2021年廣東省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）（一模）（東莞一模）

2021年廣東省高考數(shù)學(xué)模擬試卷(一)(一模)(東莞一

模)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.已知集合”=｛用―7<3%—1<2｝,7=｛%比+1>0｝,則"0%=()

A.(-2,4-00)B.(-1,1)C.(-oo,l)D.(-l,+oo)

2.若復(fù)數(shù)z滿足(z—l)(l+i)=2—23貝U|z|=()

A.V2B.V3C.5D.V5

3.已知函數(shù)曠=e*的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，貝U/(2e)=()

A.2e2B.2eC.1+ln2D.21n2

4.函數(shù)/'(x)=cos2x+6cosC-x)(xe[0,勺)的最大值為()

A.4B.5C.6D.7

5.已知數(shù)列｛cin｝的前"項(xiàng)和％=2n一1,則數(shù)列｛logza"的前10項(xiàng)和等于()

A.1023B.55C.45D.35

6.已知a,6是兩個(gè)正數(shù)，4是2a與16b的等比中項(xiàng)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.M的最小值是1B.。〃的最大值是1

C.工+，的最小值是[D.：的最大值是

ab2ab2

7.《算數(shù)書(shū)少是我國(guó)現(xiàn)存最早的系統(tǒng)性數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如

其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)

L與高江計(jì)算其體積V的近似公式V?白產(chǎn)兒用該術(shù)可求得圓率的近似值現(xiàn)用該

OO7r

術(shù)求得兀的近似值，并計(jì)算得一個(gè)底面直徑和母線長(zhǎng)相等的圓錐的表面積的近似值

為9,則該圓錐體積的近似值為()

A.V3B.2V3C.3V3D.3

8.若(7+或一2)3(x+a)2(a>0)的展開(kāi)式中一的系數(shù)為3,則a=()

A.1B.1C.V2D.2

二、多選題(本大題共4小題，共20.()分)

22

9.已知曲線C：3嬴+￡=1(機(jī)力一1,且機(jī)中一4),則下列結(jié)論正確的是()

A.若曲線C為橢圓或雙曲線，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±75,0)

B.若曲線C是橢圓，則m>一1

C.若m<-1且mK-4,則曲線C是雙曲線

D.直線kx-y-k=O(keR)與曲線C恒有兩個(gè)交點(diǎn)

10.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱,當(dāng)xe(0,1]時(shí),/(x)=

-X2+2X,則下列判斷正確的是()

A.f(x)的值域?yàn)?0,1]B.的周期為2

C./(x+1)是偶函數(shù)D./(2021)=1

11.已知函數(shù)f(x)=cosx+則下列說(shuō)法正確的是()

A.若函數(shù)f(%)的最小值為-5,則；1=2

B.若#e(0(),則“e(0,1)使得/Q)=4成立

C.若4=V3.vxe[0,§都有|f(x)-叫<1成立，則僧e(1,2)

D.若函數(shù)人為在(0,今上存在最大值，則正實(shí)數(shù);I的取值范圍是(0,百)

12.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)

題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決,例如，與，(x-砌2+⑶一b)2相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題,

可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)4Q,y)與點(diǎn)B(a,b)之間的距離的兒何問(wèn)題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)

/(%)=V%24-4%+5+V%2—4%4-5,卜列結(jié)論正確的是()

A.f(x)=6無(wú)解B./Q)=6的解為％=±卓

C./(x)的最小值為2岔D./(%)的最大值為2遙

三、單空題(本大題共4小題，共20.()分)

13.已知同=1,@=3，且|為一石|=2,則|五+21|=.

14.某圓形廣場(chǎng)外圍有12盞燈，如圖所示，為了節(jié)能每天晚上12時(shí)尸

關(guān)掉其中4盞燈,則恰好每間隔2盞燈關(guān)掉1盞的概率是./6

15.斜率為企的直線過(guò)拋物線C：y2=2px(p>o)的焦點(diǎn)，且與C交于A,B兩點(diǎn)，

若依B|=3V2，則p=,△4。8(。為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為.

16.在四面體ABCD中，AB=AC=BC=AD=CD=2,二面角B—2C—D為120。,

則四面體A8CQ的外接球的表面積為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.記又為數(shù)列｛冊(cè)｝的前"項(xiàng)和，已知的=1,.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

第2頁(yè)，共21頁(yè)

（21）

（2）若刈=。”+—）；；，.+,設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為7n，證明:Vn6N*,7；<；.

從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題的橫線中，然后對(duì)題目進(jìn)行求解.

條件①：=nan—n24-n,nEN

2

條件②：nSn+1=（幾+l）Sn+n4-n,nG/V*；

條件③：JSn+i=y[S^+1,nEN

18.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知Q?si九4+Q?s譏C?cosB+b?

sinC?cosA=b-sinB+c-sinA.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若b=3乃，c=3近，點(diǎn)。滿足4。=|>4B+：AC,求△ABD的面積.

19.如圖，在四棱錐P-/BCD中，平面P/B1平面A8CO,BC//AD,Z.BAD=90°,

PA=AD=2AB=4BC=4,PC=V21.

(1)證明：PA_L平面A8CQ；

（2）線段AB上是否存在一點(diǎn)M,使得MC與平面尸。所成角的正弦值為等？若

存在，請(qǐng)求出空的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

p

20.已知橢圓C：5+，=l(a>b>0)的離心率為右過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)并垂直于x軸

的直線PM交橢圓C于尸，”(點(diǎn)尸位于x軸上方)兩點(diǎn)，且△OPM(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的

面積為|.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/交橢圓C于4,B(48異于點(diǎn)P)兩點(diǎn),且直線PA與PB的斜率之積為一：，

求點(diǎn)P到直線/距離的最大值.

21.已知函數(shù)/(x)=Inx—ax+l(aGR).

(1)討論函數(shù)/(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)設(shè)%1，冷是函數(shù)f(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明:+不+2elna>0.

第4頁(yè)，共21頁(yè)

22.在新冠肺炎疫情肆虐之初，作為重要防控物資之一的口罩是醫(yī)務(wù)人員和人民群眾抗

擊疫情的武器與保障，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我國(guó)企業(yè)依靠自身強(qiáng)大的科研能

力，果斷轉(zhuǎn)產(chǎn)自行研制新型全自動(dòng)高速口罩生產(chǎn)機(jī)，”爭(zhēng)分奪秒、保質(zhì)保量”成為

口罩生產(chǎn)線上的重要標(biāo)語(yǔ).

(1)在試產(chǎn)初期，某新型全自動(dòng)高速口罩生產(chǎn)流水線有四道工序，前三道工序完成

成品口罩的生產(chǎn)且互不影響，第四道是檢測(cè)工序，包括紅外線自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢

,已知批次/的成品口罩生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為B=2，P2=^.

①求批次/成品口罩的次品率Pi.

②第四道工序中紅外線自動(dòng)檢測(cè)為次品的口罩會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的口罩進(jìn)入流

水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知批次/的成品口罩紅外線自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為

92%,求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)口罩恰為合格品的概率(百分號(hào)

前保留兩位小數(shù)).

(2)已知某批次成品口罩的次品率為p(O<p<1)，設(shè)10。個(gè)成品口罩中恰有1個(gè)不

合格品的概率為S(p),記9(p)的最大值點(diǎn)為po,改進(jìn)生產(chǎn)線后批次J的口罩的次品

率Pi=Po.某醫(yī)院獲得批次/,J的口罩捐贈(zèng)并分發(fā)給該院醫(yī)務(wù)人員使用.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，正

常佩戴使用這兩個(gè)批次的口罩期間，該院醫(yī)務(wù)人員核酸檢測(cè)情況如下面條形圖所示,

求Po,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)？

核酸檢測(cè)R陽(yáng)性

核酸檢測(cè)呈陰性

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>k)0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

第6頁(yè)，共21頁(yè)

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：：M={x|-2<%<1],N={x\x>—1},

:.MUN=(-2,+co).

故選：A.

可求出集合M,N,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

本題考查了描述法和區(qū)間的定義，并集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】。

【解析】解：由(z-1)(1+i)=2-2i,

2

zg<2—2i(2-2i)(l-i)2-2i—2i+2i—4in.

得zT=TTT=石茍而廣…由z——=下=-22,

Az=1—2l,

則|z|=y/12+(-2)2=V5.

故選：D.

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)丫=蜻的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

所以y=/(尤)與y=e”互為反函數(shù)，

故/'(x)=1nx，所以/(2e)=In(2e)=ln2+Ine=1+ln2.

故選：C.

利用圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，求出曠=蜻的反函數(shù)即為y=f(x),將x=2e代入y=

f(x)求解即可.

本題考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱性問(wèn)題，主要考查了反函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：函數(shù)/(X)=cos2x+6cos—x)=1—2sin2x+6sinx=—2(sinx-|)2+

|+1=-2(sinx-|)2+y,

由于％W[0(],

b^sinxG[0,1],由于函數(shù)/'(x)的對(duì)稱軸為會(huì)

當(dāng)sin%=1時(shí)、/(%)取得最大值/(X)mox=/(^)=5,

故選:B.

直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算

能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，同時(shí)考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和等差數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)

算能力，屬于中檔題.

由數(shù)列遞推式：n=l時(shí)，ax=S1；當(dāng)nN2時(shí)，a”=-S"_i，可得an,求出logz?！?

log^"-1=n-1,再由等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得結(jié)果.

【解答】

n

解：數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=2—1,

可得的=S]=2-1=1；

當(dāng)n>2時(shí)，an=S”-Sn-i

=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,

對(duì)n=1也成立.

所以即=2nt.

11

所以log2ati=log22T=n-1,

則數(shù)列｛logz%｝的前10項(xiàng)和為：

0+1+2+…+9=[x(l+9)x9=45.

故選C.

6.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?a?16b=42,所以4畀2b=42,

所以a+4b=42274ab，可得abW1,當(dāng)且僅當(dāng)a=4b時(shí)等號(hào)成立，

第8頁(yè)，共21頁(yè)

所以油的最大值為1,故A錯(cuò)誤，B正確.

因?yàn)镃+》,①+府)1=](1+4+?+?之；(5+2V4)=

故上+：的最小值為三無(wú)最大值，故C和。都錯(cuò)誤.

ab4

故選：B.

由已知利用等比數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式得abWl,即可判斷A,B；利用基本不等式

即可判斷C,D,即可得解.

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：圓錐的體積U=工兀(上)2/1=工二八as2/h，解得7rB3,

3、2n’12n36

則設(shè)所求圓錐的底面直徑與母線長(zhǎng)為>0),則底面半徑為:，

則S=兀(|)2+2兀/=[7rx2ss=%解得％=2,

設(shè)高為h,則V=|(|)2?r/i—|TTJX2—(|)2=?兀xV3.

故選：A.

根據(jù)圓錐的體積公式先求出兀的近似值，然后根據(jù)圓錐的表面積公式建立等式求出底面

半徑，最后根據(jù)體積公式進(jìn)行求解即可.

本題主要考查了圓錐的體積公式以及表面積公式，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解的能

力，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：(x2+^-2)3(x+a)2=(%->6.(%2+2ax+a2)(a>0),

而(X-的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為4+1=C，(―1)『?一-2r,

故(X-》6.(X2+2ax+。2)的展開(kāi)式中小的系數(shù)為盤+2ax0+a2-(-C^)=15-

6Q2=3,

則Q=VL

故選：c.

式子即(x-；)6.(x2+2ax+a2)(a>0),再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得力的系

數(shù)，根據(jù)/的系數(shù)為3,求得a的值.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.

9.【答案】AB

【解析】解：若曲線表示橢圓，4+m>1+m,.1.a2=4+m>0,h2=1+m>0,

則nt>—1,

即橢圓焦點(diǎn)在x軸，則c2=a2—X=3,得c=百，此時(shí)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土行,0),

若曲線表示雙曲線，由(4+m)(l+瓶)<0,得

此時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為之——匕=1,

4+m-1-m

則a2=4+m,b2=-1-m,即焦點(diǎn)在x軸，則c2=a2+/=3,得c=百，

此時(shí)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土6,0),故A正確；

若曲線表示橢圓，,.?4+m>l+77i,a2=4+m>0,b2=1+m>0,則m>—1,

故8正確；

若曲線表示雙曲線，由(4+m)(l+?n)<0,得-4<?n<-l,故C錯(cuò)誤；

由/ex-y-k=0得k(x-1)一y=0,得｛；=［一°，得x=l，y=0,即直線過(guò)定點(diǎn)

當(dāng)曲線為雙曲線時(shí)，—此時(shí)a?=4+m6(0,3),

當(dāng)m=-2時(shí)，。2=2,此時(shí)右頂點(diǎn)為(VXo),在點(diǎn)M(l,0)的右側(cè)，

此時(shí)直線不一定有兩個(gè)交點(diǎn)，故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

根據(jù)雙曲線和橢圓方程的特點(diǎn)分別進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查橢圓和雙曲線的圖像和性質(zhì)，結(jié)合圓錐曲線的方程特點(diǎn)求出a,b,c是解

決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

10.【答案】CD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4,當(dāng)x6(0,1］時(shí)，/(x)=-x2+2x,此時(shí)0</(x)Wl,

又由/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則〃0)=0，且當(dāng)xe［-l,0)時(shí)，一1</(x)<0,

故在區(qū)間［—1,1］上，-1</(%)<1,4錯(cuò)誤，

對(duì)于B,函數(shù)“尤)圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則有f(2—x)=/(x),

又由/'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(x)=-/(-X)=-/(2+%),

則有/(x+4)=-f(x+2)=/(x),故f(x)是周期7=4的周期函數(shù)，B錯(cuò)誤；

第10頁(yè)，共21頁(yè)

對(duì)于C,/(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，則函數(shù)/(x+1)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，f(x+l)是

偶函數(shù)，C正確，

對(duì)于￡>,/(x)是周期T=4的周期函數(shù)，則/(2021)=/(1+4x505)==。正

確，

故選：CD.

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案.

本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)的周期性、奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于

中檔題.

11.【答案】CD

【解析】解：對(duì)于A,函數(shù)/1(無(wú))=cosx+Asinx=+￥sin(x+<p)，其中ta”=/,

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小值為一5,所以一五”=一5,解得；1=±2甚，故4錯(cuò)誤；

對(duì)于B,右函數(shù)/(%)=cosx+Asinx=A,

cosx1+tan^2

則a=----x=-1H-----X

1-sinx1-tan-l-tani

22

X

-

因?yàn)閤e(O《)，所以：e(0,9,tan；e(0,l),12

27

?^€(2，+8),此時(shí)；ie(i,+8),

22

所以不存在；Ie(0,1)使得/O)=2成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若a=%,貝|J/O)=2sin(x+》，

因?yàn)閤6[0,§,所以x+'e碎,g],/(X)e[1,2],

|/(x)-m|<1<=?-1</(%)—m<l<=>m-1</(%)<m+1,

因?yàn)閃xe[0申都有|/(x)-m|<1成立，

所以產(chǎn)二：；，解得l<m<2,即me(1,2),故C正確；

對(duì)于。，/(%)=Vl+22sin(x+(p)?其中tern。=%

因?yàn)楹瘮?shù)/⑺在(0《)上存在最大值，

所以0<]<9+今即

所以temp￡(3，+8),ie(―,4-oo),

3A3

AG(0,V3).故。正確.

故選：CD.

/■(x)=V1+A2sin(x+(p)>由一，1+42=一5,即可求解2的值，即可判斷選項(xiàng)4；由

/(X)=cosx+Asinx=A,可得”=-1+.2與結(jié)合％e(。，)從而可得4的取值范圍，

即可判斷選項(xiàng)B,求出/(x)的值域，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為關(guān)于，〃的不等式，求解即可

判斷選項(xiàng)C；/(x)=Vl+A2sin(x+(py其中tan<p=[,由己知可得<]<9+g,

從而可求tan<p的取值范圍，即可求得；I的范圍，從而判斷選項(xiàng)。.

本題主要考查命題真假的判斷，三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)

算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】BC

B關(guān)于x=1對(duì)稱點(diǎn)為C(2,2),

則|P川+\PB\=\PA\+\PC\>\AC\,當(dāng)A,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，/(x)最小，此時(shí)f(x)=

\AC\=J(2+2■+(2-0)2=V16+4=V20=2通，/(x)無(wú)最大值，

故C正確，力錯(cuò)誤，

故選：BC.

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合橢圓的定義和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查命題的真假判斷，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，利用橢圓的定義和性質(zhì)是解決

本題的關(guān)鍵，是中檔題.

13.【答案】7

【解析】解：根據(jù)題意，|砧=1,@=3,且|弓一如=2，

則有|日_或2=22+/一2五萬(wàn)=10—2五不=4,變形可得己方=3,

則|行+2加|2=方2+4y+4方不=49>

第12頁(yè)，共21頁(yè)

故|Z+2習(xí)|=7，

故答案為：7.

根據(jù)題意，對(duì)|萬(wàn)一石|=2變形可得日不的值，又由|五+252=/+432+4日不，計(jì)

算可得答案.

本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】3

【解析】解：將12盞燈依次編號(hào)為1,2,3...,12,

從12盞燈中關(guān)掉4盞燈，共有C》=工二=495種方法，

每間隔2盞燈關(guān)掉1盞共有3種情況，即關(guān)掉1,4,7,10或2,5,8,11或3,6,9,

12,

所以恰好每間隔2盞燈關(guān)掉1盞的概率為六=士，

495165

故答案為：意.

lob

先對(duì)12盞燈依次編號(hào)，然后求出總的情況，然后再對(duì)所求事件的情況分類討論即可求

解.

本題考查了古典概型以及概率計(jì)算公式，涉及到分類討論思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,

屬于中檔題.

15.【答案】夜?jié)O

2

【解析】解：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)名,0),準(zhǔn)線方程為％=一今

設(shè)2Q1，%),B(x2)y2),由題意設(shè)直線AB的方程：y=&(x-/

聯(lián)立a"5),整理可得：/—2px—乙=0,

(y2=2px4

可得+&=2p,%i%2=一

所以丫1+%=V2(Xi+%2-P)=夜P，%丫2=-J22P2%1%2=-J2p2+4p2p2,

\AB\=/+外+P=3p=3V2,所以p=V2,

SAAOB=1|0F|■\yi-y2\JOi+、2)2-4yly2=|-y'J2P2+4p2=爭(zhēng)

故答案為：V2,漁.

2

由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意可設(shè)直線A8的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根

之和及兩根之積，由拋物線的性質(zhì)可得弦長(zhǎng)|4B|的值，由題意可得p的值，代入面積公

式可得三角形的面積.

本題考查求拋物線的方程及直線與拋物線的綜合，屬于中檔題.

16.【答案】等

【解析】解：如圖,

由已知可得，△ABC,△4CD為等邊三角形，

取AC的中點(diǎn)G,連接3G,DG,則BGJ.4C,DGLAC,

NBGD為二面角BGD的平面角，大小為120。，

設(shè)△力BC的外心為E,△ACD的外心為凡

分別過(guò)E,尸作所在面的垂線，相交于O,則。為四面體ABC。的外接球的球心，

由已知求得EG=FG=-BG=—，

33

在AFFG中，求得EF=h+l-2x^x^x(-i)=l.

73333k27

EF12x/3

則℃=而石=逅=可，

2

可得四面體ABCD的外接球的半徑R=OB=V0G2+BG2-20G-BG-cos60°

=h+3-2x^xV3xA=已

y]332y3

???四面體ABCD的外接球的表面積為47rx(甘=等.

故答案為：等.

由題意畫(huà)出圖形，找出四面體外接球的球心，求解三角形可得外接球的半徑，再由球的

表面積公式求解.

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

2

17.【答案】解：(1)若選條件①：Sn=nan-n+n,①；

2

當(dāng)九N2時(shí)，Sn_]=(n-—(71—l)+(7i—1)(5),

第14頁(yè)，共21頁(yè)

①-②得：（九-l）an=（n-l）an_i+2（n-1）,

所以Qn-an_i=2（常數(shù)），

故數(shù)列｛an｝是以&=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；

所以以n=2n-1（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），

所以an=2n-1.

2

選條件②：nSn+i=（幾+l）Sn+n+n,①；

2

（n-l）Sn=nSn_x+（n-l）+（n-1）②，

①—②得：—an_1=2（常數(shù)），

故數(shù)列｛a黯是以％=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；

所以an=2n-1（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），

所以an=2n-1.

選條件③：底二=向+1，ne/V*.

所以國(guó)；一店=1（常數(shù)），

所以數(shù)列｛圖｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

所以=n,

整理得土=必，

22

故時(shí)=Sn-Sn_i=n-（n-I）=2n-1,

證明：（2）由于an=2n—1,

聽(tīng)以b__________42__________4n_1_______1.

月T弘n-（2an+i_1^2an+1+l_1）-（4n_1）（4n+i_1）-3一”+1”，

則7；=&+與+…+%=[G_V一e+…+念―=久卜?

【解析1（1）選①②時(shí)，直接利用遞推關(guān)系求出數(shù)列an-an-i=2,進(jìn)一步求出數(shù)列的

通項(xiàng)公式,選③時(shí).，利用底匚-醫(yī)=1（常數(shù)），進(jìn)一步求出數(shù)列｛、際｝是以1為首項(xiàng)，

1為公差的等差數(shù)列，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）利用（1）的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用放縮法和裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法

在數(shù)列求和中的應(yīng)用，放縮法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：（1）???a,sinA+a-sinC-cosB+b-sinC-cosA=b-sinB4-c-sinA,

???sinA?sinA+sinA-sinC-cosB+sinB?sinC-cosA=sinB-sinB+sinC?sinA,

WflsinA?sinA+sinC^sinAcosB+sinBcosA)=sinB?sinB+sinC?sinA,

：?sinA-sinA+sinCsin^A+B)=sinB-sinB+sinC-sinA,

sin27l+sin2C—sin2^=sinAsinC,

即彥+c2-b2=QC,

由余弦定理得cosB=I，

由3為三角形內(nèi)角得B=1

(2)由(I)/4-c2—fa2=ac,

???Q2+18-2x3A/2x|a=54,

整理得a?—372a—36=0,

解得，a=6位，

-AD=-AB^-AC,

33

------?------>-----?2.一+1-----?-----?1----->-----?1-----?

???BD=AD-AB=-AB-V-AC-AB=-(AC-AB)=-BC,

333'J3

二。在8C上，且為靠近8的三等分點(diǎn)，

S4ABe=[cccsinB=x6夜x3V2x-^=9V3，

=x

S^ABD-gSuBC39v5—3y/3.

【解析】(1)利用正弦定理及余弦定理對(duì)己知進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求解；

(2)由(1)可求小然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】(1)證明：???平面PAB1平面ABCZ),平面PABn平面ZBCD=AB,^BAD=90°,

AD_L平面PAB,

?：PAu平面PAB,AD1PA,

在直角梯形A8CQ中，2AB=4BC=4,

???AC=7AB2+BC2=V22+l2=V5，

vPA=4,PC=V21,PA2+AC2=PC2,即P4_L4C,

又=AD,4Cu平面ABC。，

PA1平面ABCD.

第16頁(yè)，共21頁(yè)

(2)解：以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

則2(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,4),C(2,l,0),￡)(0,4,0),

AB=(2,0,0),PC=(2,1.-4),PD=(0,4,-4),

設(shè)而？=XAB>AG[0,1],則M(2；l,0,0)

MC=(2-2九1，0),

設(shè)平面PS的法向量為記=(%y,z),則俗案;,即｛第%3=°，

令y=l,則％=I，z=1,An=(|J,1),

與平面PCC所成角的正弦值為等,

式2-2；1)+1

4221./-

-------=COS<九，而>1=1器

171f^+l+lx7(2-2A)2+l

化簡(jiǎn)得萬(wàn)—解得

1684+1=0,a=4

故線段回上存在點(diǎn)M滿足題意，且皆=%

【解析】⑴由平面PAB1平面ABCD,推出4。，平面PA8,有力。，P4再由勾股定

理的逆定理證明P41AC,最后由線面垂直的判定定理，得證；

(2)以4為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)宿=；1而，AG[0,1],求得平面PC。的法向

量有，由等=|cos〈元，MC>\，求出;I的值后，即可得解.

本題考查空間中線與面的垂直關(guān)系、線面角的求法，熟練掌握線面、面面垂直的判定定

理或性質(zhì)定理，以及利用空間向量處理線面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立

(e=—c——1

所以由題意可得[13且，2=。2-匕2,解得.2=4,b2=3,

-,c---=一

、2ci2

所以橢圓的方程為：式+片=1;

43

(2)由(1)可得P(l,|),設(shè)4Qi，yi),B(x2ly2-),

設(shè)直線/的方程為：y=fcx+m,

y=kx+m

x2y2_且整理可得：(3+4k2萬(wàn)2+8kmx+4m2—12=0,

{丁+T一

△=647n2k2—4?(4憶2,|_3),(4血2_j2)>0,

口.-8km4m2—12

=xx

且1+X2'l2=---h

/23…+4k,21/3+4/c2

.色=—3,整理可得：(7i-1)(71-1)=-；(^-1)(%2-1)?

整理可得(9+fc2)%i%2+KO-|)-|](X1+%2)+⑺一|)2+[=0,

整理可得242+4m2—3m+6km—^=0,即(k+TH—|)(2/c+4m+3)=0,

o

fc+m--=0或2/c+4m+3=0,

若k+m-|=0,則直線方程為：y-|=fc(x-l),直線恒過(guò)N(l,|),與P點(diǎn)重合,

若2/c+4m+3=0,則直線方程為：y+：=k(x-g),

所以直線恒過(guò)定點(diǎn)QG，》

所以P到直線/的距離的最大值為|PQ|的值為](1_#+[|_(_,2=苧

所以點(diǎn)P到直線/距離的最大值迤.

4

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【解析】(1)由離心率和三角形OPM的面積即a,6,c之間的關(guān)系求出“，人的值，進(jìn)

而求出橢圓的方程；

(2)設(shè)直線/的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出直線PA,PB的斜率之

積，由題意可得參數(shù)的值，即求出直線/過(guò)的定點(diǎn)T的坐標(biāo)，進(jìn)而求出尸到直線/的距

離的最大值為|P7\.

當(dāng)a=1時(shí)直線y=ax-1與y=?x相切于一點(diǎn)，即一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a>1時(shí)直線y=ax-1與y=Inx沒(méi)有交點(diǎn),,即無(wú)零點(diǎn).

綜上可知，當(dāng)a>l時(shí)，/(x)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)a=1或aW0時(shí)，f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0<a<l時(shí)，/'(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

(2)因?yàn)?(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，由(1)可知0<a<l,

故令a=},則/'(x)=+1,故/(x)的最大值為/1(e)=1,

所以/(x)W/(e)=1.則有，nx-4-1<1,

所以故In衿總所以-2曲。行,

、2

要證+超+2elna>0,即證與+x2>->—2elna,

因?yàn)樾?，是函?shù)/(X)的兩個(gè)零點(diǎn)，

所以to-a?tl-O)解得喧=。3-與),

L1LX2—a%2十1一U4】

2(%2%])

即證久1+%2>

不妨設(shè)。</<如則喧>鬻浸=號(hào)

令”瓷>1,則證mt>22,

X1t+1

令/i(t)=1,

貝