圓錐曲線上存在相異兩點關(guān)于某直線軸對稱的充要條件

圓錐曲線上存在相異兩點關(guān)于某直線軸對稱的充要條件定理1橢圓上存在相異兩點關(guān)于直線對稱的充要條件是，且此時還有與異號或均為0，與異號或均為0.定理2(1)雙曲線的同一支上存在相異兩點關(guān)于直線對稱的充要條件是且，且此時還有與異號或均為0，與同號或均為0；(2)雙曲線的不同支上存在相異兩點關(guān)于直線對稱的充要條件是且R，且此時還有與異號或均為0，與同號或均為0.定理3拋物線上存在相異兩點關(guān)于直線對稱的充要條件是，且此時還有與異號或均為0，與異號或均為0.下面給出這三個定理的簡潔常規(guī)的證明(對于定理1,3，以下證法還給出了兩種關(guān)于充要條件的結(jié)論的證明).在以下證明中，設線段的中點為，得；再由點在直線上可得.定理1的證明得，作差整理后可得再由，可得線段的中點為.由點差法可知，橢圓內(nèi)非中心的任意一點都是該橢圓唯一一條弦的中點，橢圓的中心是該橢圓過中心的任意一條弦的中點，所以所求充要條件即點在橢圓內(nèi)，可得所求充要條件是.(注：因為過橢圓內(nèi)的點作直線一定與該橢圓交于相異兩點，所以以上證明中無須驗證“直線與橢圓有兩個不同的交點”.)在該證明中已得的中點，所以直線即，把它與橢圓的方程聯(lián)立后，可得關(guān)于的一元二次方程由其判別式，也可得所求充要條件是.且還可得與異號或均為0.把直線與橢圓的方程聯(lián)立后，還可得關(guān)于的一元二次方程由其判別式，又可得所求充要條件是.且還可得與異號或均為0.定理2的證明由點差法可求得線段的中點為，直線即，把它與雙曲線的方程聯(lián)立后，可得關(guān)于的一元二次方程由其判別式，得進而可得相應結(jié)論成立.把直線與雙曲線的方程聯(lián)立后，還可得關(guān)于的一元二次方程進而也可得相應結(jié)論成立.定理3的證明由點差法可求得線段的中點為.由點差法可知，拋物線內(nèi)的任意一點都是該拋物線唯一一條弦的中點，所以所求充要條件即點在拋物線內(nèi)(即含焦點的區(qū)域)，可得欲證成立.(注：因為過拋物線內(nèi)的點作直線一定與該拋物線交于相異兩點(因為在中是的二次式，在中是的一次式，所以兩者一定有公共點但又不會相切，所以相交)，所以以上證明中無須驗證“直線與拋物線有兩個不同的交點”.)在該證明中已得的中點，所以直線即，把它與雙曲線的方程聯(lián)立后，可得關(guān)于的一元二次方程進而可得相應結(jié)論成立.把直線與拋物線的方程聯(lián)立后，還可得關(guān)于的一元二次方程……也可得相應結(jié)論成立.下面再舉例說明以上結(jié)論及其證法的應用.題1若橢圓上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，求的取值范圍，并證明.解法1顯然.用點差法可求得線段的中點，直線.題意即方程組有兩組不同的解，也即關(guān)于的一元二次方程有兩個不同的實數(shù)解，進而可求得的取值范圍是.再由定理1可得.解法2同解法1得線段的中點.由點差法知，橢圓內(nèi)任一點都是唯一一條弦的中點(但橢圓的中心是經(jīng)過它的任意弦的中心)，所以題意即點在橢圓內(nèi)，得……而后再同解法1.題2若拋物線上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，求的取值范圍，并證明.解法1顯然.用點差法可求得線段的中點，直線.題意即方程組有兩組不同的解，也即關(guān)于的一元二次方程有兩個不同的實數(shù)解，可求得的取值范圍是.再由定理3可得.解法2同解法1得線段的中點.由點差法知，拋物線內(nèi)任一點都是唯一一條弦的中點，所以題意即點在拋物線內(nèi)，得……而后再同解法1.題3若雙曲線上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，求的取值范圍，并證明.解用點差法可求得線段的中點，直線.題意即方程組有兩組不同的解，也即關(guān)于的一元二次方程有兩個不同的實數(shù)解，可求得的取值范圍是.再由定理2可得.題4若雙曲線上存在兩點關(guān)于直線對稱，求的取值范圍，并證明或.解用點差法可求得線段的中點，直線.題意即方程組有兩組不同的解，也即關(guān)于的一元二次方程有兩個不同的實數(shù)解，易得的取值范圍是R.再由定理2可得或.題5若雙曲線上存在兩點關(guān)于直線對稱，求的取值范圍，并證明.解易知，用點差法可求得線段的中點，直線.題意即方程組有兩組不同的解，也即關(guān)于的一元二次方程有兩個不同的實數(shù)解，易得的取值范圍是.再由定理2可得.題6已知雙曲線上存在兩點關(guān)于直線對稱，求的取值范圍，并證明.解易知.由點差法可得，直線.題意即方程組有兩組不同的解，也即關(guān)于的一元二次方程有兩個不同的實數(shù)解，由，得所以所求的取值范圍是.再由定理2可得.題7(2010年高考安徽卷理科第19題)如圖1所示，已知橢圓E經(jīng)過點A(2,3)，對稱軸為坐標軸，焦點在x軸上，離心率.圖1(1)求橢圓E的方程；(2)求的角平分線所在直線l的方程；(3)在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l(筆者注：這里的直線l見第(2)問)對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由.解(1).(2)可求得直線的方程分別為.設直線l上的任一點是，可得，即或.再由直線l的斜率為正數(shù)，得直線l的方程為.(3)由定理1可知，在橢圓E上不存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點.題8(2015年高考浙江卷理科第19題)如圖2所示，已知橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1上兩個不同的點A，B關(guān)于直線y＝mx＋eq\f(1,2)對稱．(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)求△AOB面積的最大值(O為坐標原點)．圖2解(1)由題意知m≠0，再由定理1可求得答案為.(2)令t＝eq\f(1,m)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),2)))，得|AB|＝eq\r(t2＋1)·eq\f(\r(－2t4＋2t2＋\f(3,2)),t2＋\f(1,2))，且O到直線AB的距離d＝eq\f(t2＋\f(1,2),\r(t2＋1)).設△AOB的面積為S(t)，得S(t)＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\r(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(1,2)))\s\up12(2)＋2)≤eq\f(\r(2),2)(當且僅當t2＝eq\f(1,2)時等號成立)．所以△AOB面積的最大值為eq\f(\r(2),2).(2)可設直線AB的方程為y＝－eq\f(1,m)x＋b.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝－\f(1,m)x＋b，))消去y，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,m2)))x2－eq\f(2b,m)x＋b2－1＝0.令t＝eq\f(1,m)，得t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),2)))，可求得|AB|＝eq\r(t2＋1)·eq\f(\r(－2t4＋2t2＋\f(3,2)),t2＋\f(1,2)).且點O到直線AB的距離d＝eq\f(t2＋\f(1,2),\r(t2＋1))..設△AOB的面積為S(t)，得S(t)＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\r(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(1,2)))\s\up12(2)＋2)≤eq\f(\r(2),2)(當且僅當t2＝eq\f(1,2)時，等號成立)即△AOB面積的最大值為eq\f(\r(2),2).題9(2016年高考江蘇卷理科第19題)如圖所示