新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題1 第4講 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用（含解析）

專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第4講導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用考情分析KAOQINGFENXI1.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和幾何意義是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題形

式考查，難度較小.2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值多在選擇題、填空題靠后

的位置考查，難度中等偏上，屬綜合性問題.內(nèi)容索引考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三專題強(qiáng)化練1考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義與計(jì)算PARTONE核心提煉1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x).2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率.(2)曲線在某點(diǎn)的切線與曲線過某點(diǎn)的切線不同.(3)切點(diǎn)既在切線上，又在曲線上.√解析∵f(x)＝x2＋3xf′(2)－lnx，(2)(2019·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(－e，－1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________.(e,1)則曲線y＝lnx在點(diǎn)A處的切線方程為則點(diǎn)A的坐標(biāo)是(e,1).易錯提醒求曲線的切線方程要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn).跟蹤演練1

(1)直線2x－y＋1＝0與曲線y＝aex＋x相切，則a等于A.eB.2eC.1D.2√解析設(shè)切點(diǎn)為(n，aen＋n)，因?yàn)閥′＝aex＋1，所以切線的斜率為aen＋1，切線方程為y－(aen＋n)＝(aen＋1)(x－n)，即y＝(aen＋1)x＋aen(1－n)，依題意切線方程為y＝2x＋1，(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y＝f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是A.y＝sinx

B.y＝lnxC.y＝ex

D.y＝x3√解析對函數(shù)y＝sinx求導(dǎo)，得y′＝cosx，當(dāng)x＝0時，該點(diǎn)處切線l1的斜率k1＝1，當(dāng)x＝π時，該點(diǎn)處切線l2的斜率k2＝－1，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2；對函數(shù)y＝ex求導(dǎo)，得y′＝ex恒大于0，斜率之積不可能為－1；對函數(shù)y＝x3求導(dǎo)，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之積不可能為－1.2考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性PARTTWO利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域.(2)單調(diào)區(qū)間的劃分要注意對導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的確認(rèn).(3)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，要注意導(dǎo)數(shù)等于零的情況.核心提煉解f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，若a≤0，當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)a≤0時，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)a＝2時，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增；易錯提醒(1)在求單調(diào)區(qū)間時“定義域優(yōu)先”.(2)弄清參數(shù)對f′(x)符號的影響，分類討論要不重不漏.A.a<b<c

B.b<c<a

C.a<c<b

D.c<b<a√所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，π)上是增函數(shù)，因?yàn)閒(x)＋f(－x)＝0，所以函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，故a<b<c.(2)已知f(x)＝(x2＋2ax)lnx－

x2－2ax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.{1}B.{－1}C.(0,1]D.[－1,0)√f′(x)＝2(x＋a)lnx，∵f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，當(dāng)x＝1時，f′(x)＝0滿足題意；當(dāng)x>1時，lnx>0，要使f′(x)≥0恒成立，則x＋a≥0恒成立.∵x＋a>1＋a，∴1＋a≥0，解得a≥－1；當(dāng)0<x<1時，lnx<0，要使f′(x)≥0恒成立，則x＋a≤0恒成立，∵x＋a<1＋a，∴1＋a≤0，解得a≤－1.綜上所述，a＝－1.3考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值PARTTHREE核心提煉1.由導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點(diǎn)(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的函數(shù)值的正負(fù)，從而可得到函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性，可得極值點(diǎn).2.求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值.(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b).(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.√因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ex－(m＋1)lnx＋2(m＋1)x－1恰有兩個極值點(diǎn)，此時函數(shù)h(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增，此時函數(shù)h(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，此時函數(shù)h(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞減，則h(1)>m＋1，即－e>m＋1，整理得m<－1－e.√(2)已知函數(shù)f(x)＝ax＋ex－(1＋lna)x(a>0，a≠1)，對任意x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤alna＋e－4恒成立，則a的取值范圍為解析依題意，得alna＋e－4≥0,

①因?yàn)閒′(x)＝axlna＋ex－1－lna＝(ax－1)lna＋ex－1，當(dāng)a>1時，對任意的x∈[0,1]，ax－1≥0，lna>0，ex－1≥0，恒有f′(x)≥0；當(dāng)0<a<1時，對任意x∈[0,1]，ax－1≤0，lna<0，ex－1≥0，恒有f′(x)≥0，所以f(x)在[0,1]上是增函數(shù)，則對任意的x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤alna＋e－4恒成立，只需f(x)max－f(x)min≤alna＋e－4，因?yàn)閒(x)max＝f(1)＝a＋e－1－lna，f(x)min＝f(0)＝1＋1＝2，所以a＋e－1－lna－2≤alna＋e－4，即a－lna＋1－alna≤0，即(1＋a)(1－lna)≤0，所以lna≥1，從而有a≥e，而當(dāng)a≥e時，①式顯然成立.故選C.易錯提醒利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值應(yīng)注意的問題：(1)不能忽略函數(shù)f(x)的定義域.(2)f′(x0)＝0是可導(dǎo)函數(shù)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件.(3)函數(shù)的極小值不一定比極大值小.(4)函數(shù)在區(qū)間(a，b)上有唯一極值點(diǎn)，則這個極值點(diǎn)也是最大(小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.跟蹤演練3

(1)若x＝

是函數(shù)f(x)＝lnx－kx的極值點(diǎn)，則函數(shù)f(x)＝lnx－kx有A.極小值－2 B.極大值－2C.極小值－1 D.極大值－1√(2)已知點(diǎn)M在圓C：x2＋y2－4y＋3＝0上，點(diǎn)N在曲線y＝1＋lnx上，則線段MN的長度的最小值為________.解析由題可得C(0,2)，圓C的半徑r＝1.設(shè)N(t,1＋lnt)(t>0)，令f(t)＝|CN|2，則f(t)＝t2＋(1－lnt)2(t>0)，令φ(t)＝t2＋lnt－1(t>0)，易知函數(shù)φ(t)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且φ(1)＝0，所以當(dāng)0<t<1時，f′(t)<0；當(dāng)t>1時，f′(t)>0，所以f(t)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(t)min＝f(1)＝2.4專題強(qiáng)化練PARTFOUR一、單項(xiàng)選擇題1.(2020·全國Ⅰ)函數(shù)f(x)＝x4－2x3的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為A.y＝－2x－1 B.y＝－2x＋1C.y＝2x－3 D.y＝2x＋11234567891011121314√解析f(1)＝1－2＝－1，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，f′(x)＝4x3－6x2，所以切線的斜率為k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切線方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.A.[－1,0] B.[－1，＋∞)C.[0,3] D.[3，＋∞)1234567891011121314√12345678910111213141234567891011121314√1234567891011121314解析由題意得f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋x，令x＝1，則f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，∴f(0)＝1，令x＝0，則f(0)＝f′(1)e－1，∴f′(1)＝e，令g(x)＝ex－1＋x，則g′(x)＝ex＋1>0.∴g(x)為增函數(shù)，又g(0)＝0，∴當(dāng)x>0時，g(x)>0，即f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.1234567891011121314√1234567891011121314解析構(gòu)造新函數(shù)g(x)＝lnxf(x)，因?yàn)閒(x)＋xlnxf′(x)>0，又x>0，所以g′(x)>0，所以函數(shù)g(x)＝lnxf(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.等價于g(x)>g(1)，解得x>1，1234567891011121314√1234567891011121314解析由題意，當(dāng)0≤m<x1<x2時，等價于x1lnx2－x2lnx1<x2－x1，即x1lnx2＋x1<x2lnx1＋x2，故x1(lnx2＋1)<x2(lnx1＋1)，1234567891011121314又∵x2>x1>m≥0，故f(x)在(m，＋∞)上單調(diào)遞減，故f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，故m≥1.1234567891011121314√6.已知直線l既是曲線C1：y＝

ex的切線，又是曲線C2：y＝e2x2的切線，則直線l在x軸上的截距為A.2B.1C.e2D.－e21234567891011121314解析設(shè)直線l與曲線C1：y＝ex相切于點(diǎn)

，由y＝ex，得

，∴直線l的方程為1234567891011121314則

解得x1＝x2＝2，∴直線l的方程為y－e2＝e2(x－2)，令y＝0，可得x＝1，∴直線l在x軸上的截距為1.二、多項(xiàng)選擇題7.(2020·唐山模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝

，則下列說法正確的是A.f(x)的定義域是(0，＋∞)B.當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)的圖象位于x軸下方C.f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間D.f(x)有且僅有兩個極值點(diǎn)1234567891011121314√√1234567891011121314所以f(x)的定義域?yàn)?0,1)∪(1，＋∞)，故A不正確；1234567891011121314所以f′(x)>0在定義域上有解，所以函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，故C正確；函數(shù)y＝f′(x)只有一個零點(diǎn)x0，且x0>1，當(dāng)x∈(0,1)∪(1，x0)時，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)只有一個極小值點(diǎn)，故D不正確.12345678910111213148.已知f(x)＝ex－2x2有且僅有兩個極值點(diǎn)，分別為x1，x2(x1<x2)，則下列不等式中正確的有(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)A.x1＋x2< B.x1＋x2>C.f(x1)＋f(x2)<0 D.f(x1)＋f(x2)>0√√1234567891011121314解析由題意得f′(x)＝ex－4x，f′(2)＝e2－8<0.1234567891011121314因?yàn)閒(0)＝1，所以易得f(x1)>1.因?yàn)閒′(2ln3)＝9－8ln3>0，所以x2<2ln3.設(shè)g(x)＝4x－2x2，得g(x2)>g(2ln3)>g(2.2)＝－0.88>－1，所以f(x1)＋f(x2)>0.1234567891011121314三、填空題9.已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)＝x2－alnx在(1,2)上為增函數(shù)，則a的值等于________.2解析∵函數(shù)f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上為減函數(shù)，依題意得g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，∴2x2≥a在(1,2)上恒成立，∴a≤2.∴a＝2.12345678910111213141234567891011121314123456789101112131412345678910111213141234567891011121314123456789101112131412345678910111213141234567891011121314∵m∈[1，e]，x∈[1,2]，∴f′(x)≥0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，12345678910111213141234567891011121314四、解答題13.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0).(1)當(dāng)a＝1，且函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(0,1)時，求函數(shù)f(x)的極小值；1234567891011121314解f′(x)＝3ax2－4x＋1.函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(0,1)時，有f(0)＝c＝1.當(dāng)a＝1時，f(x)＝x3－2x2＋x＋1，f′(x)＝3x2－4x＋1，所以函數(shù)f(x)的極小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.1234567891011121314(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上無極值點(diǎn)，求a的取值范圍.解若f(x)在(－∞，＋∞)上無極值點(diǎn)，則f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，即f′(x)＝3