專題09 軸對(duì)稱圖形的經(jīng)典壓軸題型專訓(xùn)（解析版）

專題09軸對(duì)稱圖形的經(jīng)典壓軸題型專訓(xùn)【軸對(duì)稱圖形的40道經(jīng)典壓軸題型專訓(xùn)】1．（2023春·江西宜春·七年級(jí)江西省豐城中學(xué)?？计谀┰谥校?，，是等邊三角形．點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在外部，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，連接、、，根據(jù)題意得出和全等，然后得出和全等，設(shè)，則，，根據(jù)題意列出一元一次方程求出的值得出答案．【詳解】取的中點(diǎn)，連接、、，

，，，，為等邊三角形，，是等邊三角形，，，，，∵，，，，，，，∵為等邊三角形，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，設(shè)，則，，∴在和中，

，

，設(shè)，則，，，，，

解得，，即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·河北衡水·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）題目：“如圖，已知，點(diǎn)，在邊上，，，是射線上的點(diǎn)若使點(diǎn)，，構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)恰好有個(gè)，求的取值范圍.”對(duì)于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（

）

A．只有甲答得對(duì) B．甲、丙答案合在一起才完整C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】B【分析】分別畫(huà)出特殊位置的圖形，然后根據(jù)圖形判斷即可．【詳解】解：①如圖：當(dāng)時(shí)，存在滿足條件的三個(gè)點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)只有個(gè)；

③當(dāng)時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)只有個(gè)；

④當(dāng)時(shí)，存在滿足條件的三個(gè)點(diǎn)；

⑤時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)；所以甲、丙答案合在一起才完整．故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定等知識(shí)，尋找特殊位置并畫(huà)出圖形是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，，，，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，垂足為，下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積等于；④；其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】證明，得出，故①正確；由，得出，，得出，進(jìn)而得出為等腰直角三角形，故②正確；由得出故③正確；由不能確定，故④不正確，即可得出答案．【詳解】解：，，，，，，在和中，，，，故①正確；，，，，，，故②正確；，，故③正確；，不能確定，故④不正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖所示，已知和都是等邊三角形，且，，三點(diǎn)共線，下列結(jié)論：①平分；②是等邊三角形；③；④．其中正確的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【分析】過(guò)作于，于，由題中條件可得，得出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而得出，，再由邊角關(guān)系即可求解題中結(jié)論是否正確，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：與為等邊三角形，，，，，即，，，，，，，又，，，，過(guò)作于，于，，，，，平分，正確；是等邊三角形，正確；，∴，正確；，，，，平分，，，在和中，，，，同理可得，，正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．5．（2023春·湖北黃石·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，四邊形中，，，平分，下列說(shuō)法：①；②；③；④．其中錯(cuò)誤的說(shuō)法有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)求出，得出，即可推出，故說(shuō)法①正確；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，即可推出，故說(shuō)法②正確；過(guò)點(diǎn)作，易得，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)可知，故說(shuō)法③錯(cuò)誤；由三角形內(nèi)角和定理易得，結(jié)合，可證明，故說(shuō)法④正確．【詳解】解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，故說(shuō)法①正確；∵，平分，∴，∴，故說(shuō)法②正確；如下圖，過(guò)點(diǎn)作，∴，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，故說(shuō)法③錯(cuò)誤；∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故說(shuō)法④正確．綜上所述，說(shuō)法錯(cuò)誤的是③，共計(jì)1個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的定義和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確推導(dǎo)．6．（2022秋·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，于點(diǎn)D，平分，且于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)F，H是邊的中點(diǎn)，連接與相交于G，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正確的有（

）A．5個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】只要證明、，即可判斷①②正確，根據(jù)角平分線的定義利用即可判斷③；過(guò)G作于點(diǎn)M，根據(jù)角平分線定理，結(jié)合，可得，又可得，即可判斷④錯(cuò)誤，證明可判斷⑤正確．【詳解】①，，，又，，，，又，，∴是等腰直角三角形，，在和中，，，．故①正確；②平分，，，，在和中，，，，，又，，即：，故②正確；③，平分，，，，，故③正確；④如圖所示，過(guò)G作于點(diǎn)M，為等腰直角斜邊BC的中點(diǎn)，，即，又平分，，，又，，又，，，，故④錯(cuò)誤；⑤，，，，又，，為等腰三角形，故⑤正確．正確的為①②③⑤，共計(jì)4個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，第四個(gè)問(wèn)題難度比較大，添加輔助線是解題關(guān)鍵．7．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在等腰三角形中，，，是底邊上的高，在的延長(zhǎng)線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的角平分線交邊于點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段的最小值(

)A．6 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】作于，作于，證明，推出，再證明，推出，得到當(dāng)時(shí)有最小值，即有最小值，由，，求出．【詳解】解：作于，作于，，，平分，即平分，，，，，，，，，)，，平分，，連接，，，，當(dāng)時(shí)有最小值，即有最小值，此時(shí)，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定即性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)C作射線，使，再過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F，連接，在中，當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作射線，使，再過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)F，連接，如圖所示：在中，，∴，∵＝，∴當(dāng)A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長(zhǎng)，此時(shí)，，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為12，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造胡不歸模型，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題．9．（2023·黑龍江綏化·?？级＃┤鐖D中，，，，為的中線，點(diǎn)、點(diǎn)分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，過(guò)B點(diǎn)作于N點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知垂直平分，接著根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線，且此線與垂直時(shí)有最小值，最小值為的長(zhǎng)，再利用面積公式可得，即有，問(wèn)題隨之得解．【詳解】連接，過(guò)B點(diǎn)作于N點(diǎn)，如圖，∵中，，，為的中線，∴，，∴垂直平分，∴，∴，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)B、E、F三點(diǎn)共線，且此線與垂直時(shí)有最小值，∴的最小值為的長(zhǎng)，∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線段最短，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，掌握垂線段最短，合理構(gòu)筑輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，D為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接．以為底邊，在的左側(cè)作等腰直角三角形，點(diǎn)F是邊上的定點(diǎn)，連接，當(dāng)取最小值時(shí)，若，則為（

）（用含的式子表示）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，取的中點(diǎn)H，連接，交于，作直線，交于，設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，，證明，則在直線上運(yùn)動(dòng)，且，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)最短，從而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)H，連接，交于，作直線，交于，∵，，∴，，，∵等腰直角三角形，，∴，設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴在直線上運(yùn)動(dòng)，且，∵，∴是的垂直平分線，∴，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)最短，∵，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，證明在直線上運(yùn)動(dòng)是解本題的關(guān)鍵．11．（2022秋·山東聊城·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，線段，的垂直平分線，相交于點(diǎn)O．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到，再利用垂直的定義結(jié)合直角三角形兩銳角互余得到，計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接BO并延長(zhǎng)至點(diǎn)P，與線段AB交于F，∵，是、的垂直平分線，∴，，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，垂直的定義，直角三角形兩銳角互余，注意掌握輔助線的作法，注意掌握整體思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12．（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等腰中，，平分，平分，M、N分別為射線、上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．10【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則的最小值為．延長(zhǎng)兩線交于點(diǎn)G，證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到．【詳解】過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則的最小值為，延長(zhǎng)兩線交于點(diǎn)G，∵，∴，∵，∴，∴；∵，∴，∴；∵，∴，∴的最小值為5，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定性質(zhì)，垂線段最短原理，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短原理是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·廣西南寧·七年級(jí)南寧二中?？计谀┤鐖D，在中，D為中點(diǎn)，，，于點(diǎn)F，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

【答案】【分析】連接，過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于N，由，可得；由D為中點(diǎn)，，則可得；證明，再證明即可求得結(jié)果．【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于N，如圖，∵，，∴；∵D為中點(diǎn)，，∴；∵，，∴，∵，∴，∴；∵，，，∴，∴，∴，即，∴．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握這兩個(gè)性質(zhì)是關(guān)鍵．14．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，是它的角平分線，且交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)E作于點(diǎn)F，，，則線段DF的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

【答案】6【分析】過(guò)點(diǎn)D作，垂足為H，則，利用角平分線的性質(zhì)可得，再證明，設(shè)，繼而求解即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作，垂足為H，則，

∵，∴，，∵是的角平分線，∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴設(shè)，∴，∴，∵，∴∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中兩銳角互余，角平分線的定義和性質(zhì)，對(duì)頂角相等，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)線段的和差等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，并運(yùn)用方程的思想，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．15．（2023·黑龍江哈爾濱·?？既＃┤鐖D，四邊形ABCD中，且，過(guò)點(diǎn)A作交BC于點(diǎn)E，若，則___________

【答案】8【分析】如圖所示，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F使得，過(guò)點(diǎn)A作交延長(zhǎng)線于G，連接，證明是等邊三角形，得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，；證明得到，進(jìn)而求出，則，即可得到，則．【詳解】解：如圖所示，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F使得，過(guò)點(diǎn)A作交延長(zhǎng)線于G，連接，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：8．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2022春·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，是的平分線，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)若，則的長(zhǎng)為_(kāi)___________.

【答案】【分析】延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，首先利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出，進(jìn)而得到，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后證明，可得，進(jìn)而得到．【詳解】解：延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，如圖，

∵，∴．∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵中，，，∴，∴÷，，∴，∵在和中，，∴（），∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，關(guān)鍵是證得．17．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）通過(guò)教材“13.4最短路徑問(wèn)題”的學(xué)習(xí)，我們體會(huì)到軸對(duì)稱變換的作用．請(qǐng)你用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)解決下面的問(wèn)題：如圖，為的中點(diǎn)，，，，，則的最大值是______．

【答案】9.5【分析】作A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)N，連接，，，，，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，，，，，，則可求出，，進(jìn)而證明是等邊三角形，求出，由知，當(dāng)D，M，N，E共線時(shí)，最大，然后代入數(shù)值即可求出最大值．【詳解】解：作A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)N，連接，，，，，

，則，，，，，，∵，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，又，當(dāng)D，M，N，E共線時(shí)，，∴的最大值為9.5．故答案為：9.5．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，添加合適的輔助線，找出所求問(wèn)題需要的條件是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形，，，，且，，則__．【答案】10【分析】在上截取，連接，則，垂直平分，結(jié)合題意推出，過(guò)點(diǎn)F作，交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則有，，進(jìn)而得出，根據(jù)題意及三角形外角性質(zhì)推出，利用判定，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，結(jié)合題意即可得解．【詳解】解：在上截取，連接，則，∵，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，過(guò)點(diǎn)F作，交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則有，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：10．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作出合理的輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．19．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在三角形中，，，于D，M，N分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)最小時(shí)，_____．【答案】【分析】在下方作，使，連接，則最小值為，此時(shí)A、N、三點(diǎn)在同一直線上，推出，所以，即可得到．【詳解】解：在下方作，使，連接．則，．∴，即最小值為，此時(shí)A、N、三點(diǎn)在同一直線上．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路線問(wèn)題以及等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．20．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)靖江市靖城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，的平分線交于點(diǎn)，平分．給出下列結(jié)論：①；②與互補(bǔ)；③；④．其中結(jié)論正確的是______(填序號(hào))．【答案】①②③④【分析】根據(jù)同角的余角相等求出，再根據(jù)等角的余角相等可以求出；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出，設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，即可求解．【詳解】解：，，，，，故①正確；是的平分線，，，，，又對(duì)頂角相等，，故②正確；，，平分，，故③正確．如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，，，故④正確故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)以及等角的余角相等的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】作平分，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)及線段的和差得出，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，根據(jù)斜邊大于垂邊可知，再次根據(jù)根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出的值，即可得出答案．【詳解】解：作平分，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E∴在中，，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G在中，，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)、線段的和差，根據(jù)已知條件作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（2023春·陜西西安·八年級(jí)交大附中分校校考階段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)M、N分別為角的兩邊、上的點(diǎn)，平分，點(diǎn)P為射線上一點(diǎn)，且，，若射線上有一點(diǎn)Q，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】2【分析】過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)Q，根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得出，根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)最小，且時(shí)，最小，然后分四種情況進(jìn)行討論，求出的最小值，即可得出答案．【詳解】解：∵平分，，∴，過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)Q，如圖所示，∵，∴，∵垂線段最短，∴當(dāng)最小，且時(shí)，最小，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，∵平分，∴，∵，∴與為直角三角形，∵，∴，∴，∵，，和為直角三角形，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)E的下面，點(diǎn)N在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖所示：∵，，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)E的上面，點(diǎn)N在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖所示：∵，，∴此時(shí)，∴在中，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴，即；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)E的下面，點(diǎn)N在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖所示：∵，，∴此時(shí)，∴在中，∵，∴，∵為的外角，，∴，∴，∴此種情況不符合題意；當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合，點(diǎn)N與點(diǎn)F重合時(shí)，如圖所示：∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴此種情況不符合題意；∴的最小值為4，∴，即的最小值為2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，分類討論，找出的最小值．23．（2021秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)________．【答案】12【分析】過(guò)點(diǎn)作射線，使，再過(guò)動(dòng)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，在中，，，當(dāng)，，在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作射線，使，再過(guò)動(dòng)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，如圖所示：在中，，，，當(dāng)，，在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長(zhǎng)，此時(shí)，，是等邊三角形，，在中，，，，，，，，，的最小值為12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短、等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．24．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，為上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】10【分析】利用等角對(duì)等邊先求出，再構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)求出，相加即可．【詳解】解：如圖所示，分別過(guò)B點(diǎn)作，垂足分別為M和G，∵，∴，∵，∴平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵,∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等角對(duì)等邊、直角三角形的兩個(gè)銳角互余等知識(shí)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形和等角的轉(zhuǎn)化．25．（2023春·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐特例感知：如圖1，在等邊三角形中，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，以為邊作等邊三角形，連接，分別過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)．

(1)試判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)猜想論證：將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度得到圖2，則（1）中和的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)拓展延伸：將如圖1所示的繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)（1）中和的數(shù)量關(guān)系仍然成立，理由見(jiàn)解析(3)的值為【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和證明，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和證明，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（3）利用（2）中的結(jié)論解答即可．【詳解】（1）解：，理由：和都是等邊三角形，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，；（2）解：仍然成立，理由：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，

，和都是等邊三角形，，，，，，，同（1）可知，，，；（3）解：當(dāng)時(shí)，如圖，

，由（2）可知，，，，，的值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．26．（2023春·河南平頂山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，是等邊三角形，，是的角平分線，與相交于點(diǎn)．點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在邊上，且．連接，．

(1)聰聰研究發(fā)現(xiàn)．理由如下：因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，且，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)①，可得，且，即垂直平分，同理，垂直平分，所以點(diǎn)是三邊中垂線的交點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)②，可得．填空：上述證明過(guò)程中，①、②兩處的理由分別為_(kāi)_______和________．（填選項(xiàng)前的字母）a．“三線合一”

b．線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等c．等腰三角形兩個(gè)底角相等(2)判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖2，若點(diǎn)是射線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，其它條件不變，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】(1)，(2)，見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一，以及中垂線的性質(zhì)，中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，進(jìn)行作答即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明，即可得出結(jié)論；（3）分點(diǎn)在線段上和在線段的延長(zhǎng)線上，兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，且，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一，可得，且，即垂直平分，同理，垂直平分，所以點(diǎn)是三邊中垂線的交點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，可得．故答案為：，（2），理由見(jiàn)解析；是等邊三角形，，，，是的平分線，，，即．又，，即．由（1）得，在與中，，，即．（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，

∵，∴，∴，∴當(dāng)為等腰三角形時(shí)，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)：如圖，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，，

∵，∴，∵，∴，∴．綜上：的度數(shù)為或.【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．27．（2023春·重慶九龍坡·七年級(jí)?？计谀┰谥?，，點(diǎn)E、點(diǎn)D分別是、上一點(diǎn)，連接、，且．

(1)如圖1，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖2，取的中點(diǎn)F，連接，若．求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角即三角形內(nèi)角和定理可得，，根據(jù)，可得，問(wèn)題隨之得解；（2）過(guò)C點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)于點(diǎn)G，根據(jù)平行可推出，先證明，即有，再證明，問(wèn)題得解．【詳解】（1）∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）如圖，過(guò)C點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)于點(diǎn)G，

∵，∴，，∵，∴，，即，∵的中點(diǎn)為F，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊對(duì)等角，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，作出合理的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．28．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，在直線l上方，．

(1)如圖1，，過(guò)點(diǎn)B，C作直線l的垂線，垂足分別為D、E．若，，則______；(2)如圖2，D，A，E三點(diǎn)在直線l上，若（為任意銳角或鈍角），猜想線段、、的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；(3)如圖3，，過(guò)點(diǎn)B作直線l上的垂線，垂足為F，點(diǎn)D是延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，作，使得，連接，，直線l與交于點(diǎn)G．求證：G是的中點(diǎn)．【答案】(1)5(2)，證明過(guò)程詳見(jiàn)解析(3)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)證出，可證明，即可得出線段之間的關(guān)系，從而得出答案；（2）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，則可得出結(jié)論；（3）分別過(guò)點(diǎn)C、E作，，由（1）可知，，得出，，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和，∴（AAS）∴，,∴；（2）猜想：，證明如下：∵，∴，，∴，在與中，，∴（AAS），∴，，∴；（3）證明：分別過(guò)點(diǎn)C、E作，，如圖所示

由（1）可知，，∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴（AAS），∴，∴G是的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．29．（2023春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知等腰中，，點(diǎn)D在射線上，連接，在右側(cè)作等腰，且

(1)如圖1，若平分，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)M在線段的垂直平分線上；(3)如圖3，射線與射線交于點(diǎn)G，若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，由角平分線的定義得到，進(jìn)而求出，則可得，利用三角形外角的性質(zhì)可得，即可證明；（2）如圖所示，在上取一點(diǎn)H使得，連接并延長(zhǎng)到T，使得，連接，證明是等腰直角三角形，推出，證明，，進(jìn)而證明，得到，則；證明，得到，進(jìn)而推出，證明，得到，則；證明都是等腰直角三角形，得到，即可證明，則點(diǎn)M在線段的垂直平分線上；（3）如圖所示，延長(zhǎng)到K使得，連接，設(shè)直線與交于M，證明，得到，由三角形內(nèi)角和定理得到，再證明，得到，同理可得，則．【詳解】（1）證明：∵都是等腰直角三角形，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）證明：如圖所示，在上取一點(diǎn)H使得，連接并延長(zhǎng)到T，使得，連接，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；∵是等腰直角三角形，M是的中點(diǎn)，∴，∴都是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴點(diǎn)M在線段的垂直平分線上；

（3）解：如圖所示，延長(zhǎng)到K使得，連接，設(shè)直線與交于M，∵，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴平分，∴同理可得，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．30．（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知．

(1)如圖1，按如下要求用尺規(guī)作圖：①作出的中線；②延長(zhǎng)至E，使，連接；（不要求寫(xiě)出作法，但要保留作圖痕跡．）(2)如圖2，若是中線．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，若是的中線，過(guò)點(diǎn)B作于E，交于點(diǎn)F，連接．若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)作圖見(jiàn)詳解(2)．證明見(jiàn)詳解(3)2【分析】（1）①根據(jù)三角形的中線的定義作出圖形即可．②根據(jù)要求作出圖形即可；（2）結(jié)論：．利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；（3）利用全等三角形的性質(zhì)證明，再利用（3）中結(jié)論解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：①如圖1所示，線段即為所求．作法：1．分別以為圓心，大于為半徑畫(huà)弧，交于兩點(diǎn)，2．連接這兩點(diǎn)與交于點(diǎn)，3．連接，線段即為所求．②如圖1中，線段，即為所求．

作法：1．延長(zhǎng)線段至點(diǎn)，使，2．連接，線段，即為所求；（2）解：與的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，

是中線，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，．（3）解：如圖3中，

，，，，，，是中線，，，，，在和中，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的中線的定義，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．31．（2023春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，E為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)連接，若G為線段的中點(diǎn)，連接．（i）試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（ii）連接，記的面積分別為，若，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（i）是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到，再根據(jù)同角的余角相等證明，由此即可證明；（2）（i）如圖所示，連接，先證明是等腰直角三角形，得到，再由三線合一定理得到，進(jìn)而證明，可證明，得到，再證明，即可證明是等腰直角三角形；（ii）如圖所示，延長(zhǎng)交于H，過(guò)點(diǎn)B作于M，設(shè)，先得到，，證明，得到，則可得，；證明，得到，則；進(jìn)一步證明是等腰直角三角形，得到，求出則．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；（2）解：（i）是等腰直角三角形，理由如下：如圖所示，連接，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵G為線段的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即，∴是等腰直角三角形；（ii）如圖所示，延長(zhǎng)交于H，過(guò)點(diǎn)B作于M，設(shè)，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，即，∴，又∵，∴，∴；∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．32．（2023春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）中，，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)B作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)如圖1，若平分，，求的值；(2)如圖2，M是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，當(dāng)平分時(shí)，試探究之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)如圖3，連接，①求證：；②，，求的值．【答案】(1)3(2)，理由見(jiàn)解析(3)①證明見(jiàn)解析；②12【分析】（1）如圖，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．證明，得到，再證明，即可得到；（2）如圖，分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，由（1）可得，得，再證得到，由此可得結(jié)論；（3）如圖所示，在上截取，證明，得到，，進(jìn)一步證明，則；②如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于G，則都是等腰直角三角形，可得，由全等三角形的性質(zhì)得到則，據(jù)此求出，則，進(jìn)一步求出則．【詳解】（1）解：如圖，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

∵，∴，又∵，∴．在和中，∴．∴；∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴；（2）解：，理由如下：如圖所示，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

由（1）可得，，∴．∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴．∵．∴．（3）解：①如圖所示，在上截取，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴；

②如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于G，∴，∴都是等腰直角三角形，∴，∵，∴∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．33．（2023春·上海浦東新·七年級(jí)上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┤鐖D，四邊形中，，聯(lián)結(jié)，且，分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，垂足分別為、．

(1)如圖1，當(dāng)為的平分線時(shí)，試說(shuō)明：；(2)如圖2，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，①直接寫(xiě)出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系______；②聯(lián)結(jié)，若，求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②64【分析】（1）利用和得到即可得出結(jié)論；（2）①利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)得到的度數(shù)，從而得出是等腰直角三角形，由即可得到結(jié)果；②根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵是是平分線，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴垂直平分，∴；（2）解：①；∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；②由①知是等腰直角三角形，

∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．34．（2022春·廣東梅州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，、、三點(diǎn)在一直線上，分別以、為邊在同側(cè)作等邊和等邊，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

(1)嗎？嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖2，若、、不在同一直線上，那么這時(shí)上述結(jié)論成立嗎？若成立請(qǐng)證明．(3)在圖1中，若連接、，你還能得到什么結(jié)論？（寫(xiě)出結(jié)論，不需證明）【答案】(1)，，理由見(jiàn)解析；(2)，但，理由見(jiàn)解析；(3)，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）易證，可得，，可證，可得；（2）根據(jù)全等三角形的判定及性質(zhì)可證明，利用反正法證明即可；（3）根據(jù)等邊三角形判定及性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）解∶，，理由如下：∵、都是等邊三角形∴，，，∴，，在和中，∴，∴，，在和中，∴，∴．（2）解：，但．理由如下：①∴和是等邊三角形，∴，，，∴，即，在和中，∴．∴，．②假設(shè)，由①可知，∴，又則與有兩邊和一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等．∴或（不合題意，舍去）∴，∴，∴，所以、、在同一條直線上，這與題意、、不在同一直線上矛盾，∴．（3）解：，理由如下：

∵，∴為等邊三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；證明線段不相等是比較獨(dú)特的，要注意掌握．35．（2023春·陜西西安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖（1），已知，且．

(1)求證：；(2)將繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（A、C、D三點(diǎn)在同一直線上除外）的過(guò)程中，若所在的直線交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)時(shí)，如圖2所示．求證：；(3)在（2）的條件下，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）由可得，由即可證明；（2）過(guò)B作交直線于M，由F是中點(diǎn)可證明，則，再由（1）中可得，則有，從而可得結(jié)論成立；（3）由，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，則，再由，則可得，即．【詳解】（1）證明：∵∴，即，在中，，∴；（2）證明：如圖，過(guò)B作交直線于M，

∴；∵F是的中點(diǎn)∴，∵，∴，∵，由（1）中知：，∴，∴，∴，∴；（3）證明：由（1），則，∵，，∴，∴，∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．36．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖①，已知點(diǎn)D在線段上，在和中，，，，，且M為的中點(diǎn)．

(1)連接并延長(zhǎng)交于N，寫(xiě)出線段與的數(shù)量關(guān)系：；(2)寫(xiě)出直線與的位置關(guān)系：；(3)將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上（如圖②所示位置），（2）中結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)成立，見(jiàn)解析【分析】（1）由可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，推出，得到，證出，因?yàn)?，即可得到；?）由（1）可知，，再由，可得，從而可得是等腰直角三角形，且是底邊的中線，即可得到；（3）作交的延長(zhǎng)線于N，連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，可得，推出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可推出．【詳解】（1），理由如下：如圖1，

∵，，，，∴和為等腰直角三角形，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴；故答案為：；（2），理由如下：由（1）得：，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，且是底邊的中線，∴；（3）仍成立，理由如下：如圖2，作交的延長(zhǎng)線于N，連接，

∴，在與中，，∴，∴，，又∵，，∴，在與中，，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，且是底邊的中線，∴．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定；此題綜合性比較強(qiáng)，培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，類比思想的運(yùn)用．37．（2023春·廣西南寧·九年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）綜合與實(shí)踐

(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等腰三角形，，，，點(diǎn)、、在同一條直線上，連接．①求證：；將下列解答過(guò)程補(bǔ)充完整．證明：，________，，在和中，，，；②若，則的度數(shù)為_(kāi)_______．(2)類比探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)、、在同一條直線上，為中邊上的高，連接．請(qǐng)判斷、與三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)拓展延伸：在（2）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形的面積．【答案】(1)①；②；(2)，理由見(jiàn)解析；(3)6【分析】（1）①根據(jù)，即可得到答案；②根據(jù)可得，求出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，即可求出結(jié)果；（2）由得出，再判斷出，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求得，再根據(jù)四邊形的面積＝的面積＋的面積，進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：①證明：，，，在和中，，，，故答案為：；②，，，，，，，，故答案為：；（2），，，，，在中，，，，，，；（3）解：由（2）得：，為中邊上的高，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．38．（2023春·廣