2022年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（3月份）（學(xué)生版+解析版）

2022年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（3月份）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）記全集U=R,A={x|?-2x-3>0},8={），僅=2'},則圖中陰影部分所表示的集

2.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z=l-（17）2,則復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)2等于（）

A.1-2/B.l+2iC.3+2zD.3-2i

3.（5分）志愿服務(wù)是辦好2022年北京冬奧會(huì)的重要基礎(chǔ)與保障.2022年1月25日志愿者

全面上崗服務(wù)，現(xiàn)有5名志愿者要安排到4個(gè)服務(wù)站點(diǎn)參加服務(wù)，每名志愿者只能安排

到一個(gè)站點(diǎn)，每個(gè)站點(diǎn)至少安排一名志愿者,則不同的安排方案共有（）

A.90種B.120種C.180種D.240種

4.（5分）已知條件p：-1<X<1,q：x>m,若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)，"的取

值范圍是（）

A.[-1,+8）B.（-8,-1）C.（-1,0）D.（-8,-1]

5.（5分）設(shè)隨機(jī)變量S服從正態(tài)分布N（2,。2）,若尸（:<〃-1）=P（?>a+3）,則a

等于（）

A.1B.2C.3D.4

2yX+1

6.（5分）函數(shù)/（乃=誤/的圖象大致是（）

小

B.

C.D.

7.(5分)已知tan(a+導(dǎo))=3,tan(a+/?)=/,則tan(2ir-p)等于()

A.1B.C.-D.2或6

77

8.（5分）某班同學(xué)在一次化學(xué)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，某化學(xué)固體溶于水時(shí)，水中未溶解固體的質(zhì)量

22,+a

M（單位：克）與放入水中的時(shí)間，（單位：分鐘）滿足以下關(guān)系：M=e-0-（a為常

數(shù)），若把9克的該化學(xué)固體放入水中t分鐘后變成3克，則/約為（）（取M0.7,

/“3F.1）

A.6分鐘B.5分鐘C.4分鐘D.3分鐘

9.（5分）已知三棱柱的各個(gè)側(cè)面均垂直于底面，底面為正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)之比

為3：2,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，若三棱柱的側(cè)面積為162,則該球的表面積為（）

A.120TtB.^<1297rC.129TtD.1807r

x2y2

10.（5分）已知雙曲線C：—--=1（?>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸i（-c,0）,

4

尸2（C，0）,平面內(nèi)一點(diǎn)尸滿足尸為，尸尸2,的面積為點(diǎn)。為線段尸Q的中

點(diǎn)，直線。。為雙曲線的一條漸近線，則雙曲線C的離心率為（）

A.V5B.遍或—C.—D.2

22

11.（5分）已知函數(shù)/'（%）=2倔;譏?+演譏?-*）+sin》,將函數(shù)f（%）的圖象上所有

1

點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的二，縱坐標(biāo)不變，然后再向左平移<p（（p>0）個(gè)單位長(zhǎng)度，所得

4

的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則中的值可能為（）

7TJr37rTC

A.——B.-TTTC.—D.一

242484

12.（5分）若兩曲線y=/a-1與y=o?存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

-3

A.（0,2e]B.京-3,+00）C.（0,je]D.[2e,+°°）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）若（2x-3”的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則展開(kāi)式中x的系數(shù)為.

14.（5分）若對(duì)任意x>0,j?+Sf+dx》/恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

15.（5分）在平行四邊形ABCD中，已知AB=6,AD=4,/BAD=^,DE=^EC,BF=FC,

則族?AF=.

16.（5分）如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個(gè)

觀景臺(tái)P,已知射線AB,AC為夾角為120°的公路（長(zhǎng)度均超過(guò)4千米），在兩條公路

AB,4c上分別設(shè)立游客上、下點(diǎn)M,N,從觀景臺(tái)P到M,N建造兩條觀光線路

PN,測(cè)得AM=5千米，AN=3千米.若NMPN=60°,則兩條觀光線路PM與PN之和

的最大值為千米.

三、解答題：共70分。解答題寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟。第17-21題是必考

題，每個(gè)考生都必須作答。第22、23題是選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共

60分。

17.（12分）已知等比數(shù)列｛斯｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的遞增數(shù)列，3a4,2〃5,四成等差數(shù)列，且

滿足⑥之二九今

（1）求數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式;

(2)若6"=log3"2”-1(nGNi),求數(shù)列｛W"的前〃項(xiàng)和加

18.（12分）如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為直角梯形，平面力平面

ABCD,AD=2BC,AD-DC=0,PA=PD=PB=2BC=2CD=2,。為AO的中點(diǎn).

（1）求證：PQ±AB,并且求三棱錐P-ABD的體積；

（2）求直線PC與平面所成角的正弦值.

19.（12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，由第一、第二兩道工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果

相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果只有A,8兩個(gè)等級(jí).兩道工序的加工結(jié)果直接決定該產(chǎn)

品的等級(jí)：兩道工序的加工結(jié)果均為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品；兩道工序恰有一道.工序

加工結(jié)果為8級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為二等品；其余均為三等品.每一道工序加工結(jié)果為A級(jí)的概

率如表一所示，一件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）如表二所示：

表一

工序第一工序第二工序

概率0.80.6

表二

等級(jí)一等品二等品三等品

利潤(rùn)502010

(1)用T1(萬(wàn)元)表示一件產(chǎn)品的利潤(rùn)，求T］的分布列和均值；

(2)工廠對(duì)于原來(lái)的生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級(jí)，計(jì)劃通過(guò)增加檢測(cè)成本對(duì)第二工序進(jìn)行改良,

假如在改良過(guò)程中，每件產(chǎn)品檢測(cè)成本增加x(0WxW4)萬(wàn)元(即每件產(chǎn)品利潤(rùn)相應(yīng)減

少x萬(wàn)元)時(shí)，第二工序加工結(jié)果為4級(jí)的概率增加O.lx.問(wèn)該改良方案對(duì)一件產(chǎn)品的

利潤(rùn)的均值是否會(huì)產(chǎn)生影響？并說(shuō)明理由.

%2y2A/2F5

20.(12分)己知C：后+記=l(a>b>0)的離心率為々■，點(diǎn)P(l,號(hào))在橢圓上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|2易+法|=|2易-后|,

是否存在定圓E,使得直線/與圓E相切？若不存在，說(shuō)明理由，若存在，求出圓E的

方程.

21.(12分)己知函數(shù)/(X)=xlnx+2.

(1)求曲線/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)設(shè)g(x)=/(x)-卷/-%+(a-2)(aeR).

①當(dāng)aWO時(shí)，討論函數(shù)g(x)在(1,+8)上的單調(diào)性；

②g(X)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)XI,X2,且X1<%2，已知人>0,若不等式1+入

〈配CI+入//U2恒成立，求人的取值范圍.

選考題：共10分?？忌鷱?2、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。

作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

(10分)

(V3

X=1

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為<2,C為參數(shù))，以

0=1+/

坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p2=

3

1+2COS20,

(I)求直線/的普通方程和曲線c的直角坐標(biāo)方程：

(2)直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸(0,1),求|附+|PB|的值.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知函數(shù)/(x)=|1-2r|-k|.

(1)求》》的解集；

⑵若/(x)+\2x-4|+lx|-2心0恒成立，求a的取值范圍.

2022年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（3月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）記全集U=K,A={x\x2-lx-3>0},8={），僅=2*},則圖中陰影部分所表示的集

【解答]解：A={x|P-2x-3>0}={小>3或-1},

-={力=2"}={丫}>0},

.".AUB=（0,+8）u（-8,-i）,

ACu（AUfi）=[-1,0].

故選：D.

2.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z=l-（1-i）2,則復(fù)數(shù)％的共軻復(fù)數(shù)n等于（）

A.1-2zB.l+2iC.3+2zD.3-2i

【解答]解：：z=l-（1-i）2=1-（1-2/+i2）=\+2i,

：.z=1-2i.

故選：A.

3.（5分）志愿服務(wù)是辦好2022年北京冬奧會(huì)的重要基礎(chǔ)與保障.2022年1月25日志愿者

全面上崗服務(wù)，現(xiàn)有5名志愿者要安排到4個(gè)服務(wù)站點(diǎn)參加服務(wù)，每名志愿者只能安排

到一個(gè)站點(diǎn)，每個(gè)站點(diǎn)至少安排一名志愿者，則不同的安排方案共有（）

A.90種B.120種C.180種D.240種

【解答】解：5個(gè)人分成滿足題意的4組只有1,1,1,2,即只有一個(gè)服務(wù)站點(diǎn)有2人，

其余都是1人，

故有C52A44=240種,

故選：D.

4.（5分）已知條件p：-l<x<Lq：x>m,若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)，〃的取

值范圍是（）

A.[-1,+8）B?（-8,-1）C.(-1,0)D.(-8,-i]

【解答】解：由p：-1<X<1,q：x>m,

若〃是q的充分不必要條件，

則{x|-1VXV1}0{X|X>AW},

則加<-1,

故選：D.

5.（5分）設(shè)隨機(jī)變量1服從正態(tài)分布N（2,。2）,若=尸（?>.+3）,則。

A.1B.2C.3D.4

【解答】解:???隨機(jī)變量彳服從正態(tài)分布N（2,。2）且P（fVa-l）=P（4>a+3）,

a—l+a+3

故選：A.

6.（5分）函數(shù)/（%）=嘴;的圖象大致是（）

2./+1?丫2

【解答】解：/（X）=黃-=卷r，

f（-x）=非槳=急氣=/（X），即f（x）是偶函數(shù)，排除C，D,

當(dāng)尤>0時(shí)，f（x）>0恒成立，排除4,

故選：B.

7.（5分）已知ta九（a+筆）=3,tan（a+/?）=*PPJtan（2n-p）等于（）

A.1B.C.-D.2或6

77

【解答】解：：tan（a+苧）=3,

TT

tan(a+/)=3,

1+tana

:.-----------=3,

1-tana

.1

..tana=2

1

Vtan(a+￡)=可，

.tana+tan^1

1-tanatanB3'

1

-

3

1

.?.tfanpQ=-y,

tan（2n-p）=-tanp=

故選：C.

8.（5分）某班同學(xué)在一次化學(xué)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，某化學(xué)固體溶于水時(shí)，水中未溶解固體的質(zhì)量

M（單位：克）與放入水中的時(shí)間，（單位：分鐘）滿足以下關(guān)系：Q為常

數(shù)），若把9克的該化學(xué)固體放入水中，分鐘后變成3克，則，約為（）（取/〃2心0.7,

/?3=?1.1）

A.6分鐘B.5分鐘C.4分鐘D.3分鐘

【解答】解：由己知可得當(dāng)f=0時(shí)，M=ea=9,

則/0.22，+。=9?/°22'=3,即e-0-22t=I，

所以-0.22t=ln-——ln3,則t=3異-康2=5,

故選：B.

9.（5分）已知三棱柱的各個(gè)側(cè)面均垂直于底面，底面為正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)之比

為3：2,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，若三棱柱的側(cè)面積為162,則該球的表面積為（）

A.120nB.VT29TTC.129nD.180n

【解答】解：由題意，設(shè)球的半徑為底面三角形邊長(zhǎng)為級(jí)，因?yàn)閭?cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)

之比為3：2,

所以側(cè)棱長(zhǎng)為3x,因?yàn)槿庵膫?cè)面積為162,

即滿足3?（3x）-（2x）=18/=162,解得x=3,

可知側(cè)棱長(zhǎng)為9,底面邊長(zhǎng)為6,如圖所示，

設(shè)N,M分別是上、下底面的中心，MN的中點(diǎn)0是三棱柱ABC-A\B\C\外接球的球心，

貝iL4M=卓x6=2再，OM=*MN=^AAr=去

r=OA=>JOM2+AM2=J(1)2+(2V3)2=

所以S=4nr2=4nx(“產(chǎn)產(chǎn)—129兀.

故選：C.

x2y2

10.(5分)已知雙曲線C—-—=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為乃(-c,0),

4

F2(C,0),平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足PFI，PF2,△PF1F2的面積為gc2,點(diǎn)Q為線段PF1的中

點(diǎn)，直線。。為雙曲線的一條漸近線，則雙曲線C的離心率為()

LLf遍V5

A.V5B.V5或—C.—D.2

22

【解答】解：不妨取直線OQ為雙曲線的漸近線產(chǎn)一張，設(shè)。(〃?，一,)，

因?yàn)辄c(diǎn)。為線段PQ的中點(diǎn)，所以P(2m+c,-m〃)，

又PFJPF2,△叩F2的面積為二c2,所以丁|-多川?|FIF2|=告。2,

所以|一『|=|c(D>

因?yàn)镺為線段F1F2的中點(diǎn)，且「F|，PF2，

所以|OP|=2=|FIF2|=C，即(2m+c)2+(-^w)2=c2@,

由①②消去機(jī)可得，=2或

a2

所以離心率e=J1+(務(wù)2=遙或

故選：B.

11.(5分)已知函數(shù)f(x)=2gs譏今+加譏?-1)+sinx,將函數(shù)/(x)的圖象上所有

1

點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一，縱坐標(biāo)不變，然后再向左平移<p(<p>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得

4

的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則<p的值可能為()

717737T7T

A.—B.-亍彳C.—D.一

242484

【解答】解：f(x)=2V3sin(^+今si幾?—1)4-sinx=V3sin2(—+—)+siaY=V3cosx+sinx

7T

=2sin(x+@)，

若將函數(shù)次X)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的j縱坐標(biāo)不變，可得y=2sin(4x+號(hào))

的圖象，

然后再向左平移<p(年>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y=2sin(4x+4<p+1)的圖象，

再根據(jù)所得函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得4年+為=內(nèi)1+乎A6Z,

可得(p=/ir+今，keZ,

Tt

令火=0,可得9的值為工？

24

故選：A.

12.(5分)若兩曲線y=/nx-1與》=??存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

11

A.(0,2<?]B.住e-3,+8)C.(0,^e-3]D.[2e,+°°)

【解答】解：設(shè)公切線與兩曲線y=lnx-1與y=ajc2的切點(diǎn)分別為(加，lnx\-1),

(%2，。犯？)，

z

由y\X=X1="，y'lx=xz=2a%2，

1ax^-lnx^lic

得一二2ax2------------,整理可得一赤=仇與—2),

小x2-x14a

令"(x)=/(Iwc-2),則(x)=x(2lnx-3),由力'(x)=0,得％=

???當(dāng)(Ve^?+°°)時(shí)，h'(x)>0,當(dāng)那(0,Ve^)時(shí)，h'(x)<0,

可得力(x)的最小值為〃(Ve^)=-今，

從而—急工一號(hào)，解得

???正實(shí)數(shù)。的取值范圍是3-3,+8).

故選:B.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）若（2x-]）n的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則展開(kāi)式中x的系數(shù)為80.

【解答】解：由題知2"=32,得〃=5,

故二項(xiàng)式為（2x—/）5,

展開(kāi)式得通項(xiàng)為〃+1=（-1）k25-人.布/5-2勺無(wú)=0,1,2,……，5,

顯然出=2時(shí)，可得x的系數(shù)為23鬣=80.

故答案為：80.

14.（5分）若對(duì)任意x>0,丁+57+4%》0?恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-8,刃.

【解答】解：若對(duì)任意x>0,x?+5/+4x2ar2恒成立，

則aWx+g+5在在（0,+8）上恒成立，

令F（x）=x+g+5（x>0）,

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)/（x）在（0,2）遞減，在（2,+8）遞增，

于（X）min=f（2）=9,

故。的取值范圍是（-8,9],

故答案為：（-°°,9].

7TT1TTT

15.（5分）在平行四邊形48c。中,已知AB=6,AO=4,NBAD=務(wù)DE=^EC,BF=FC,

則族?AF=34.

【解答】解：由題意令A(yù)B=a,AD=b,則|a|=6,|b|=4,a-b=6x4xcos1=12,

因?yàn)榉?之丘B(yǎng)F=FC,則族=兄>+：旗=7+京，AF=AB+^AD=a+^b,

T117

TTT〔t_>1_>IT17T

b=

所以4E?4尸=（b+可。）?（Q+5b）=+b?+/a---

。乙。乙u326

12=34.

故答案為：34.

16.（5分）如圖，為方便市民游覽市民中心附近的''網(wǎng)紅橋"，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個(gè)

觀景臺(tái)P,已知射線AB,AC為夾角為120。的公路（長(zhǎng)度均超過(guò)4千米），在兩條公路

AB,4C上分別設(shè)立游客上、下點(diǎn)M,N,從觀景臺(tái)P到M,N建造兩條觀光線路PM,

PN,測(cè)得AM=5千米，AN=3千米.若NMPN=60°,則兩條觀光線路PM與PN之和

的最大值為最千米.

【解答】解：在△AMN中，AM=5,AN=3,/8AC=120°,

由余弦定理知，M1^=AM2+AN2-2AM-ANcosZBAC=25+9-2X5X3Xcosl200=49,

所以MN=7,

在中，由余弦定理知，M*=P*P*-2PM*PNcos/MPN,

所以49=PM2+pM-2PM-PN--=(PM+PN)2-3PM，PN-(PM+PN)2-1(PM+PN)

24

2=5(PM+PN)2,

所以(PM+PN)2.4X49,即HW+PNW14,當(dāng)且僅當(dāng)PM=PN=7時(shí)，等號(hào)成立，

所以與PN之和的最大值為14.

故答案為：14.

三、解答題：共70分。解答題寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟。第17-21題是必考

題，每個(gè)考生都必須作答。第22、23題是選考題，考生根據(jù)要求作答。（-）必考題：共

60分。

17.（12分）已知等比數(shù)列｛斯｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的遞增數(shù)列，344,2a5,前成等差數(shù)列，且

滿足432=9（Z4.

（1）求數(shù)列｛的｝的通項(xiàng)公式；

（2）若與=log3a2"」（n€N*）,求數(shù)列｛另一｝的前N項(xiàng)和心.

D?on+1

【解答】解：（I）設(shè)等比數(shù)列｛“"｝的公比為q,且q>l,由條件3a4,2〃5,46成等差數(shù)

歹IJ,

可得445=3。4+。6，即4a4q=3a4+?4<?2>

可得/-4q+3=0,解得g=3或q=l（舍去），

又因?yàn)樵?9。4，即域q4=9a1q3,即”]=3.

所以數(shù)列｛即｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列，

所以an=3”（n€N*）.

（2）因?yàn)殄?log3a2入1=2〃-1,

所以------=--------------=一(-v-----------)y，

bnbn+1(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l

數(shù)歹式共匚｝的前n項(xiàng)和〃=念+&+在+…+就A=2*(1V+A1+

11,,11、n

耳"7+…+齊7T_而釘)=2(1~2n+l->=2n+l'

18.(12分)如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，底面48co為直角梯形，平面力O_L平面

ABCD,AD=2BC,AD-DC=0,PA=PD=PB=2BC=2CD=2,。為AO的中點(diǎn).

(1)求證：PQ±AB,并且求三棱錐P-A3。的體積；

(2)求直線PC與平面B48所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：因?yàn)?。為A。的中點(diǎn)，PA^PD,所以尸。，4力，

因?yàn)槠矫鍮4OJ_平面ABCD,

且平面PADA平面ABCD=AD,

所以PQ_L平面ABCD,

又因?yàn)锳8u平面A8C￡>,所以尸。_LA8.

根據(jù)條件元》=2命，ADDC=0,BC=1,

可知AD=2BC=2,AD1CD,

又因?yàn)锽4=PO=2,所以△以O(shè)為正三角形，

故PQ=V3,

因?yàn)镻Q_L平面ABCD,

所以VPTBD=可xPQ?SMBD=wxPQx]x40xCO=勺.

(2)解：以Q為原點(diǎn)，。4為x軸，Q8為y軸，QP為z軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,1,0),P(0,0,V3),

所以版=(-1,1,0),PB=(0,1,-A/3),

設(shè)平面附8的法向量為蔡=(x,y,z),

(TTT

?.|-AB=0/PB=0,(—x+y=0,口」，/-r-、

則｛-t即an｛取m=(V3/V3/1),

(m-PB=0,(y-V3z=0,

又因?yàn)槭?(一1,1,-V3),

設(shè)直線PC與平面PAB所成角為0,

m.i.?/二'IPC-m.i(—l)x/3+lx>/3+(—V3)xl.V105

則sineo=\cos(PC，m)\=|__|=|,；：??>I=>

\PC\\m\J(-l)2+l2+(->/3)xj(v/3)+(73)+12

所以直線PC與平面PAB所成角的正弦值為”.

19.(12分)某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，由第一、第二兩道工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果

相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果只有A,B兩個(gè)等級(jí).兩道工序的加工結(jié)果直接決定該產(chǎn)

品的等級(jí)：兩道工序的加工結(jié)果均為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品；兩道工序恰有一道.工序

加工結(jié)果為8級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為二等品；其余均為三等品.每一道工序加工結(jié)果為4級(jí)的概

率如表一所示，一件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)如表二所示：

表一

工序第一工序第二工序

概率0.80.6

表二

等級(jí)一等品二等品三等品

利潤(rùn)502010

(1)用n(萬(wàn)元)表示一件產(chǎn)品的利潤(rùn)，求ri的分布列和均值;

(2)工廠對(duì)于原來(lái)的生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級(jí)，計(jì)劃通過(guò)增加檢測(cè)成本對(duì)第二工序進(jìn)行改良,

假如在改良過(guò)程中，每件產(chǎn)品檢測(cè)成本增加x(0WxW4)萬(wàn)元(即每件產(chǎn)品利潤(rùn)相應(yīng)減

少x萬(wàn)元)時(shí)，第二工序加工結(jié)果為A級(jí)的概率增加O.Ix.問(wèn)該改良方案對(duì)一件產(chǎn)品的

利潤(rùn)的均值是否會(huì)產(chǎn)生影響？并說(shuō)明理由.

【解答】解：(1)由題意可知，n的可能取值為50,20,10,

產(chǎn)品為一等品的概率為0.8X0.6=0.48,

產(chǎn)品為二等品的概率為0.8X0.4+0.2X0.6=0.44,

產(chǎn)品為三等品的概率為1-0.48-0.44=0.08,

所以r］的分布列為

n502010

p0.480.440.08

E(q)=50X0.48+20X0.44+10X0.08=33.6.

(2)改良方案對(duì)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)的均值會(huì)產(chǎn)生影響，理由如下：

由題意可知，改良過(guò)程中，每件產(chǎn)品檢測(cè)成本增加x(0WxW4)萬(wàn)元時(shí)，第二工序加工

結(jié)果為A級(jí)的概率增加O.lx,

設(shè)改良后一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為字則？可能的取值為50-x,20-x,10-%,

所以一等品的概率為0.8義(O.lx+O.6)=0.48+0.08%,

二等品的概率為0.8義口-(0.6+0.lx)］+(1-0.8)X(0.6+0.lx)=0.44-0.06x,

三等品的概率為1-(0.48+0.081)-(0.44-0.06.r)=0.08-0.02%,

所以E(0=(0.48+0.08x)X(50-x)+(0.44-0.06x)X(20-x)+(0.08-0.02x)

X(10-x)=1.6x+33.6,

因?yàn)镋(《)在［0,4］上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=4時(shí)，E(p取到最大值為40,

又因?yàn)镋(P2E(口)，

所以該改良方案對(duì)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)的均值會(huì)產(chǎn)生影響.

x2y2V2J7

20.(12分)已知C：—+77=l(a>b>0)的離心率為一，點(diǎn)P(l,虧)在橢圓上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|2&+而|=|2&-防

是否存在定圓E，使得直線/與圓E相切？若不存在，說(shuō)明理由，若存在，求出圓E的

方程.

【解答】解：⑴?.,點(diǎn)P（l,發(fā)）在橢圓上，吟+京=1,

；橢圓的離心率e==：,a2=2c2=b2+c1,

即W=c2=^a2,

1

1一

代入=+T7=1'得到J=2,匕2=],

azy

x2

，橢圓C的方程為三+y2=1.

（2）假設(shè)存在.'：\20A+0B\=\20A-0B\,：.（2（M4-OB）2=（20A-OB'）2

得到&OB=0,

①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，設(shè)/：x=t,代入橢圓方程得y=±JE—，[2,

不妨令t2）?B（t，2t2）,

由O4?0B=0,得t2-l+}=0,解得t=土詈，

此時(shí)X=土坐,與圓/+y2=|相切.

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/：y=kx+m,ACxi，yi）,B（孫）2），

聯(lián)立卜2+2y2=2,得（]+2正）/+4加彳+2"?2-2=0,

[y=kx+m

則△=16必層-4（1+2爛）（2m2-2）>0,

由根與系數(shù)的關(guān)系得/+%2=-=即與，

1+2/1+2/

m2—2后

貝如①=（kx、+m）（/c%+m）=k2xx+kmg+x）+M=--------/，

2t22l+2k

,--M一27n2-2m2-2k2

由。4-OB=0,即xix2+yiy2—0,可得.....-+-------=0,

1+2/c21+2/c2

整理得7n2=￡/+|,滿足△>（）,

.,.-7===-，即原點(diǎn)到直線/的距離為漁，

Vk2+133

二直線/與圓/+y2=彳相切.

綜上所述，存在定圓E,使得直線/與圓E相切，這時(shí)定圓E的方程為/+丫2=*

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=xlnx+2.

(1)求曲線/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)設(shè)g(x)=C(x)-紅2—%+g—2)(aeR).

①當(dāng)a<0時(shí)，討論函數(shù)g(x)在(1,+8)上的單調(diào)性；

②g(x)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)xi，也，且xi<及,已知人>0,若不等式1+人

</?%]+入伍￥2恒成立，求人的取值范圍.

【解答】解：(1)由條件/(x)—xlnx+2,得到/(x)—lnx+\,

所以/(1)=1,/(I)=2,

所以/G)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程為廠2=1X(x-1),即x-yM=O,

所以切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)(-1,0),(0,1),

故切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S=ixlxl=1；

(2)g(x)—/(%)—恭2-%+(a—2)=xlnx+2-—x+(a—2)=xlnx—^%2—

%+a,

得到g'(x)=bvc-ax,令人(x)=g'(x)=lnx-ax,故力z(x)=--a,

①當(dāng)oWO時(shí)，h(x)>0,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>1時(shí)，〃(x)>h(1)=-6/^0,

即g'(x)>0,

g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

②由題意可知XI，分別是方程g'(])=0的兩個(gè)根，即歷X-O￥=0的兩個(gè)根，即加X(jué)I

=ax\,Inx2=ax2f

原式等價(jià)于1+入Vari+Aar2=〃(?+右2)，

因?yàn)槿?gt;0,0VxiVx2,所以原式等價(jià)于又由于加入’1=火1，/〃X2=〃X2,

In?

作差得，仇,=磯%1—％2)，即a二xi」?'

所以原式等價(jià)于一^>1+A

工1一％2+A%2

因?yàn)?cxi<X2,所以原式恒成立，即