2023年人教版中考數(shù)學(xué)第一輪高頻壓軸題（解答題）：三角形綜合

2023年人教版中考數(shù)學(xué)第一輪高頻壓軸題（解答題）：三角形綜合

解答題

1.（2020?沈河區(qū)二模）如圖，在4ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)E是/ACB內(nèi)部一點(diǎn),連接CE,

作AD±CE,BE1CE,垂足分別為點(diǎn)D,E.

（1）求證：4BCE絲ZSCAD;

（2）若BE=5,DE=7,則求4ACD的周長.

2.（2020?四川眉山?中考真題）如圖,也做和4CDE都是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E三點(diǎn)在同

一直線上,連接BD,AD,BD交AC于點(diǎn)F.

(1)若AD=DF?DB,求證:AD=BF;

(2)若NBAD=90",BE=6.

①求tanZDBE的值；

②求DF的長.

3.（2020?上海中考真題）已知:如圖,在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上,BE=DF,CE

的延長線交DA的延長線于點(diǎn)G,CE的延長線交BA的延長線于點(diǎn)H.

（D求證：△BECS^BCH;

（2）如果BE2=AB?AE,求證:AG=DF.

C

D■B

E

H

4.(2020年湖北省武漢市江漢區(qū)常青第一學(xué)校中考數(shù)學(xué)一模試題)如圖，直線MN分別交AB

和CD于點(diǎn)E、F,點(diǎn)Q在PM上，ZEPM=ZFQM,且NAEP=ZCFQ,求證:AB〃CD.

5.(2020?遼寧沈陽?中考真題)如圖,在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別與邊AB

和邊CD的延長線交于點(diǎn)M,N,與邊AD交于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)O.

⑴求證：△AOMgACON;

(2)若AB=3,AD=6,請(qǐng)直接寫出AE的長為.

6.(2020?安徽一模)如圖,AB是。的切線,OA,OC是O的半徑，且OC〃AB,連接BC交。于

點(diǎn)D,點(diǎn)D恰為BC的中點(diǎn),連接0D并延長，交AB于點(diǎn)E.

(1)求/B的度數(shù)；

(2)求”的值.

oc

B

7.（2020?山東淄博?中考真題）如圖,著名旅游景區(qū)B位于大山深處,原來到此旅游需要繞

行C地,沿折線A-C-B方可到達(dá).當(dāng)?shù)卣疄榱嗽鰪?qiáng)景區(qū)的吸引力，發(fā)展壯大旅游經(jīng)濟(jì)，修建

了一條從A地到景區(qū)B的筆直公路.請(qǐng)結(jié)合NA=45°,NB=30°,BC=100千米，0七

1.4,73^1.7等數(shù)據(jù)信息,解答下列問題：

（1）公路修建后,從A地到景區(qū)B旅游可以少走多少千米？

（2）為迎接旅游旺季的到來,修建公路時(shí),施工隊(duì)使用了新的施工技術(shù),實(shí)際工作時(shí)每天的工

效比原計(jì)劃增加25%,結(jié)果提前50天完成了施工任務(wù).求施工隊(duì)原計(jì)劃每天修建多少千米？

8.（2021湖北十堰）已知等邊三角形ABC,過A點(diǎn)作AC的垂線1,點(diǎn)P為1上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A

重合），連接CP,把線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到CQ,連QB.

（D如圖1,直接寫出線段AP與BQ的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P、B在AC同側(cè)且AP=AC時(shí),求證:直線PB垂直平分線段CQ;

⑶如圖3,若等邊三角形ABC的邊長為4,點(diǎn)P、B分別位于直線AC異側(cè),且4APQ的面積等

于立，求線段AP的長度.

4

9.（2020?湖北隨州?中考真題）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一,西方國家稱

之為畢達(dá)哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三,股四，則弦五”的記載,我國

漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1）后人稱之為“趙爽弦圖”，

流傳至今.

（1）①請(qǐng)敘述勾股定理；

②勾股定理的證明,人們已經(jīng)找到了400多種方法,請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一

種來證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）

（2）①如圖4、5、6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三

角形,這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S|+Sz=S3的有個(gè);

圖5

②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓,設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）

直角三角形面積為Sa,請(qǐng)判斷S?S2）S3的關(guān)系并證明；

（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形,再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作

正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”.在如圖9所示的“勾股樹”的某

部分圖形中,設(shè)大正方形M的邊長為定值m,四個(gè)小正方形A,B,C,D的邊長分別為a,b,c,d,

己知Nl=N2=N3=Na,則當(dāng)Na變化時(shí)，回答下列問題：（結(jié)果可用含m的式子表示）

①aZ+bZ+c'+dJ_________;

②b與c的關(guān)系為與d的關(guān)系為

10.（2022?安徽?合肥市第三十中學(xué)一模）我們知道，三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三

角形的內(nèi)心，已知點(diǎn)I為aABC的內(nèi)心.

⑴如圖1,連接AI并延長交BC于點(diǎn)D,若AB=AC=3,BC=2,求ID的長；

⑵如圖2,過點(diǎn)I作直線交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N.

①若MNLA1,求證:M12=BM?CN;

②如圖3,AI交BC于點(diǎn)D,若/BAC=60°,AI=4,求=+上的值.

11.(2020?寧波模擬)定義:如果一個(gè)三角形一邊上的中線與這條邊上的高線之比為它,那么

稱這個(gè)三角形為“神奇三角形”.

(1)已知：Rt/XABC中，ZACB=90°.

①當(dāng)AC=BC時(shí)，求證:ZXABC是“神奇三角形”；

②當(dāng)ACWBC時(shí),且4ABC是“神奇三角形"，求tanA的值；

⑵如圖,在AABC中，AB=AC,CD是AB邊上的中線,若ZDCB=45",求證:Z\ABC是“神奇三角形

12.(2020?山東東營?中考真題)如圖1,在等腰三角形ABC中，ZA=120°,AB=AC點(diǎn)D,E分別

在邊AB,AC上,AD=AE連接BE點(diǎn)M,N,P分別為DE,BE,BC的中點(diǎn).

(1)觀察猜想

圖1中，線段NM,NP的數(shù)量關(guān)系是____ZMNP的大小為:

⑵探究證明

把4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置,連接MP,BD,CE判斷△MNP的形狀,并說

明理由；

(3)拓展延伸

把AADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=1,AB=3,請(qǐng)求出△MNP面積的最大值.

13.（2022?安徽馬鞍山）已知：Z\ABC和4ADE按如圖所示方式放置，點(diǎn)D在4ABC內(nèi)，連接

BD、CD和CE,且NDCE=90°.

B圖個(gè)0BCc

圖&圖②3圖③

（D如圖①，當(dāng)AABC和4ADE均為等邊三角形時(shí),試確定AD、BD、CD三條線段的關(guān)系，并說明

理由；

（2）如圖②，當(dāng)BA=BC=2AC,DA=DE=2AE時(shí),試確定AD、BD、CD三條線段的關(guān)系，并說明理

由；

⑶如圖③，當(dāng)AB:BC:AC=AD:DE:AE=m:n:p時(shí)，請(qǐng)直接寫出AD、BD、CD三條線段的關(guān)系.

14.（2020?貴州黔東南?中考真題）如圖1,AABC和4DCE都是等邊三角形.

探究發(fā)現(xiàn)

（1）ABCD與4ACE是否全等？若全等,加以證明；若不全等,請(qǐng)說明理由.

拓展運(yùn)用

（2）若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，/ADC=30°,AD=3,CD=2,求BD的長.

（3）若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上（如圖2）,且aABC和4DCE的邊長分別為1和2,求4ACD

的面積及AD的長.

15.（2020?山東濟(jì)南?中考真題）在等腰AABC中,AC=BC,Z\ADE是直角三角形，ZDAE-

90°,ZADE=gZACB,連接BD,BE,點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接CF.

⑴當(dāng)NCAB=45°時(shí).

①如圖1,當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí),請(qǐng)直接寫出/EAB與/CBA的數(shù)量關(guān)系是.線段BE

與線段CF的數(shù)量關(guān)系是;

②如圖2,當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立,

請(qǐng)給予證明,若不成立,請(qǐng)說明理由；

學(xué)生經(jīng)過討論,探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：

思路一:作等腰AABC底邊上的高CM,并取BE的中點(diǎn)N,再利用三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來

解決問題；

思路二:取DE的中點(diǎn)G,連接AG,CG,并把4CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三

角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來解快問題.

(2)當(dāng)/CAB=30°時(shí)，如圖3,當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí),寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系,并

說明理由.

16.(2020?湖南益陽?中考真題)定義:若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ),一組鄰邊相等,且相等鄰

邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡稱“直等補(bǔ)”四邊形，根據(jù)

以上定義，解決下列問題：

(1)如圖1,正方形ABCD中,E是CD上的點(diǎn)，將4BCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合,此時(shí)點(diǎn)E

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在DA的延長線上,則四邊形BEDF為“直等補(bǔ)”四邊形,為什么？

(2)如圖2,已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形,AB=BC=5,CD=1,AD>AB,點(diǎn)B到直線AD的距

離為BE.

①求BE的長.

②若M、N分別是AB、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，求aMNC周長的最小值.

17.(2021湖北武漢)問題提出

如圖⑴，在△〃(：和ADEC中NACB=/DCE=90°,BC=AC,EC=DC,點(diǎn)E在4ABC內(nèi)部，直線

AD與BE于點(diǎn)F.線段AF,BF,CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題探究

(1)先將問題特殊化如圖(2),當(dāng)點(diǎn)D,F重合時(shí),直接寫出一個(gè)等式,表示AF,BF,CF之間的數(shù)

量關(guān)系；

(2)再探究一般情形如圖(1),當(dāng)點(diǎn)D,F不重合時(shí),證明(1)中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展

如圖（3）,在aABC和ADEC中，NACB=NDCE=90。，BC=kAC,EC=kDC（k是常數(shù)），點(diǎn)E在4

ABC內(nèi)部,直線AD與BE交于點(diǎn)F.直接寫出一個(gè)等式,表示線段AF,BF,CF之間的數(shù)量關(guān)系.

18.（2020?金華）如圖，在△ABC中,AB=4NB=45。，NC=60。.

（1）求BC邊上的高線長.

⑵點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AC上,連結(jié)EF,沿EF將△AEF折疊得到△PEF.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí),求NAEP的度數(shù).

②如圖3,連結(jié)AP,當(dāng)PF±AC時(shí),求AP的長.

19.（2020?山東煙臺(tái)?中考真題）如圖,在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D

是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF,連接CF.

（問題解決）

⑴如圖1,若點(diǎn)D在邊BC上,求證:CE+CF=CD;

（類比探究）

（2）如圖2,若點(diǎn)D在邊BC的