大學(xué)物理學(xué)基本教程課件

(習(xí)題1-7)離水平面高為h

的岸邊,有人用繩以恒定速率v0拉船靠岸.試求船靠岸的速度,加速度隨船至岸邊距離變化的關(guān)系式.對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到速度和加速度：(1)(2)由題意知：(3)解：在如圖所示的坐標(biāo)系中,以船為研究對(duì)象視為質(zhì)點(diǎn),其位矢為(4)負(fù)號(hào)表明船的速度、加速度均沿水面指向岸邊.

第二章牛頓運(yùn)動(dòng)定律引言：前一章從幾何觀點(diǎn)研究物體的運(yùn)動(dòng)，本章將運(yùn)動(dòng)與改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因聯(lián)系起來研究。

1687年，牛頓出版的名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》總結(jié)了前人（伽利略）的成果并加以發(fā)展，給出了牛頓三定律的完整描述。牛頓運(yùn)動(dòng)定律是整個(gè)經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)，整個(gè)經(jīng)典力學(xué)都是以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為基礎(chǔ)建立起來的。牛頓的三條定律敘述如下：§2—1牛頓運(yùn)動(dòng)定律一、牛頓第一定律1、陳述：任何物體都保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài),直到合力迫使它改變這種狀態(tài)為止。2、意義：

a.慣性大小的量度(m)(保持原有的屬性)b.力不是維持原有狀態(tài)的原因，而是改變狀態(tài)的原因。

c.則保持原有的狀態(tài)（受力為0，與合外力為0等價(jià)，不受力的物體沒有。）３、注意：a.速度大力就大（）

b.物體作曲線運(yùn)動(dòng)（變速運(yùn)動(dòng)，有）或二、牛頓第二定律１、陳述：物體運(yùn)動(dòng)的加速度大小與合外力成正比，與m成反比，方向與方向一致。當(dāng)<<C時(shí)：m=const2、意義：定量地描述了與力的關(guān)系：大小成正比方向一致3、注意：a.只適用于質(zhì)點(diǎn)、慣性系b.是一矢量式對(duì)矢量式可取分量形式，取坐標(biāo)：法向力----法向加速度切向力----切向加速度c.牛頓第二定律是瞬時(shí)關(guān)系；(某時(shí)刻)d.不是力，而是力的效果；（力使質(zhì)量為m的物體產(chǎn)生了的加速度）e.力的獨(dú)立性原理（力的疊加原理）m受諸多力的作用：

幾個(gè)力同時(shí)作用于物體所產(chǎn)生的加速度，等于各個(gè)分力分別作用于該物體時(shí)產(chǎn)生的加速度的迭加。4、問題：某瞬間三、牛頓第三定律１、陳述：作用力與反作用力大小相等，方向相反，作用于同一直線上。2、意義：

a.力是相互的，成對(duì)出現(xiàn)的；

b.作用力與反作用力具有瞬時(shí)性；

c.作用力與反作用力性質(zhì)相同；

d.作用力與反作用力不是平衡力，不能抵消。-mg地心mg四、慣性系當(dāng)車靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球相對(duì)于車靜止；b.當(dāng)車以加速運(yùn)動(dòng)時(shí)地：小球偏向后方，受力不為0，以隨車運(yùn)動(dòng)車：小球偏向后方，受力不為0，為0。2、慣性系原因：以運(yùn)動(dòng)的車子不是慣性系a.陳述：對(duì)牛頓定律適用的參考系。如大地（書P43）發(fā)現(xiàn)：對(duì)大地作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系都是慣性系。1、例子：?b.力學(xué)的相對(duì)性原理：（速度合成定理）（加速度合成定理）若運(yùn)動(dòng)參考系對(duì)大地作勻速直線運(yùn)動(dòng)則有即則力學(xué)相對(duì)性原理：牛頓定律在一切慣性系中的表現(xiàn)形式是相同的?！?—2牛頓定律的應(yīng)用牛頓定律的核心-------力一、力

1、定義：物體間的相互作用，是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（即產(chǎn)生加速度）的原因。2、表示：箭頭力的三要素：大小、方向、作用點(diǎn)3、分類：自然力：萬有引力、電磁力、強(qiáng)力弱力（場(chǎng)力）接觸力：相互間的推、拉、擠、壓引起。如：彈性力、摩擦力等力自然力：四種：萬有引力，電磁力，強(qiáng)力和弱力。力學(xué)中常見的力:a、萬有引力存在于任何兩個(gè)物體間的相互吸引力。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為地面附近其中

上述結(jié)果忽略了地球自轉(zhuǎn)的影響。地球b、彈性力

當(dāng)物體發(fā)生形變時(shí)，有一恢復(fù)原狀的企圖，此時(shí)該物體對(duì)周圍物體的作用力為彈性力。彈簧彈性力——胡克定律繩的張力對(duì)輕繩，m=0，繩中張力處處相等。壓力、支撐力存在兩個(gè)接觸的物體的界面上,是一對(duì)作用力和反作用力。壓力支持力c、摩擦力

兩個(gè)相互接觸的物體沿接觸面發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)或有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，在接觸面之間所產(chǎn)生的一對(duì)阻力。注意：(1)、摩擦力的方向總是阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)的，即與運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反。(2)、靜摩擦力的大小，隨相對(duì)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)自動(dòng)調(diào)節(jié)。(3)、靜摩擦力有一上限，稱為最大靜摩擦力，大小為——N為正壓力(4)、物體相互滑動(dòng)時(shí)，為滑動(dòng)摩擦力

同一接觸面，有二、牛頓定律的應(yīng)用舉例1、受力分析：隔離體法：

在相互作用的物體中，將所要研究的物體取出來，然后將其它物體對(duì)它的作用力一個(gè)不漏地畫出來，并在圖上標(biāo)清作用力的大小和方向?；痉椒ǎ焊綦x物體，作受力圖（矢量）2、步驟：

a.弄清題意，認(rèn)準(zhǔn)研究對(duì)象；b.明確所選的參照系是否為慣性系；c.畫出研究對(duì)象的隔離體圖(即示力圖)，分析受力情況；d.選定適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立方程；e.求解方程，并對(duì)解題的結(jié)果進(jìn)行必要的討論。例1.問A受哪些力？A對(duì)B的正壓力的大小、方向？A：重力，擋板壓力，

B對(duì)A的支持力B受A的正壓力方向與相反光滑斜面擋板XY例2.圓錐擺作水平面內(nèi)的勻速率圓運(yùn)動(dòng)，擺受哪些力？它的切向與法向力是如何提供的？勻速率圓周運(yùn)動(dòng)：豎直：指圓心：注：切向力為０；法向力由繩子張力提供。而向心力不是專門力，它由力在法向的分量提供。例3：如圖，物體A和物體B的質(zhì)量分別為10kg和5kg，A與桌面間的摩擦系數(shù)為0.20，為防止A移動(dòng)，（1）問C的最小質(zhì)量是多少？（2）如果撤去C，試求此時(shí)系統(tǒng)的加速度?；喌馁|(zhì)量及摩擦不計(jì)，繩的質(zhì)量不計(jì)。解：1、研究對(duì)象：A、C和B2、受力分析3、取坐標(biāo)，列方程A+C：B物：找關(guān)系：解得(2)受力分析如圖取坐標(biāo)，列方程解方程得A物B物找關(guān)系：BA例4書上例2-1已知：求：a=?T=?[解]：1、研究對(duì)象：

A、B兩物體2、對(duì)物體分別進(jìn)行受力分析，并假設(shè)a的方向。BaXY3、取坐標(biāo)，列方程：A物B物N4、解以上方程：找關(guān)系：例5：潛水艇質(zhì)量為m，在水中下潛時(shí)所受浮力恒為，水的阻力與下潛速度的大小成正比，比例系數(shù)為，開始時(shí)，潛水艇剛好隱蔽在水面下。設(shè)潛水艇從靜止開始下潛，試求下潛速度隨時(shí)間變化的關(guān)系。解：1、研究對(duì)象：潛水艇2、受力分析3、取坐標(biāo)，列方程整理得積分得極限速率（收尾速率）類似處理：跳傘運(yùn)動(dòng)員下落，有阻力的拋體運(yùn)動(dòng)小球在粘滯流體中下落…...練習(xí)：一物體作有阻力的拋體運(yùn)動(dòng)已知：求：軌道方程解：受力情況如圖，取坐標(biāo)，列方程；用積分法求解：消去t

，得軌道方程B不是慣性系例6

所示滑輪組成略去滑輪和繩的質(zhì)量以及摩擦力，求各物體的加速度和繩子的拉力。解：1、研究對(duì)象：2、受力分析：3、取坐標(biāo)，列方程：找關(guān)系：力方面此處均為對(duì)地加速度加速度方面：滑輪B相對(duì)于地為變速運(yùn)動(dòng)相牽4、解方程：物B地例7

在一個(gè)半徑為R的半球形碗內(nèi)有一質(zhì)量為m的小鋼球,當(dāng)小鋼球以角速度在光滑內(nèi)壁的水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),它距碗底有多高?解：1、研究對(duì)象：2、受力分析：3、取坐標(biāo)，列方程：Rhyxr4、解方程例8(書p.60習(xí)題2--17)光滑平面上一半徑為R的圓環(huán)形圍屏.m滑塊沿內(nèi)壁轉(zhuǎn)動(dòng).滑塊與壁間的摩擦系數(shù)為,求(1)滑塊速率為時(shí),及.(2)t:/3A

解：1.研究對(duì)象:滑塊m

2.受力分析:重,支,壓,摩3.取坐標(biāo),列方程

取自然坐標(biāo).

與在豎直方向抵消.環(huán)形內(nèi)壁對(duì)滑塊的正壓力提供滑塊作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.

(1)

切向:

法向:RvaRvmftr22,mm-==\

dvdtat=dd2tvRv=-m

(2)2Rvat-=m13mtRvv=-dd02mvvtRtv/3v-=òò2mvRt=解題的關(guān)鍵:法向加速度切向加速度數(shù)學(xué)工具------微分方程例９：設(shè)一繩長

，一端固定，另一端栓一質(zhì)量為m的小球，求小球從水平位置放手下落到角時(shí)，球的速率和繩的張力。解：1、研究對(duì)象：小球２、受力分析３、取坐標(biāo)，列方程（取自然坐標(biāo)系）(2)乘得積分得代入(1)得例10外力為F，物體質(zhì)量為M，摩擦系數(shù)均為已知，試求可能得到的向右運(yùn)動(dòng)的最大加速度，并說明在什么條件下得到？解：1、研究對(duì)象：物體M２、受力分析３、取坐標(biāo)，列方程找關(guān)系XY極大？極小？二階導(dǎo)為負(fù)，則為極大值。例11：一塊水平木板上，放有一砝碼，砝碼質(zhì)量為m=0.2kg，手持木板運(yùn)動(dòng)，使砝碼m在豎直平面內(nèi)沿半徑R=0.5的圓周作勻速率的圓周運(yùn)動(dòng)，速率。求砝碼在圖中(1)、(2)、(3)、(4)位置時(shí)，砝碼對(duì)木板的作用力。已知砝碼與木板間的靜摩擦系數(shù)，滑動(dòng)摩擦系數(shù)。解：1、研究對(duì)象：砝碼２、受力分析３、取坐標(biāo)，列方程（自然坐標(biāo)）在(1)位置，

=0，得在(3)位置，

=1500，得在(4)位置，

=2400，得負(fù)號(hào)表示摩擦力方向向右問題：取直角坐標(biāo)如何解題？摩擦力在何位置再次為零？摩擦力在何位置為最大？小結(jié)：１、基本定律：牛頓三定律２、基本概念：力正壓力：當(dāng)物體分離時(shí)（N=0）張力：當(dāng)繩子彎曲時(shí)（T=0）彈簧力：彈簧無形變時(shí)（F=0）重力：彈力：摩擦力：３、兩類基本的力學(xué)問題：

恒力作用于物體上：

變力作用于物體上：當(dāng)接觸面光滑時(shí)（ｆ=0）（大小改變）第三章

功和能牛頓定律——力和狀態(tài)的瞬時(shí)關(guān)系功和能——力在空間的積累動(dòng)量、沖量——力對(duì)時(shí)間的積累§3-1功功率一、恒力的功１、定義：力在位移方向上的分量與位移的大小的乘積。２、注意：功是標(biāo)量，無方向但有正負(fù)零之分問題：何時(shí)作正功？作負(fù)功？為零？答：問題：在什么情況下W=0?時(shí)當(dāng)答：二、變力的功元位移力所作的元功為求和總功為對(duì)直角坐標(biāo)系，有三、合力的功合力對(duì)物體所做的功為：功的疊加原理合力的功等于各個(gè)分力的功的代數(shù)和。問題：功是過程量還是狀態(tài)量？答：功是過程量。因?yàn)槲灰剖呛瓦^程對(duì)應(yīng)。問題：功與參照系的選擇有關(guān)嗎？答：功與參照系的選擇有關(guān)。因位移有相對(duì)性。？？四、功率——瞬時(shí)功率——平均功率單位：瓦特(W)——恒力瞬時(shí)功率功率：描述作功快慢的物理量。定義：力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功為功率。用P表示。例１一水平放置的彈簧，其一端固定，另一端系一小球，求小球的位置由A到B的過程中彈力對(duì)它所做的功。（在O處彈簧無形變）O

A

B解：根據(jù)胡克定律討論：當(dāng)說明：彈力做功只與始末位置有關(guān)，而與中間過程無關(guān)。例２水平桌面上有一小球，質(zhì)量為ｍ，在外力作用下，沿半徑為R的圓從A至B移動(dòng)了半圓周，如物體與桌面的摩擦系為，求此過程中摩擦力對(duì)物體所做的功？ＡＢ解：據(jù)功的定義式說明：摩擦力做功除與始末位置有關(guān)，還與中間過程有關(guān)。若物體直接從A至B，O

A

BＡＢ若物體從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)一周再回到A點(diǎn)時(shí)，W＝０若物體從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)一周再回到A點(diǎn)時(shí)，說明：兩例中的力不是同一類型的力。例：一方向不變，大小按F=4t2(N)變化的力，作用在原先靜止、質(zhì)量為4kg的物體上，求：(1)前3s內(nèi)力作的功；(2)t=3s時(shí)力的功率。解：(1)沿運(yùn)動(dòng)方向建立坐標(biāo)系(一維)，則力F的元功為（2）t=3s時(shí)的功率為兩邊積分得§3-2動(dòng)能動(dòng)能定理一、動(dòng)能：物體因運(yùn)動(dòng)而具有的能量，稱為動(dòng)能。二、動(dòng)能定理：討論做功與物體動(dòng)能的變化量之間的關(guān)系。W下面從牛頓定律出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)：１、推導(dǎo)：物體從A

B受合外力A合外力對(duì)物體所做的功＝物體的動(dòng)能的增量－－－－動(dòng)能定理A２、使用時(shí)應(yīng)注意：動(dòng)能是狀態(tài)量，功是過程量，兩者由動(dòng)能定理相聯(lián)系。其實(shí)質(zhì)是：力作用一段距離的累積效果，使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化；b.考慮動(dòng)能的增量時(shí)，只與始末狀態(tài)有關(guān)；c.是標(biāo)量式，使用方便；是合外力的功

合外力作正功，物體動(dòng)能增加；合外力作負(fù)功，物體動(dòng)能減少；合外力不作功，物體動(dòng)能不變。d.速度是相對(duì)量，是相對(duì)量，應(yīng)考慮參考系；例４一個(gè)做直線運(yùn)動(dòng)的物體，若如圖，則：０t1

t2t3

t4例５質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，則在外力作用下，從時(shí)間內(nèi)，外力做功為：解：

§3-3勢(shì)能本節(jié)討論在由若干個(gè)物體組成的系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)中各物體有相互作用而存在的由物體間相對(duì)位置決定的能量

-----勢(shì)能。一、保守力的功1、重力的功

質(zhì)點(diǎn)m，在重力作用下，從a點(diǎn)移到b點(diǎn)，求重力的功。ｈ討論：1、變換路徑，結(jié)果相同。2、當(dāng)ya>yb,Ｗ>0,重力作正功。3、當(dāng)ya<yb，Ｗ<0,重力作負(fù)功。2、彈力的功O

A

BA

B彈力作功僅決定于物體的始末位置，與路徑無關(guān)。結(jié)論：重力作功僅決定于物體的始末位置，與路徑無關(guān)。結(jié)論：3、萬有引力的功設(shè)物體m在物體M的引力場(chǎng)中，從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，求引力作的功。－ｄｒ引力作功僅決定于物體的始末位置，與路徑無關(guān)。結(jié)論：二、保守力和非保守力保守力：凡作功與路徑無關(guān)，只與物體的始末位置有關(guān)的力。如重力、彈簧彈性力、萬有引力、靜電力等。保守力存在的空間，稱為保守力場(chǎng)?！袆e式；充要條件或非保守力：凡作功與路徑有關(guān)的力。或的力。如摩擦力、磁力等。三、勢(shì)能保守力的功是質(zhì)點(diǎn)始末位置的函數(shù)。這種位置函數(shù)即勢(shì)能。定義：保守力所作的功等于勢(shì)能增量的負(fù)值，即——始位置勢(shì)能——末位置勢(shì)能例如注意：1、保守力作功才具有相應(yīng)的勢(shì)能，如重力。若保守力作正功，則勢(shì)能減少；作負(fù)功則勢(shì)能增加。2、定義是對(duì)勢(shì)能的增量而言，對(duì)特定位置，其勢(shì)能值與勢(shì)能零點(diǎn)的選擇有關(guān)。如重力勢(shì)能零點(diǎn)：地面。則彈力勢(shì)能零點(diǎn)：平衡位置。則引力勢(shì)能零點(diǎn)：無窮遠(yuǎn)。則

所以，勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置的單值函數(shù)，其值與勢(shì)能零點(diǎn)的選擇有關(guān)，因此勢(shì)能只有相對(duì)意義。

任一點(diǎn)的勢(shì)能值，等于將物體從該點(diǎn)移動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)保守力作的功。強(qiáng)調(diào)：1、勢(shì)能是與保守力密切相關(guān)的，無保守力則無勢(shì)能可言。2、勢(shì)能屬于以保守力相互作用的物體組成的系統(tǒng)，而不能單屬于某個(gè)物體。如重力勢(shì)能屬于：物體和地球彈力勢(shì)能屬于：物體和彈簧引力勢(shì)能屬于：兩相互作用的物體系統(tǒng)3、勢(shì)能是物體相對(duì)位置的函數(shù)。其量值是相對(duì)的，因?yàn)閯?shì)能零點(diǎn)是人為規(guī)定的。但勢(shì)能差或增量是唯一的，與勢(shì)能零點(diǎn)的選擇無關(guān)。4、一系統(tǒng)如同時(shí)存在幾種保守力，則系統(tǒng)的總勢(shì)能等于與各保守力相關(guān)的勢(shì)能的代數(shù)和?！?-４功能原理機(jī)械能守恒定律一、機(jī)械能：做機(jī)械運(yùn)動(dòng)的物體所具有的能量，稱為機(jī)械能，用E表示。？二、功能原理：關(guān)于機(jī)械能的變化量與做功的關(guān)系。有機(jī)械能而無勢(shì)能有機(jī)械能而無動(dòng)能都是可能的系統(tǒng)：m1+m2外力：系統(tǒng)外物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的作用力。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力。１、物體系的動(dòng)能定理分別對(duì)系統(tǒng)中物體用動(dòng)能定理兩式相加：不一定等于０因?yàn)閮?nèi)力做的功不僅與力的大小有關(guān)，還與路徑有關(guān)。物理意義：合外力和合內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)所作功的代數(shù)和等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量。——質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理問題：合內(nèi)力所作的功為零嗎？？答：一般情況不為零！位移不同，摩擦。內(nèi)力做功，可以改變系統(tǒng)動(dòng)能２、功能原理由系統(tǒng)的動(dòng)能定理對(duì)系統(tǒng)而言，力做功，外力內(nèi)力力保守內(nèi)力非保守內(nèi)力則系統(tǒng)的動(dòng)能定理為——功能原理意義：外力的功與非保守內(nèi)力的功之和等于物體系的機(jī)械能的增量。迄今為止單質(zhì)點(diǎn)（某物體）系統(tǒng)系統(tǒng)功和能量既有密切聯(lián)系又有本質(zhì)區(qū)別。功總是與能量變化的過程相聯(lián)系，是能量變化的一種量度。而能量表示系統(tǒng)在一定狀態(tài)下所具有的作功的本領(lǐng)，它和系統(tǒng)的狀態(tài)有關(guān)。注意：系統(tǒng)功能原理與動(dòng)能定理并無本質(zhì)區(qū)別，只是引入了勢(shì)能。因此，就不需要考慮保守內(nèi)力的功。這正是功能原理的優(yōu)點(diǎn)，因?yàn)閯?shì)能的計(jì)算往往比功的計(jì)算更方便。只有外力和非保守內(nèi)力作功，才會(huì)引起系統(tǒng)機(jī)械能的改變。３、機(jī)械能守恒定律Ａ．守恒律：Ｂ．條件分析：當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)只有保守力做功時(shí)，機(jī)械能守恒。（不為作用）非保守力作用，但不做功，也滿足條件。N光滑Ｃ．物體受力做功的三種情況：（機(jī)械能守恒？）ａ．有保守力做的功，非保守力做的功：不守恒例：雨滴下落受阻力ｂ．有保守力做的功，非保守力做的功為０：守恒N光滑ｃ．只有保守力做的功，：守恒例：物體下落，略去阻力不計(jì)Ｄ．使用機(jī)械能守恒律時(shí)注意：ａ．條件分析：受力，是否為保守力做功只有保守力做功，機(jī)械能才守恒ｂ．始末狀態(tài)分析：ｃ．因涉及，一定要有參考零點(diǎn)選取例６設(shè)地球質(zhì)量為M，萬有引力恒量為G，一質(zhì)量為ｍ的宇宙飛船返回地球，認(rèn)為其在引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，（關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)），當(dāng)空從距地心R１處降至R2處時(shí)，其動(dòng)能增量為何？解：Ｍｒｍ例７質(zhì)量為ｍ的物體從高出彈簧ｈ處由靜止自由下落到豎直放置的輕彈簧上，彈簧的勁度系數(shù)為，則彈簧被壓縮的最大距離為何？解：整個(gè)過程物體受重力，彈性力的作用ｈｘ?。ǎ恚耄兀┫到y(tǒng)12

例８如圖,質(zhì)量為m=2kg的物體從靜止開始沿1/4圓弧從A滑到B，在B處速度的大小是v=6m/s.已知圓的半徑R=4m.求物體從A到B摩擦力所作的功.RoAB解：物體受力如圖

?。頌檠芯繉?duì)象

是變力解一：從功的定義

RoAB取自然坐標(biāo)如圖切向解二質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理取m為研究對(duì)象,

.RoAB

解三功能原理

以m+圓弧+地為系統(tǒng)

取B點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn),RoAB根據(jù)功能原理：問題：能否用機(jī)械能守恒律？例９：如圖，擺長為，擺錘質(zhì)量為m，開始時(shí)擺與鉛直線間夾角為，在鉛直線上距懸點(diǎn)x處有一小釘，擺可繞此小釘運(yùn)動(dòng)。問x至少為何值時(shí)才能使擺以釘子為中心繞一完整的圓周。解：研究系統(tǒng)：ｍ＋地球受力分析：繩的張力——外力（不作功）重力——內(nèi)力（保守內(nèi)力）只有保守力做功，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒。12始態(tài)：起始位置1末態(tài)：最高位置２勢(shì)能零點(diǎn)：３（最低點(diǎn)）３由由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有小球剛過頂點(diǎn)的條件：T=0解得12３補(bǔ)充例題例：如圖，再求小球下落到角時(shí)的速度及繩中的張力。解：下落過程，只有重力和張力作功，但張力與運(yùn)動(dòng)方向垂直，作功為零。因此，系統(tǒng)(小球和地球)

機(jī)械能守恒。勢(shì)能零點(diǎn)：小球最低點(diǎn)位置始態(tài)機(jī)械能：由牛頓運(yùn)動(dòng)定律過程：小球從水平位置下落到角位置。兩個(gè)狀態(tài)：水平位置，角位置。末態(tài)機(jī)械能：由機(jī)械能守恒定律得例：一質(zhì)量為2kg的物體，在豎直平面內(nèi)由A點(diǎn)沿一半徑為1m的1/4圓弧軌道滑到B點(diǎn)，又經(jīng)過一段水平距離后停止。設(shè)物體滑至B點(diǎn)時(shí)的速率為，摩擦系數(shù)處處相同。（1）物體從A到B點(diǎn)和從B點(diǎn)滑到C點(diǎn)過程中，摩擦力各作多少功？（2）求摩擦系數(shù)；（3）如圓弧軌道光滑，求物體在D點(diǎn)處的速度、加速度和物體對(duì)軌道的正壓力（已知）。解：(1)選物體為研究對(duì)象物體受力其中始終不作功由動(dòng)能定理，從A到B有從B到C，重力不作功，由動(dòng)能定理有(2)求摩擦系數(shù)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，從B到C有（3）選系統(tǒng)為物體、地球，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。選地面為勢(shì)能零點(diǎn)，則始態(tài)機(jī)械能：末態(tài)機(jī)械能：由機(jī)械能守恒定律，有由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有取自然坐標(biāo)，有其中問題：在D點(diǎn)，N=mg嗎？

例(書P.28例3-7)

證明例2-3中物m與物M的相互作用力所作之功之和為0.Mm解:M與m

的接觸面光滑受力分析如圖

m對(duì)M的壓力

M對(duì)m的支持力與斜面垂直符號(hào)規(guī)定如下:則木塊對(duì)地的速度為

在dt時(shí)間內(nèi)一對(duì)力對(duì)慣性系(地)所作功之和為

在有限的時(shí)間內(nèi)一對(duì)力對(duì)地所作功之和為Mm而,有,即一對(duì)力對(duì)慣性系(地)所作之功的和為零.張三慧《力學(xué)》證明，兩質(zhì)點(diǎn)間的“一對(duì)力”所作之功的和等于視其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受力且沿著它相對(duì)于另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的路徑移動(dòng)所作的功。在上面的例子中，我們?nèi)∨鼮樽鴺?biāo)原點(diǎn)，木塊所受劈對(duì)它的支承力與木塊對(duì)劈的相對(duì)位移垂直，支承力所作之功為0，所以一對(duì)力所作之功為0.特殊情形S即為運(yùn)動(dòng)的軌跡ａｂ如：重力作功第四章

動(dòng)量物體狀態(tài)的改變不僅與速度有關(guān)，還與物體的質(zhì)量ｍ有關(guān)（例：木、鐵錘敲釘子）物體狀態(tài)的改變不僅與所受到的力有關(guān)，還與力作用的延續(xù)時(shí)間有關(guān)（例：推車）

上一章我們討論了力對(duì)空間的積累效應(yīng)，本章討論力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)，沖量與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化(即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量增量）之間的關(guān)系。動(dòng)量（沖量）－－力對(duì)時(shí)間的積累沖量動(dòng)量§４－１動(dòng)量沖量動(dòng)量定理一、動(dòng)量1．定義：物體的質(zhì)量和它的運(yùn)動(dòng)速度的乘積，稱為動(dòng)量。2．矢量：大?。悍较颍号c物體的速度方向相同單位：直角分量式：二、沖量1．定義：力的作用與作用時(shí)間的乘積，稱為沖量。的方向決定于沖力的方向。若為恒力在t1到t2時(shí)間間隔內(nèi)，力對(duì)物體的沖量2．矢量：方向：單位：——描述作用在物體上的力對(duì)時(shí)間的累積效應(yīng)直角坐標(biāo)系的分量式為三、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理１．牛頓第二定律的動(dòng)量形式２．動(dòng)量定理物理意義：物體所受合外力的沖量等于物體動(dòng)量的增量?！|(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理直角坐標(biāo)分量式為注意：１．為矢量式，使用中常伴以矢圖，再用解析式計(jì)算。２．的方向即不是的方向，也不是的方向，而是差矢的方向。３．常用圖解法求平均力例１：一質(zhì)量m=2.3kg的球以從水平方向飛來，以棒擊球，擊球后，球飛到豎直上方10m處下落，求棒給予球的沖量的大小和方向，如棒和球接觸時(shí)間為0.02s，求壘球受到的平均沖力。解：１．狀態(tài)分析球與棒脫離到飛至最高點(diǎn)過程機(jī)械能守恒２．據(jù)動(dòng)量原理作矢量圖：３．解析式:問題：還有其它的計(jì)算方法嗎？？法２：用分量式求解其分量式為例２一擺長為L的單擺，一端固定于懸點(diǎn)O，另一端系有一質(zhì)量為ｍ的小球，當(dāng)其從擺線與豎直方向成最大擺角靜止釋放至豎直位置的過程中，重力的沖量如何？合外力的沖量如何？１２動(dòng)量定理中，是指合外力的沖量，本題中重力只是外力中的一個(gè)，故解重力的沖量時(shí)，不能用，解：１．重力沖量周期只能用定義式：２．合外力沖量１２§４－２動(dòng)量守恒定理一、系統(tǒng)的動(dòng)量定理單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理：系統(tǒng)：m1+m2兩式相加，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)有：等于０得：據(jù)牛頓第三定律：系統(tǒng)所受合外力的沖量，等于系統(tǒng)總動(dòng)量的增量。說明：內(nèi)力的作用不會(huì)改變系統(tǒng)的動(dòng)量，只有外力的作用才會(huì)改變系統(tǒng)的動(dòng)量。說明：由于內(nèi)力做功不一定為０，故其可改變系統(tǒng)的動(dòng)能。——系統(tǒng)的動(dòng)量定理二、動(dòng)量守恒定律１．動(dòng)量守恒定律：（由牛頓第二定律出發(fā)推出）如果系統(tǒng)所受的合外力為０，即則有為恒矢PPrr,0=D（注意：并不意味著）物理意義：若系統(tǒng)不受外力或所受的合外力為零時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)量的矢量和保持不變，即系統(tǒng)總動(dòng)量守恒?！?jiǎng)恿渴睾愣桑玻畡?dòng)量守恒律的使用注意：ａ．條件分析：只有，才有ｂ．動(dòng)量守恒定律表達(dá)式為一矢量式，其直角分量式為當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有哪個(gè)方向合外力為零，則該方向動(dòng)量守恒。ｃ．合外力為零有三種情況：不受力；合外力為零；內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力(爆炸)。前兩者嚴(yán)格守恒，后者近似守恒。ｄ．所有的動(dòng)量與有關(guān)，對(duì)同一參考系而言，關(guān)鍵指速度對(duì)同一參考系。例3.(書p.102例4-2)如圖,總質(zhì)量為M的載物小船以速度v在靜水中航行.然后分別同時(shí)在船頭和船尾以相對(duì)于船的速度u向前和向后拋出質(zhì)量為m和2m的兩物體.設(shè)u、v在同一直線上,問拋出兩物體后,小船的速度變?yōu)槎嗌?設(shè)水平方向船受的阻力可以忽略.2mmM-2m-m

解:一個(gè)整體分為三個(gè)運(yùn)動(dòng)物體,三物體速度重新分配.

以船+兩物為系統(tǒng),水平方向阻力略去,因而水平方向動(dòng)量守恒.

選兩物拋出前為初態(tài),兩物拋出后為末態(tài).以岸為慣性系,取向右為正.末態(tài):船的質(zhì)量M-2m-m

此時(shí)船對(duì)岸速度設(shè)為末態(tài)XM-2m-mmM-2m-m初態(tài)2m重點(diǎn)是確定始末態(tài)船、物對(duì)慣性系的速度。初態(tài):系統(tǒng)質(zhì)量M

系統(tǒng)對(duì)岸速度,且§４－３碰撞兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體相遇，相遇時(shí)物體間的相互作用僅持續(xù)極短的時(shí)間，這種相遇稱為碰撞。（如打擊球間的碰撞、子彈射入墻內(nèi)等）由于碰撞時(shí)物體間的相互作用力很大，其它的作用力可以略去，因此把相互作用的物體取為系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量（或其動(dòng)量在某一坐標(biāo)方向的分量）守恒。機(jī)械能不一定守恒。碰撞完全彈性碰撞非彈性碰撞完全非彈性碰撞（粘在一塊以同一速度運(yùn)動(dòng)）例4P1164-15

M=1000m,

L=1米,求ｖ？解：以子彈和砂袋組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，它們發(fā)生的是完全非彈性碰撞。水平方向動(dòng)量守恒狀態(tài)分析：碰前碰后子彈砂袋據(jù)動(dòng)量守恒，有雖然碰撞時(shí)，機(jī)械能不守恒，但從子彈射入砂袋到一起升高到最高點(diǎn)的過程中，只有保守力（重力）做功，故機(jī)械能守恒。２１解之，得：１狀態(tài)：２例5P1164-11分析：以人＋球?yàn)檠芯肯到y(tǒng)拋球前后水平方向不受外力，故動(dòng)量守恒。解:條件分析：狀態(tài)分析：拋前拋后人球?qū)Φ厮俣葥?jù)動(dòng)量守恒，有0ＯＸ解之，得：0ＯＸ因平拋與自由落體均對(duì)應(yīng)于同一時(shí)間ｔ，從最高點(diǎn)到地面與從地面到最高點(diǎn)時(shí)間相同。則求到最高點(diǎn)所用時(shí)間ｔ？則有例：飛機(jī)以的速率飛行，撞到一只相對(duì)于地可以看作靜止的鳥，假定鳥的質(zhì)量為0.5kg，大小尺寸約為20cm，試估計(jì)鳥作用在飛機(jī)上的平均沖力。解：研究對(duì)象：鳥(為什么?)參照系：地面研究過程：從鳥與飛機(jī)相撞到鳥隨飛機(jī)一起運(yùn)動(dòng)兩個(gè)狀態(tài)：鳥撞飛機(jī)；隨飛機(jī)運(yùn)動(dòng)初態(tài)動(dòng)量：末態(tài)動(dòng)量：持續(xù)時(shí)間：由動(dòng)量定理鳥作用在飛機(jī)上的平均沖力

相當(dāng)于20T的力，破壞性不言而喻。例：質(zhì)量的重錘，從高度h=1.5m處自由下落，打在鍛件上。如果作用時(shí)間；，試求錘對(duì)鍛件的平均沖力。解：研究對(duì)象：重錘兩個(gè)過程：(1)錘下落到接觸鍛件。(2)錘撞擊鍛件到停止運(yùn)動(dòng)。(1)過程中，只有重力作用，錘與地球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有——撞擊鍛件速度(2)過程中，受重力、沖擊力作用，由動(dòng)量定理有始狀態(tài)：末狀態(tài)：方向向下錘對(duì)鍛件的平均沖力討論：1、在受沖力情況下，重力等常力可忽略不計(jì)，不影響結(jié)果。

2、注意動(dòng)量定理的矢量性。例：一半自動(dòng)步槍的質(zhì)量為3.87kg，子彈的質(zhì)量為，戰(zhàn)士以肩窩抵槍，水平射擊。子彈射出的速率為，自開始擊發(fā)至子彈離開槍管經(jīng)過0.0015s，設(shè)子彈在槍膛內(nèi)相對(duì)于地球作勻加速運(yùn)動(dòng)。求直到子彈離開槍管為止，槍身后坐的距離。解：(1)求槍身后坐速度研究系統(tǒng)：子彈、槍身受外力：重力、托力、抵槍力內(nèi)力：槍膛內(nèi)的平均爆發(fā)推力

(遠(yuǎn)大于抵槍力)所以，系統(tǒng)動(dòng)量守恒研究過程：擊發(fā)子彈到子彈出膛始狀態(tài)：末狀態(tài)：取坐標(biāo)如圖，有(2)求槍身后坐距離子彈離開槍管前，仍有

V1、V2為子彈離開槍管前任一時(shí)刻子彈及槍管的速度對(duì)上式求導(dǎo)，得所以，槍管作勻加速運(yùn)動(dòng)，有由勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式，槍身后坐距離為例：在光滑水平面上有一質(zhì)量為1.0kg的物體A，以的速度和一質(zhì)量為3.0kg的靜止物體B發(fā)生撞擊，撞擊后物體A沿著與它碰撞前運(yùn)動(dòng)方向成500角的方向運(yùn)動(dòng)，速度大小為，如圖，求撞擊后物體B的速度大小和方向。解：研究對(duì)象：物體A、B受力：水平面內(nèi)無外力作用研究過程：從接觸到分離始狀態(tài)：始狀態(tài)：由動(dòng)量守恒定律，有取坐標(biāo)如圖，有解得例：向北發(fā)射的一枚質(zhì)量m=50kg的炮彈，達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)速率為，爆炸成三塊彈片。第一塊質(zhì)量m1=25kg，以水平速度向北飛行，第二塊質(zhì)量m2=15kg，以的水平速率向東飛行。求第三塊的速度。解：研究對(duì)象：炮彈受力分析：水平面內(nèi)無外力作用東北西南？由動(dòng)量守恒定律，有始狀態(tài)：末狀態(tài)：由題設(shè)知得例：如圖，利用落錘打樁。設(shè)錘和樁的質(zhì)量分別為M和m，錘離樁高h(yuǎn)處落下。假定地基的阻力恒定不變，錘落一次，樁打進(jìn)土中的深度為d，求地基阻力R的大小。解：打樁過程可分為三個(gè)過程來考慮。第一過程：M只受重力落到樁處。過程中機(jī)械能守恒，有第二過程：錘與樁碰撞，重力可忽略。動(dòng)量守恒第三過程：錘與樁一起運(yùn)動(dòng)，樁進(jìn)入土中。由功能原理，有解得例：一質(zhì)量為m的子彈，穿過如圖所示的擺錘后，速率由v減少到v/2。若擺錘質(zhì)量為M，擺線長為。若擺錘能在鉛直平面內(nèi)完成一個(gè)完全的圓周運(yùn)動(dòng)，則子彈速度的最小值應(yīng)為多少？解：全過程可分為兩個(gè)分過程(1)子彈與擺錘的碰撞過程，動(dòng)量守恒(2)碰后擺錘作圓周運(yùn)動(dòng)。從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，機(jī)械能守恒最高點(diǎn)，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律能完成圓周運(yùn)動(dòng)的條件是由(2)、(4)兩式得代入(1)式得剛能完成圓周運(yùn)動(dòng)七、火箭飛行原理變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)的兩種情況（不考慮速度變化引起的質(zhì)量變化）(1)某物體在運(yùn)動(dòng)中不斷地俘獲另一些物體而共同運(yùn)動(dòng)。（對(duì)接）(2)物體在運(yùn)動(dòng)中不斷地釋放某些物體t時(shí)刻t+dt時(shí)刻設(shè)t時(shí)刻dt時(shí)間內(nèi)t+dt時(shí)刻(相對(duì)火箭)研究系統(tǒng)：火箭、噴出氣體研究過程：始狀態(tài)：末狀態(tài)：由動(dòng)量定理整理并略去高階無窮小，得或——火箭的推力——單位時(shí)間內(nèi)的排氣量討論：1、重力場(chǎng)中，有設(shè)初始條件為則積分得2、火箭在外空間運(yùn)動(dòng)，動(dòng)量守恒，有（設(shè)初始條件不變）對(duì)n級(jí)火箭，有各級(jí)質(zhì)量比相同或排氣速度相同第五章

剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)BA回憶:質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)代表物體的平動(dòng),用、、、來描述。（物體上任一點(diǎn)的均相同）、、、AB滑輪，不忽略其質(zhì)量時(shí)為一剛體剛體代表物體定點(diǎn)或定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。觀察A、B兩物體的運(yùn)動(dòng)§5-1剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、剛體（理想模型）質(zhì)點(diǎn)：物體的大小和形狀可忽略的理想模型。剛體：在外力的作用下，形狀和大小都不變的物體。或者說物體在受到外力時(shí)，其各部分的相對(duì)位置保持不變。（彈簧不能視為剛體）二、運(yùn)動(dòng)及其模型平動(dòng)：在運(yùn)動(dòng)過程中，物體內(nèi)任一條直線始終與初始位置保持平行。1.質(zhì)點(diǎn)與平動(dòng)因?yàn)樵谄絼?dòng)時(shí)物體上所有點(diǎn)的位移、速度、加速度都相同，所以可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來處理。下面再看一個(gè)平動(dòng)演示。平動(dòng)2、剛體與定軸(或定點(diǎn))轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)：物體在運(yùn)動(dòng)中，其上的各點(diǎn)都圍繞軸（或點(diǎn)）作半徑大小不同的圓運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為繞軸（或點(diǎn)）轉(zhuǎn)動(dòng)。AOB(例：扭瓶蓋)3、平動(dòng)＋轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體的一般運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的迭加。只討論定軸轉(zhuǎn)動(dòng)！輪上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)＝隨軸平動(dòng)＋繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)若轉(zhuǎn)軸固定，則為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。(例：車輪的運(yùn)動(dòng))BOAAOB轉(zhuǎn)軸1、剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)：（1）剛體上任一點(diǎn)都繞轉(zhuǎn)軸作圓周運(yùn)動(dòng)，該圓周的圓心在轉(zhuǎn)軸上，圓平面與轉(zhuǎn)軸垂直。（2）對(duì)任意一條和轉(zhuǎn)軸平行的直線，直線上所有點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡相同。因此，直線上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可代表直線上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。（3）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各點(diǎn)都有相同的角位移、角速度和角加速度。三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)結(jié)論：可以用角量來描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。２、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述（1）角量角位置

：位矢與ox

軸夾角。角位移△

：△t

時(shí)間內(nèi)角位置增量。以逆時(shí)針方向?yàn)檎?。剛體繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，取垂直于轉(zhuǎn)軸的截面，面與軸交于O點(diǎn)，P為截面上一點(diǎn)。角位置：yx0P(t)P(t+dt)

角速度角加速度用以上角量描述剛體上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)是相同的。（2）線量與角量的關(guān)系問：為什么質(zhì)點(diǎn)用線量描述，而剛體用角量描述？剛體上各點(diǎn)的角量相同,而線量卻不一定相同。Ｒ0１２若是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱為：勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)（或勻加速轉(zhuǎn)動(dòng))若是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱作：剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的公式與一維直線運(yùn)動(dòng)的公式相似：為恒矢為恒值例1、一飛輪作減速運(yùn)動(dòng)，其角加速度與角速度關(guān)系為

，k為比例系數(shù)，設(shè)初始角速度為。求：

⑴飛輪角速度與時(shí)間的關(guān)系；

⑵當(dāng)角速度由時(shí)，在此時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。解：⑴⑵在此時(shí)間內(nèi)車輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)=大?。悍较颍毫厥鞘噶俊?-2力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)定律、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)定律是剛體動(dòng)力學(xué)的核心，其地位相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)中的牛頓第二定律，其關(guān)鍵是力矩的分析。一、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩1、定義：轉(zhuǎn)軸到力的作用點(diǎn)的徑矢與作用力的叉積。d為力臂d2、注意：①合力矩≠合力的力矩合力矩=力矩的和(代數(shù)和）力矩正負(fù)：（俯視）力使剛體逆轉(zhuǎn)為正力使剛體順轉(zhuǎn)為負(fù)轉(zhuǎn)軸F1F2（F1=F2）②合力為零，合力矩不一定為零合力矩為零，合力不一定為零F1F2力矩合力③中心力（過轉(zhuǎn)軸的力）的力矩≡0，如推門。轉(zhuǎn)軸F1F2（F1=F2）剛體不轉(zhuǎn)動(dòng)，平動(dòng)④力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，則力對(duì)O點(diǎn)的力矩為只有對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩有貢獻(xiàn)。對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)無貢獻(xiàn)o總結(jié)：

與轉(zhuǎn)軸垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)不產(chǎn)生力矩；

與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩；若力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，則力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩等效于其在垂直于轉(zhuǎn)軸平面內(nèi)的分量對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩。二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律力矩是改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因，是產(chǎn)生角加速度的原因。轉(zhuǎn)動(dòng)定律描述了物體的角加速度與所受合外力矩的關(guān)系。轉(zhuǎn)動(dòng)定律可由牛頓第二定律推求：1、導(dǎo)出：

設(shè)一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，把剛體看作質(zhì)元的集合，某質(zhì)元受內(nèi)力和外力作用，將所受力分解到法向上和切向上，對(duì)其用牛頓第二定律，矢量式為：切向式：矢量式：法向式：法向力矩是中心力矩=0一個(gè)質(zhì)元對(duì)整個(gè)剛體，即所有質(zhì)元有：以遍乘切向式：剛體所受的合外力矩合內(nèi)力矩質(zhì)元間作用力同一直線上，大小相等，方向相反。=0轉(zhuǎn)動(dòng)慣量-------轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度———?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)定律物理意義：

剛體所受的合外力矩等于角加速度與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的乘積。定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量它說明了力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。什么時(shí)刻有力矩作用于物體，物體什么時(shí)刻就有角加速度。轉(zhuǎn)動(dòng)定律相當(dāng)重要，其在轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位就相當(dāng)于平動(dòng)中的牛頓第二定律。

2、牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律的對(duì)應(yīng)關(guān)系物理量：質(zhì)點(diǎn)m

剛體JM規(guī)律：質(zhì)點(diǎn)牛頓第二定律

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律不一定例：問：M大，是否

大？(1)式中各量M,J,

是對(duì)于同一軸而言，且

與M的符號(hào)（轉(zhuǎn)向）相同。不一定

大，是否M大？對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=J

應(yīng)注意：（M大，

大，

的變化大。

可為0）（

大，并不代表它的變化大，有可能它的M=0，勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。）(3)對(duì)剛體和質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)，應(yīng)用時(shí)注意，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，其運(yùn)動(dòng)服從轉(zhuǎn)動(dòng)定律，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)仍服從牛頓定律。方法仍然是隔離體法。(2)該定律是力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。對(duì)分離的質(zhì)點(diǎn)組：對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：J是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。(對(duì)比平動(dòng)m是物體平動(dòng)慣性大小的量度）三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量m1r1m2r2m3r3轉(zhuǎn)軸1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義：

對(duì)質(zhì)點(diǎn)：J=mr2

其中

r為到轉(zhuǎn)軸的距離。

①與剛體的總質(zhì)量有關(guān)；

②與質(zhì)量的分布有關(guān)；（如：相同半徑、質(zhì)量的圓盤和圓環(huán)）

③與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)；（如同一棒的不同轉(zhuǎn)軸）4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J的計(jì)算方法：（可將質(zhì)量元變?yōu)榫€元、面元、體元積分求得）3、J與下列因素有關(guān)：例1、有一均勻細(xì)桿，桿長為

l

，質(zhì)量為m，c為桿的中點(diǎn)。設(shè)轉(zhuǎn)軸o`o``通過c點(diǎn)且與桿垂直，桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求Jc=？解：取x軸方向如圖，桿的線密度為

=m/l

，取小質(zhì)元dm=dx，則0x0`0``xdxC可見轉(zhuǎn)軸不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。那么將轉(zhuǎn)軸從C點(diǎn)平行移到A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變了多少？若將轉(zhuǎn)軸移到A點(diǎn)，求JA=？仍有小質(zhì)元dm=dx，（

=m/l）0x0’xdxA0``C移項(xiàng)得：JA=JC+md2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理0x0`0``xdxC剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，等于剛體對(duì)通過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc

，加上剛體質(zhì)量m

乘以兩平行軸之間的距離d的平方。即：dCB過質(zhì)心平行軸平行軸定理：解：取OX軸如圖所示，XO取一段元dx其質(zhì)量dxX至轉(zhuǎn)軸的距離r

例2、質(zhì)量為m、長度為l的均質(zhì)細(xì)直棍，對(duì)通過其中心O且與棍斜交成角的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：②過棒一端O’、仍與棍斜交成角

的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。討論：

①當(dāng)時(shí)，即為棍對(duì)于過它的中心且與棍垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。dO’為棍對(duì)過棍一端、且與棍垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由平行軸定理：XOdxXr

dO’②過棒一端O’、仍與棍斜交成角

的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。例3：求質(zhì)量為m，半徑為R的均勻細(xì)圓環(huán)和圓盤通過中心并與圓面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和平行于此軸通過它的邊緣一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：(1)求圓環(huán)對(duì)中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分割圓環(huán)，有(2)對(duì)通過邊緣一點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由平行軸定理，有例4、求圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量將圓盤分割成小圓環(huán)，有由(1)之結(jié)論，有(4)對(duì)通過邊緣一點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由平行軸定理，有例5、如圖所示，求大圓盤的實(shí)心部分對(duì)O軸（垂直于盤面）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（已知R=2r，大盤質(zhì)量為M，小盤質(zhì)量為m）大盤對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：J1=MR2/2小盤對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：J2=mr2/2+mr2=3mr2/2所以實(shí)心部分對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：0RrMm解：由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有可加性，所以先分別求出大盤和小盤對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再把小盤的除去即得大盤實(shí)心部分對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。=例6、P1365-5Or解：取弧元ds,其到轉(zhuǎn)軸距離為ｒ，對(duì)圓心張角為，與豎直方向夾角為，轉(zhuǎn)軸在圓環(huán)平面內(nèi)統(tǒng)一變?cè)豪?、一質(zhì)量為M、半徑為R的定滑輪上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪上（略去輪軸處的摩檫，繩不可伸長不計(jì)質(zhì)量），另一端掛有一質(zhì)量為m的物體而下垂。求物體m由靜止下落h高度時(shí)的速度和此時(shí)輪的角速度。解：①對(duì)象：M剛體m質(zhì)點(diǎn)②受力（矩）分析：如圖所示③依牛頓第二定律列方程轉(zhuǎn)動(dòng)定律hT1T1mgmmM對(duì)物體有：mg-T=ma對(duì)滑輪有：TR=J=MR2/2角量和線量的關(guān)系：a=R

運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：v2=v02+2ah=2ah

④解方程得：在該題中如果在滑輪上加一恒力矩，使物體以v0的速度勻速上升，撤去力矩后，問過多少時(shí)間后滑輪開始反向運(yùn)動(dòng)？解：分析：撤去力矩后，滑輪和物體受力和前面完全一樣。因此對(duì)物體應(yīng)用牛頓第二定律和對(duì)滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的形式完全一樣。hT1T1mgmmMv0

對(duì)物體有：mg-T=ma對(duì)滑輪有：TR=J=MR2/2角量和線量的關(guān)系：a=R

運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：v

=v0+at=0由第1、2、3個(gè)方程可解得：由第4個(gè)方程可解得：hT1T1mgmmMv0

考試中常涉及剛體加質(zhì)點(diǎn)（圓盤＋物體）的運(yùn)動(dòng)。解：（1）選細(xì)桿、剛體為研究對(duì)象受力與受力矩分析如圖由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有方程：（2）由于力矩M=mg（l/2）cos

屬變力矩，故由

求角速度

時(shí)用積分法。得lr

mgO例8、質(zhì)量m、長為l的均質(zhì)細(xì)桿，可繞過固定端O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，將桿從水平位置由靜止釋放，如圖。試求：⑴轉(zhuǎn)到任一角

時(shí)，桿的角加速度

等于多少？⑵此時(shí)的角速度

等于多少？②當(dāng)

=/2

（桿轉(zhuǎn)到豎直位置）時(shí)，討論：①

越小，

值越??；

越大，

值越大。分離變量，再積分：所以剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)都繞定軸作圓運(yùn)動(dòng)，都具有動(dòng)能。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能就等于剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為（1/2）

mivi2=（1/2）

miri2

2

則剛體總動(dòng)能為

與平動(dòng)動(dòng)能形式相同，量綱也相同，單位也相同。[Ek]=[m][r2][

2]=ML2T-2§5-3轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、力矩的功J二、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：1、力矩的功（由力作功來推）M：Xd

Frds

0剛體轉(zhuǎn)過d

角，合外力F作的元功為：力矩M在微小角位移中作的元功２、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理———轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理當(dāng)剛體在F力作用下，從

1轉(zhuǎn)到2時(shí)所作的功為：物理意義：合外力矩對(duì)剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。使用中應(yīng)注意：①Ek轉(zhuǎn)是相對(duì)量；

②轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理的表達(dá)式為標(biāo)量式。

③應(yīng)用該定理時(shí)只需分析始態(tài)與末態(tài)。凡是涉及桿的轉(zhuǎn)動(dòng)問題，要應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理下面用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理求解例8解：對(duì)象：桿由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理有：可見：求解桿的角速度時(shí)，用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理比用轉(zhuǎn)動(dòng)定律簡單。求角加速度又是用轉(zhuǎn)動(dòng)定律為簡單。lr

mgO機(jī)械能守恒定律只有保守力作功時(shí)，機(jī)械能守恒，即用機(jī)械能守恒定律求解例6中的解：在桿轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，由于只有重力作功，故機(jī)械能守恒。取桿的水平位置為勢(shì)能零點(diǎn)，有一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）和角動(dòng)量守恒定律定義為：方向：從至的右旋前進(jìn)方向（右手螺旋法則）。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)時(shí)則有L=Pr=mvr§5-4角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量原理：質(zhì)點(diǎn)所受沖量矩=質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩M=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒L=恒量。此即質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律。例1、一小球在光滑平面上作圓運(yùn)動(dòng)，小球被穿過中心的線拉住。開始時(shí)繩半徑為r1