專題3.9 一元一次方程章末八大題型總結（拔尖篇）（人教版）（解析版）2023-2024學年七年級數(shù)學上冊舉一反三系列（人教版）

第第頁專題3.9一元一次方程章末八大題型總結（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1解含參數(shù)的一元一次方程】 1【題型2換元法、整體代入法解一元一次方程】 3【題型3解含絕對值的一元一次方程】 5【題型4利用一元一次方程解決規(guī)律問題】 8【題型5一元一次方程中的動點問題】 13【題型6一元一次方程中的數(shù)形結合問題】 17【題型7一元一次方程的新定義問題】 24【題型8一元一次方程的應用】 30【題型1解含參數(shù)的一元一次方程】【例1】已知關于x的一元一次方程x2023+a=2023x的解是x=2022，關于y的一元一次方程b2023+2023c=?a的解是y=?2021（其中b和c是含有y的代數(shù)式），則下列結論符合條件的是（

）A．b=?y?1,c=y+1 B．b=1?y,c=y?1C．b=y+1,c=?y?1 D．b=y?1,c=1?y【答案】B【分析】根據(jù)x=2022，y=?2021得到x=1?y，得到1?y2023+2023y?1=?a的解為【詳解】∵x=2022，y=?2021得到x=1?y，∴1?y2023+2023y?1∵方程b2023+2023c=?a的解是∴b=1?y,c=y?1，故選B．【點睛】本題考查了一元一次方程的解即使得方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，正確理解定義是解題的關鍵．【變式1-1】已知關于x的方程kx?2x=5的解為正整數(shù)，則整數(shù)k的值為．【答案】3或7．【分析】解方程用含有k的式子表示x，再根據(jù)5除以幾得正整數(shù)，求出整數(shù)k．【詳解】解：kx?2x=5，解得，x=5∵k為整數(shù)，關于x的方程kx?2x=5的解為正整數(shù)，∴k-2=1或k-2=5，解得，k=3或k=7，故答案為：3或7．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，解題關鍵是根據(jù)方程的解為正整數(shù)，k為整數(shù)，確定未知數(shù)的系數(shù)的值．【變式1-2】已知a，b為定值，且無論k為何值，關于x的方程kx?a3=1?2x+bk2的解總是x【答案】?4【分析】根據(jù)一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成關于a、b的形式，然后根據(jù)方程的解與k無關分別列出方程求解即可．【詳解】解：方程兩邊都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk），∴2kx-2a=6-6x-3bk，整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，∵無論k為何值，方程的解總是2，∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，解得a=3，b=?4∴ab=3×(?4故答案為：-4．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，根據(jù)方程的解與k無關，則k的系數(shù)為0列出方程是解題的關鍵．【變式1-3】已知關于x的方程x?2?ax6=A．?23 B．23 C．?34 D．34【答案】C【分析】先根據(jù)解方程的一般步驟解方程，再根據(jù)非負數(shù)的定義將a的值算出，最后相加即可得出答案．【詳解】解：x?去分母，得6x?去括號，得6x?2+ax=2x?12移項、合并同類項，得4+a將系數(shù)化為1，得x=?∵x=?10∴a=?5或?6，?9，?14時，x的解都是非負整數(shù)則?5+故選C．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，熟練掌握解方程的一般步驟是解題的關鍵．【題型2整體代入法解一元一次方程】【例2】已知關于x的一元一次方程12020x+3=2x+b的解為x=2，那么關于的y一元一次方程12020【答案】y=3．【分析】將方程12020x+3=2x+b變形為12020(y?1)+3=2(y?1)+b，在根據(jù)方程12020【詳解】解：將關于y的一元一次方程12020(y?1)=2y+b?5變形為即12020∵一元一次方程12020∴x=y?1，∵x=2，∴2=y?1，∴y=3．故答案為：y=3．【點睛】本題考查了換元法解一元一次方程，將關于y的一元一次方程12020(y?1)=2y+b?5變形為【變式2-1】在解一元一次方程時，巧妙利用整體法，可以達到簡化計算的效果．例如，在解方程32x?1?3(2x?1)+3=5令a=2x?1，得：3a?(3a+3)去括號，得：3a?9a?9=5，合并同類項，得：?6a=14，系數(shù)化為1，得：a=?7故2x?1=?73，解得閱讀以上材料，請用同樣的方法解方程：4【答案】x=13【分析】把x+2看作一個整體，再按照解一元一次方程的方法求解即可．【詳解】解：令a=x+2，則2a=2x+4，原方程得：42a?(去括號，得：4a-20=1，移項，得：4a=21，系數(shù)化為1，得：a=214故x+2=214解得x=134【點睛】本題考查了解一元一次方程，能正確換元是解此題的關鍵．【變式2-2】在解方程3x+1?13x?1=2x?1(1)7x+3(2)52x+3【答案】(1)x(2)x=?【分析】（1）將x+3看成一個整體，移項、合并同類項、系數(shù)化成1即可．（2）將2x+3、x?2分別看成一個整體，移項、合并同類項、系數(shù)化成1即可．【詳解】（1）移項，得7x+3整體合并，得10x+3即x+3=2，解得x=（2）52x+3移項、合并同類項得112去分母，得222x+3去括號，得44x+66=11x?22，移項、合并同類項，得33x=?88，解得x=?8【點睛】本題考查了解一元一次方程的應用，解決本題的關鍵是要注意用了整體代入思想．【變式2-3】當x＝1時，式子ax3+bx+1的值是2，則方程ax+12【答案】x＝1【分析】把x＝1代入代數(shù)式，使其值為2，求出a+b的值，方程變形后代入計算即可求出解．【詳解】解：把x＝1代入得：a+b+1＝2，即a+b＝1，方程去分母得：2ax+2+2bx﹣3＝x，整理得：（2a+2b﹣1）x＝1，即[2（a+b）﹣1]x＝1，把a+b＝1代入得：x＝1．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，以及代數(shù)式求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【題型3解含絕對值的一元一次方程】【例3】若關于x的方程x?2?1=a有三個整數(shù)解，則a的值是(A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)絕對值的性質可得|x?2|?1=±a,然后討論x≥2及x<2的情況下解的情況，再根據(jù)方程有三個整數(shù)解可得出a的值．【詳解】解：①若|x?2|?1=a,當x≥2時，x?2?1=a,解得：x=a+3，a≥?1；當x<2時，2?x?1=a,解得：x=1?a；a>?1；②若|x?2|?1=?a,當x≥2時，x?2?1=?a,解得：x=?a+3，a≤1；當x<2時，2?x?1=?a,解得：x=a+1，a<1；又∵方程有三個整數(shù)解，∴可得：a=?1或1，根據(jù)絕對值的非負性可得：a≥0．即a只能取1．故選：B．【點睛】本題考查含絕對值的一元一次方程，難度較大，掌握絕對值的性質及不等式的解集的求法是關鍵．【變式3-1】方程x?3x+1=2的解為x=【答案】12或【分析】由絕對值的性質可得出3x+1=x±2，從而可分類討論：①當3x+1=x?2時和②當3x+1=x+2時，再根據(jù)方程有意義可得出【詳解】解：∵x?3x+1∴x?3x+1∴3x+1=x±2分類討論：①當3x+1=x?2時∵方程有意義，∴x?2≥0，解得：x≥2，∴3x+1≥7，∴3x+1=x?2解得，x=?3②當3x+1=x+2時∵方程有意義，∴x+2≥0，解得：x≥?2，∴3x+1=±(x+2)，即3x+1=x+2或3x+1=?x?2，解得：x=12或故答案為：12或?【點睛】本題考查絕對值的性質，解一元一次方程．根據(jù)絕對值的性質去絕對值是解題關鍵．【變式3-2】設y1=2+x，y2=2?x，當【答案】?2≤x≤0【分析】根據(jù)題意，得到2+x=2?x，即【詳解】解：∵y1=2+x，y∴2+x=2?x，即當x≤?2時，2+x<0,x<0，則?2+x?x=2，即2x=?4，解得當?2<x<0時，2+x>0,x<0，則2+x?x=2恒成立，即?2<x<0；當x≥0時，2+x>0,x≥0，則2+x+x=2，即2x=0，解得x=0；綜上所述，當y1=y2時，故答案為：?2≤x≤0．【點睛】本題考查含絕對值方程的解法，熟記絕對值的代數(shù)意義去絕對值是解決問題的關鍵．【變式3-3】解方程：|3x+1|?|1?x|=2．【答案】?13?x<1時，x=1【分析】令3x+1=0，1?x=0，得x=?13，x=1，根據(jù)這兩個數(shù)進行分段，去絕對值符號求【詳解】解：①當x?1時，3x+1+1?x=2，x=0，不存在；②當?13?x<1時，3x+1+x?1=2③當x<?13時，?3x?1?1+x=2，∴|3x+1|?|1?x|=2的解是?13?x<1時，x=12【點睛】本題主要考查了含絕對值符號的一元一次方程的解法，解題的方法是令每個絕對值部分為0，將x的值分段去絕對值解方程．【題型4利用一元一次方程解決規(guī)律問題】【例4】如圖，某鏈條每節(jié)長為2.8cm，每兩節(jié)鏈條相連接部分重疊的圓的直徑為1

(1)2節(jié)鏈條的總長度為______cm；3節(jié)鏈條的總長度為______cm；4節(jié)鏈條的總長度為______cm；(2)根據(jù)上述規(guī)律，n節(jié)鏈條的總長度為多少cm；（用含n的式子表示，不用說理）(3)一根鏈條的總長度能否為73cm【答案】(1)4.66.4；8.2(2)1.8n+1(3)能，由40節(jié)組成【分析】（1）結合圖形計算即可；（2）根據(jù)（1）中規(guī)律求解即可；（3）利用（2）中結論列方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：1節(jié)鏈條的長度=2.8cm2節(jié)鏈條的總長度=[2.8+(2.8?1)]=4.6cm3節(jié)鏈條的總長度=[2.8+(2.8?1)×2]=6.4cm4節(jié)鏈條的總長度=[2.8+(2.8?1)×3]=8.2cm故答案為：4.6；6.4；8.2；（2）根據(jù)（1）可得，n節(jié)鏈條的總長度為2.8+2.8?1（3）一根鏈條的總長度可以為73cm設該鏈條由x節(jié)組成，根據(jù)題意得1.8x+1=73，解得x=40，∴總長度為73cm【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類、解一元一次方程，從圖形找規(guī)律是解題的關鍵．【變式4-1】觀察下面有規(guī)律排列的三行數(shù)：

(1)第一行數(shù)中，第7個數(shù)是______，第8個數(shù)是______(2)觀察第二行、第三行數(shù)與第一行數(shù)的關系，解決下列問題：①第二行數(shù)中，第7個數(shù)是______，第三行數(shù)中，第7個數(shù)是______；②取每行數(shù)的第2022個數(shù)，計算這三個數(shù)的和是______；③如圖，在第二行、第三行數(shù)中，用兩個長方形組成“階梯形”方框，框住4個數(shù)，左右移動“階梯形”方框，是否存在框住的4個數(shù)的和為?5118，若存在，求這四個數(shù)中最左邊的數(shù)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)?128，256(2)①?129，258；②1；③1023【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)都是前一個數(shù)乘2得到的，再利用第奇數(shù)個系數(shù)為負求解即可；（2）①根據(jù)第二行的數(shù)比第一行的數(shù)小1，第三行的數(shù)等于第二行的數(shù)乘以?2，即可求解；②根據(jù)第一行的第n個數(shù)為?2n，第二行的數(shù)為?2n?1，第三行的數(shù)為?2③設第二行最左邊的數(shù)為x?1，則其第二個數(shù)為?2x?1，第三行第一個數(shù)為?2?2x?1=4x+2，第二個數(shù)為【詳解】（1）解：由題意可得，第7個數(shù)是?128，第8個數(shù)是256，故答案為：?128，256；（2）解：①由題意可得，∵?128?1=?129，?129×?2∴第二行數(shù)中，第7個數(shù)是?129，第三行數(shù)中，第7個數(shù)是258，故答案為：?129，258；②∵第一行的第n個數(shù)為?2n，第二行的數(shù)為?2n?1∴第一行的第2022個數(shù)為?22022，第二行的第2022個數(shù)為?22022?1∴?2=?2=1，故答案為：1；③設第二行最左邊的數(shù)為x?1，則其第二個數(shù)為?2x?1，第三行第一個數(shù)為?2?2x?1=4x+2，第二個數(shù)為∴x?1+解得x=1024，∴x?1=1023，答：這四個數(shù)中最左邊的數(shù)為1023．【點睛】本題考查數(shù)字規(guī)律型、用字母表示數(shù)、解一元一次方程，觀察數(shù)據(jù)的規(guī)律，弄清數(shù)量關系列方程是解題的關鍵．【變式4-2】如上表，方程①、方程②、方程③、方程④．．．．是按照一定規(guī)律排列的一列方程：序號方程方程的解①2x=?2②2x=0③2x=______④2x=_____………(1)將上表補充完整，(2)按上述方程所包含的某種規(guī)律寫出方程⑤及其解；(3)寫出表內這列方程中的第n（n為正整數(shù)）個方程和它的解．【答案】(1)2，4(2)x=6(3)x=2【分析】（1）求解方程③和④可得解；（2）按照方程根的規(guī)律列出方程即可；（3）先按照規(guī)律列出方程的第n個方程，再求解并檢驗．【詳解】（1）解：第3個方程2x?2?x=?2，∴x=2，第4個方程2x?2?x=?4，∴x=4，故答案為：2，4（2）解：方程①2x?2?3x?1方程②2x?2?3x?2方程③2x?2?3x?3方程④2x?2?3x?4∴方程⑤為2x?2?3x?5（3）由上表可得每個方程的左邊是2項的差，第一項是2x?2，第2項是?3x?n，右邊是n，方程的解為∴第n（n為正整數(shù)）個方程為2x?2?3x?n【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練求解一元一次方程是解題的關鍵．【變式4-3】某旅游景區(qū)走廊的中間部分是用邊長為1米的白色正方形地磚和彩色正方形（圖中陰影部分）地磚鋪成的，圖案如圖所示，根據(jù)圖示排列規(guī)律，解答以下問題．

(1)第4個圖案L4有白色地磚__________塊地磚；第n個圖案Ln有白色地磚__________塊地磚（用含(2)已知L1的長度為3米，L2的長度為5米，…，Ln【答案】(1)15；3n+3(2)3036【分析】（1）由題意知，第1個圖案L1有白色地磚3×2=6塊地磚；第2個圖案L2有白色地磚3×3=9塊地磚；第3個圖案L3有白色地磚3×4=12塊地磚；第4個圖案L4有白色地磚3×5=15塊地磚；??，可推導一般性規(guī)律為：第n個圖案（2）由L1的長度為1+2=3米；L2的長度為2+3=5米；??，可推導一般性規(guī)律：Ln的長度為n+n+1=2n+1米；∴令2n+1=2023，解得，n=1011【詳解】（1）解：由題意知，第1個圖案L1有白色地磚3×2=6第2個圖案L2有白色地磚3×3=9第3個圖案L3有白色地磚3×4=12第4個圖案L4有白色地磚3×5=15??∴可推導一般性規(guī)律為：第n個圖案Ln有白色地磚3故答案為：15；3n+3；（2）解：∵L1的長度為1+2=3L2的長度為2+3=5??，∴可推導一般性規(guī)律：Ln的長度為n+∴令2n+1=2023，解得，n=1011，∴L1011中白色正方形地磚有3n+3=3×1011+3=3036∴圖案Ln【點睛】本題考查了圖形的規(guī)律探究，一元一次方程的應用．解題的關鍵在于根據(jù)題意推導出一般性規(guī)律．【題型5一元一次方程中的動點問題】【例5】如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒2

(1)當點P在AB上時，t=______時，CP把△ABC的周長分成相等的兩部分？(2)當點P在AB上時，t=______時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分？(3)當點P在所有運動過程中，連接PC或PB，求當t為何值時，△BCP的面積為12？【答案】(1)6(2)6.5(3)t為2或6.5秒時，△BCP的面積為12【分析】（1）先求出△ABC的周長為24，所以當CP把△ABC的周長分成相等的兩部分時，點P在AB上，此時CA+AP=BP+BC=12，再根據(jù)時間=路程÷速度即可求解；（2）根據(jù)中線的性質可知，點P在AB中點時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，進而求解即可；（3）分兩種情況：①P在AC上；②P在AB上，根據(jù)三角形面積公式進行計算即可求解．【詳解】（1）解：△ABC中，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴△ABC的周長=8+6+10=24cm∴當CP把△ABC的周長分成相等的兩部分時，點P在AB上，此時CA+AP=BP+BC=12cm∴2t=12，解得t=6．故答案為：6；（2）當點P在AB中點時，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分，此時CA+AP=8+5=13cm∴2t=13，解得t=6.5．故答案為：6.5；（3）解：分兩種情況：①當P在AC上時，

∵△BCP的面積=12，∴12∴CP=4，∴2t=4，則t=2；②當P在AB上時，

∵△BCP的面積=12=△ABC面積的一半，∴P為AB中點，∴2t=13，則t=6.5．故t為2或6.5秒時，△BCP的面積為12．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，三角形的周長與面積，三角形的中線，利用分類討論的思想是解（3）題的關鍵．【變式5-1】如圖，在△ABC中，AB=20?cm，AC=12?cm，點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運動，其2中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，當△APQ是以A為頂角的等腰三角形時，運動的時間是（

A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒【答案】D【分析】根據(jù)AP=AQ即可求解．【詳解】解：設運動時間為t秒時，△APQ是以A為頂角的等腰三角形即AP=AQ∵AP=20?3t,AQ=2t∴20?3t=2t解得：t=4故選：D【點睛】本題考查了一元一次方程的簡單應用．抓住AP=AQ是解題關鍵．【變式5-2】如圖，在長方形ABCD中，AB=CD=4cm，AD=BC=3cm，點E是CD的中點，動點P從A點出發(fā)，點P以每秒1cm的速度沿長方形的邊運動，方向為A→B→C最終到達點C停止，設點P運動的時間為

(1)試用含t的式子表示線段BP的長；(2)求出當t為何值時，三角形AEP的面積等于5cm2【答案】(1)當P在AB上時，BP=當P在BC上時，BP=(2)當t為103或5時，三角形AEP的面積等于【分析】（1）根據(jù)題意及線段的和差分兩種情況求解即可得出答案；（2）分當P在AB上時及當P在BC上時兩種情況分別畫出圖形，利用三角形的面積公式計算即可得出答案．【詳解】（1）解：當P在AB上時，BP=當P在BC上時，BP=（2）解：①當P在AB上時，如圖

∵△APE的面積等于5，∴1解得t=10②當P在BC上時，如圖

∵△APE的面積等于5，∴S即4×3?1解得t=5．當t為103或5時，三角形AEP的面積等于5cm【點睛】本題考查了一元一次方程的應用及列代數(shù)式，熟記三角形的面積公式是解題的關鍵．【變式5-3】如圖，在長方形ABCD中，AD=32cm，AB=15cm．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB，BC向點C運動，速度為3cm/s；動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC向點C運動，速度為2cms，當點P運動到點C時，點

(1)當點P在AB上運動時，用含t的代數(shù)式表示下列線段的長度AP=_________

BQ=_________PB=_________(2)當點P在AB上運動時，t為何值，能使PB=BQ？(3)點P能否追上點Q？如果能，求出t的值：如果不能，說明理由．【答案】(1)3t，2t，15?3t(2)3秒(3)能，15【分析】（1）由動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC向點C運動，速度為2cms，得BQ=2t；由點P從點A出發(fā)在AB上運動，速度為3cm/（2）由點P在AB上運動，且BP=BQ，得15?3t=2t，解方程求出t的值即可；（3）先假設能夠追上列方程，再解方程并檢驗即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得AP=3t，BQ=2t，AB=15cm，AD=BC=32當點P在AB上運動，則BP=15?3t（2）當BP=BQ時，則15?3t=2t，解得t=3，∴當t的值是3時，BP=BQ．（3）假設點P能追上點Q，則有3t?2t=15，解得t=15；當t=15時，3t=45<15+32=47，所以，當t=15，點P能追上點Q．【點睛】本題考查的是列代數(shù)式，一元一次方程的應用，理解題意，列出正確的代數(shù)式與方程是解本題的關鍵．【題型6一元一次方程中的數(shù)形結合問題】【例6】如圖，已知數(shù)軸上A、B兩定點對應的數(shù)是－20，40，動點M、N同時從點A出發(fā)向點B運動，到達點B后折返向點A繼續(xù)運動，其中某點回到點A時，全部停止．（點M的速度為3個單位長度/秒，點N的速度為2個單位長度/秒）

(1)在點M到達B點前，①經過______秒M、N之間間隔6個單位長度：②經過______秒原點剛好位于M、N的最中間；③經過______秒點A到點N的距離剛好等于點B到點M的距離（即BM=AN）；(2)當動點M到達點B后，點N開始改變速度以a個單位長度/秒的速度繼續(xù)運動，4秒后，M、N兩點之間相距4個單位長度，求a的值．【答案】(1)①6；②8；③12(2)a=1或a=3或a=7或a=9．【分析】（1）設運動時間為t，依題意，點M表示的數(shù)為?20+3t，點N表示的數(shù)為?20+2t，①根據(jù)MN=6，列方程，即可求解；②根據(jù)MO=NO，列出一元一次方程，解方程，即可求解；③根據(jù)BM=AN，列出一元一次方程，解方程，即可求解；（2）分情況討論，①當a<5時，點M返回時，4秒后M表示的數(shù)為40?4×3=28，點N表示的數(shù)為20+4a，②當a>5時，則N點到達B點時返回，點M繼續(xù)運動，4秒后M表示的數(shù)為40?4×3=28，點N表示的數(shù)為20+40?4a【詳解】（1）解：設運動時間為t，依題意，點M表示的數(shù)為?20+3t，點N表示的數(shù)為?20+2t，①∵?20+3t>?20+2t∴MN=6時，即?20+3t?解得t=6，故答案為：6．②當原點剛好位于M、N的最中間，即?20+3t=0?解得：t=8故答案為：8．③當BM=AN時，40?解得：t=12，故答案為12；（2）當動點M到達點B后，此時?20+3t=40解得：t=20此時點N表示的數(shù)為?20+2×20=20，

①當M返回時，4秒后M表示的數(shù)為40?4×3=28，點N表示的數(shù)為20+4a，當20+4a<40，即a<5，依題意，20+4a?28=4解得：a=1或a=3；②當a>5時，則N點到達B點時返回，點M繼續(xù)運動，4秒后M表示的數(shù)為40?4×3=28，點N表示的數(shù)為20+依題意，60?4a?28=4解得：a=7或a=9；綜上所述，a=1或a=3或a=7或a=9．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點距離，一元一次方程的應用，數(shù)形結合，分類討論是解題的關鍵．【變式6-1】如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側的一點，且A，B兩點間的距離為10．動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為t(t>0)秒．(1)數(shù)軸上點B表示的數(shù)是________，當t=2s時，點P(2)動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)．求：①當點P運動多少秒時，點P與點Q相遇？②當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？【答案】(1)?4，?6(2)①當點P運動5秒時，點P與點Q相遇；②當點P運動1或9秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離即可解答；（2）①根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離結合行程問題的特點列出方程求解；②根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離結合行程問題的特點列出方程求解．【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，∴OA=6，則OB=AB?OA=4，∵點B在原點左邊，∴數(shù)軸上點B所表示的數(shù)為?4；∵動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，∴點P運動t秒的長度為6t，∴P所表示的數(shù)為：6?6t當t=2s時，點P表示的數(shù)是6?6×2=?6故答案為：?4，?6；（2）解：①點P運動t秒時追上點Q，根據(jù)題意得6t=10+4t，解得t=5，答：當點P運動5秒時，點P與點Q相遇；②當P不超過Q時，則10+4t?6t=8，解得t=1；當P超過Q時，則10+4t+8=6t，解得t=9；答：當點P運動1或9秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離和一元一次方程的應用，正確理解題意、靈活應用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．【變式6-2】如圖①，在數(shù)軸上，點O為坐標原點，點A、B、C、D表示的數(shù)分別是?8、3、9、13．動點P、Q同時出發(fā)，動點P從點B出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒2個單位的速度向點C運動，當點P運動到點C后，立即按原來的速度返回．動點Q從點C出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒1個単位的速度向終點D運動．當點Q到達點D時，點P也停止運動，設點P的運動時間為t

(1)點A與原點O的距離是______．(2)點P從點B向點C運動過程中，點P與原點O的距離是______（用含t的代數(shù)式表示）．(3)點P從點B向點C運動過程中，當點P與原點O的距離恰好等于點P與點Q的距離時，求t的值．(4)在點P、Q的整個運動過程中，若將數(shù)軸在點O和點P處各折一下，使點Q與點A重合，如圖②所示，當所構成的三角形OPQ中恰好有兩條邊相等時，直接寫出t的值．【答案】(1)8(2)2t+3(3)t=1(4)1，52，【分析】（1）由點A表示的數(shù)是?8，得OA=|?8|=8，于是得到問題的答案；（2）由OB=|3|=3，BP=2t，得OP=BP+OB=2t+3，于是得到問題的答案；（3）當點P與點C重合時，則2t=9?3，求得t=3，當點P從點B向點C運動時，0≤t≤3，由OP=2t+3，PQ=9+t?(2t+3)=6?t，且OP=PQ，得2t+3=6?t，求得t=1；（4）當點Q與點D重合時，則t=13?9=4，所以0≤t≤4，當點P從點C按原來的速度返回時，點P表示的數(shù)是9?2(t?3)，即15?2t(3<t≤4)，所以OP=15?2t，PQ=9+t?(15?2t)=3t?6，可知三角形OPQ的三邊長分別為OQ=OA=8，OP=2t+3，PQ=6?t，或OP=15?2t，PQ=3t?6，再按OP=OQ，OP=PQ，PQ=OQ分別列方程，求出符合題意的t值即可．【詳解】（1）解：∵點A表示的數(shù)是?8，∴OA=|?8|=8，故答案為：8．（2）∵點B表示的數(shù)是3，∴OB=|3|=3，∵BP=2t，∴OP=BP+OB=2t+3，故答案為：2t+3．（3）當點P與點C重合時，則2t=9?3，解得t=3，∴當點P從點B向點C運動時，0≤t≤3，∵點P表示的數(shù)是2t+3，點Q表示的數(shù)是9+t，且點Q在點P右側，∴PQ=9+t?(2t+3)=6?t，∵OP=2t+3，且OP=PQ，∴2t+3=6?t，解得t=1，∴t的值是1．（4）t的值是52或7當點Q與點D重合時，則t=13?9=4，∴0≤t≤4，∴當點P從點C按原來的速度返回時，點P表示的數(shù)是9?2(t?3)，即15?2t(3<t≤4)，∴OP=15?2t，PQ=9+t?(15?2t)=3t?6，∴三角形OPQ的三邊長分別為OQ=OA=8，OP=2t+3，PQ=6?t，或OP=15?2t，PQ=3t?6，當OP=OQ時，則2t+3=8或15?2t=8，解得t=52或當OP=PQ且點P從點B向點C運動時，由（3）得t=1；當OP=PQ且點P從點C按原來的速度返回時，則15?2t=3t?6，解得t=21當PQ=OQ=8且點P從點B向點C運動時，則6?t=8，解得t=?2，不符合題意，舍去；當PQ=OQ=8且點P從點C按原來的速度返回時，則3t?6=8，解得t=14綜上所述，t的值是52或7【點睛】此題重點考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解應用題、數(shù)軸上的動點問題的求解、數(shù)形結合與分類討論數(shù)學思想的運用等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，正確地用代數(shù)式表示點P和點Q對應的數(shù)是解題的關鍵．【變式6-3】將一條數(shù)軸在原點O和點B處各折一下，得到如圖所示的“折線數(shù)軸”，圖中點A表示?10，點B表示10，點C表示18．我們稱點A和點C在數(shù)軸上的“友好距離”為28個單位長度．動點P從點A出發(fā)，以2單位長度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其正方向運動．當運動到點O與點B之間時速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄涍^點B后立刻恢復原速；同時，動點Q從點C出發(fā)，以1單位長度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其負方向運動，當運動到點B與點O之間時速度變?yōu)樵瓉淼膬杀叮涍^O后也立刻恢復原速．設運動的時間為t秒．

(1)動點P從點A運動至點C需要秒，動點Q從點C運動至點A需要秒；(2)P，Q兩點相遇時，求出相遇點M在“折線數(shù)軸”上所對應的數(shù)；(3)是否存在t值，使得點P和點Q任“折線數(shù)軸”上的“友好距離”等于點A和點B在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)19，23(2)16(3)存在；t的值為83秒或53【分析】（1）先求出AC、QC的長度，再根據(jù)路程除以速度等于時間即可解答；（2）根據(jù)相遇時，點P和點Q所用的時間相等，列方程即可解答；（3）由路程、速度、時間三者關系，根據(jù)PQ=AB列方程求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，動點P從點A運動至點C需要的時間是：10÷2+10÷1+8÷2=19（秒），動點Q從點C運動至點A需要的時間是：10÷1+10÷2+8÷1=23（秒）；（2）解：根據(jù)題意可知，P、Q兩點在OB上相遇于M點，設OM=x,則10÷2+x÷1=8÷1+10?x解得x=16即點M在“折線數(shù)軸”上所對應的數(shù)是163（3）解：設存在t使得點P和點Q任“折線數(shù)軸”上的“友好距離”等于點A和點B在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”，即PQ=AB，當點P在AO，點Q在BC上運動時，依題意得：10?2t+10+8?t=20，解得t=8當點P、Q兩點都在OB上運動時，PQ<AB，不符合題意；當P在BC上，Q在OA上運動時，依題意得：t?18?10?10÷2+10+2∴存在，t的值為83秒或53【點睛】本題主要考查了數(shù)軸與有理數(shù)的關系、一元一次方程在數(shù)軸上的應用以及路程、速度、時間三者的關系等相關知識點，掌握一元一次方程的應用是解答本題的關鍵．【題型7一元一次方程的新定義問題】【例7】已知x＝m與x＝n分別是關于x的方程ax+b＝0（a≠0）與cx+d＝0（c≠0）的解．（1）若關于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與方程6x-7＝4x-5的解相同，求m的值；（2）當n＝1時，求代數(shù)式3c2+cd+2c-2（12cd+32（3）若|m-n|=12，則稱關于x的方程ax+b＝0（a≠0）與cx+d＝0（c≠0）為“差半點方程”．試判斷關于x的方程4042x【答案】（1）m＝1；（2）0；（3）是“差半點方程”，理由見解析．【分析】（1）解方程6x-7＝4x-5，結合題意，即可求出m的值；（2）根據(jù)方程解的定義求得c+d＝0，然后化簡代數(shù)式，把c+d＝0代入即可求得代數(shù)式的值；（3）分別解出兩個一元一次方程的解（都用t的式子來表示），求出兩個解的差絕對值即可．【詳解】（1）6x-7＝4x-5解得：x＝1∵關于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與方程6x-7＝4x-5的解相同，∴m＝1；（2）∵x＝1是關于x的方程cx+d＝0（c≠0）的解∴c+d＝0則3c2+cd+2c-2（12cd+32＝3c2+cd+2c-cd-3c2+2d＝2c+2d＝2（c+d）＝0；（3）4042x?9解得：x=4040x+4＝8×2021-2020t-x解得：x=∵9×2020?2020t+====∴關于x的方程4042x?9【點睛】本題考查了一元一次方程、絕對值、有理數(shù)混合運算、整式加減的知識；準確把握題意和熟知解一元一次方程的知識是解決本題的關鍵．【變式7-1】定義：若整數(shù)k的值使關于x的方程x+42+1=kx的解為整數(shù)，則稱(1)判斷當k=1時是否為方程x+42(2)方程x+42【答案】(1)1(2)有限個，分別為1，0，2，-1【分析】（1）把k=1代入x+42+1=kx，解方程得（2）解關于x方程x+42+1=kx得x=62k?1，得到當2k?1=±1，2k?1=±2，2k?1=±3，2k?1=±6時，滿足方程的解x為整數(shù)，求出k的值為：1，0，32，?12【詳解】（1）解：當k=1時，原方程化為：x+42整理得：x+6=2x，解得：x=6，即當k=1時，方程的解為整數(shù)．根據(jù)新定義可得：k=1是方程x+42（2）解：x+42去分母得：x+4+2=2kx，整理得：2k?1x=6方程的解為：x=6當2k?1=±1，2k?1=±2，2k?1=±3，2k?1=±6時，滿足方程的解x為整數(shù)，此時k的值為：1，0，32，?12，2，-1，7經檢驗，取上述k的值，2k?1均不為0，其中k為整數(shù)才稱為“友好系數(shù)”，所以k的值為：1，0，2，-1．所以方程x+42分別為1，0，2，-1．【點睛】本題為新定義問題，考查了一元一次方程的解法，理解新定義“友好系數(shù)”，正確解出含有字母系數(shù)的一元一次方程是解題關鍵，注意當x=62k?1時，若x為整數(shù)，則【變式7-2】我們規(guī)定：若關于x的一元一次方程ax=b的解為x=b+a，則稱該方程為“和解方程”．例如：方程2x=?4的解為x=?2，而?2=?4+2，則方程2x=?4為“和解方程”．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：(1)下列關于x的一元一次方程是“和解方程”的有．①12x=?12；②(2)已知關于x的一元一次方程2x+2=?m是“和解方程”，求(3)若關于x的一元一次方程3x=mn+m和?3x=mn+n都是“和解方程”，求代數(shù)式5?4m+4n的值．【答案】(1)②(2)m=0(3)32【分析】（1）求出方程的解，再根據(jù)和解方程的意義得出即可；（2）先解方程得出方程的解，再根據(jù)和解方程的含義建立方程即可求得答案；（3）根據(jù)和解方程得出方程的解與m?n=?9【詳解】（1）解：①12x＝?1∵?1≠1∴①不是“和解方程”；②?3x=94的解是∵?3∴②是“和解方程”；③5x=?2的解是x=?2∵?2∴③不是“和解方程”；故答案為：②．（2）∵2x+2∴x+2=?m∴x=?m∵2x+2=?m即∴2?4?m=?m∴m=0；（3）∵3x=mn+m，∴x=1而3x=mn+m是“和解方程”，∴3+mn+m=1∴mn+m=?9∵?3x=mn+n，∴x=?1而?3x=mn+n是“和解方程”，∴?3+mn+n=?1∴mn+n=9由①-②得：m?n=?9∴5?4m+4n=5?4m?n=5?4×?=5+27=32．【點睛】本題考查了一元一次方程的解的應用，新定義運算，求解代數(shù)式的值，正確理解新定義再建立新的方程求解是解題的關鍵．【變式7-3】在學習一元一次方程后，我們給一個定義：若x0是關于x的一元一次方程ax+b=0a≠0的解，y0是關于y的方程的所有解的其中一個解，且x0，y0滿足x0+y0=99，則稱關于y的方程為關于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程3x?2x?98=0的解是x0=98，方程y+1=2(1)已知關于y的方程：①2y?2=4，②y=2，其中哪個方程是一元一次方程3(2)若關于y的方程2y?2+2=4是關于x的一元一次方程x?3x?2a4(3)若關于y的方程ay?49+a+b=ay+650是關于x【答案】(1)②(2)a=48或47(3)11【分析】（1）分別求出三個方程的解，再驗證即可；（2）先解方程2y?2+2=4，求得y=0或y=2，再求出關于x的方程的解，根據(jù)題意可分別求得a（3）由ax+50b=55a及x+y=99，可求得y=44+50ba，代入ay?49+a+b=a【詳解】（1）解：解2y?2=4得：y=3；解y=2得，y=±2；解3x?1=2x+98得：x=101，而101+(?2)=99，所以y故答案為：②；（2）解：∵2y?2+2=4∴2y?2=2即2y?2=2或2y?2=?2，解得：y=0或y=2；對于x?3x?2a4=a+去括號、移項、合并同類項得：x=2a+3；由題意，當y=0時，2a+3+0=99，解得：a=48；當y=2時，2a+3+2=99，解得：a=47；

所以a=48或47；（3）解：由題意，x+y=99，即ax+ay=99a由ax+50b=55a得：ax=55a?50b，所以55a?50b+ay=99a，則y=44+50b把上式代入ay?49+a+b=a即a50b?5a∴50b?5a=0，∴a=10b，∴a+bb【點睛】本題是新定義題，考查了解一元一次方程及含絕對值的方程，求代數(shù)式的值等知識，有一定的綜合性，理解題中新定義，會解含有參量的一元一次方程是解題的關鍵．【題型8一元一次方程的應用】【例8】篝火晚會，學年統(tǒng)一為各班準備了發(fā)光手環(huán)，每名同學一個，1班有50人，2班有48人，考慮到發(fā)光手環(huán)易壞，學年又額外給1班、2班共18個手環(huán)．(1)要使1班、2班的手環(huán)數(shù)一樣多，請問應額外給1班多少個手環(huán)？(2)為營造氛圍，各班還需要集體購買發(fā)光頭飾．姜經理看到商機，準備尋找進貨途徑．他在甲、乙兩個批發(fā)商處，發(fā)現(xiàn)了同款高端發(fā)光頭飾，均標價20元甲說：“如果你在我這里買，一律九折”，乙說：“如果你在我這里買，超出40個，則超出部分一律八折”（每次只能在一個批發(fā)商處進貨）．①請問購進多少個發(fā)光頭飾，去兩個批發(fā)商處的進貨價一樣多？②姜經理第一次購進60個發(fā)光頭飾，正好全部售出．第二次購進的數(shù)量比第一次的3倍還多20個．兩次均以最優(yōu)惠的方式購進．如果第一次的總售價為1150元，且兩批發(fā)光頭飾全部售完后，總利潤恰好為總進價的25%【答案】(1)8(2)①80，②22【分析】（1）先設出應額外給1班x個手環(huán)，然后根據(jù)題意列出一元一次方程求解即可；（2）①設未知數(shù)，根據(jù)題意列出一元一次方程進行求解即可；②由①可得當進購數(shù)量少于80時，選擇甲進貨商，當進購數(shù)量多于80時，選擇乙進貨商，再根據(jù)兩批發(fā)光頭飾全部售完后，總利潤恰好為總進價的25%【詳解】（1）解：設應額外給1班x個手環(huán)，則額外給2班18?x個手環(huán)，∵要使1班、2班的手環(huán)數(shù)一樣多，∴50+x=48+18?x解得：x=8，所以應額外給1班8個手環(huán)；（2）解：①設購進y個發(fā)光頭飾，去兩個批發(fā)商處的進貨價一樣多，對于甲批發(fā)商處進貨價為：20y×0.9元，對于乙批發(fā)商處進貨價為：40×20+y?40∵去兩個批發(fā)商處的進貨價一樣多，∴20y×0.9=40×20+y?40解得：y=80，所以購進80個發(fā)光頭飾時，去兩個批發(fā)商處的進貨價一樣多；②設第二次每個發(fā)光頭飾的售價為z元時兩批發(fā)光頭飾全部售完后，總利潤恰好為總進價的25%由①可得當進購數(shù)量少于80時，選擇甲進貨商，當進購數(shù)量多于80時，選擇乙進貨商，第一次進購60個，所以第一次進價為：60×20×0.9=1080元，∵第二次購進的數(shù)量比第一次的3倍還多20個，∴第二次進購了200個，第二次進價為：40×20+200?40∵兩批發(fā)光頭飾全部售完后，總利潤恰好為總進價的25%∴1150+200z?解得：z=22，所以第二次每個發(fā)光頭飾的售價為22元時兩批發(fā)光頭飾全部售完后，總利潤恰好為總進價的25%【點睛】本題考查了實際問題與一元一次方程，根據(jù)題意列出一元一次方程是解題的關鍵．【變式8-1】輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用3?，若靜水時船速