復(fù)變函數(shù)論論文

論文目錄摘要……………1關(guān)鍵詞…………1引言……………1理論……………1參考文獻(xiàn)………………………68．英文摘要………………………6全文共15頁(yè)2,148字復(fù)變函數(shù)論〔學(xué)號(hào)：20231101926劉艷玲〕〔物理與電子信息學(xué)院物理學(xué)專業(yè)2023級(jí)，內(nèi)蒙古呼和浩特010022〕指導(dǎo)老師：孫永平摘要：了解利用柯西定理來(lái)對(duì)復(fù)變函數(shù)的定分積和不定積分的分類。運(yùn)用留數(shù)定理來(lái)求解實(shí)變函數(shù)的積分。利用達(dá)朗貝爾，泰勒，解析延拓和洛朗法對(duì)級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，在運(yùn)用傅里葉變換來(lái)對(duì)特殊級(jí)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。關(guān)鍵字：復(fù)數(shù)；復(fù)變函數(shù)；積分；級(jí)數(shù)；留數(shù)；傅里葉變換；1引言了解利用柯西定理來(lái)對(duì)復(fù)變函數(shù)的定分積和不定積分的分類。運(yùn)用留數(shù)定理來(lái)求解實(shí)變函數(shù)的積分。利用達(dá)朗貝爾，泰勒，解析延拓和洛朗法對(duì)級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，在運(yùn)用傅里葉變換來(lái)對(duì)特殊級(jí)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。2復(fù)變函數(shù)2.1.1復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算2.1.1.1復(fù)數(shù)的根本概念Z=x+iy(1.1.1)這叫作復(fù)數(shù)的代數(shù)式，x和y那么分別叫作該復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，并分別記作Res和Imz。復(fù)數(shù)z可表示為三角式和指數(shù)式，即叫作該復(fù)數(shù)的模,叫作該復(fù)數(shù)的幅角。2.1.2復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)由此明顯可見加法的結(jié)合律和交換律成立。商的定義n次冪應(yīng)用n次根號(hào)的應(yīng)用2.1.2復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)定義一般地，當(dāng)z=x+iy在復(fù)平面上變化時(shí)，如果對(duì)于z的每一個(gè)值，都有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)值ω相對(duì)應(yīng)，那么稱ω為z的復(fù)變函數(shù)。寫作：ω=f〔z〕=u〔x，y〕+iv〔x，y〕為了更好的理解這個(gè)定義，我們需要了解以下概念：區(qū)域、鄰域、內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、境界線、閉區(qū)域、開區(qū)域等。2.1.2.2區(qū)域的定義區(qū)域：〔1〕點(diǎn)集中的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)〔2〕點(diǎn)集是連通的，即點(diǎn)集中的任何兩點(diǎn)都可以用一條曲線連接起來(lái)且線上的點(diǎn)全屬于該點(diǎn)集。閉區(qū)域：包括境界線的區(qū)域叫閉區(qū)域。開區(qū)域：不包括境界線的區(qū)域叫閉區(qū)域。鄰域：以Zo為圓心，以任意小正數(shù)ε為半徑作一圓，那么圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合稱為Zo的鄰域。內(nèi)點(diǎn)：Zo及其鄰域均屬于點(diǎn)集E，那么該點(diǎn)叫作E的內(nèi)點(diǎn)。外點(diǎn)：Zo及其鄰域均不屬于點(diǎn)集E，那么該點(diǎn)叫作E的外點(diǎn)。境界線：假設(shè)Zo及其鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)，也有不屬于E的點(diǎn)，那么該點(diǎn)為境界點(diǎn)，境界點(diǎn)的全體稱為境界線。2.1.2.3復(fù)變函數(shù)例2.1.3導(dǎo)數(shù)設(shè)是在z點(diǎn)及其鄰域定義的單值函數(shù).假設(shè)在z點(diǎn)存在，并且與的方式無(wú)關(guān)那么稱在z點(diǎn)可導(dǎo).可導(dǎo)的充要條件：u(x,y)和v(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)，且滿足C-R條件?！颤c(diǎn)解析一定可導(dǎo)，可導(dǎo)不一定解析；區(qū)域等同〕3復(fù)變函數(shù)的積分3.1.1復(fù)變函數(shù)的積分f(z)都用實(shí)部和虛部表出，所以復(fù)變函數(shù)的路積分有如下性質(zhì):1.常數(shù)因子可以移到積分號(hào)之外.2.函數(shù)的和的積分等于各個(gè)函數(shù)的積分的和.3.反轉(zhuǎn)積分路徑,積分變號(hào).4.全路徑上的積分等于各段上積分之和.5.積分路徑不僅依賴于起點(diǎn)和終點(diǎn)還與積分路徑有關(guān).3.2.1柯西定理單通區(qū)域柯西定理〔無(wú)孔無(wú)洞〕復(fù)通區(qū)域柯西定理總結(jié)起來(lái)，柯西定理說(shuō)的是閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線積分為零，閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿著所有外境界線正方向積分為零，閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時(shí)針方向積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)針方向積分之和。3.3.1不定積分假設(shè)函數(shù)F(z)在單通區(qū)域B上解析，那么沿B上任意一路L的積分的值只跟起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)而與路徑無(wú)關(guān)。記作3.4.1柯西公式例一、計(jì)算積分I,其中C為不經(jīng)過(guò)點(diǎn)0和1的正向曲線。 解：(1)如果0和1都不在C中，那么被積函數(shù)解析，因此,由Cauchy定理得I=0; (2)假設(shè)僅0在C內(nèi),函數(shù)在C上及C包圍的區(qū)域解析，由Cauchy積分公式，得到〔3〕假設(shè)僅1在C內(nèi),函數(shù)在C上及C包圍的區(qū)域解析，由Cauchy積分公式，得到 (4)假設(shè)0和1都在C內(nèi)，由Cauchy定理而在上及包圍的圓內(nèi)解析，同樣，在上及包圍的圓內(nèi)解析，故利用Cauchy積分公式，有上面的結(jié)果得 最后，我們有：其中D為曲線C包圍的區(qū)域。冪級(jí)數(shù)展開4.1.1復(fù)數(shù)項(xiàng)冪級(jí)數(shù)設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)的無(wú)窮級(jí)數(shù)柯西收斂判據(jù)成立，這就是說(shuō)，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是，對(duì)于任一給定的小正數(shù)，必有N存在，使得n>N時(shí)，P為任意正整數(shù)。4.2.1冪級(jí)數(shù)其都是復(fù)習(xí)常數(shù)，這樣的級(jí)數(shù)叫作以為中心的冪級(jí)數(shù)。應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法〔達(dá)朗貝爾判別法〕可知絕對(duì)收斂，引入記號(hào)R4.3.1泰勒級(jí)數(shù)展開定理設(shè)f(z)在以為圓心的圓解析，那么對(duì)圓內(nèi)任意z點(diǎn)，f(z)可展開為冪級(jí)數(shù),為圓內(nèi)包含且與同心的圓。4.4.1洛朗級(jí)數(shù)展開定理設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域解析，那么對(duì)圓環(huán)內(nèi)任意z點(diǎn)，f(z)可展開為冪級(jí)數(shù).其中，積分路徑為位于環(huán)內(nèi)按逆時(shí)針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。例1、求和在z=0鄰域的Taylor展開。故收斂半徑類似收斂半徑例2、在的鄰域?qū)⒄归_。解：其中于是例3、在的鄰域?qū)⒄归_解：5留數(shù)定理設(shè)函數(shù)在回路所圍區(qū)域B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析，在閉區(qū)域上除外連續(xù)，那么5.1.1留數(shù)定理將洛朗級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分右邊各項(xiàng)除去的一項(xiàng)全是零，而的一項(xiàng)里的積分等于，于是而洛朗級(jí)數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)，叫作函數(shù)在點(diǎn)的留數(shù)。通常記作，這樣，留數(shù)定理設(shè)函數(shù)f(z)在回路l所圍區(qū)域B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)設(shè)函數(shù)在回路所圍區(qū)域B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析，在閉區(qū)域上除外連續(xù)，那么留數(shù)定理將回路積分歸結(jié)為被積分函數(shù)在的回路所圍區(qū)域上個(gè)孤立奇點(diǎn)留數(shù)之和。一階：M階：例1：求在其奇點(diǎn)的殘數(shù)。解：?jiǎn)螛O點(diǎn)2i,三階極點(diǎn)0z=2iz=0*例2或例3考一類。例2：解：例3：解：?jiǎn)螛O點(diǎn)，5.2.1應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分類型一被積函數(shù)是三角函數(shù)的有理式，積分區(qū)間是。作自變數(shù)代換那么類型二，積分區(qū)間是，復(fù)變函數(shù)在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的，當(dāng)z在上平面時(shí)，。那么類型三積分區(qū)間是，偶函數(shù)F(x),奇函數(shù)G〔x〕在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的。當(dāng)z在上平面時(shí)，。同理6傅里葉變換6.1.1傅里葉級(jí)數(shù)6.1.1.1周期函數(shù)的傅里葉展開假設(shè)函數(shù)以為周期，即=那么可取三角函數(shù)族作為根本函數(shù)族，將展開為級(jí)數(shù)=+〔2〕三角函數(shù)族正交，其中任意兩個(gè)函數(shù)的乘積在一個(gè)周期上的積分等于零，可以求得〔2〕中的展開系數(shù)為其中〔3〕狄里希利定理：假設(shè)函數(shù)滿足條件：〔1〕處處連續(xù)或在每個(gè)周期中只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；〔2〕在每個(gè)周期中只有有限個(gè)極值點(diǎn)那么級(jí)數(shù)〔2〕收斂，且級(jí)數(shù)和=〔4〕6.1.2.1奇函數(shù)及偶涵數(shù)的傅里葉展開1.假設(shè)周期函數(shù)是奇函數(shù)，那么由傅里葉的計(jì)算公式〔3〕可見及均等于零，展開〔2〕為=這叫做傅里葉正弦級(jí)數(shù)。由于對(duì)稱性，其展開系數(shù)為2.假設(shè)周期函數(shù)為偶函數(shù)那么展開式為=+這叫做傅里葉余弦級(jí)數(shù)。由于對(duì)稱性，其展開系數(shù)為=6.2.1傅里葉積分與傅里葉變換6.2.1.1實(shí)數(shù)形式的傅里葉變換設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，一般來(lái)說(shuō)，它是非周期的，不能展為傅里葉級(jí)數(shù)。所以我們將非周期函數(shù)看作是某個(gè)周期函數(shù)于周期時(shí)的極限情形.這樣，的傅里葉級(jí)數(shù)展開式=+〔5〕引入不連續(xù)參量=〔=0,1,2，〕，=-=這樣〔5〕式稱為=+〔6〕傅里葉系數(shù)為對(duì)與系數(shù)，假設(shè)有限，那么=當(dāng)時(shí)〔5〕的余弦局部為正弦局部為于是〔5〕式的形式為=上式稱為傅里葉積分。其中此式稱為的福利葉變換式。6.2.1.2奇函數(shù)的傅里葉積分是傅里葉正弦積分=是的傅里葉正弦變換滿足條件偶函數(shù)的傅里葉積分是傅里葉余弦積分=是