2023-2024學(xué)年北京順義區(qū)楊鎮(zhèn)一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京順義楊鎮(zhèn)一中高二（上）期中數(shù)學(xué)一?選擇題，10小題，每題4分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.3x?y?1=01.直線A.的傾斜角為（）B.60C.120D.150中，角以為始邊，它的終邊經(jīng)過點(3)，則=（）2.在平面直角坐標(biāo)系443434A.?B.C.?D.55ABCD?ABCDBC與EF13.如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線1111所成的角的大小為（）A.30B.45C.90D.4.已知平面(??)2的法向量為(?1,2,k)，若∥，則k=（的法向量為，平面）A.-2B.-1C.1D.2BC0++C=05.如果0，，那么直線不經(jīng)過的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限+y2?2x+4y?4=0和圓P的方程為x2+(y?2=4，兩圓的位置關(guān)系為6.已知圓C的方程為x2（）A.內(nèi)切B.相交C.相離D.外切x+(+)?=m2y10+3y?1=0m平行，則的值為（7.已知直線與直線）A.3?B.1C.1或3D.1或38.已知三棱錐O?ABC，點MN分別為AB，OC的中點，且OAa=，=b，=c，用a，b，c表示，則等于（）1212))a+b?cc?a?b))A.C.b+c?aa?b+cB.D.12129.如圖，已知一艘停在海面上的海監(jiān)船O上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.這艘輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到的時長為（）A.1小時10.如圖所示,該曲線W是由4個圓:(x?部分所構(gòu)成,則下列敘述錯誤的是（B.0.75小時C.0.5小時D.0.25小時2+y=1,(x+22+y2=1,x2+(y+2=1,2+(yx?2=1的一）A.曲線W圍成的封閉圖形面積為42π+B.若圓C.x2+y2=r2(r0)與曲線W有4個交點,則=2或2rBD與的公切線方程為xy1+??2=0D.曲線上的點到直線xy5210的距離的最小值為+++=3二?填空題，共5小題，每小題5分，共25分.()，()，=的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為．A2,3B4,5,9ACAB，則已知________________3(0)和0)，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為10的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為12.橢圓的焦點坐標(biāo)為________.l:ax2y+4=l:xa3ya0?+(?)+=.13.已知直線12（1）當(dāng)a=4時，兩直線1,l的交點P的坐標(biāo)為__________.2l⊥l,a（2）若直線14.已知集合的值為__________.12B=(x,y)y=x+，，若集合AB中有2個元素，則實數(shù)bA=()=x,yx1y2?的取值范圍是______ABCD?ABCD中，點P是線段ACE在線段115.如圖，在棱長為4的正方體1111BD上，且DE=BD，給出下列四個結(jié)論：111114PBD∥平面1BD①存在點P，使得平面；11PB1D②存在點P，使得是等腰直角三角形；1③若5，則點P軌跡的長度為27；13=PB1DABCD?ABCD1④當(dāng)時，則平面截正方體所得截面圖形的面積為18．1111其中所有正確結(jié)論的序號是______．三?解答題，6小題，共85分，解答題應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.π16.已知函數(shù)f(x)=sin(x+).3（1）寫出f(x)的最小正周期；π（2）求f(x)在區(qū)間[0,]上的最大值及相應(yīng)的值.x2()?(??)?()A3,0B3C17.已知的頂點坐標(biāo)為.（1）求直線BC的方程；（2）求的面積.ABCD?ABCD的中點．118.如圖，在棱長為2的正方體中，點M為線段1111AC⊥（1）求證：；111A夾角的余弦值；1（2）求平面與平面1（3）求點D到平面19.已知圓C的方程為：的距離．1x2+y?2x?4y+1=0.2（1）求過點()的圓的切線方程；M1,4C（2）過點P(4)的直線l被圓C所截得的弦長為23，求直線l的方程.20.在梯形ABCD中，ABCD,BAD60,AB2ADCDPAB====為的中點，線段與DP交于O點，將沿折起到△ACD的位置，使得平面ACB⊥平面ACD.（1）求證：BC平面POD；6（2）線段PD上是否存在點Q，使得CQ與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的8值；若不存在，請說明理由.()的點的mm1,B21.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值軌跡是圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(?),B1).P滿足=2，設(shè)點P的軌跡為圓M，點M為圓心，（1）求圓M的方程；l:x+y+5=0上的一個動點，過點Q1E,F，求四（2）若點Q是直線作圓的兩條切線，切點分別為M邊形QEMF的面積的最小值；(+)+(+)ab1ba1l:ax+by?1=0(ab0)2（3）若直線始終平分圓M的面積，寫出的最小值.ab參考答案一?選擇題，10小題，每題4分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】B【分析】首先將直線方程化為斜截式，即可求出斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可得解.【詳解】直線l的方程為3xy10，即??=y=3x?1，3，設(shè)傾斜角為所以直線的斜率k=，則=30180，因為，所以=60.故選：B.2.【答案】B【分析】由任意角的三角函數(shù)的定義即可求得結(jié)果.【詳解】解：角以為始邊，終邊經(jīng)過點(3)，445cos==.42+32故選：B.3.【答案】C【分析】利用線線平行，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，在三角形中求解即可.AB1BC//AD,11【詳解】如圖，連接DB，，則，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，DB∥，1BC與EF所成的角，且1是異面直線是等邊三角形，1DB=60.故選：C.4.【答案】C【分析】根據(jù)題意得兩平面的法向量平行，從而得到m=tn，進而求出結(jié)果.2=?tk=1m2=(??)n=(1,2,k)與=?4=t?2=kt，解得：.【詳解】由題意得：平行，故mtn，即t=?2故選：C5.【答案】AACBy=?x?.【分析】將直線化為，結(jié)合已知條件即可判斷不經(jīng)過的象限BACBy=?x?0，BC0，【詳解】由題設(shè)，直線可寫成，又BABCB?0?0，故直線過二、三、四象限，不過第一象限.∴，故選：A.6.【答案】B【分析】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程,找到圓心之間的距離和半徑之間的關(guān)系即可判斷圓與圓的位置關(guān)系.x2+y2?2x+4y?4=0可化為,【詳解】由題知(?)x12y2+(+)2=9,所以圓心為半徑為3,x2+(y?2=4,圓心為(),2,(?)+(?(?))=10,22所以圓心之間的距離為0112因為圓心距大于半徑差的絕對值,小于半徑和,所以兩圓相交.故選:B.7.【答案】Amm+2?13=0【分析】利用兩直線平行即可得()m=1時兩直線重合，即可得m=?3.，又因為mm+2?13=0【詳解】根據(jù)題意，由兩直線平行可得()，即m22m?3=0，+解得m=1或m=?3；經(jīng)檢驗m=1時，兩直線重合，不合題意；所以m=?3.故選：A8.【答案】D【分析】運用向量的線性運算即可求得結(jié)果．【詳解】因為OA=a，=b，=c，()()=ON?OM==OC?OA+OB=c?b?a.所以222故選：D.9.【答案】C【分析】以O(shè)為原點，東西方向為軸建立直角坐標(biāo)系，求出直線與圓的方程，計算圓心到直線的距離和x半徑比較，可知這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到；計算弦長，可求得持續(xù)時間為多長．【詳解】如圖，以O(shè)為原點，東西方向為軸建立直角坐標(biāo)系,x(40,0)B(0,30)，圓O，x2+y=25，2則方程xy+=1，即3x+4y?120=0|120|直線AB方程：，4030設(shè)O到AB距離為d，則d==2425，5所以外籍輪船能被海監(jiān)船檢測到，2252?2421t==設(shè)監(jiān)測時間為，則t282外籍輪船能被海監(jiān)船檢測到的時間是0.5.故選：C.10.【答案】D【分析】對于A,將曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為1的相同的半圓構(gòu)y=+tkt0),根據(jù)直線和圓(成計算即可;對于B,結(jié)合圖像分情況討論即可;對于C,設(shè)公切線方程為相切的條件列出方程求解即可得到結(jié)果;對于根據(jù)選項C中的方法,求得,的公切線方程,再利用兩條平行線間的距離公式計算即可.【詳解】曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為1的相同的半圓構(gòu)成,所以其面積為22+2π1=+242π故正確;,A當(dāng)r=2時,交點為B,D,F,H;當(dāng)r2時,交點為A,CE,G;當(dāng)0r=2或r2時,沒有交點;當(dāng)2r2時,交點個數(shù)為8個,故B;y=+tkt0(),設(shè)BD與的公切線方程為t?11+kk+t1+k=1=由直線和圓相切的條件可得,22解得k=1,t=1+2(1?2舍去)，則其公切線方程為y=?x+1+2,即x+y?2?1=0,故C正確;,的公切線方程為x+y+1+2=0,同理可得52+1?1?2則兩平行線的距離為d=故選:D.=4,故D錯誤.2二?填空題，共5小題，每小題5分，共25分..(5)2)【答案】①.【分析】由空間向量坐標(biāo)運算公式計算即可.【詳解】∵()，()，B4,5,9A2,3AC=(3,3,6)，∴∴=AB=3,3,6)=2)，33故的坐標(biāo)為2).∵原點()O0,0,0AC=+=2,3)+2)=(5)，∴=()2,3,5.∴點C的坐標(biāo)為OC故答案為：2)；(2,3,5).x2y212.【答案】+=12516【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義求出橢圓方程作答.【詳解】依題意，橢圓長軸長2a=10，則a=5，而橢圓半焦距c=3，因此橢圓短半軸長b=a2?c2=52?3=4，2x2y2+=1.所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是2516x2y2+=1故答案為：2516(??2)13.【答案】①..6【分析】把a=4代入，再解方程組求出交點坐標(biāo)；利用直線垂直的充要條件列式計算即得.2x?y+2=0x=?2y=?2【詳解】當(dāng)a=4時，直線l,ll:2x?y+2=l:x+y+4=0，由，解得，12x+y+4=0所以直線的交點P的坐標(biāo)為a?2(a?=0(??2)；12l⊥la=6，由，得2，解得1a所以的值為故答案為：(??2)；614.【答案】?2,【分析】首先分析集合A、B的元素特征，再數(shù)形結(jié)合求出參數(shù)b的取值范圍.=1x0()，22【詳解】解：由x=1?y2，則x0，所以x+yA=x,yx=1?y()2表示以(0)為圓心，為半徑的圓在軸及右側(cè)部分的點集，y所以集合1()B=x,yy=x+by=x+b上的點集，表示直線集合A與集合B都是點集，集合AB中有2個元素，bd==1，解得b=2，2由2+(?)1(.b?2,?1由圖可知?2b?1，即故答案為：?2,15.【答案】①③④【分析】①利用面面平行的判定定理求解，②利用空間直角坐標(biāo)系求解，③分析點P在上運動時PEPB1DABCD?ABCD截面即可求解.1111的變化情況即可求解，④根據(jù)圖中的幾何關(guān)系作出平面截正方體1PBD∥平面1BD【詳解】對于①，當(dāng)點P和點A重合時，平面，11ACBD于點OBD于點OCDCBCO,,,,1111連接交，連接交，連接11111CPOOC=AO,∴四邊形1平行四邊形，∴11P∥O,∵∥,且∥111∵1P平面1BD，O平面1BD，∴1P∥1BD，BD平面1BD1BDBD1BD，∴∥11∵BD∥,，BD平面,1111BDBDPB1DPBD∥平面1BD，∴；11又∵,,平面1111111故①正確；,DC,DDxyz所在的直線為軸，軸，軸，對于②，分別以由幾何關(guān)系可知1PD1=PBPB1D1⊥是等腰直角三角形，則,1，要使11(),(1)(?)，D0,0,4B4,4,4P4a,a,0=(a??a,4)，PB1=(a,4?a,4)由已知得,1PD則，1∵PDPB=0，∴a2?+=1D4a80，此方程無解，則不存在點，使得是等腰直角三角形，故1P11②不正確；1DE=BD=2()()()E4,A4,0,0,C4,0,對于③，因為，則1114即EAEC==265則軌跡是在,P上的線段，不包括端點A、C，如下圖所示，325，隨著P向點C由已知得△為等腰三角形，則△底邊上的高EH=運動，EP逐漸減小，故在線段AH上存在一點P使得=5，同理可知靠近點C處也存在一點P使得=5，設(shè)線段PE=5，由勾股定理可知=7,所以點P軌跡的長度為27，故③正確；AB,ADM,NBM,DN,連接,11對于④，連接,過點P作的平行線交于點MND1BPB1DABCD?ABCD截正方體所得的截面圖形，1111則為平面111AP=AC=2,由△AMN由已知得∽△ABD可知=22，4又因為=ND=25,且MNBD,∥所以四邊形MND1B為等腰梯形，111111()22+4232=18其中梯形的高h(yuǎn)=32，所以截面面積為，故④正確；2故答案為：①③④三?解答題，6小題，共85分，解答題應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.1）2π；πx=.（2）最大值為1，6）根據(jù)給定的函數(shù)式，利用正弦函數(shù)的周期公式計算即可.（2）求出相位的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即得.【小問1π2πf(x)=sin(x+)的周期T==2π.函數(shù)31【小問2πππ5ππππx]x+[,]，因此當(dāng)x+=x=f(x)=1，時，當(dāng)時，，即2336326ππ所以f(x)在區(qū)間[0,]上的最大值是1，對應(yīng)x=.262x?y?1=017.1）（2）5.;）求出直線BC的斜率，進而求出BC邊的方程.（2）求出直線BC的方程，由點到直線的距離求解三角形的高，進而求出面積.【小問111?(?3)?(?)=2?=(?)y12x1直線BC的斜率為，因此BC邊上的直線方程為，所以BC邊上的直線方程2x?y?1=0為：.【小問22x?y?1=0直線BC的方程為，32?0?1d==511=(??)2+(??)31=25，2于是點A到直線BC的距離為：，而BC22+211所以的面積S=BCd=255=5.2218.1）證明見解析2（2）（3）3431（23）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【小問1A?證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系．ABCD?ABCD的中點，1因為正方體的棱長為2，M是1111所以()()()()()()()，()．C2,2,2A0,0,0,C2,0,D2,0,M0,1,D0,2,2,A0,0,2,B2,0,0111AC2,BC=(?)=(2)，所以所以11=++(?)=AC2022220AC⊥，所以，即11AC⊥；1111【小問2)=(?)解：由（1=(2,1,1．1=()設(shè)平面的法向量為ux,y,z，1n+z=0y=1=2，所以=(??)，2z=?2xu則，令，則，n=2x+2y?z=01An=1,0,0)，顯然平面的法向量可以為11A1夾角為cos=設(shè)平面與平面，所以，1nu321A所以平面與平面夾角的余弦值為.113【小問3=(1D2?)，設(shè)點D到平面的距離為d，1解：因為1D4d=的距離為1則，故點D到平面.33uy=419.1）；（2）3x+4y?16=0或x=0.）由題意得點M在圓C上，由切線與過切點的半徑垂直可得切線方程；（2）求出圓心到直線的距離，利用點到直線距離公式求解，注意分類討論.【小問1(x?2+(y?2)2=4，圓心為C2)，半徑為r=2，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是MC=2知點M在圓Cy=4與軸垂直，因此切線方程是；MCx由上，且【小問2由題意圓心C到直線l的距離為d=2因此直線x=0滿足題意，2?(3)2=1，k?2+434y=+4d==1解得k=?再設(shè)直線l的斜率存在時的方程為，由，1+k23y=?x+43x4y16=0+?直線l的方程為，即，4綜上，直線l方程為3x+4y?16=0或x=020.1）證明見解析.PQ13=（2）存在，PD）根據(jù)菱形和中位線的性質(zhì)得到OP∥BC，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（2）根據(jù)面面垂直和菱形的性質(zhì)得到，OA，OP兩兩垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間6向量和CQ與平面BCD所成角的正弦值為列方程，解方程得到即可.8【小問1在梯形ABCD中連接CP，因為CD，=，P為AB中點，所以AP=AD=CD，，所以四邊形APCD為菱形，所以O(shè)是中點，又P為AB中點，所以O(shè)P∥BC，POD，因為平面平面POD，所以BC∥平面POD.【小問2因為四邊形APCD為菱形，所以AC⊥OP，⊥，即⊥，因為平面ACB⊥平面ACD，平面ACB平面ACD=，OD平面ACD，所以O(shè)D平面，⊥因為,平面，所以O(shè)D⊥，OD⊥OP，所以，OA，OP兩兩垂直，則以O(shè)為原點，分別以,OP,OD為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為BAD=60，所以O(shè)AOC==3，OD=OP=1，?3,0,0)(B?)()，()，，PD=(?1)，BC=(0)，3,2,0，P0D0,1C()(0)，=3,，CP=?設(shè)PQ()PD==(?)，則CQ=CP+=3,1?,，,m=(x,y,z)，設(shè)平面的法向量為?2y0=mx=3y=0z=?3，則，