復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)習(xí)重點(diǎn)

復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)(一)復(fù)數(shù)的概念1.復(fù)數(shù)的概念：，是實(shí)數(shù),..注：一般兩個復(fù)數(shù)不比擬大小，但其?！矠閷?shí)數(shù)〕有大小.2.復(fù)數(shù)的表示1〕模：；2〕幅角：在時，矢量與軸正向的夾角，記為〔多值函數(shù)〕；主值是位于中的幅角。3〕與之間的關(guān)系如下：當(dāng)；當(dāng)；4〕三角表示：，其中；注：中間一定是“+〞號。5〕指數(shù)表示：，其中。(二)復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.加減法：假設(shè)，那么2.乘除法：1〕假設(shè)，那么；。2〕假設(shè),那么；3.乘冪與方根假設(shè)，那么。假設(shè)，那么〔有個相異的值〕〔三〕復(fù)變函數(shù)1．復(fù)變函數(shù)：，在幾何上可以看作把平面上的一個點(diǎn)集變到平面上的一個點(diǎn)集的映射.2．復(fù)初等函數(shù)1〕指數(shù)函數(shù)：，在平面處處可導(dǎo)，處處解析；且。注：是以為周期的周期函數(shù)。〔注意與實(shí)函數(shù)不同〕對數(shù)函數(shù)：〔多值函數(shù)〕；主值：?！矄沃岛瘮?shù)〕的每一個主值分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)處處解析，且；注：負(fù)復(fù)數(shù)也有對數(shù)存在?！才c實(shí)函數(shù)不同〕3〕乘冪與冪函數(shù)：；注：在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)處處解析，且。4〕三角函數(shù)：在平面內(nèi)解析，且注：有界性不再成立；〔與實(shí)函數(shù)不同〕雙曲函數(shù)；奇函數(shù)，是偶函數(shù)。在平面內(nèi)解析，且。〔四〕解析函數(shù)的概念1．復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1〕點(diǎn)可導(dǎo)：=；2〕區(qū)域可導(dǎo)：在區(qū)域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)。2．解析函數(shù)的概念1〕點(diǎn)解析：在及其的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，稱在點(diǎn)解析；2〕區(qū)域解析：在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)解析，稱在區(qū)域內(nèi)解析；3〕假設(shè)在點(diǎn)不解析，稱為的奇點(diǎn)；3．解析函數(shù)的運(yùn)算法那么：解析函數(shù)的和、差、積、商〔除分母為零的點(diǎn)〕仍為解析函數(shù)；解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；〔五〕函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件1．函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：在可導(dǎo)和在可微，且在處滿足條件：此時，有。2．函數(shù)解析的充要條件：在區(qū)域內(nèi)解析和在在內(nèi)可微，且滿足條件：；此時。注意：假設(shè)在區(qū)域具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么在區(qū)域內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明具有一階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足條件時，函數(shù)一定是可導(dǎo)或解析的。3．函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別方法1〕利用定義〔題目要求用定義，如第二章習(xí)題1〕2〕利用充要條件〔函數(shù)以形式給出，如第二章習(xí)題2〕3〕利用可導(dǎo)或解析函數(shù)的四那么運(yùn)算定理?！埠瘮?shù)是以的形式給出，如第二章習(xí)題3〕〔六〕復(fù)變函數(shù)積分的概念與性質(zhì)復(fù)變函數(shù)積分的概念：，是光滑曲線。注：復(fù)變函數(shù)的積分實(shí)際是復(fù)平面上的線積分。復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)〔與的方向相反〕；是常數(shù)；3〕假設(shè)曲線由與連接而成，那么。3．復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算法1〕化為線積分：；〔常用于理論證明〕2〕參數(shù)方法：設(shè)曲線：，其中對應(yīng)曲線的起點(diǎn)，對應(yīng)曲線的終點(diǎn)，那么?！财摺酬P(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論1．柯西—古薩根本定理：設(shè)在單連域內(nèi)解析，為內(nèi)任一閉曲線，那么2．復(fù)合閉路定理：設(shè)在多連域內(nèi)解析，為內(nèi)任意一條簡單閉曲線，是內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以為邊界的區(qū)域全含于內(nèi)，那么=1\*GB3①其中與均取正向；=2\*GB3②，其中由及所組成的復(fù)合閉路。3．閉路變形原理：一個在區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因在內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中不經(jīng)過使不解析的奇點(diǎn)。4．解析函數(shù)沿非閉曲線的積分：設(shè)在單連域內(nèi)解析，為在內(nèi)的一個原函數(shù)，那么說明：解析函數(shù)沿非閉曲線的積分與積分路徑無關(guān)，計(jì)算時只要求出原函數(shù)即可。5?？挛鞣e分公式：設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一正向簡單閉曲線，的內(nèi)部完全屬于，為內(nèi)任意一點(diǎn)，那么6．高階導(dǎo)數(shù)公式：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的階導(dǎo)數(shù)為其中為的解析區(qū)域內(nèi)圍繞的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內(nèi)部完全屬于。7．重要結(jié)論：。〔是包含的任意正向簡單閉曲線〕8．復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法1〕假設(shè)在區(qū)域內(nèi)處處不解析，用一般積分法2〕設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，是內(nèi)一條正向簡單閉曲線，那么由柯西—古薩定理，是內(nèi)的一條非閉曲線，對應(yīng)曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)，那么有3〕設(shè)在區(qū)域內(nèi)不解析曲線內(nèi)僅有一個奇點(diǎn)：〔在內(nèi)解析〕曲線內(nèi)有多于一個奇點(diǎn)：〔內(nèi)只有一個奇點(diǎn)〕或：〔留數(shù)根本定理〕假設(shè)被積函數(shù)不能表示成，那么須改用第五章留數(shù)定理來計(jì)算?！舶恕辰馕龊瘮?shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1．調(diào)和函數(shù)的概念：假設(shè)二元實(shí)函數(shù)在內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足，為內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。2．解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)的實(shí)部與虛部都是調(diào)和函數(shù)，并稱虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)。兩個調(diào)和函數(shù)與構(gòu)成的函數(shù)不一定是解析函數(shù)；但是假設(shè)如果滿足柯西—黎曼方程，那么一定是解析函數(shù)。3．解析函數(shù)的實(shí)部或虛部，求解析函數(shù)的方法。1〕偏微分法：假設(shè)實(shí)部，利用條件，得；對兩邊積分，得〔*〕再對〔*〕式兩邊對求偏導(dǎo)，得〔**〕由條件，，得，可求出；代入〔*〕式，可求得虛部。2〕線積分法：假設(shè)實(shí)部，利用條件可得，故虛部為；由于該積分與路徑無關(guān)，可選取簡單路徑〔如折線〕計(jì)算它，其中與是解析區(qū)域中的兩點(diǎn)。3〕不定積分法：假設(shè)實(shí)部，根據(jù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和條件得知，將此式右端表示成的函數(shù)，由于仍為解析函數(shù)，故〔為實(shí)常數(shù)〕注：假設(shè)虛部也可用類似方法求出實(shí)部〔九〕復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)1．復(fù)數(shù)列的極限1〕復(fù)數(shù)列〔〕收斂于復(fù)數(shù)的充要條件為〔同時成立〕2〕復(fù)數(shù)列收斂實(shí)數(shù)列同時收斂。2．復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)1〕復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件是級數(shù)與同時收斂；2〕級數(shù)收斂的必要條件是。注：復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性可以歸納為兩個實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性問題的討論?！彩硟缂墧?shù)的斂散性1．冪級數(shù)的概念：表達(dá)式或?yàn)閮缂墧?shù)。2．冪級數(shù)的斂散性1〕冪級數(shù)的收斂定理—阿貝爾定理(Abel)：如果冪級數(shù)在處收斂，那么對滿足的一切，該級數(shù)絕對收斂；如果在處發(fā)散，那么對滿足的一切，級數(shù)必發(fā)散。2〕冪級數(shù)的收斂域—圓域冪級數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3〕收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。比值法如果，那么收斂半徑；根值法，那么收斂半徑；如果，那么；說明在整個復(fù)平面上處處收斂；如果，那么；說明僅在或點(diǎn)收斂；注：假設(shè)冪級數(shù)有缺項(xiàng)時，不能直接套用公式求收斂半徑?！踩纭?．冪級數(shù)的性質(zhì)1〕代數(shù)性質(zhì)：設(shè)的收斂半徑分別為與，記，那么當(dāng)時，有〔線性運(yùn)算〕〔乘積運(yùn)算〕2〕復(fù)合性質(zhì)：設(shè)當(dāng)時，，當(dāng)時，解析且，那么當(dāng)時，。分析運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，那么其和函數(shù)是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)；在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)，收斂半徑不變；且在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)求積，收斂半徑不變；〔十一〕冪函數(shù)的泰勒展開1.泰勒展開：設(shè)函數(shù)在圓域內(nèi)解析，那么在此圓域內(nèi)可以展開成冪級數(shù)；并且此展開式是唯一的。注：假設(shè)在解析，那么在的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑；其中為從到的距最近一個奇點(diǎn)之間的距離。2．常用函數(shù)在的泰勒展開式1〕2〕3〕4〕3．解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法1〕直接法：直接求出，于是。2〕間接法：利用函數(shù)的泰勒展開式及冪級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算和逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法將函數(shù)展開?！彩硟绾瘮?shù)的洛朗展開1.洛朗級數(shù)的概念：，含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)。2．洛朗展開定理：設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)處處解析，為圓環(huán)域內(nèi)繞的任意一條正向簡單閉曲線，那么在此在圓環(huán)域內(nèi)，有，且展開式唯一。3．解析函數(shù)的洛朗展開法：洛朗級數(shù)一般只能用間接法展開。*4．利用洛朗級數(shù)求圍線積分：設(shè)在內(nèi)解析，為內(nèi)的任何一條正向簡單閉曲線，那么。其中為在內(nèi)洛朗展開式中的系數(shù)。說明：圍線積分可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的洛朗展開式中的系數(shù)?！彩彻铝⑵纥c(diǎn)的概念與分類1。孤立奇點(diǎn)的定義：在點(diǎn)不解析,但在的內(nèi)解析。2。孤立奇點(diǎn)的類型：1〕可去奇點(diǎn)：展開式中不含的負(fù)冪項(xiàng)；2〕極點(diǎn)：展開式中含有限項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng)；其中在解析，且；3〕本性奇點(diǎn)：展開式中含無窮多項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng)；〔十四〕孤立奇點(diǎn)的判別方法 1．可去奇點(diǎn)：常數(shù)；2．極點(diǎn)：3．本性奇點(diǎn)：不存在且不為。4．零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1〕零點(diǎn)的概念：不恒為零的解析函數(shù)，如果能表示成，其中在解析，為正整數(shù)，稱為的級零點(diǎn)；2〕零點(diǎn)級數(shù)判別的充要條件是的級零點(diǎn)3〕零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系：是的級零點(diǎn)是的級極點(diǎn)；4〕重要結(jié)論假設(shè)分別是與的級與級零點(diǎn)，那么是的級零點(diǎn)；當(dāng)時，是的級零點(diǎn)；當(dāng)時，是的級極點(diǎn)；當(dāng)時，是的可去奇點(diǎn)；當(dāng)時，是的級零點(diǎn)，當(dāng)時，是的級零點(diǎn)，其中〔十五〕留數(shù)的概念1．留數(shù)的定義：設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，在的去心鄰域內(nèi)解析，為該域內(nèi)包含的任一正向簡單閉曲線，那么稱積分為在的留數(shù)〔或殘留〕，記作2．留數(shù)的計(jì)算方法假設(shè)是的孤立奇點(diǎn)，那么，其中為在的去心鄰域內(nèi)洛朗展開式中的系數(shù)。1〕可去奇點(diǎn)處的留數(shù)：假設(shè)是的可去奇點(diǎn)，那么2〕級極點(diǎn)處的留數(shù)法那么=1\*ROMANI假設(shè)是的級極點(diǎn)，那么特別地，假設(shè)是的一級極點(diǎn)，那么注：如果極點(diǎn)的實(shí)際級數(shù)比低，上述規(guī)那么仍然有效。法那么=2\*ROMANII設(shè)，在解析，，那么〔十六〕留數(shù)根本定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)除有限個孤立奇點(diǎn)外處處解析，為內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，那么說明：留數(shù)定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)的局部問題。注意：當(dāng)在c內(nèi)的起點(diǎn)較多時，采用無窮點(diǎn)處的留數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。無窮點(diǎn)留數(shù)的定義及計(jì)算方法需要掌握。積分變換復(fù)習(xí)提綱一、傅里葉變換的概念二、幾個常用函數(shù)的傅里葉變換三、傅里葉變換的性質(zhì)位移性〔時域〕：位移性〔頻域〕：位移性推論：位移性推論：微分性〔時域〕：〔〕，，微分性〔頻域〕：相似性：四、拉普拉斯變換的概念五、幾個常用函數(shù)的拉普拉斯變換；是自然數(shù)；〔〕；設(shè)，那么?！彩且詾橹芷诘闹芷诤瘮?shù)〕六、拉普拉斯變換的性質(zhì)微分性〔時域〕：微分性〔頻域〕：，積分性〔時域〕：積分性〔頻域〕：〔收斂〕位移性〔時域〕：位移性〔頻域〕：〔,〕相似性：七、卷積及卷積定理八、幾個積分公式模擬試卷一一.填空題1..2.I=,那么I=.3.能否在內(nèi)展成Lraurent級數(shù)？4．其中c為的正向：=5.，那么=二.選擇題1.在何處解析(A)0(B)1(C)2(D)無2.沿正向圓周的積分.=(A)2.(B)0.(C).(D)以上都不對.3．的收斂域?yàn)?A)..(B)(C).(D)無法確定4.設(shè)z=a是的m級極點(diǎn),那么在點(diǎn)z=a的留數(shù)是.(A)m.(B)-2m.(C)-m.(D)以上都不對.三.計(jì)算題1.為解析函數(shù)，，求u2．設(shè)函數(shù)與分別以z=a為m級與n級極點(diǎn)，那么函數(shù).在z=a處極點(diǎn)如何？3．求以下函數(shù)在指定點(diǎn)z0處的Taylor級數(shù)及其收斂半徑。4．求拉氏變換〔k為實(shí)數(shù)〕5.求方程滿足條件的解.四.證明題1.利用ez的Taylor展式，證明不等式2.假設(shè)?(a為非零常數(shù))證明：?模擬試卷一答案一.填空題1.2.03.否4．5.二.選擇題1.(D)2.(A)3．(A)4.(C)三.計(jì)算題1.2．函數(shù)在z=a處極點(diǎn)為m+n級3．4．5..模擬試卷二一.填空題1.C為正向，那么=2.為解析函數(shù)，那么l,m,n分別為.3.4.級數(shù).收斂半徑為5.-函數(shù)的篩選性質(zhì)是二.選擇題1．，那么?(A).(B)(C)2(D)以上都不對2．?，那么?(A).(B).(C).(D)以上都不對3．C為的正向，(A).1(B)2(C)0(D)以上都不對4.沿正向圓周的積分=(A).0.(B).2(C).2+i.(D).以上都不對.三.計(jì)算題1.求sin(3+4i).2．計(jì)算其中a、b為不在簡單閉曲線c上的復(fù)常數(shù)，ab.3．求函數(shù)在指定點(diǎn)z0處的Taylor級數(shù)及其收斂半徑。4．求拉氏變換〔k為實(shí)數(shù)〕四.證明題1.收斂，而發(fā)散，證明收斂半徑為12.假設(shè)?，(a為正常數(shù))證明：?模擬試卷二答案一.填空題1.2.3.14.15.-二.選擇題1．(B)2．(C)3．(C)4.(A)三.計(jì)算題1.2．當(dāng)a、b均在簡單閉曲線c之內(nèi)或之外時當(dāng)a在c之內(nèi),b在c之外時當(dāng)b在c之內(nèi),a在c之外時3．.4．模擬試卷三一.填空題1．z=0為的級零點(diǎn),2..3.a,b,c均為復(fù)數(shù)，問一定相等嗎？.4.每個冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)可能有奇點(diǎn)嗎？5.=.二.選擇題1.設(shè)u和v都是調(diào)和函數(shù),如果v是u的共軛調(diào)和函數(shù)，那么v的共軛調(diào)和函數(shù)為.(A)u.(B)-u.(C)2u(D)以上都不對。2．級數(shù).(A).發(fā)散.(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)無法確定3．C為的正向,那么.(A).1(B)2(C)(D)以上都不對4．?，那么?.(A)(B)(C)(D)以上都不對三.計(jì)算題1.計(jì)算2．求在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent級數(shù).3．利用留數(shù)計(jì)算定積分:．4．求拉氏變換〔k為實(shí)數(shù)〕.四.證明題1.說明是否正確，為什么？2.利用卷積定理證明?模擬試卷三答案一.填空題1．42.13.不一定4.否5.0二.選擇題1.(B)2．(A)3．(C)4．(D)三.計(jì)算題1.2．.3．4．模擬試卷四一.填空題1.復(fù)數(shù)三角表示形式.2.設(shè)為調(diào)和函數(shù)，其共軛調(diào)和函數(shù)為3.能否在z=-2i處收斂而z=2+3i發(fā)散.4.為的級極點(diǎn)5.卷積定理為二.選擇題1．那么=(A).7(B)1(C)2(D)以上都不對2.假設(shè)，n為整數(shù).n=(A)6k(B)3(C)3k(D)63.C是直線OA，O為原點(diǎn)，A為2+i,那么=(A).0.(B)〔1+i〕/2.(C).2+i.(D).以上都不對.4．設(shè)，那么?(A).(B)(C)(D)以上都不對三.計(jì)算題1．求在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent級數(shù)2.設(shè)函數(shù)與分別以z=a為m級與n級極點(diǎn)，那么函數(shù).在z=a極點(diǎn)如何？3．求傅氏變換。4．求拉氏變換.四.證明題1.假設(shè)求證2.假設(shè)?,證明：.?模擬試卷四答案一.填空題1.2.3.否4.155.略二.選擇題1．(B)2.(C)3.(C)4．(C)三.計(jì)算題1．2.當(dāng)m>n時，z=a為的m-n級極點(diǎn)當(dāng)m≤n時，z=a為的可去奇點(diǎn)3．4．.四.證明題1.略2.略模擬試卷五一.填空題1.根為,2.和是否相等3.表達(dá)傅氏積分定理4.拉氏變換的主要性質(zhì)二.選擇題1．那么的收斂圓環(huán)為(A)..(B)(C).(D)無法確定2.將z平面上映射成w平面上的(A).直線(B)u+v=1(C)(D)以上都不對3．z=0是什么奇點(diǎn)(A).可去(B)本性奇點(diǎn)(C)2級極點(diǎn)(D)以上都不對4.的傅氏變換為(A)1(B)(C)(D)以上都不對三.計(jì)算題1.解方程.2.利用留數(shù)計(jì)算定積分:3．利用能量積分求dx4.求的拉氏逆變換.四.證明題1.試證argz在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上不連續(xù).2.以下推導(dǎo)是否正確？假設(shè)不正確，把它改正：模擬試卷五答案一.填空題1.2.相等3.略4.略二.選擇題1．(B)2.(C)3．(B)4.(B)三.計(jì)算題1..2.3．4.復(fù)變函數(shù)與積分變換試題〔本科〕一、填空題〔每題2分，共12分〕1、設(shè)，那么其三角表示式為______________；2、滿足|z+3|-|z-1|=0的z的軌跡是__________；3、___________________