北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題1.3 正方形的性質(zhì)與判定【十大題型】（舉一反三）（學(xué)生版）

專題1.3正方形的性質(zhì)與判定【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1正方形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）】 1【題型2正方形的性質(zhì)（求線段的長(zhǎng)度）】 3【題型3正方形的性質(zhì)（求面積、周長(zhǎng)）】 4【題型4正方形的性質(zhì)（探究數(shù)量關(guān)系）】 6【題型5判定正方形成立的條件】 10【題型6正方形判定的證明】 12【題型7正方形的判定與性質(zhì)綜合】 16【題型8探究正方形中的最值問題】 19【題型9正方形在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】 20【題型10正方形中的多結(jié)論問題】 23【知識(shí)點(diǎn)1正方形的定義】有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．【知識(shí)點(diǎn)2正方形的性質(zhì)】①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．【題型1正方形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）】【例1】（2023春?建陽(yáng)區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD中有一個(gè)點(diǎn)E，使三角形BCE是正三角形，求：（1）∠BAE的大?。?）∠AED的大?。咀兪?-1】如圖，已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上一點(diǎn)，以AE為邊在直線MN上方作正方形AEFG．（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；（2）連接FC，觀察并猜測(cè)∠FCN的度數(shù)，并說明理由．【變式1-2】（2023?武威模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且BE＝EF，EF交CD于點(diǎn)G．（1）求證：DE＝EF；（2）求∠DEF的度數(shù)．【變式1-3】（2023春?新市區(qū)校級(jí)期末）如圖，在給定的正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BC方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，DF⊥AE交AB于點(diǎn)F，以FD，F(xiàn)E為鄰邊構(gòu)造平行四邊形DFEP，連接CP，則∠DFE+∠EPC的度數(shù)的變化情況是（）A．一直減小 B．一直減小后增大 C．一直不變 D．先增大后減小【題型2正方形的性質(zhì)（求線段的長(zhǎng)度）】【例2】（2023春?牡丹江期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形內(nèi)部，AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，則線段EF的長(zhǎng)為（）A．22 B．4 C．4?2 D．4【變式2-1】（2023春?巴南區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在邊CD上，且DE＝1，作EF∥BC分別交AC、AB于點(diǎn)G、F，P、H分別是AG，BE的中點(diǎn)，則PH的長(zhǎng)是（）A．2 B．2.5 C．3 D．4【變式2-2】（2023?越秀區(qū)一模）將正方形ABCD與正方形BEFG按如圖方式放置，點(diǎn)F、B、C在同一直線上，已知BG=2，BC＝3，連接DF，M是DF的中點(diǎn)，連接AM，則AMA．102 B．3 C．132 【變式2-3】（2023春?吳中區(qū)校級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝45．E、F分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，連接AF、DE，點(diǎn)N、M分別為AF、DE的中點(diǎn)，連接MN，則MN的長(zhǎng)度為．【題型3正方形的性質(zhì)（求面積、周長(zhǎng)）】【例3】（2023春?鄞州區(qū)期末）有兩個(gè)正方形A，B．現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖甲，將A，B構(gòu)造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12，若三個(gè)正方形A和兩個(gè)正方形B得圖丙，則陰影部分的面積為（）A．28 B．29 C．30 D．31【變式3-1】（2023春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD為正方形，O為AC、BD的交點(diǎn)，△DCE為Rt△，∠CED＝90°，OE＝22，若CE?DE＝3，則正方形ABCD的面積為（）A．5 B．6 C．8 D．10【變式3-2】（2023?臺(tái)州）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長(zhǎng)為．【變式3-3】（2023?江北區(qū)一模）如圖，以Rt△ABC的各邊為邊分別向外作正方形，∠BAC＝90°，連結(jié)DG，點(diǎn)H為DG的中點(diǎn)，連結(jié)HB，HN，若要求出△HBN的面積，只需知道（）A．△ABC的面積 B．正方形ADEB的面積 C．正方形ACFG的面積 D．正方形BNMC的面積【題型4正方形的性質(zhì)（探究數(shù)量關(guān)系）】【例4】（2023秋?中原區(qū)校級(jí)月考）如圖，線段AB＝4，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點(diǎn)，以AP為邊作正方形APCD，且點(diǎn)C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點(diǎn)E，使∠EAP＝∠BAP，直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合）．（1）求證：△AEP≌△CEP；（2）判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由；（3）請(qǐng)直接寫出△AEF的周長(zhǎng)．【變式4-1】（2023春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，該角可以繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，∠MAN的兩邊分別交射線CB，DC于點(diǎn)M，N．（1）當(dāng)點(diǎn)M，N分別在正方形的邊CB和DC上時(shí)（如圖1），線段BM，DN，MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？你的猜想是：，并加以證明．（2）當(dāng)點(diǎn)M，N分別在正方形的邊CB和DC的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），線段BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系會(huì)發(fā)生變化嗎？證明你的結(jié)論．【變式4-2】（2023春?莆田期末）如圖，已知正方形ABCD中，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE＝AB，M、N分別為AE、BC的中點(diǎn)，連DE交AB于O，MN交，ED于H點(diǎn)．（1）求證：AO＝BO；（2）求證：∠HEB＝∠HNB；（3）過A作AP⊥ED于P點(diǎn)，連BP，則PE?PAPB【變式4-3】（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是線段DO上一點(diǎn)，連接CE．點(diǎn)F是∠OCE的平分線上一點(diǎn)，且BF⊥CF與CO相交于點(diǎn)G．點(diǎn)H是線段CE上一點(diǎn)，且CO＝CH．（1）若OF＝5，求FH的長(zhǎng)；（2）求證：BF＝OH+CF．【知識(shí)點(diǎn)3正方形的判定】①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．【題型5判定正方形成立的條件】【例5】（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知四邊形ABCD為凸四邊形，點(diǎn)M、N、P、Q分別為AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），下列說法正確的是（填序號(hào)）．①對(duì)于任意凸四邊形ABCD，一定存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；②如果四邊形ABCD為任意平行四邊形，那么一定存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；③如果四邊形ABCD為任意矩形，那么一定存在一個(gè)四邊形為正方形；④如果四邊形ABCD為任意菱形，那么一定存在一個(gè)四邊形為正方形．【變式5-1】（2023春?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．要使四邊形EFGH是正方形，BD、AC應(yīng)滿足的條件是．【變式5-2】（2023春?漢壽縣期中）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且OE＝OF，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使DE＝ME，連接MF，DF，BE．（1）當(dāng)DF＝MF時(shí)，證明：四邊形EMBF是矩形；（2）當(dāng)△DMF滿足什么條件時(shí)，四邊形EMBF是正方形？請(qǐng)說明理由．【變式5-3】（2023春?沛縣期中）已知在△ABC中，D為邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN與∠BCA的平分線相交于點(diǎn)E，與∠ACD的平分線相交于點(diǎn)F．（1）求證：OE＝OF；（2）試確定點(diǎn)O在邊AC上的位置，使四邊形AECF是矩形，并加以證明．（3）在（2）的條件下，且△ABC滿足條件時(shí)，矩形AECF是正方形？．【題型6正方形判定的證明】【例6】（2023春?虹口區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且AE＝CE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求證：四邊形ABCD是正方形．【變式6-1】（2023春?宜城市期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接對(duì)角線AC，過點(diǎn)D作DE∥AC與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接AE交DC于F．（1）求證：BC＝CE；（2）連接BF，若∠DAF＝∠FBE，且AD＝2CF，求證：四邊形ABCD是正方形．【變式6-2】（2023秋?市南區(qū)期末）已知：在平行四邊形ABCD中，分別延長(zhǎng)BA，DC到點(diǎn)E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．連接EH，分別交AD，BC于點(diǎn)F，G．（1）求證：AF＝CG；（2）連接BD交EH于點(diǎn)O，若EH⊥BD，則當(dāng)線段AB與線段AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形BEDH是正方形？【變式6-3】（2023?上海）已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且EA＝EC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求證：四邊形ABCD是正方形．【題型7正方形的判定與性質(zhì)綜合】【例7】（2023?威海）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，HA＝EB＝FC＝GD，連接EG，F(xiàn)H，交點(diǎn)為O．（1）如圖2，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）將正方形ABCD沿線段EG，HF剪開，再把得到的四個(gè)四邊形按圖3的方式拼接成一個(gè)四邊形．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，則圖3中陰影部分的面積為cm2．【變式7-1】（2023?蕭山區(qū)模擬）如圖，P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，畫?PAHD，?PBEA，?PCFB，?PDGC，請(qǐng)證明：以E，F(xiàn)，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是正方形．【變式7-2】（2023?蕭山區(qū)模擬）已知：如圖，邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求證：四邊形ABCD是正方形．（2）E是OB上一點(diǎn)，BE＝1，且DH⊥CE，垂足為H，DH與OC相交于點(diǎn)F，求線段OF的長(zhǎng)．【變式7-3】（2023春?潛山市期末）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝32，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【題型8探究正方形中的最值問題】【例8】（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，在正方形ABCD中，M，N是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AM＝BN，連接MD交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，連接BE交CN于點(diǎn)F，若AB＝3，則AF長(zhǎng)度的最小值為．【變式8-1】（2023?泰山區(qū)一模）如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AM＝BN，連接AC交BN于點(diǎn)E，連接DE交AM于點(diǎn)F，連接CF，若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段CF的最小值是（）A．2 B．1 C．5?1 D．5【變式8-2】（2023?青山區(qū)模擬）已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝4AB＝8，E為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，以CE為邊向上構(gòu)造正方形CEFG，連接BF，則BF的最小值是．【變式8-3】（2023?鄖陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，PA=22，PB=42，以AB為邊作正方形ABCD，使得P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)，當(dāng)∠APB變化時(shí)，則PD的最大值為【題型9正方形在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】【例9】（2023春?市中區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于兩個(gè)點(diǎn)P、Q和圖形W，如果在圖形W上存在點(diǎn)M、N（M、N可以重合）使得PM＝QN，那么稱點(diǎn)P與點(diǎn)Q是圖形W的一對(duì)平衡點(diǎn)．已知正方形的邊長(zhǎng)為2，一邊平行于x軸，對(duì)角線的交點(diǎn)為點(diǎn)O，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）．若點(diǎn)E（x，2）與點(diǎn)D是正方形的一對(duì)平衡點(diǎn)，則x的取值范圍為（）A．﹣3≤x≤3 B．﹣4≤x≤4 C．﹣2≤x≤2 D．﹣5≤x≤5【變式9-1】（2023秋?永新縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（﹣2，0）、B（0，﹣2）、C（2，0）、D（0，2），求證：四邊形ABCD是正方形．【變式9-2】（2023春?順城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線OC：yOC＝3x與直線AC：yAC＝﹣x+8相交于點(diǎn)C（2，6）．（1）點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別過點(diǎn)M，N作x軸的垂線，分別交直線OC，AC于點(diǎn)P，Q，請(qǐng)你在圖1中畫出圖形，猜想四邊形PMNQ的形狀（點(diǎn)M，N重合時(shí)除外），并證明你的猜想；（2）在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，四邊形PMNQ是正方形（直接寫出結(jié)論）．【變式9-3】（2023?河南模擬）如圖，正方形OABC中，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，且BD＝1，連接OD，過點(diǎn)C作CE⊥OD交OA于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作MN∥CE，交x軸于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A．（5，0） B．（6，0） C．（254，0） D．（27【題型10正方形中的多結(jié)論問題】【例10】（2023春?慈溪市期末）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)P為BD延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)，連結(jié)PA，過點(diǎn)P作PE⊥PA，