基礎(chǔ)知識總結(jié)：直線和圓的方程

直線和圓的方程知識要點(diǎn)一、直線方程.1、傾斜角的范圍。2、直線的斜率：〔1〕定義：＝tan(≠90°)；傾斜角為90°的直線沒有斜率；〔2〕斜率公式：經(jīng)過兩點(diǎn)、的直線的斜率為；〔3〕應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線：。3、直線的方程：〔1〕點(diǎn)斜式：直線過點(diǎn)斜率為，那么直線方程為〔注：斜率K必須存在〕〔2〕斜截式：直線在軸上的截距為和斜率，那么直線方程為,〔注：斜率K必須存在〕〔3〕兩點(diǎn)式：直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，那么直線方程為，〔不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線〕〔4〕截距式：直線在軸和軸上的截距為,那么直線方程為，〔不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點(diǎn)的直線〕?！?〕一般式：任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式。提醒：直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等。如過點(diǎn)，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有___條〔答：3〕4.設(shè)直線方程的一些常用技巧：〔1〕知直線縱截距，常設(shè)其方程為；〔2〕知直線過點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時，常設(shè)其方程為，當(dāng)斜率不存在時，那么其方程為；5.直線與直線的位置關(guān)系：〔1〕平行〔斜率〕且〔在軸上截距〕；〔2〕相交；〔3〕重合且。提醒：〔1〕、、是兩直線平行、相交、重合〔注意與上邊的區(qū)分〕〔2〕〔特別注意〕直線與直線垂直。6、點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離：〔1〕點(diǎn)到直線的距離；〔2〕兩平行線間的距離為。7.關(guān)于點(diǎn)對稱和關(guān)于某直線對稱：點(diǎn)關(guān)于特殊直線的對稱1)點(diǎn)〔〕關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為〔〕；2)點(diǎn)〔〕關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為〔〕；3)點(diǎn)〔〕關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為〔〕；4)點(diǎn)〔〕關(guān)于對稱的點(diǎn)為〔〕；5)點(diǎn)〔〕關(guān)于對稱的點(diǎn)為〔〕。〔一〕中心對稱(中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用)1.點(diǎn)點(diǎn)對稱：點(diǎn)〔〕關(guān)于〔〕對稱的點(diǎn)為〔〕；2.線點(diǎn)對稱：〔轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)對稱〕在待求直線上任取一點(diǎn)〔〕，它關(guān)于點(diǎn)〔〕對稱點(diǎn)〔〕在直線上，代入直線化簡即得所求直線方程。〔二〕軸對稱1.點(diǎn)線對稱：由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點(diǎn)連線的“垂直平分線〞.利用“垂直〞“平分〞這兩個條件建立方程組，就可求出對頂點(diǎn)的坐標(biāo).一般情形如下：設(shè)點(diǎn)P〔x0，y0〕關(guān)于直線y=kx+b的對稱點(diǎn)為P′〔x′，y′〕，那么有可求出x′、y′可求出x′、y′.=k·+b，特殊地，點(diǎn)P〔x0，y0〕關(guān)于直線x=a的對稱點(diǎn)為P′〔2a－x0，y0〕；點(diǎn)P〔x0，y0〕關(guān)于直線y=b的對稱點(diǎn)為P′〔x0，2b－y02.線線對稱〔轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線對稱〕設(shè)關(guān)于對稱直線為假設(shè)與平行，那么與也平行，且到的距離相等，利用平行線間距離公式求得。假設(shè)與相交，先求出交點(diǎn)P，再在上任取一點(diǎn)Q〔異于交點(diǎn)〕，利用點(diǎn)線對稱求出對稱點(diǎn)Q'，那么Q'在上，由P、Q'求出的方程。二、圓的方程.1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：.注：特殊圓的方程：①與軸相切的圓方程②與軸相切的圓方程③與軸軸都相切的圓方程3.圓的一般方程：.當(dāng)時，方程表示一個圓，其中圓心，半徑.4.為直徑端點(diǎn)的圓方程5.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)及圓.①在圓內(nèi)②在圓上③在圓外6.直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)圓圓：；直線：；圓心到直線的距離.①時，與相切；②時，與相交；③時，與相離.由代數(shù)特征判斷：方程組用代入法，得關(guān)于〔或〕的一元二次方程，其判別式為，那么：與相切；與相交；與相離.注：假設(shè)兩圓為同心圓那么，相減，不表示直線.6.圓的切線與弦長：〔1〕過點(diǎn)(x0,y0)圓的切線方程：首先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系①假設(shè)點(diǎn)(x0,y0)在圓上，利用半徑與切線的垂直關(guān)系求解特別地，過圓上一點(diǎn)的切線方程為.②假設(shè)點(diǎn)(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)那么，聯(lián)立求出切線方程.提醒：假設(shè)求出一條，那么的考慮〔斜率不存在的情況〕注意：從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運(yùn)用幾何方法〔抓住圓心到直線的距離等于半徑〕來求；〔2〕切線長：過圓〕外一點(diǎn)所引圓的切線的長為〔注意：是點(diǎn)到圓心的距離〕〔3〕弦長問題：圓的弦長的計算：常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解：；7、圓與圓的位置關(guān)系〔用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷〕：兩圓的圓心分別為，半徑分別為，那么〔1〕當(dāng)時，兩圓外離；〔2〕當(dāng)時，兩圓外切；〔3〕當(dāng)時，兩圓相交；〔4〕當(dāng)時，兩圓內(nèi)切；〔5〕當(dāng)時，兩圓內(nèi)含。三、求曲線方程〔1〕直接法：建系設(shè)點(diǎn)，列式表標(biāo),簡化檢驗;2〕相關(guān)點(diǎn)法;3〕定義法，4〕待定系數(shù)法.注意：求曲線方程式充分利用圖形本身的幾何關(guān)系，如垂直關(guān)系，得到兩線的斜率之積等于—1四、重要公式與結(jié)論1.〔平面上〕兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：.特殊地：點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O的距離：〔空間中〕兩點(diǎn)P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)的距離公式特殊地：點(diǎn)P(x,y,z)到原點(diǎn)O的距離2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：1〕兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為2〕兩點(diǎn)P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為3直線系方程1〕.與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(m?R,C≠m).2〕.與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(m?R)3〕.過定點(diǎn)〔x1,y1〕的直線系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全為0)4〕.過直線l1、l2交點(diǎn)的直線系方程：〔A1x+B1y+C1〕+λ(A2x+B2y+C2〕=0(λ?R〕注：該線系不含l2.4,圓系方程〔1〕設(shè)圓C1∶和圓C2∶．假設(shè)兩圓相交，那么過交點(diǎn)的圓系方程為+λ〔〕=0(λ為參數(shù)，圓系中不包括圓C2，λ=-1為兩圓的公共弦所在直線方程)．〔2〕公共弦方程：設(shè)圓C1∶和圓C2∶．假設(shè)兩圓相交，那么其公共弦方程為.5,三角形的有關(guān)知識點(diǎn)〔注意與直線問題的聯(lián)系〕重心———三角形重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)〔重心將中線分為二比一〕垂心———三角形垂心是三角形三邊中線的交點(diǎn)附：典型例題〔1〕直線，不管怎樣變化恒過點(diǎn)______〔答：〕；〔2〕直線，不管怎樣變化恒過點(diǎn)______〔3〕設(shè)直線和，當(dāng)＝_______時∥；當(dāng)＝________時；當(dāng)_________時與相交；當(dāng)＝_________時與重合〔答：－1；；3