湖北省恩施州高中教育聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題

恩施州高中教育聯(lián)盟2022年秋季學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：必修第一冊(cè)占，必修第二冊(cè)占，選擇性必修第一冊(cè)第一章至第二章第3節(jié)占30%.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義即可求解．【詳解】因?yàn)?，或，所以．故選：A．2.設(shè)：，：，則是成立的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由解得，然后根據(jù)充分條件與必要條件的概念即可求解．【詳解】由解得，所以，但推不出，則是成立的充分不必要條件．故選：B．3.若，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算【詳解】因?yàn)?，所以．故選：A.4.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較與，與的大小關(guān)系，即可得出答案．【詳解】因?yàn)?，，，所以．故選：D．5.某工廠隨機(jī)抽取部分工人，對(duì)他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示，則該組數(shù)據(jù)的產(chǎn)品件數(shù)的第60百分位數(shù)是（）件數(shù)7891011人數(shù)36542A.8.5 B.9 C.9.5 D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求法，即可求解．【詳解】抽取的工人總數(shù)為20，，那么第60百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排序的第12項(xiàng)與第13項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，第12項(xiàng)與第13項(xiàng)數(shù)據(jù)分別為9，9，所以第60百分位數(shù)是9．故選：B．6.平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且，，則線段的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為基底表示空間向量，再利用數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)樗约此裕蔬x：C．7.已知是球內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作球的截面，其中最大截面圓的面積為，最小截面圓的面積為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面圓的面積最大；當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，由此求解即可．【詳解】∵過(guò)點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面圓的面積最大；當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，∴球的半徑，最小截面圓的半徑，所以．故選：D．8.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，，，點(diǎn)在線段上，，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別是E，F(xiàn)，則面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由結(jié)合正弦定理得，，由余弦定理可得，結(jié)合不等式得，又，所以，求得，，從而得面積的表達(dá)式，進(jìn)而求出最大值．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，則．由余弦定理可得，即．因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)?，所以，所以，所以，，則．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知空間中三點(diǎn)，，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為 B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的概念判斷A；利用向量長(zhǎng)度公式判斷B；利用共線向量的性質(zhì)判斷C；利用向量垂直的性質(zhì)判斷D．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以B正確；因?yàn)?，，則，所以C正確；因?yàn)椋?，則，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．10.連續(xù)擲兩次骰子，設(shè)先后得到的點(diǎn)數(shù)為m，n，則（）A.的概率為 B.m是偶數(shù)的概率為C.的概率為 D.m>n的概率為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)古典概型的知識(shí)求得正確答案.詳解】連續(xù)擲兩次骰子，基本事件有：，，，，，，共種，其中的有：，共種，概率為，A選項(xiàng)正確.是偶數(shù)的有：，，，共種，概率為，B選項(xiàng)正確.的有：，共種，概率為，C選項(xiàng)正確.的有：，，，，，共種，概率為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是（）A.直線BD與A1D所成的角為45°B.異面直線BD與AD1所成的角為60°C.二面角A-B1C-C1的正弦值為D.二面角A-B1C-C1的正弦值為【答案】BD【解析】【分析】先利用幾何法找出題目中異面直線所成的角和二面角的平面角，再借助幾何知識(shí)求出角度及正弦值，驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】正方體中，為等邊三角形，直線BD與A1D所成的角為60°，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，異面直線BD與AD1所成的角等于BD與BC1所成的角，為等邊三角形，∴異面直線BD與AD1所成的角為60°，選項(xiàng)B正確；BC1與CB1相交于點(diǎn)O，連接AO、AC1，如圖所示：正方體中，，O為B1C的中點(diǎn)，∴，，二面角A-B1C-C1的平面角為，不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，，，，由余弦定理，，∴，則二面角A-B1C-C1的正弦值為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.故選：BD12.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.的最大值為2B.直線是圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸C.在區(qū)間上是增函數(shù)D.若，則【答案】BD【解析】【分析】由題知，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，，所以，，的部分圖像如圖，所以，的最大值為1，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故B正確；觀察圖像知，在區(qū)間上不單調(diào)，，在區(qū)間上不是增函數(shù)，C錯(cuò)誤；因?yàn)榍?，則當(dāng)時(shí)，且，則且，，所以，，D正確．故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)，可得，利用向量垂直的判定條件即可求出的值．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，解得．故答案為?．14.一條光線從點(diǎn)處射到軸上，經(jīng)軸反射后，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在直線的傾斜角是______．【答案】##【解析】【分析】由題知關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，再根據(jù)斜率公式求解即可.【詳解】解：由題意可得點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則反射光線所在直線的斜率，所以，反射光線所在直線的傾斜角為．故答案為：15.已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)得到，即，進(jìn)而根據(jù)向量夾角公式求出夾角.【詳解】因?yàn)?，所以，即，則，即，設(shè)與的夾角為，，所以，解得．故答案為：．16.甲、乙、丙、丁四人準(zhǔn)備從社區(qū)組織的道路安全或衛(wèi)生健康志愿宣傳活動(dòng)中隨機(jī)選擇一個(gè)參加，每個(gè)人的選擇相互獨(dú)立，則甲、乙參加同一個(gè)活動(dòng)的概率為_(kāi)_____．【答案】##0.5【解析】【分析】利用概率的加法公式及乘法公式求解即可.【詳解】設(shè)事件A為“甲參加道路安全志愿宣傳活動(dòng)”，事件B為“乙參加道路安全志愿宣傳活動(dòng)”．依題意得事件A，B相互獨(dú)立，甲、乙參加道路安全或衛(wèi)生健康志愿宣傳活動(dòng)概率都為，則甲、乙參加同一個(gè)活動(dòng)的概率為，所以．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在平行四邊形中，點(diǎn)，，平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線的方程；（2）求線段的中點(diǎn)到直線的距離．【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，求得坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式求得直線的方程；（2）求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式得出答案．【小問(wèn)1詳解】分別設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，所以，解得，所以，．所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得．小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，，即，所以到直線的距離．18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間內(nèi)的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換可得，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得；（2）根據(jù)圖象變換規(guī)律可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，解得，則的單調(diào)遞增區(qū)間是；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得．因?yàn)?，所以，所以，所以，即在區(qū)間內(nèi)的值域?yàn)椋?9.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，．（1）求；（2）若，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題知，再根據(jù)正弦定理邊角互化并整理得，進(jìn)而得答案；（2）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換得，進(jìn)而結(jié)合已知條件得，再求解正弦值即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以，正弦定理可得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，．所以，因?yàn)?，所以．【小?wèn)2詳解】解：因?yàn)椋?，由正弦定理得．又因?yàn)椋?，所以，整理可得，即，所以，因?yàn)椋曰?，即或，因?yàn)?，所以，?0.網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合已成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向．某品牌行車(chē)記錄儀支架銷(xiāo)售公司從2022年1月起開(kāi)展網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷(xiāo)售模式．根據(jù)幾個(gè)月的運(yùn)營(yíng)發(fā)現(xiàn)，投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）與產(chǎn)品的月銷(xiāo)量（單位：萬(wàn)件）（）之間滿足：當(dāng)時(shí)，與成正比且比例系數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，．已知網(wǎng)店每月固定的各種費(fèi)用支出為3萬(wàn)元，每件產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為64元，且每件產(chǎn)品的售價(jià)定為“進(jìn)價(jià)的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和．（1）設(shè)該產(chǎn)品的月凈利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元），試建立與的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該產(chǎn)品月凈利潤(rùn)的最大值．【答案】（1）（2）775萬(wàn)元【解析】【分析】（1）先求每件產(chǎn)品的售價(jià)，結(jié)合t與x的關(guān)系，即可建立與的函數(shù)關(guān)系式；（2）由（1）中的關(guān)系式，利用基本不等式即可解出．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槊考a(chǎn)品的售價(jià)為%所以該產(chǎn)品的月凈利潤(rùn)因?yàn)樗?，即【小?wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立所以，即故該產(chǎn)品月凈利潤(rùn)的最大值為77.5萬(wàn)元．21.有一堆大小和質(zhì)地都相同的白球和黑球，先將一個(gè)白球和一個(gè)黑球放入袋子中，再?gòu)拇又胁环呕氐仉S機(jī)取出一個(gè)球，然后再往袋子中加入一個(gè)白球和一個(gè)黑球，再?gòu)拇又胁环呕氐仉S機(jī)取出一個(gè)球，如此循環(huán)取球．（1）若取了三次球，求剛好取出個(gè)黑球的概率；（2）若要使取出的球中有黑球的概率不低于，求最少需要取多少次球．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分情況討論取出三個(gè)球的顏色情況，分別計(jì)算概率；（2）設(shè)最少需要取次，則次都是白球的概率，則，代入特值可得解.小問(wèn)1詳解】若三次取球依次為白黑黑的概率為若三次取球依次為黑白黑的概率為若三次取球依次為黑黑白的概率為，所以取了三次球，求剛好取出個(gè)黑球的概率為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)最少需要取次，則次都是白球的概率，所以取出的球中有黑球的概率為，可知是關(guān)于的遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最少取次.22.如圖，點(diǎn)在內(nèi)，是三棱錐的高，且．是邊長(zhǎng)為的正三角形，．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），求平面與平面夾角余弦值的最大值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作，交于，進(jìn)而證明點(diǎn)在上，平面，即可得兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可；（2）結(jié)合（1）求平面的法向量為，設(shè)，，進(jìn)而求平面的法向量，再根據(jù)向量方法求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)槭侨忮F的高，即平面，因?yàn)槠矫嫠裕驗(yàn)?，的?/p>