2022年高考數(shù)學(xué)模擬自測題（根據(jù)以往高頻出現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)編輯）21

2022年高考數(shù)學(xué)模擬自測題（根據(jù)以往高頻出現(xiàn)知

識(shí)點(diǎn)編輯）_02E

單選題（共8個(gè)，分值共：）

1、已知A（-2,0）,B（4,0）,在直線上4%+3'+血=0上存在點(diǎn)「，使PAJ.PB,則m的最大值是（）

A.9B.11C.15D.19

答案：B

解析：

由題意分析可得以線段4B為直徑的圓的方程，由于P4LPB,得到d=*W3,即可求出答案.

V16+9

【本題詳解】

設(shè)以線段為直徑的圓為圓M,則圓心為M（l,0）,半徑r=3,

故圓M的方程為（x-+y2=9.

因?yàn)?41PB,

所以點(diǎn)P在圓M上.因?yàn)辄c(diǎn)P在直線/上，

所以圓心M到直線/的距離d=粵W3,

V16+9

解得一19SmS11.

所以正確答案為：B.

2、在三角形△ABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）

A.°=8,b=16,A=30°B.a=25,b=30,A=150°

C.a=30,b=40,A=30°D.a=72,b=30,A=45°

答案：C

解析：

ab

由正弦定理可得sinA-sinB,根據(jù)條件求得sinB的值，根據(jù)b與a的大小判斷角B的大小，從而判斷三角形

4BC的解的個(gè)數(shù).

【本題詳解】

a_h

由正弦定理可得sinAsinB,若A成立，a=8,b=16,A=30°,有5=々，

-sinB

2

：.sinB=1,：.B=90°,故三角形ABC有唯一解.

若8成立，a=25,b=30,A=150°,有孕=也，，sinB=三，又&>“，

-sinB5

故B>150°,故三角形4BC無解.

若C成立，a=30,b=40,A=30°,有斗■=siziB=L又…,

-2sinB3

故B>4,故B可以是銳角，也可以是鈍角，故三角形4BC有兩個(gè)解.

若。成立，a=72,b=60,A=135°,有篝=義，；.sinB=絆，由于B<4故B為銳角，故三角形

V2sinB12

2

ABC有唯一解.

所以正確答案為：C.

3、S.為等比數(shù)列｛a"的前蹤項(xiàng)和，?i>0,55<3%+。2+a/則公比q的取值范圍是()

A.(-l,0)B.(0,1)

C.(-1,1)D.(-1,0)U(0,1)

答案：D

解析：

根據(jù)題意，利用首項(xiàng)與公比表示出各項(xiàng)和，建立不等式求解即可.

【本題詳解】

因?yàn)?5=的(1+q+q?+q3+q4)<%(3+q+q3),且%>o,

所以q4+q2-2<0,

解得q2<1,

又q力0,

解得一1<q<0或0<q<1,

所以正確答案為：D

4、已知函數(shù)f(x)=^lx-3x<0若函數(shù)'="(x)]2+7n-x)+1有6個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是

()

A?(-2與B.(-2,骷(2,飄(2罔

答案：D

解析：

利用數(shù)形結(jié)合可得t2+mt+1=0在[-3,1)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.

【本題詳解】

設(shè)t=/(%),則y=g(t)=/+7nt+1,作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示，

2

則函數(shù)y=[/(x)]2+m/(x)+1有6個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于g(t)=0在[—3,1)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

m2-4>0

g(—3)=9—3m+1之0,/10

則g(l)=l+m+l>0,解得2<ni<y.

1_3<_六1,

所以正確答案為：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合，把問題轉(zhuǎn)化為方程t2+mt+1=。在[-3,1)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

即二次方程根的分布問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即解.

5、已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/0=卜(％-4)上存在一點(diǎn)「，使得|0P|=2,貝?味的取值范圍為()

A.[-2,2]B.(-8,一審u惇+8)

C.[一號(hào)，等D.(—00,-2]U[2,+oo)

答案：C

解析:

分析可知，直線，與圓M+y2=4有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于k的不等式，即可求得實(shí)數(shù)上

的取值范圍.

【本題詳解】

設(shè)點(diǎn)尸("))，則|0P|=+y2=2,即/+y2=4,即點(diǎn)P的軌跡方程為+y2

=4,

且圓％2+y2=4的圓心為0(°，°),半徑為2,

由題意可知，直線/與圓/+y2=4有公共點(diǎn)，則湍42,解得—當(dāng)小工*

所以正確答案為：C.

6、已知函數(shù)f(x)=8s譏2X—2COS2X,則下列結(jié)論正確的是()

3

A./(x)的周期為兀的奇函數(shù)B./0)的圖象關(guān)于點(diǎn)(",1)對(duì)稱

C./(x)在口詈]上單調(diào)遞增D./(x)的值域是[-1,3]

答案：C

解析：

由題可得/'(x)=2sin(2x-1)-1,然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.

【本題詳解】

由題意可得/(%)=V3sin2x—cos2x—1=2sin卜x——1.

因?yàn)閒(r)=2sin(-2x-勻-1=一25/卜》+，)-1*-f(x),所以/'(x)不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)?e)=2sin(2x^Y)-l=—l,所以/"(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)七,1)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

令2/CTT—工W2x—巳W2/OT+巴(keZ),解得卜兀一三WxWkn'+工(k6Z),當(dāng)％=1時(shí)，—<x<—,則C正

2626363

確；

因?yàn)椤?Wsin(2x—/)S1,所以一2S2sinQx—■：)S2,所以一3s2s譏.x—?-1S1,即/'(x)的值域

是[—3,1],故D錯(cuò)誤.

所以正確答案為：C.

7、已知數(shù)列｛斯｝中，其前n項(xiàng)和為工,且滿足%=2-%，數(shù)列｛成｝的前n項(xiàng)和為%,若能-4(-1)"〃20對(duì)

n€N*恒成立，則實(shí)數(shù);I的值可以是()

A.—|B.2C.3D.I

答案：D

解析：

由%=2-冊(cè)求出即，從而可以求7n,再根據(jù)已知條件不等式恒成立，可以進(jìn)行適當(dāng)放大即可.

【本題詳解】

若n=l,則S]=%=2—%，故&=1；

若n>2,n&N*,則

由｛得公=熱故廝=圭，Sn=背=2—+

所以即2=總，7n=*=1(4一涓)，

4

又因?yàn)镾/-A(-l)n7；30對(duì)幾€N*恒成立，

當(dāng)九=1時(shí)，貝!)(2—I)2+入[[(4—l)j>0怛成立，A>—1

當(dāng)n22,nCN*時(shí)，2f2,°<拿嚀

所以|42-+<2,2<2+當(dāng)式|,-2<-(2-^r)<-|

4

（2-巖）7（T）陪（4—a）］20,（2—巖）一穴―1）叫（2+右）］>o

若n為奇數(shù),敗N/迪>—3；

*2+品）

，所以花金.

若“為偶數(shù)，則aw

；（2+六）

32

所以，對(duì)71eN*（2—習(xí)工）—2（—l）n好（4—3二）］20恒成立，必須滿足-

所以正確答案為：D

8、知點(diǎn)M,N分別為圓G：（x-2/+（y-1）2=1,C2：（x+3）2+0—2）2=1上的動(dòng).點(diǎn)，P為x軸上一點(diǎn)，則

畫+網(wǎng)的最小值（）

A.V34B.V34-2C.V26D.V26-2

答案：B

解析：

求出圓C］關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)CJ,以及半徑，然后求解圓CJ與圓C2的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和,

即可求出|PM|+|PN|的最小值.

【本題詳解】

圓G關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)Cj（2,-1）,半徑為1,圓。2的圓心坐標(biāo)為。2（-3,2）,半徑為1,

二若M與M關(guān)于x軸對(duì)稱，則|PM|=|PM|,即|PM|+|PN|=|PM|+|PN|,

當(dāng)P,MG'三點(diǎn)不共線時(shí)，\PM\>IPC/l-1

當(dāng)P,M，G'三點(diǎn)共線時(shí)，\PM\=IPC/l-1

所以|PM|>|PC/|-1

同理|PN|>\PC2\-1（當(dāng)且僅當(dāng)P,N,Cz時(shí)取得等號(hào)）

所以|PM|+\PN\>IPC/I+|PC2|-2

當(dāng)P,Ci',C2三點(diǎn)共線時(shí)，IPCI'I+|PQI=IG'GI

當(dāng)P,CjC2三點(diǎn)不共線時(shí)，IPCi'l+IPC2I>\c1'c2\

所以IPC/I+\PC2\>IC/C2I

\PM\+|PN|的最小值為圓CJ與圓C2的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，

IG'Czl-1-1=J（—3—2，+（2+1尸-2=V34-2.

所以正確答案為：B.

5

多選題(共4個(gè)，分值共：)

9、已知函數(shù)/"(X)=因―]一3,/'(X)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列命題正確的是()

A./(x)在區(qū)間(0,+9)上是增函數(shù)B.當(dāng)(-8,0)時(shí)，函數(shù)/(x)的最小值為-1

C./(%)-/(-%)=2D.y=/(%)-"約有2個(gè)零點(diǎn)

答案：ABD

解析：

對(duì)A,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)即可判斷；

對(duì)B,運(yùn)用基本不等式即可判斷；

容易判斷C；

對(duì)D,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)而運(yùn)用放縮法并結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定函數(shù)的零點(diǎn)

個(gè)數(shù).

【本題詳解】

當(dāng)x〉0時(shí)，/(x)=x-i-3,f'(x)=1+或>0,二/(x)在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)，A選項(xiàng)正確；

當(dāng)x<0時(shí)，/(%)=-X--3=(-x)-3>-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取到最小值，B選項(xiàng)正確；

X(-X)

當(dāng)％V0時(shí)，/(%)-/(-%)=-2,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)％>0時(shí)，/(%)一/'(%)=%4：2一"一\令g(x)=/一4一一%—1,則g，(x)=3/一8%-1,由于4>0,

設(shè)方程g(X)=0的兩根為V%2)，由％1=2=-：<0=V>0，所以%￡(0,%2)時(shí)，0。)<0，

g(x)單調(diào)遞減，％e(%2，+8)時(shí)，9(%)>0,9(%)單調(diào)遞增，且g(0)=—IV0,又g(5)=125—100—6=

19>0,所以g(x)在(0,+8)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)％<0時(shí)，/(%)—/(%)=二%二手一七,令九(%)=-X3—2x2—%—1,則九(%)=-3%2—4%—1,令h(x)=

0=%3=-1，%4=％￡(-8,-1)時(shí)，h(x)<0,九(%)單調(diào)遞減，時(shí)，h(x)>0,h(x)單調(diào)遞

增，%€(—[,())時(shí)，，九(久)V0,九(%)單調(diào)遞減，則極大值無(―；)=—HV0,極小值九(—1)=—1<0,而

九(一3)=27-18+2=11〉0,所以九。)在(一8,0)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上：y=/。)-/(町有2個(gè)零點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.

6

所以正確答案為：ABD.

10、設(shè)圓。：0-3)2+3-4)2=9,過點(diǎn)P(l,2)的直線2與C交于4B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為()

A.P可能為48中點(diǎn)B.的最小值為3

C.若［48|=2遮，則，的方程為y=2D.△ABC的面積最大值為［

答案：AD

解析：

判斷點(diǎn)P在圓的內(nèi)部，當(dāng)CP1直線，時(shí)，P為4B中點(diǎn)，且此時(shí)|2以最小，利用弦長公式可求得，可分別判斷

ABC,利用基本不等式可判斷D.

【本題詳解】

圓C:(x-3)2+(y-4)2=9,圓心(3,4),半徑r=3

對(duì)于A,???(1-3)2+(2-4)2=8<9,即點(diǎn)p在圓的內(nèi)部，當(dāng)CPL直線H1寸，P為AB中點(diǎn)，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)CPLt線/時(shí)，|4B|最小，「kep=m=1,二&=一1,

則直線(的方程為x+y—3=0,圓心(3,4)到直線1的距離d=爰=2近，\AB\=2Vr2—d2=2,故B錯(cuò)誤:

對(duì)于C,當(dāng)直線I斜率不存在時(shí)，即x=l,此時(shí)|48|=2-32-22=2遍,符合；

當(dāng)直線1斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為kx-y-k+2=0,由|AB|=2反刀'=2遮，得d=2,

則圓心(3,4)到直線/的距離d=倒荒苔21=2,解得k=o,即y=2,所以滿足題意的直線為y=2或x=l,

故C錯(cuò)誤；

27

對(duì)于D,ShABC=|\AB\'d=|x2<9-d-Vd<=2,

當(dāng)且僅當(dāng)9—d2=d2,即d=￥時(shí)等號(hào)成立，所以△ABC的面積最大值為看故D正確.

所以正確答案為：AD

11、已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù)，下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱B."4)=0

C./(%+4)=/(x)D.若/(-1)=1,則/(2021)=1

答案：BD

解析：

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)/(%)是周期為8的周期函數(shù)，據(jù)此依次分析選項(xiàng)，綜合即可得到答案.

【本題詳解】

對(duì)于A,函數(shù)〃久+2)為偶函數(shù)，則函數(shù)/(%+2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

由平移變換可知，函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線久=2對(duì)稱，貝|/(一%)=/(4+%),

/(%)是定義城為R的奇函數(shù)，則/'(0)=0,所以/(4)=/(0)=0,故8正確；

對(duì)于C,由函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于直線％=2對(duì)稱，

7

則函數(shù)f(x)是周期為8的周期函數(shù)，即/(x+8)=f(x),故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若=則/(2021)=/(5+2016)=/(5)=/(-1)=1,故D正確；

所以正確答案為：BD.

12、已知數(shù)列｛即｝的前"項(xiàng)和為S“，的=1且當(dāng)7122時(shí)，Sn-i+5n=On-則下列命題正確的是()

A.若｛5｝是遞增數(shù)列，則數(shù)列｛%“；n+；｝的前。項(xiàng)和為1一

B.若｛時(shí)｝是遞增數(shù)列,則謚一磅+譴_成+…(-1嚴(yán)-1嗎=(_1尸-1吟也

C.存在無窮多個(gè)數(shù)列｛斯｝，使得。2021=-2020

D.僅有有限個(gè)數(shù)列｛an｝,使得。2021=-2020

答案：BD

解析：

71

利用an=[*=：＞＞求得0=(%+味1)9?一昨1一1).對(duì)人選項(xiàng)，先求得an,然后利用列項(xiàng)求和法

來判斷正確性.對(duì)B選項(xiàng)，對(duì)幾分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行分類討論來判斷正確性.對(duì)CD選項(xiàng)，

【本題詳解】

因?yàn)楫?dāng)九二2時(shí)，Sn_i+Sn=W，則2sti=。(+。九，且2s71T=成_1+Q”I，

aaf

所以2an=磷—W—i+an—an_i，即0=W—?n-i~n~n-l

所以0=(an+an_i)(an-Q“I)一(。九+%-1)，即0=(即+即-1)@一演-1-1)，

A選項(xiàng)：因?yàn)椋鸻n｝是遞增數(shù)列，所以an+Qn_i00,貝ijan—an_i-1=0,貝經(jīng)檢驗(yàn)九二1時(shí)成立，

則a九=n,

則——-——=---------=i(-........—1

azn-ia2n+i(2n-l)(2n+l)2\2n-l2n+17

其前幾項(xiàng)和為+：-=9(1-*)，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：因?yàn)椋鸻n｝是遞增數(shù)列，所以an+a讓1。0,則Qn-an_i-1=0,則Qn=n,經(jīng)檢驗(yàn)n=l時(shí)成立，

則a九=n,

則無=al-a1+al-al+???(—l)n-1a^=l2-224-32-424----1-(n—I)2—n2

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

S九=(1+2)(1—2)+(3+4)(3—4)+…+(zi—1+幾)(7i—1—?i)

=-(1+2+3+…+n)=一吟12,

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

2

Sn=(1+2)(1-2)+(3+4)(3—4)+…+(?i—2+九一l)(n-2—n+1)4-n

=—(1+2+34----1-n—1)4-n2=---------x(n—1)+n2

_n2+n_n(7i+l)

—2-2'

綜上所述，S九=(一1尸Tg也，故B正確；

8

CD選項(xiàng)：由上述分析得0=(an+an-JSn-an-i-1)，所以a”+$-1=。或即一冊(cè)一1一1=0,

即即=-即-1或即=a“_i+1.即從a2起，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的相反數(shù)或是"前一項(xiàng)加1".

右。2021=-2020,則。2020=2020或。2020=-2021.

由于的=1,從a2起每項(xiàng)是"前一項(xiàng)加1",則到第2020項(xiàng)則為a2O2o，符合題意.

|-2021|=2021,從1起每項(xiàng)加1至少要到第2021項(xiàng)，所以。2020=-2021不符合題意.

所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.

所以正確答案為：BD

填空題(共3個(gè)，分值共：)

13、定圓M:(x+g)+y2=i6,動(dòng)圓N過點(diǎn)尸(百,0)且與圓/W相切，記圓心/V的軌跡為E,設(shè)點(diǎn)A,B,C

在E上運(yùn)動(dòng)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且|AC|=\BC\,當(dāng)AABC的面積最小時(shí)，則直線AB的斜率是.

答案：±1

解析：

先考慮為長軸或短軸時(shí)，△ABC的面積，然后考慮AB斜率存在且不為。時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立后求出

|。川與|OC|,表達(dá)出面積，用基本不等式求出面積最小值，比較后得到符合要求的直線AB的斜率.

【本題詳解】

因?yàn)镕(遍,0)在圓M:(x+遍『+y2=16內(nèi)，所以圓N內(nèi)切于圓M,\FM\=2y/3,

???\NM\+\NF\=4>\FM\,所以點(diǎn)N的軌跡E為橢圓，設(shè)橢圓方程為a+1=1,則2a=4,2c=2舊，所

以爐=4-3=1,E：9+y2=i,若人B為長軸或短軸時(shí)，S^ABC=^\OC\-\AB\=2,若AB斜率存在且

422

{丁+1J1,所以/=鼻，若=表，所以

1。*2=必+才=備+卷盤=黑，因?yàn)?4cl=田即，所以。C_L48,將k替換為一/可得：|OC|2=

黑,所以〃曲=2,詼=3"。0=展庠=陌熏=廣手由基本不等式得：

4k2+3+1722廂?+17=25,此時(shí)〃謝之三當(dāng)且僅當(dāng)4k2=》歐=±1時(shí)等號(hào)成立，綜上：△

K\K3K

4BC面積最小為盤此時(shí)直線AB的斜率是±1.

故答案為：±1

14、若函數(shù)/(%)=—%與函數(shù)g(x)=Q婚+2的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

答案：(―e,0)

解析：

將原問題轉(zhuǎn)化為方程-X=aex+2有兩個(gè)不同的解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線y=a與函數(shù)似x)=-鰲的圖象有兩個(gè)

不同的交點(diǎn)求解作答.

【本題詳解】

9

函數(shù)/(x)=-x與函數(shù)g(x)=aex+2的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程-x=aex+2有兩個(gè)不同的

解，

而-x=ae*+2=a=-譽(yù)，令h(x)=-譽(yù)，則直線y=a與函數(shù)/i(x)=-詈的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

又/i(x)=答，當(dāng)x<—l時(shí)，/i(x)<0,當(dāng)x>-1時(shí)，/i(x)>0,即九(x)在(一8,—1)上單調(diào)遞減，在

(―1,+8)上單調(diào)遞增，

于是當(dāng)x=-l時(shí)，=-e,而九(一2)=0,當(dāng)％>-1時(shí)，一譽(yù)<0,函數(shù)y=/i(x)的圖象，

如圖，

觀察圖象得：當(dāng)一e<a<0時(shí)，直線y=a與函數(shù)九(x)=—差的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以a的取值范圍是(—e,0).

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：研究方程根的情況，可以通過轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，

再借助數(shù)形結(jié)合思想分析問題，使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).

15、已知當(dāng)x6(0,n)時(shí)，不等式W0的解集為A,若函數(shù)f(x)=sin(x+租)(0<s<兀)在x64

上只有一個(gè)極值點(diǎn)，則。的取值范圍為.

答案:(0*)11(拳兀)

解析：

解三角不等式求出集合4再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)極值的圖象特征即可列式計(jì)算作答.

【本題詳解】

.cos2x+3sinx-2,八4日-2sin2x+3sinx-l(2s出％-l)(sinx-l)

由1W。得:nn

-sin2x-4sinx—‘sinx(sinx+4)—'

因xe(0,7r),貝ijsinx>0,sinx4-4>0,則有(2sinx—l)(sin%—1)40,而sinx-l40,

于是得2stnx-1>0,BPsinx>解得g<x<即A=[x\^<x<

令t=%+仍tc碎+(p,詈+9],依題意，y=sW在區(qū)間('+尹,詈+g)上只有一個(gè)極值點(diǎn),

即函數(shù)y=sin￡在區(qū)間(弓+0噂+9)內(nèi)只有一個(gè)最值點(diǎn)，

由0<①<?？傻猛?lt;-+(p<—,且亞<—+,

666666

10

0<(P<n(0<(p<n

6+(P<2或+解得0<W<g或§<W<兀，

{7T75冗」,37r5冗?、37r3

所以。的取值范圍為(0,》u年,兀).

故答案為：(0,g)u管,兀)

【點(diǎn)睛】

知識(shí)點(diǎn)睛：函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,句上的極值點(diǎn)是開區(qū)間(a,b)的內(nèi)點(diǎn)；正余弦函數(shù)在［a,b］上的極值點(diǎn)是開區(qū)間

(o,b)內(nèi)的最大或最小值點(diǎn).

解答題(共6個(gè)，分值共：)

16、已知橢圓C：5+\=1((1>6>0)過點(diǎn)時(shí)(2,3),點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為點(diǎn)求橢圓C的方程.

答案:臺(tái)白1

解析：

根據(jù)已知求出a=4,再根據(jù)橢圓過點(diǎn)M(2,3)得到卷+總=1，即得解.

【詳解】

解：由題意可知直線4M的方程為：y-3=i(x-2),即x-2y=-4.

當(dāng)y=0時(shí)，解得％=-4,所以a=4,

橢圓C：W+。=13>。>0)過點(diǎn)”(2,3),可得卷+，=1,

解得〃=12.所以C的方程為三+1=1.

1612

22

17、已知雙曲線京一￡=19>0">0)的離心率為2,求該雙曲線的漸近線方程.

答案：y=±V3x

解析：

根據(jù)雙曲線離心率計(jì)算公式和a,b,c之間的關(guān)系、結(jié)合雙曲線漸近線方程相關(guān)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

因?yàn)殡p曲線條一，=l(a>0,b>0)的離心率為2,

所以，=5=腎=2,所噎=3,

所以該雙曲線的漸近線方程為y=±^x=±V3x.

54

18>(1)求值：33-334-log220—log425；

(2)若1og3(a+1)=1，求ZogJ+-1)的值.

答案：(1)29；(2)1.

解析：

11

(1)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)直接求解即可；

(2)先將log3(a+l)=l化為指數(shù)的形式求出a值，代入式中計(jì)算即可得到答案.

【詳解】

54

(1)35-35+log220—log425

+

=333+log220—log25

=27+log24=29；

(2)由Zog3(a+1)=1,可知a+l=3,故a=2,

loga2+loga(a-1)=log22+log2l=1.

19、如圖，在四棱錐P-4BC0中，PC，底面4BCLUBCD是直角梯形，AD1DC.AB//DC,AB=2AD=

2CD=2,點(diǎn)E在線段PB上且星=^EB.

(1)證明直線PD〃平面4EC;

(2)證明直線BC_L平面PAC.

答案：

(1)證明見解析

(2)證明見解析

解析：

(1)作輔助線，即連接8。交4C于點(diǎn)。，連接0E,利用△DOC”A804及方=：麗，證明PD//OE,利用線面

平行的判定定理證明即可；

(2)通過計(jì)算證明AC'BC,由PC_L平面ABCD得到PC_LBC,利用線面垂直的判定定理證明即可.

(1)

證明：連接BD交AC于點(diǎn)。，連接。瓦

???AB//DC,AB=2CD,

二ADOC-ABOA，即絲

，OBAB2

又；朝二屁,

2

12

...-D-O--P-E——1

OBEB2

PD//OE

又丫OEu面AEC、PDC面AEC

：.PD11面AEC

■：PCI■平面AB。。，"u平面ABCD,

PC1BC,

又；AB=2,AD=CD=1,AD1DC,且4BCD是直角梯形,

AC=BC=\[2,即4c2+8。2=4^2,

,??ACIBCf

文:PCcAC=C,且pc,ACu平面PAC,

BC1平面PAC.

20、已知~、=2

2sin(n-a)+c”osJ(2n-a)

(1)求￡。n。的值；

(2)若一7T<a<0,求s譏a+cosa的值.

答案：

(1)tana——2

⑵-B

解析：

(l)根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡題干條件，得到stria=-2cosa,進(jìn)而求出tcma的值；(2)結(jié)合第一問求出的正切值

和-TiVaVO,利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出正弦和余弦值，進(jìn)而求出結(jié)果.

(1)

sina-4sin(^+aj

=2

2sin(7r-a)+cos(27r-a)

.sina-4cosa

=2,化簡得：sina=—2cosa

2sina+cosa

13

tana=—2

(2)

—n<a<0,tana=-2<0

「.Q為第四象限，故sina<0,cosa>0

sina——2cosa4H.2VsVs

由［.212］得sma=一=，cosa=—

^sin￡a4-cos￡a=155

-2x<5,V5V5

故sina+COSQ=———+g=一g

21,已知AABC的頂點(diǎn)4(1,3),5(3,1),C(-l,0).

(1)求高CD所在