(guò)程．（提示：先求出的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)或判定完成該題的證明過(guò)程）

參考答案1．C【分析】根據(jù)弧、弦的概念、對(duì)稱軸的概念、過(guò)三點(diǎn)的圓的條件判斷即可．解：A、弦不一定是直徑，但直徑是弦，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、半圓小于優(yōu)弧，半圓是圓中最長(zhǎng)的弧說(shuō)法錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；C、圓的每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；D、過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握這些性質(zhì)，靈活運(yùn)用它們解答．2．A【分析】根據(jù)題意可知，的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形中位線定理可得，從而可得為的半徑，由此即可得．解：如圖，由題意可知，的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，是等邊三角形，，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，即為的半徑，點(diǎn)在上，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．3．D【分析】如圖，令、的交點(diǎn)為，由垂徑定理得，證明，則，，在中，由勾股定理得，求出的值，根據(jù)計(jì)算求解的值即可．解：如圖，令、的交點(diǎn)為，∵，是的直徑，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于由垂徑定理得到．4．D【分析】作AH⊥BC于H，作直徑CF，連接BF，先利用等角的補(bǔ)角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根據(jù)垂徑定理得CH=BH，則AH為△CBF的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到AH=BF=3．解：作AH⊥BC于H，作直徑CF，連接BF，如圖，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH為△CBF的中位線，∴AH=BF=3,故選：D.【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了垂徑定理和三角形中位線性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】延長(zhǎng)ID到M，使DM=ID，連接CM．想辦法求出CM，證明IE是△ACM的中位線即可解決問(wèn)題．解：延長(zhǎng)ID到M，使DM=ID，連接CM．∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，∴∠DIC=∠DCI，∴DI=DC=DM，∴∠ICM=90°，∴CM==8，∵AI=2CD=10，∴AI=IM，∵AE=EC，∴IE是△ACM的中位線，∴IE=CM=4，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查三角形的內(nèi)心、三角形的外接圓、三角形的中位線定理、直角三角形的判定、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問(wèn)題．6．A【分析】先由切線長(zhǎng)定理和勾股定理算出三角形另外兩邊的長(zhǎng)，再根據(jù)圖中陰影部分的面積=△ABC的面積-⊙O的面積，然后利用三角形的面積公式和圓的面積公式計(jì)算即可．解：過(guò)點(diǎn)O作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為D、E、F，如圖，，∴四邊形CEOF是矩形，，∴四邊形CEOF是正方形，，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，，設(shè)，在中，，，解得，，．故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理、勾股定理、三角形與圓的面積公式．7．C【分析】先利用垂徑定理，由C為的中點(diǎn)得到OC⊥AB，則∠A+∠AOC=90°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=2∠ADC，加上∠A=∠B，于是可判斷C選項(xiàng)一定正確．解：∵C為的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，∴∠A+∠AOC＝90°，∵∠AOC＝2∠ADC，∴2∠ADC+∠A＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∴∠2ADC+∠B＝90°．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．8．B【分析】連接OC、OP，易得∠OPB=90°，點(diǎn)P是在以O(shè)B的中點(diǎn)D為圓心，BD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求即可．解：連接OC、OP，∵OB=OC，∴△BOC為等腰三角形，∵P為BC中點(diǎn)，∴OP⊥BC（三線合一），即∠OPB=90°，∴點(diǎn)P是在以O(shè)B的中點(diǎn)D為圓心，BD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)位置，點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，連接，∵D為OB中點(diǎn)，為AB中點(diǎn)，∴∥OA，∴=，BD=OA=3，∴，即點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題，根據(jù)定弦定角確定圓的所在位置，以及等腰三角形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】連接OA，OF，由題意得OA=OF，設(shè)OC=x，由勾股定理得，解答方程可得OC的值，再運(yùn)用勾股定理可得OD的長(zhǎng)．解：連接OA，OF，如圖，∵OF是半圓O的半徑，∴OA=OF，∵四邊形ABCD、EFGC是正方形，∴，設(shè)，∴BO=BC-OC=3-x，OE=OC+CE=x+2，在Rt和Rt中，,∴，∵∴,解得，，即OC=1，在Rt中，,∴,故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的基本概念，勾股定理以及正方形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．10．B【分析】根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出兩個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．解：∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，∴∠B′OC′=60°，△BCO=△B′C′O，∴∠B′OC=60°，∠C′B′O=30°，∴∠B′OB=120°，∵AB=2cm，∴OB=1cm，OC′=cm，∴B′C′=cm，∴S扇形B′OB=cm2，S扇形C′OC=cm2，∴陰影部分面積=S扇形B′OB+S△B′C′O-S△BCO-S扇形C′OC=S扇形B′OB-S扇形C′OC=cm2；故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和扇形的面積公式，掌握直角三角形的性質(zhì)和扇形的面積公式是本題的關(guān)鍵．11．12【分析】連接OC、OB，根據(jù)作圖可知OC是線段AB的垂直平分線，則有BC=AC=AB．在Rt△BOC中，利用勾股定理即可求解OC．解：連接OC、OB，如圖，根據(jù)作圖可知，OC是線段AB的垂直平分線，則有BC=AC=AB=10×=5，又∵圓的半徑OB=13，∴在Rt△BOC中，利用勾股定理可得：，故答案為：12．【點(diǎn)撥】本題考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖與性質(zhì)、勾股定理與圓的知識(shí)．根據(jù)尺規(guī)作圖的方法得出所做直線MN是線段AB的垂直平分線是解答本題的關(guān)鍵．12．8【分析】過(guò)P點(diǎn)作弦AB，使AB⊥OP，則AB為過(guò)P點(diǎn)的最短的弦，連結(jié)OA，根據(jù)垂徑定理得AP=BP，在Rt△AOP中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AP=4，則AB=2AP=8．解：過(guò)P點(diǎn)作弦AB，使AB⊥OP，則AB為過(guò)P點(diǎn)的最短的弦，連結(jié)OA，∵OP⊥AB，∴AP=BP，在Rt△AOP中，OA=5，OP=3，∴AP=，∴AB=2AP=8．故答案為：8．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理和垂徑定理，熟記垂徑定理“平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧”是解題的關(guān)鍵．13．【分析】連接OD，交AC于F，根據(jù)垂徑定理的推論得出OD⊥AC，AF=CF，進(jìn)而證得DF=BC，根據(jù)三角形中位線定理求得OF=BC=DF，從而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．解：如圖，連接OD，交AC于F，∵D是的中點(diǎn)，∴OD⊥AC，AF=CF，∴∠DFE=90°，∵OA=OB，AF=CF，∴OF=BC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，在△EFD和△ECB中，，

∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF=BC，∴OF=DF，∵OD=3，∴OF=1，AB=2OD=6，∴BC=2，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和垂徑定理及其推論是解題的關(guān)鍵．14．【分析】若要使的面積最大，底AB固定，故只要AB邊上的高最大時(shí)，即三角形面積最大；可證，故可知點(diǎn)P在△APB的外接圓的劣弧上，當(dāng)點(diǎn)P在劣弧的中點(diǎn)處，△APB的面積最大，求出AB邊上的高即可求解．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=6，AB//CD，∴∵，∴即，∵，∴，∵，∴點(diǎn)P在在△APB的外接圓上，若要使的面積最大，底AB固定，，故只要AB邊上的高最大時(shí)，即三角形面積最大；此時(shí)點(diǎn)P在劣弧的中點(diǎn)處，如圖，設(shè)點(diǎn)O為△APB的外接圓的圓心，OP⊥AB于點(diǎn)F，∴，,∴∴由勾股定理得，∴∴PF=∴即面積的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的面積公式，解直角三角形，垂徑定理等知識(shí)，正確作出輔助圓，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15．（0，）【分析】連接AB，過(guò)點(diǎn)A分別作AC⊥x軸、AD⊥y軸，利用根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知△PAB、△AOC為直角三角形，AB=AC=，利用直角三角形中30°角的性質(zhì)和勾股定理分別求出AP、AD的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出OD、PD的長(zhǎng)度即可求得答案．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A分別作AC⊥x軸于點(diǎn)C、AD⊥y軸于點(diǎn)D，連接AB，∵AD⊥y軸，AC⊥x軸，∴四邊形ADOC為矩形．∴AC=OD，OC=AD．∵⊙A與x軸相切，∴AC為⊙A的半徑．∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，），∴AC=OD=，OC=AD=4，∵PB是切線，∴AB⊥PB．∵∠APB=30°，∴PA=2AB=5．在Rt△PAD中，根據(jù)勾股定理，得，∴OP=PD+DO=．∵點(diǎn)P在y軸的正半軸上，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，）．故答案為：（0，）．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是把所求的線段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圓的切線作半徑．16．2【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得出∠ABC，∠BCD的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明，設(shè)則則從而可得答案．解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BCD=∠ABC=（6-2）×180°=120°，AB=BC=CD，∴∠BAC=∠ACB=∠CBD=∠CDB=（180°-120°）=30°，∠ABM=90°，設(shè)則故答案為2．【點(diǎn)撥】本題考查了正多邊形和圓、多邊形的內(nèi)角與外角以及等腰三角形的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解答本題的關(guān)鍵．17．【分析】由正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，可得AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=120°，進(jìn)而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，過(guò)B作BHAC于H，由等腰三角形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)得到AH=CH=AC，BH=2．在RtABH中，由勾股定理求得AH=，得到．根據(jù)扇形的面積公式可得到陰影部分的面積，即是圓錐的側(cè)面積，最后根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解底面半徑即可．解：∵正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，∴AB=BC=4，，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴，如圖，過(guò)B作BHAC于H，∴AH=CH=AC，，在RtABH中，，∴，同理可求∠EAF=30°，∴，∴，∴，∵，∴，∴r=，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓錐的側(cè)面積，掌握扇形面積公式和圓錐側(cè)面積公式是解題的關(guān)鍵．18．##【分析】由“SAS”可證△NBM≌△OBC，可得MN=OC，則當(dāng)點(diǎn)O在線段MN上時(shí)，MN有最大值，即可求解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AB，且BN=OB，連接ON，OM，MN，∴∠NBO=90°=∠MBC，∴∠MBN=∠OBC，在△NBM和△OBC中，∵M(jìn)B=BC，∠MBN=∠OBC，BN=OB，∴△NBM≌△OBC（SAS），∴MN=OC，∵M(jìn)N≤OM+ON，∴當(dāng)點(diǎn)O在線段MN上時(shí)，MN有最大值，∵OB=3OA=3，∴，∴MN的最大值為，∴OC的最大值為，故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了圓的基本性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．19．AC⊥BD，答案見(jiàn)分析．【分析】利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，以及等角對(duì)等弦，先求出DF，再證明BC=DF即可．證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，如圖所示，∵為直徑，∴，即，又∵，∴，∵，∴，∴是的中位線，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，平行線的判定，三角形的中位線，圓周角、弧與弦的關(guān)系，構(gòu)造直徑，靈活運(yùn)用平行線的判定，三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．20．（1）證明見(jiàn)分析；（2）8﹣【分析】（1）過(guò)O作OE⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到AE=BE，CE=DE，從而得到AC=BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，連接OC，OA，再根據(jù)勾股定理求出CE及AE的長(zhǎng)，根據(jù)AC=AE﹣CE即可得出結(jié)論．（1）證明：如答圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，∵AE=BE，CE=DE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，連接OC，OA，∵OA=10，OC=8，OE=6，∴.∴AC=AE﹣CE=8﹣．【點(diǎn)撥】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．21．（1）52°，45°；（2）26°分析：（Ⅰ）運(yùn)用直徑所對(duì)的圓周角是直角以及圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)求解即可；（Ⅱ）運(yùn)用圓周角定理求解即可.解：（Ⅰ）∵是的直徑，∴.∴.又∴，∴.由為的中點(diǎn)，得.∴.∴.（Ⅱ）如圖，連接.∵切于點(diǎn)，∴，即.由，又，∴是的外角，∴.∴.又，得.∴.【點(diǎn)撥】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．(1)見(jiàn)分析(2)見(jiàn)分析(3)AE＝2【分析】（1）連接OC．證∠D＝∠COB．由OD⊥AB，得∠COB＋∠COD＝90°．可證∠D＋∠COD＝90°．即∠DCO＝90°；（2）由∠DCE＋∠ACO＝90°，∠AEO＋∠A＝90°和∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，可得∠DEC＝∠DCE，即DE＝DC．（3）先求得OC＝4，AB＝2OC＝8，OE＝OD－DE＝2，再證△AOE∽△ACB，得．（1）證明：連接OC，如圖，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，又∵∠D＝2∠A，∴∠D＝∠COB．又∵OD⊥AB，∴∠COB+∠COD＝90°