適用于新高考新教材2024版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破練17導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用

考點(diǎn)突破練17導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用一、必備知識夯實練1.(2023河北衡水二中模擬)曲線y=e2ax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線2x+y+2=0垂直,則a=()A.14 B.-14 C.12 D2.(2023江西鷹潭模擬)函數(shù)y=x2+2x+lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為A.(0,2) B.(0,1)C.(2,+∞) D.(1,+∞)3.(2023河南鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=ln(ax)+1x的最小值為2,則f1e的值為(A.e-1 B.eC.2+1e D.e+4.已知a=ln22,b=1e,c=2ln39,則a,b,c的大小關(guān)系為A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a5.(多選題)(2022新高考Ⅰ,10)已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,則()A.f(x)有兩個極值點(diǎn)B.f(x)有三個零點(diǎn)C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線6.(多選題)(2023新高考Ⅱ,11)若函數(shù)f(x)=alnx+bx+cx2(a≠0)既有極大值也有極小值A(chǔ).bc>0 B.ab>0C.b2+8ac>0 D.ac<07.(2023陜西漢中二模)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-k(x-1x),若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),則k的取值范圍是.8.(2023湖北武漢模擬)已知函數(shù)f(x)=1+sinx2cosx+sinx,x∈0,π2,則函數(shù)二、關(guān)鍵能力提升練9.(2021新高考Ⅰ,7)若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則()A.eb<a B.ea<bC.0<a<eb D.0<b<ea10.(2022全國甲,理12)已知a=3132,b=cos14,c=4sin14,則A.c>b>a B.b>a>cC.a>b>c D.a>c>b11.(2023山東煙臺二模)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f'(x)+f(x)=e-x,f(0)=0,則不等式(e2x-1)f(x)<e-1e的解集為()A.-1,1C.(-1,1) D.(-1,e)12.(2021新高考Ⅰ,15)函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為.

13.(2023全國乙,理16)設(shè)a∈(0,1),若函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是.

14.(2023浙江金華模擬)若存在直線l既是曲線y=x2的切線,也是曲線y=alnx的切線,則實數(shù)a的最大值為.

三、核心素養(yǎng)創(chuàng)新練15.(2023新疆烏魯木齊二模)晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元,是結(jié)構(gòu)化學(xué)研究的一個重要方面,在如圖1所示的體心立方晶胞中,原子A與B(可視為球體)的中心分別位于正方體的頂點(diǎn)和體心,且原子B與8個原子A均相切,已知該晶胞的邊長(圖2中正方體的棱長)為23,則當(dāng)圖1中所有原子(8個A原子與1個B原子)的體積之和最小時,原子A的半徑為.

圖1圖2

考點(diǎn)突破練17導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用1.A解析由題設(shè)知,曲線y=e2ax在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k=12,又因為y'=2a·e2ax,所以y'|x=0=2a=12,解得a=2.D解析函數(shù)的定義域為(0,+∞).y=x2+2x+lnx=x+2x+lnx,則y'=令y'>0,解得x>1,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞).3.B解析顯然a≠0,若a<0,則x<0,不合題意,故a>0,則定義域為(0,+∞),f'(x)=a·1ax-1x2=x-1x2當(dāng)0<x<1時,f'(x)<0,此時f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>1時,f'(x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增,故當(dāng)x=1時,f(x)min=f(1)=lna+1=2,解得a=e,則f(x)=ln(ex)+1x,則f1e=lne·1e4.C解析因為a=ln22=ln44,b=1e=lnee,c=ln99,所以構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnxx,所以f'(x)=1-lnxx2,由f'(x)=1-lnxx2>0,得0<x<e,由f'(x)=1-lnxx2<0,得x>e,所以f(x)5.AC解析由題意得f'(x)=3x2-1,令f'(x)>0,得x>33或x<-33,令f'(x)<0,得-33所以f(x)在-∞,-33,33,+∞上單調(diào)遞增,在-3因為f-33=1+239>0,f33=1-239>0,f(-2)=-5<0,所以函數(shù)f(x)在-∞,-33上有一個零點(diǎn),當(dāng)x≥3即函數(shù)f(x)在33,綜上所述,函數(shù)f(x)有一個零點(diǎn),故B錯誤;令h(x)=x3-x,該函數(shù)的定義域為R,h(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-h(x),則h(x)是奇函數(shù),(0,0)是h(x)圖象的對稱中心,將h(x)的圖象向上平移一個單位長度得到f(x)的圖象,所以點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心,故C正確;令f'(x)=3x2-1=2,可得x=±1,又f(1)=f(-1)=1,當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時,切線方程為y=2x-1,當(dāng)切點(diǎn)為(-1,1)時,切線方程為y=2x+3,故D錯誤.故選AC.6.BCD解析函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=ax-bx2-2cx3=ax2-bx-2cx3.因為函數(shù)f(x)既有極大值也有極小值,所以g(x)設(shè)為x1,x2,所以Δ所以b2+8ac>0,且ab>0,ac<0,bc<0,所以A不正確,B,C,D正確.故選BCD.7.12,+∞解析∵f(x)定義域為(0,+∞),f'(x)=1x-k1+1x2,f(x∴f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,∴k≥xx2+1max,∵xx2+1=1x+1x,x>0,x+1x∴0<xx2+1≤12,∴k≥18.12解析因為f(x)=1+sinx2cosx+sinx,所以f'記g(x)=2+2sinx-cosx,x∈0,則g'(x)=2cosx+sinx,因為x∈0,所以g'(x)=2cosx+sinx>0,所以g(x)=2+2sinx-cosx在0,π所以g(x)≥g(0)=2-1=1>0,所以f'(x)>0在0,π2上恒成立,所以f(x)=1+sinx2cosx+sinx在0,π2上單調(diào)遞增,故當(dāng)x=09.D解析設(shè)切點(diǎn)(x0,y0),因為y'=ex,所以切線的斜率k=ex0,則切線方程為y-ex0=ex0(x-x0).因為切線過點(diǎn)(a,b),所以b-ex0=ex0(a-x0),即方程ex0(a-x0+1)-b=0有兩個解.設(shè)g(x)=ex(a-x+1)-b,則g'(x)=ex(a-x),令g'(x)=0,解得x=a,所以g(x)在區(qū)間(-∞,a)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,且當(dāng)x→+∞時,g(x)→-∞,當(dāng)x→-∞時,g(x)→-b,所以g10.A解析因為a=3132=1-132,構(gòu)造函數(shù)h(x)=1-12x2-cosx,x∈0,π2,則h'(x)=-x+sinx,令g(x)=h'(x),則g'(x)=-1+cosx≤0,所以g(x)在0,π2上單調(diào)遞減,g(x)≤g(0)=0,即h'(x)≤0,則h(x)在0,π2上單調(diào)遞減,所以h14=a-b<h(0)=0,即a<b.又cb=4sin14cos14=11.C解析由f'(x)+f(x)=e-x,得exf'(x)+exf(x)=1,得[exf(x)]'=1.可設(shè)exf(x)=x+m,m為實數(shù),當(dāng)x=0時,由f(0)=0,得m=0,所以f(x)=xe-x,(e2x-1)f(x)<e-1e可化為xe-x(e2x-1)<e-1e,即xex-xe-x<e-1e.設(shè)g(x)=xex-xe-x,x因為g(-x)=-xe-x+xex=g(x),故g(x)為偶函數(shù),g'(x)=ex+xex+xe-x-e-x,當(dāng)x≥0時,xex+xe-x≥0,ex-e-x≥0,故g'(x)=ex+xex+xe-x-e-x≥0,所以g(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增.因為g(1)=e-e-1,所以當(dāng)x≥0時,g(x)=xex-xe-x<e-1e的解集為[0,1)又因為g(x)為偶函數(shù),故g(x)<e-1e的解集為(-1,1)12.1解析f(x)=2當(dāng)x>12時,f'(x)=2-2x=2(x-1)x,令f'(x)=0,則x=1,所以當(dāng)x∈12,1時當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間12,+∞內(nèi)的最小值為當(dāng)0<x≤12時,f'(x)=-2-2x<0,則函數(shù)f(x)在區(qū)間0,12上單調(diào)遞減,則函數(shù)f(x)在區(qū)間0,12上的最小值為f12=2ln2=ln4>1.綜上,f13.[5-12,1)解析由題意得f'(x)=ax·lna+(1+a)x·ln(1+a).易知f'(x)∵f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f'(x)=ax·lna+(1+a)x·ln(1+a)≥0在(0,+∞)上恒成立.∴(1+1a)x≥-lnaln(1+a)∴-lnaln(1+a)≤1,∴l(xiāng)n(1+a)≥ln1a∴a2+a-1≥0,∴a≤-1-52或又a∈(0,1),∴a∈[5-114.2e解析由題意知兩曲線y=x2與y=alnx(x>0)存在公切線,當(dāng)a=0時,兩曲線為y=x2與y=0(x>0),不合題意;y=x2的導(dǎo)數(shù)為y'=2x,y=alnx的導(dǎo)數(shù)為y'=ax設(shè)公切線與y=x2相切的切點(diǎn)為(n,n2),與曲線y=alnx相切的切點(diǎn)為(m,alnm),則切線方程為y-n2=2n(x-n),即y=2nx-n2,切線方程也可寫為y-alnm=am(x-m),即y=amx-a+alnm,故2n=am,-n2=-a+alnm,即a24m2=a-alnm,即a4m2=1-lnm,即a4=m2(1-lnm)有解,令g(x)=x2(1-lnx),x>0,則g'(x)=2x(1-lnx)+x2-1x=x(1-2lnx),令g'(x)=0,得x=e,當(dāng)0<x<e時,g'(x)>0,當(dāng)x>e時,g'(x)<0,故g(故a4≤e2,所以a≤2e,即實數(shù)15.62-37解析因為題圖2的正方體的棱長為23,則該正方體的體對角線長為23×3=6,設(shè)A原子的半徑為r,B原子的