湖北省恩施州高中教育聯(lián)盟2022-2023學年高二上學期期中考試 數(shù)學試題

恩施州高中教育聯(lián)盟2022年秋季學期高二期中考試數(shù)學注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內容：必修第一冊占，必修第二冊占，選擇性必修第一冊第一章至第二章第3節(jié)占30%.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義即可求解．【詳解】因為，或，所以．故選：A．2.設：，：，則是成立的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由解得，然后根據(jù)充分條件與必要條件的概念即可求解．【詳解】由解得，所以，但推不出，則是成立的充分不必要條件．故選：B．3.若，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】復數(shù)的基本運算【詳解】因為，所以．故選：A.4.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調性比較與，與的大小關系，即可得出答案．【詳解】因為，，，所以．故選：D．5.某工廠隨機抽取部分工人，對他們某天生產的產品件數(shù)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示，則該組數(shù)據(jù)的產品件數(shù)的第60百分位數(shù)是（）件數(shù)7891011人數(shù)36542A.8.5 B.9 C.9.5 D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求法，即可求解．【詳解】抽取的工人總數(shù)為20，，那么第60百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排序的第12項與第13項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，第12項與第13項數(shù)據(jù)分別為9，9，所以第60百分位數(shù)是9．故選：B．6.平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，則線段的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為基底表示空間向量，再利用數(shù)量積運算求解.【詳解】因為所以即所以．故選：C．7.已知是球內一點，過點作球的截面，其中最大截面圓的面積為，最小截面圓的面積為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】過點E作球O的截面，當截面過球心時，截面圓的面積最大；當截面與OE垂直時，截面的面積最小，由此求解即可．【詳解】∵過點E作球O的截面，當截面過球心時，截面圓的面積最大；當截面與OE垂直時，截面的面積最小，∴球的半徑，最小截面圓的半徑，所以．故選：D．8.在中，內角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c，，，點在線段上，，過點作，，垂足分別是E，F(xiàn)，則面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由結合正弦定理得，，由余弦定理可得，結合不等式得，又，所以，求得，，從而得面積的表達式，進而求出最大值．【詳解】因為，所以，所以，則．由余弦定理可得，即．因為，所以，則，當且僅當時，等號成立．因為，所以，所以，所以，，則．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知空間中三點，，，O是坐標原點，下列說法正確的是（）A.點關于平面對稱的點為 B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用空間直角坐標系中點的坐標的概念判斷A；利用向量長度公式判斷B；利用共線向量的性質判斷C；利用向量垂直的性質判斷D．【詳解】因為點關于平面對稱的點為，所以A錯誤；因為，所以B正確；因為，，則，所以C正確；因為，，則，所以D錯誤．故選：BC．10.連續(xù)擲兩次骰子，設先后得到的點數(shù)為m，n，則（）A.的概率為 B.m是偶數(shù)的概率為C.的概率為 D.m>n的概率為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)古典概型的知識求得正確答案.詳解】連續(xù)擲兩次骰子，基本事件有：，，，，，，共種，其中的有：，共種，概率為，A選項正確.是偶數(shù)的有：，，，共種，概率為，B選項正確.的有：，共種，概率為，C選項正確.的有：，，，，，共種，概率為，D選項錯誤.故選：ABC11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列結論正確的是（）A.直線BD與A1D所成的角為45°B.異面直線BD與AD1所成的角為60°C.二面角A-B1C-C1的正弦值為D.二面角A-B1C-C1的正弦值為【答案】BD【解析】【分析】先利用幾何法找出題目中異面直線所成的角和二面角的平面角，再借助幾何知識求出角度及正弦值，驗證選項.【詳解】正方體中，為等邊三角形，直線BD與A1D所成的角為60°，選項A錯誤；，異面直線BD與AD1所成的角等于BD與BC1所成的角，為等邊三角形，∴異面直線BD與AD1所成的角為60°，選項B正確；BC1與CB1相交于點O，連接AO、AC1，如圖所示：正方體中，，O為B1C的中點，∴，，二面角A-B1C-C1的平面角為，不妨設正方體棱長為2，，，，由余弦定理，，∴，則二面角A-B1C-C1的正弦值為，選項C錯誤，選項D正確.故選：BD12.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的最大值為2B.直線是圖像的一條對稱軸C.在區(qū)間上是增函數(shù)D.若，則【答案】BD【解析】【分析】由題知，再結合函數(shù)性質依次分析各選項即可得答案.【詳解】解：當時，即，時，，當時，即，時，，所以，，的部分圖像如圖，所以，的最大值為1，故A錯誤；因為，所以的圖像關于直線對稱，故B正確；觀察圖像知，在區(qū)間上不單調，，在區(qū)間上不是增函數(shù)，C錯誤；因為且，則當時，且，則且，，所以，，D正確．故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)，可得，利用向量垂直的判定條件即可求出的值．【詳解】因為，所以，所以，即，解得．故答案為：4．14.一條光線從點處射到軸上，經(jīng)軸反射后，反射光線經(jīng)過點，則反射光線所在直線的傾斜角是______．【答案】##【解析】【分析】由題知關于軸對稱的點為，再根據(jù)斜率公式求解即可.【詳解】解：由題意可得點關于軸對稱的點為，則反射光線所在直線的斜率，所以，反射光線所在直線的傾斜角為．故答案為：15.已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)得到，即，進而根據(jù)向量夾角公式求出夾角.【詳解】因為，所以，即，則，即，設與的夾角為，，所以，解得．故答案為：．16.甲、乙、丙、丁四人準備從社區(qū)組織的道路安全或衛(wèi)生健康志愿宣傳活動中隨機選擇一個參加，每個人的選擇相互獨立，則甲、乙參加同一個活動的概率為______．【答案】##0.5【解析】【分析】利用概率的加法公式及乘法公式求解即可.【詳解】設事件A為“甲參加道路安全志愿宣傳活動”，事件B為“乙參加道路安全志愿宣傳活動”．依題意得事件A，B相互獨立，甲、乙參加道路安全或衛(wèi)生健康志愿宣傳活動概率都為，則甲、乙參加同一個活動的概率為，所以．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在平行四邊形中，點，，平行四邊形對角線的交點為．（1）求點的坐標以及直線的方程；（2）求線段的中點到直線的距離．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，求得坐標，利用兩點式求得直線的方程；（2）求出線段的中點的坐標，利用點到直線的距離公式得出答案．【小問1詳解】分別設點，，因為平行四邊形的對角線互相平分，所以，解得，所以，．所以直線的方程為，化簡得．小問2詳解】設，則，，即，所以到直線的距離．18.已知函數(shù)．（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間內的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換可得，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質即得；（2）根據(jù)圖象變換規(guī)律可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質即得.【小問1詳解】因為，令，解得，則的單調遞增區(qū)間是；【小問2詳解】由（1）可得．因為，所以，所以，所以，即在區(qū)間內的值域為．19.的內角的對邊分別為，．（1）求；（2）若，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題知，再根據(jù)正弦定理邊角互化并整理得，進而得答案；（2）根據(jù)正弦定理邊角互化，結合三角恒等變換得，進而結合已知條件得，再求解正弦值即可.【小問1詳解】解：因為，所以，即，所以，正弦定理可得，因為，所以，因為，．所以，因為，所以．【小問2詳解】解：因為，所以，由正弦定理得．又因為，，所以，整理可得，即，所以，因為，所以或，即或，因為，所以，．20.網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結合已成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2022年1月起開展網(wǎng)絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式．根據(jù)幾個月的運營發(fā)現(xiàn)，投入實體店體驗安裝的費用（單位：萬元）與產品的月銷量（單位：萬件）（）之間滿足：當時，與成正比且比例系數(shù)為1；當時，．已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元，每件產品的進價為64元，且每件產品的售價定為“進價的150%”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和．（1）設該產品的月凈利潤為（單位：萬元），試建立與的函數(shù)關系式；（2）求該產品月凈利潤的最大值．【答案】（1）（2）775萬元【解析】【分析】（1）先求每件產品的售價，結合t與x的關系，即可建立與的函數(shù)關系式；（2）由（1）中的關系式，利用基本不等式即可解出．【小問1詳解】因為每件產品的售價為%所以該產品的月凈利潤因為所以，即【小問2詳解】當時，單調遞增，所以當時，當時，因為，，當且僅當，即時，等號成立所以，即故該產品月凈利潤的最大值為77.5萬元．21.有一堆大小和質地都相同的白球和黑球，先將一個白球和一個黑球放入袋子中，再從袋子中不放回地隨機取出一個球，然后再往袋子中加入一個白球和一個黑球，再從袋子中不放回地隨機取出一個球，如此循環(huán)取球．（1）若取了三次球，求剛好取出個黑球的概率；（2）若要使取出的球中有黑球的概率不低于，求最少需要取多少次球．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分情況討論取出三個球的顏色情況，分別計算概率；（2）設最少需要取次，則次都是白球的概率，則，代入特值可得解.小問1詳解】若三次取球依次為白黑黑的概率為若三次取球依次為黑白黑的概率為若三次取球依次為黑黑白的概率為，所以取了三次球，求剛好取出個黑球的概率為；【小問2詳解】設最少需要取次，則次都是白球的概率，所以取出的球中有黑球的概率為，可知是關于的遞增函數(shù)，當時，，當時，，所以最少取次.22.如圖，點在內，是三棱錐的高，且．是邊長為的正三角形，．（1）求點到平面的距離；（2）點是棱上的一點（不含端點），求平面與平面夾角余弦值的最大值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，過點作，交于，進而證明點在上，平面，即可得兩兩垂直，再建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可；（2）結合（1）求平面的法向量為，設，，進而求平面的法向量，再根據(jù)向量方法求解即可.【小問1詳解】解：取的中點，連接，．因為是三棱錐的高，即平面，因為平面所以．因為，的中