人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 23.7 《旋轉(zhuǎn)》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識(shí)講解）

專(zhuān)題23.7《旋轉(zhuǎn)》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線(xiàn)所成的角彼此相等的性質(zhì)；2、通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)中心對(duì)稱(chēng)，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)中心平分的性質(zhì)，了解平行四邊形、圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形；3、能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，欣賞旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用；4、探索圖形之間的變化關(guān)系（軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合），靈活運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、旋轉(zhuǎn)1.旋轉(zhuǎn)的概念：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)..點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角(如∠AOA′),如果圖形上的點(diǎn)A經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)A′，那么，這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).特別說(shuō)明：旋轉(zhuǎn)的三個(gè)要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度.2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（OA=OA′）；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等(△ABC≌△).特別說(shuō)明：圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)也可以按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).3.旋轉(zhuǎn)的作圖:在畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形時(shí)，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，再將這些關(guān)鍵沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對(duì)應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形．作圖的步驟：(1)連接圖形中的每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；(2)把連線(xiàn)按要求（順時(shí)針或逆時(shí)針）繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）；(3)在角的一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(4)連接所得到的各對(duì)應(yīng)點(diǎn).要點(diǎn)二、特殊的旋轉(zhuǎn)—中心對(duì)稱(chēng)1.中心對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)中心．這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．特別說(shuō)明：（1）有兩個(gè)圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；（2）位置必須滿(mǎn)足一個(gè)條件：將其中一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°能夠與另一個(gè)圖形重合(全等圖形不一定是中心對(duì)稱(chēng)的，而中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形一定是全等的).2.中心對(duì)稱(chēng)圖形：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心．特別說(shuō)明：(1)中心對(duì)稱(chēng)圖形指的是一個(gè)圖形；（2）線(xiàn)段，平行四邊形，圓等等都是中心對(duì)稱(chēng)圖形.要點(diǎn)三、平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)之間的對(duì)比平移軸對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)相同點(diǎn)都是全等變換（合同變換），即變換前后的圖形全等．不同點(diǎn)定義把一個(gè)圖形沿某一方向移動(dòng)一定距離的圖形變換．把一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊的圖形變換．把一個(gè)圖形繞著某一定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換．圖形要素平移方向平移距離對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度性質(zhì)連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段平行（或共線(xiàn)）且相等．任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分．對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角．對(duì)應(yīng)線(xiàn)段平行（或共線(xiàn)）且相等．任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分．*對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，即：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線(xiàn)所成的角彼此相等．【典型例題】類(lèi)型一、旋轉(zhuǎn)三要素 1．如圖，E是正方形的邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后恰好能夠與重合．旋轉(zhuǎn)中心是________，旋轉(zhuǎn)角為_(kāi)_______；請(qǐng)你判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)點(diǎn)D；90°(2)等腰直角三角形，理由見(jiàn)分析【分析】（1）由已知可知，旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)D，旋轉(zhuǎn)角∠ADC=90°，即可求解；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE=DF，∠EDF=∠ADC=90，可得結(jié)論．(1)解：由題意得：旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)D；旋轉(zhuǎn)角為∠ADC，在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∴旋轉(zhuǎn)角為90°；故答案為：點(diǎn)D；90°(2)解：根據(jù)題意得：，，∴是等腰直角三角形．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】在中，，，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，且點(diǎn)恰好成為中點(diǎn)，如圖．旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)______，______；求直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角．【答案】(1),(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)與自身對(duì)應(yīng)，則旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)，可知與對(duì)應(yīng)，即可求解；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，證明是等邊三角形，進(jìn)而求得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，即直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角．(1)解：∵旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)與自身對(duì)應(yīng)，∴旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)，，則旋轉(zhuǎn)后與不對(duì)應(yīng)，則與對(duì)應(yīng)故答案為：,(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，，，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與重合，,是的中點(diǎn)，是等邊三角形又中即直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角為【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△CBP′的位置．（1）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)__________，旋轉(zhuǎn)角度是__________．（2）連接PP′，△BPP′的形狀是__________三角形．（3）若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的長(zhǎng)．【答案】（1）B，90°；（2）等腰直角；（3）6【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義解答；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BP=BP′，又旋轉(zhuǎn)角為90°，然后根據(jù)等腰直角三角形的定義判定；（3）①根據(jù)勾股定理列式求出PP′，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠BP′C=135°，再求出∠PP′C=90°，然后根據(jù)勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．解：（1）∵P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△CBP′的位置，∴旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)B，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的度數(shù)是90度，故答案為：B，90°；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)BP=BP′，旋轉(zhuǎn)角為90°，∴△BPP′是等腰直角三角形；故答案為：等腰直角；（3）在等腰Rt△BPP'中，∵PB＝BP'＝4，∴PP′＝，∵∠BP′C＝∠BPA＝135°，∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－45°＝90°，∵P'C＝PA＝2在Rt△PP′C中，PC＝【點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．類(lèi)型二、利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求值或證明 2．如圖，點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至．若，，求；若，求的面積．【答案】(1)(2)的面積為【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，先算出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得出；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出，，即可算出△CEF的面積．(1)解：∵，，∴，∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，∴．(2)∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，∴，，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出，，是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知在中，，，于點(diǎn)D．在邊BC上取一點(diǎn)E，連接DE，將線(xiàn)段DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段EF，連接AF，交線(xiàn)段CD于點(diǎn)G．如圖，若點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，求證：；探究線(xiàn)段AG與GF之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；若，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C與點(diǎn)F之間的最小距離，不必寫(xiě)解答過(guò)程．【答案】(1)見(jiàn)分析(2)AG=GF，理由見(jiàn)分析(3)5【分析】（1）根據(jù)題意，△ABC是等腰直角三角形，CD⊥AB，所以CD=AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，CD=CF，所以CF=AD，又因?yàn)椤螱CF=∠GDA=90°，∠CGF=∠DGA，所以（ASA）；（2）作EH⊥BC，交CD于點(diǎn)H，連接FH，則可證明△FEH△CED(SAS)，得到FH=DC=AD，∠EHF=∠ECD=45°，從而證明∠FHG=90°，又因?yàn)閷?duì)頂角相等，可證明△FGH△AGD(AAS)，所以AG=GF；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，，所以當(dāng)CE取最小值0時(shí)CF有最小值5．解：(1)根據(jù)題意，△ABC是等腰直角三角形，∵∴CD是斜邊AB的中線(xiàn)∴CD=AD∵線(xiàn)段DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段EF∴∠FCG=∠ADG=90°，CD=CF∴AD=CF在和中∴（ASA）(2)AG=GF，理由如下：作EH⊥BC，交CD于點(diǎn)H，連接FH，如圖，∵△ABC是等腰直角三角形，CD⊥AB∴∠BCD==45°，CD=AD=∵EH⊥BC∴∠EHC=∠BCD=45°∴CE=HE∵∠FED+∠DEH=∠DEH+∠HEC∴∠FEH=∠DEC又∵EF=ED∴△FEH△CED(SAS)∴FH=DC=AD，∠EHF=∠ECD=45°∴∠CHF=∠CHE+∠EHF=45°+45°=90°∴∠FHG=90°=∠ADG又∵∠FGH=∠AGD∴△FGH△AGD(AAS)∴AG=GF(3)連接CF，∵FH=AD==，∴當(dāng)CE最小時(shí)CF最小，CE最小值為0，∴CF最小值為點(diǎn)C與點(diǎn)F之間的最小距離為5．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，P是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．旋轉(zhuǎn)角為_(kāi)____度；求點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離；求的度數(shù)；求的面積．【答案】(1)60(2)4(3)150°(4)9．【分析】（1）根據(jù)△QCB是△PAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可知∠ABC為旋轉(zhuǎn)角即可得出答案，（2）連接PQ，根據(jù)等邊三角形得性質(zhì)得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判斷△PBQ是等邊三角形，所以PQ＝PB＝4；（3）先利用勾股定理的逆定理證明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ＝60°，然后計(jì)算∠BPQ+∠QPC即可．（4）由直角三角形的性質(zhì)可求CH，PH的長(zhǎng)，由勾股定理和三角形的面積公式可求解．解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵△QCB是△PAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，∴旋轉(zhuǎn)角為60°故答案為：60；(2)連接PQ，如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∵△QCB是△PAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，∴△QCB≌△PAB，∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等邊三角形，∴PQ＝PB＝4；(3)∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，而32+42＝52，∴PC2+PQ2＝CQ2，∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，∵△PBQ是等邊三角形，∴∠BPQ＝60°，∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；(4)如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BP，交BP的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，∵∠BPC＝150°，∴∠CPH＝30°，∴CHPC，PHHC，∴BH＝4，∴BC2＝BH2+CH2，∵S△ABCBC2，∴S△ABC）9．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．類(lèi)型三、中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)為網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)），∠ABC＝90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4）．已知與關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)（點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，且）．連接AF，CD．若，畫(huà)出此時(shí)的位置；線(xiàn)段AF與CD的位置和大小關(guān)系是______；若四邊形AFDC是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，則a的值為_(kāi)_____．【答案】(1)見(jiàn)分析(2)，且(3)1【分析】（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（a，0）即為原點(diǎn)，作出關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的圖形即可；（2）設(shè)對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)P（a，0），根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；（3）當(dāng)四邊形AFDC是菱形或矩形時(shí)，可得出a的值．(1)如圖，即為所畫(huà)；(2)如圖所示，，且故答案為：，且(3)∵是直角三角形，且B（1，0），∴與關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)時(shí)，四邊形AFDC是菱形，如圖，∴故答案為：1【點(diǎn)撥】本題考查作圖-中心對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．舉一反三：【變式1】已知：是的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，且，．如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；如圖2，若為等邊三角形，在不添加輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)你直接寫(xiě)出所有是軸對(duì)稱(chēng)但不是中心對(duì)稱(chēng)的圖形．【答案】(1)證明見(jiàn)分析(2)等邊，等邊，等邊，等腰，等腰梯形，等腰梯形【分析】（1）由角平分線(xiàn)可知，由平行可知，可得，，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）由題意可得四邊形是菱形，是等邊三角形的中點(diǎn)，然后根據(jù)在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形；在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形；對(duì)圖中的三角形與四邊形的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行判斷即可．(1)證明：∵是的角平分線(xiàn)∴∵∴∴∴∵，∴四邊形是平行四邊形．(2)解：由（1）知四邊形是平行四邊形∴∵是等邊三角形∴∴∴四邊形是菱形∴∴是等邊三角形的中點(diǎn)∴∴由軸對(duì)稱(chēng)圖形與中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義可知，是軸對(duì)稱(chēng)圖形但不是中心對(duì)稱(chēng)圖形的有：等邊，等邊，等邊，等腰，等腰梯形，等腰梯形．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線(xiàn)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)圖形，中心對(duì)稱(chēng)圖形等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式2】在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）作出向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；可看作以點(diǎn)（________，________）為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)________°得到的．（3）已知關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)直接寫(xiě)出直線(xiàn)的函數(shù)解析式________．【答案】（1）圖見(jiàn)詳解，C1（-1，2）；（2）圖見(jiàn)詳解，C2（-3，-2），（-2，0），180；（3）y=-x【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可畫(huà)出向左平移4個(gè)單位后的；（2）根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可作出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，可以知道直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)（-1，1），即可求出解析式．解：（1）如圖所示，點(diǎn)C1的坐標(biāo)（-1，2）；（2）如圖所示，點(diǎn)C2的坐標(biāo)（-3，-2），可看作以點(diǎn)（-2，0）為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)180°得到的；（3）因?yàn)锳的坐標(biāo)為（2，4），A3的坐標(biāo)為（-4，-2），所以直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)（-1，1），所以直線(xiàn)的解析式為y=-x．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平移，軸對(duì)稱(chēng)，中心對(duì)稱(chēng)的作圖，熟練其概念準(zhǔn)確的畫(huà)出圖形是解決本題的關(guān)鍵．類(lèi)型四、直角坐標(biāo)系中的中心對(duì)稱(chēng)圖形4、已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（－5，0）、B（－2，3）、C（－1，0）．畫(huà)出△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)的△A′B′C′；將△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的△A′′B′′C′′；若以A′、B′、C′、D′為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則在第四象限中的點(diǎn)D′坐標(biāo)為．【答案】(1)見(jiàn)分析(2)見(jiàn)分析(3)（6，－2）【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)解答；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的點(diǎn)A″、B″、C″的坐標(biāo)，然后順次連接即可；（3）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等解答．(1)如圖所示，△A′B′C′就是求作的圖形；(2)如圖所示，△A′′B′′C′′就是求作的三角形；(3)如圖所示，點(diǎn)D′坐標(biāo)為（6，－2）；【點(diǎn)撥】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．若經(jīng)過(guò)平移后得到，已知點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，畫(huà)出；請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的△A2B2C2．【答案】(1)見(jiàn)分析(2)見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)C點(diǎn)的平移方式依次得到A點(diǎn)和B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，順次相連即可；（2）根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的定義確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置后順次連接即可．(1)如圖，△A1B1C1即為所求．(2)如圖，△A2B2C2即為所求．【點(diǎn)撥】本題考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖形的平移和中心對(duì)稱(chēng)，解題關(guān)鍵是牢記平移作圖與中心對(duì)稱(chēng)圖形的作圖方法．【變式2】已知拋物線(xiàn)y＝﹣2x2+8x﹣7．二次函數(shù)的圖象與已知拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求它的解析式；二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與已知拋物線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求a，b，c的值．【答案】(1)y＝﹣2x2﹣8x﹣7(2)a＝2，b＝8，c＝7【分析】（1）拋物線(xiàn)y＝﹣2x2+8x﹣7的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)x互為相反數(shù)，y不變進(jìn)行求解即可；（2）拋物線(xiàn)y＝﹣2x2+8x﹣7的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)x、y均互為相反數(shù)進(jìn)行求解即可；(1)解：拋物線(xiàn)y＝﹣2x2+8x﹣7的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)x互為相反數(shù)，y不變，∴y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7；(2)拋物線(xiàn)y＝﹣2x2+8x﹣7的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)x、y均互為相反數(shù)，∴﹣y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7，即y＝2x2+8x+7∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中的a＝2，b＝8，c＝7．【點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型五、旋轉(zhuǎn)幾何綜合拓展 5、△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．(1)【觀(guān)察猜想】當(dāng)△ABC和△DEC按如圖1所示的位置擺放，連接BD、AE，延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)F，猜想線(xiàn)段BD和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．(2)【探究證明】如圖2，將△DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，線(xiàn)段BD和線(xiàn)段AE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)證明：如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，在△ACD中，，，，將AC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至BC，連接BD，求BD的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)成立，理由見(jiàn)分析(3)【分析】（1）通過(guò)證明，即可求證；（2）通過(guò)證明，即可求證；（3）過(guò)點(diǎn)C作，垂足為C，交AD于點(diǎn)H，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，即可求解．解：(1)，，證明如下：在和中，，，，，，，，，，；(2)成立，理由如下：∵，∴，即，在和中，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；(3)如圖，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為C，交AD于點(diǎn)H，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，∵，∴，∵，且，∴，

∴，∴，在中：，∵，∴，即，在和中，∵，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，

∴，∴，∴是直角三角形，在中，．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D為△ABC內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)（不在邊上），連接BD，將線(xiàn)段BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)F的位置；將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，連接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求證：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值為；②當(dāng)CD+DF+FE取得最小值時(shí)，求證：AD∥BF．（3）如圖2，M，N，P分別是DF，AF，AE的中點(diǎn)，連接MP，NP，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷∠MPN的大小是否為定值．若是，求出其度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解答；（2）①；②見(jiàn)解答；（3）是，∠MPN=30°．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS證出全等即可；（2）①由兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短知C、D、F、E共線(xiàn)時(shí)CD+DF+FE最小，且CD+DF+FE最小值為CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋轉(zhuǎn)知AB=BE，∠CBE=90°，最后根據(jù)勾股定理求出CE即可；②先由△BDF為等邊三角形得∠BFD=60°，再由C、D、F、E共線(xiàn)時(shí)CD+DF+FE最小，∠BFE=120°=∠BDA，最后ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，即證；（3）由中位線(xiàn)定理知道MN∥AD且PN∥EF，再設(shè)∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，則∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，得∠PNM=120°．（1）證明：∵∠DBF=∠ABE=60°，∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，∴∠ABD=∠EBF，在△BDA與△BFE中，，∴△BDA≌△BFE（SAS）；（2）①∵兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，即C、D、F、E共線(xiàn)時(shí)CD+DF+FE最小，∴CD+DF+FE最小值為CE，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，∴BE=AB=2，BC=，∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，∴CE=，故答案為：；②證明：∵BD=BF，∠DBF=60°，∴△BDF為等邊三角形，即∠BFD=60°，∵C、D、F、E共線(xiàn)時(shí)CD+DF+FE最小，∴∠BFE=120°，∵△BDA≌△BFE，∴∠BDA=120°，∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，∴∠ADF=∠BFD，∴AD∥BF；（3）∠MPN的大小是為定值，理由如下：如圖，連接MN，∵M(jìn)，N，P分別是DF，AF，AE的中點(diǎn)，∴MN∥AD且PN∥EF，∵AB=BE且∠ABE=60°，∴△ABE為等邊三角形，設(shè)∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，則∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，∵△BDA≌△BFE，∴MN=AD=FE=PN，∴∠MPN=(180°-∠PNM)=30°．【點(diǎn)撥】本題是三角形與旋轉(zhuǎn)變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定、勾股定理的應(yīng)用、中位線(xiàn)的性質(zhì)及等腰、等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)在邊上（不與重合），連接．將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋