基于卡爾曼濾波器的雷達(dá)目標(biāo)跟蹤

隨機(jī)數(shù)字信號(hào)處理期末大作業(yè)〔報(bào)告〕基于卡爾曼濾波器的雷達(dá)目標(biāo)跟蹤RadartargettrackingbasedonKalmanfilter學(xué)院〔系〕：創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)學(xué)院專業(yè)：信息與通信工程學(xué)生姓名：李潤順學(xué)號(hào)：21424011任課教師：殷福亮完成日期：2023年7月14日大連理工大學(xué)DalianUniversityofTechnology摘要雷達(dá)目標(biāo)跟蹤環(huán)節(jié)的性能直接決定雷達(dá)系統(tǒng)的平安效能。由于卡爾曼濾波器在狀態(tài)估計(jì)與預(yù)測方面具有強(qiáng)大的性能，因此在目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，同時(shí)也是是現(xiàn)階段雷達(dá)中最常用的跟蹤算法。本文先介紹了雷達(dá)目標(biāo)跟蹤的應(yīng)用背景以及研究現(xiàn)狀，然后在介紹卡爾曼濾波算法和分析卡爾曼濾波器性能的根底上，將其應(yīng)用于雷達(dá)目標(biāo)跟蹤，雷達(dá)在搜索到目標(biāo)并記錄目標(biāo)的位置數(shù)據(jù)，對(duì)測量到的目標(biāo)位置數(shù)據(jù)〔稱為點(diǎn)跡〕進(jìn)行處理，自動(dòng)形成航跡，并對(duì)目標(biāo)在下一時(shí)刻的位置進(jìn)行預(yù)測。最后對(duì)在一個(gè)假設(shè)的情境給出基于卡爾曼濾波的雷達(dá)目標(biāo)跟蹤算法對(duì)單個(gè)目標(biāo)航跡進(jìn)行預(yù)測的MATLAB仿真，對(duì)實(shí)驗(yàn)的效果進(jìn)行評(píng)估，分析預(yù)測誤差。關(guān)鍵詞：卡爾曼濾波器；雷達(dá)目標(biāo)跟蹤；航跡預(yù)測；預(yù)測誤差；MATLAB仿真1引言1.1研究背景及意義雷達(dá)目標(biāo)跟蹤是整個(gè)雷達(dá)系統(tǒng)中一個(gè)非常關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。跟蹤的任務(wù)是通過相關(guān)和濾波處理建立目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡。雷達(dá)系統(tǒng)根據(jù)在建立目標(biāo)軌跡過程中對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所作的估計(jì)和預(yù)測，評(píng)估船舶航行的平安態(tài)勢和機(jī)動(dòng)試操船的平安效果。因此，雷達(dá)跟蹤環(huán)節(jié)工作性能的優(yōu)劣直接影響到雷達(dá)系統(tǒng)的平安效能[1]。鑒于目標(biāo)跟蹤在增進(jìn)雷達(dá)效能中的重要作用，各國在軍用和民用等領(lǐng)域中一直非常重視開展這一雷達(dá)技術(shù)。機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤理論有了很大的開展，尤其是在跟蹤算法的研究上，理論更是日趨成熟。在跟蹤算法中，主要有線性自回歸濾波、兩點(diǎn)外推濾波、維納濾波、加權(quán)最小二乘濾波、濾波和卡爾曼濾波，其中卡爾曼濾波算法在目標(biāo)跟蹤理論中占據(jù)了主導(dǎo)地位。雷達(dá)跟蹤需要處理的信息種類多種多樣。除了目標(biāo)的位置信息外，一般還要對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度進(jìn)行估計(jì)，個(gè)別領(lǐng)域中的雷達(dá)還要對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)姿態(tài)進(jìn)行跟蹤。雷達(dá)跟蹤的收斂速度、濾波精度和跟蹤穩(wěn)定度等是評(píng)估雷達(dá)跟蹤性能的重要參數(shù)。因此提高雷達(dá)跟蹤的精度、收斂速度和穩(wěn)定度也就一直是改善雷達(dá)跟蹤性能的重點(diǎn)。隨著科技的開展，各類目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)性能和材質(zhì)特征有了大幅度的改善和改變，這就要求雷達(dá)跟蹤能力要適應(yīng)目標(biāo)特性的這種變化。在不斷提高雷達(dá)跟蹤性能的前提下，降低雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)的本錢也是現(xiàn)代雷達(dá)必須考慮的問題。特別是在民用領(lǐng)域中由于雷達(dá)造價(jià)不能過高，對(duì)目標(biāo)跟蹤進(jìn)行快收斂性、高精度和高穩(wěn)定性的改進(jìn)在硬件上是受到一些制約的，因此雷達(dá)跟蹤算法的研究就越來越引起學(xué)者們的關(guān)注。通過跟蹤算法的改進(jìn)來提高雷達(dá)的跟蹤性能還有相當(dāng)大的挖掘潛力?？紤]到雷達(dá)設(shè)備的造價(jià)，民用雷達(dá)的跟蹤系統(tǒng)首要的方法就是對(duì)于雷達(dá)的跟蹤算法進(jìn)行開發(fā)。1.2雷達(dá)目標(biāo)跟蹤濾波算法研究現(xiàn)狀當(dāng)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)模型建立之后，就要對(duì)目標(biāo)跟蹤算法進(jìn)行設(shè)計(jì)，這也是雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)中核心的局部。對(duì)目標(biāo)的跟蹤最主要的還是對(duì)目標(biāo)的距離信息，方位角信息，高度角信息，以及速度信息進(jìn)行跟蹤，估計(jì)和預(yù)測目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)以及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這樣有利于我們針對(duì)特定目標(biāo)拿出特定應(yīng)對(duì)方案。根本的跟蹤濾波與預(yù)測方法是跟蹤系統(tǒng)最根本的要素，也是形成自適應(yīng)跟蹤濾波的前提和根底。這些方法包括線性自回歸濾波、兩點(diǎn)外推濾波、維納濾波、加權(quán)最小二乘濾波、濾波和卡爾曼濾波。其中線性自回歸濾波、兩點(diǎn)外推濾波、維納濾波由于限制性強(qiáng)而在現(xiàn)階段的雷達(dá)中很少應(yīng)用，但是維納濾波在濾波算法上有著里程碑的標(biāo)志?，F(xiàn)階段最常用的就是加權(quán)最小二乘濾波、濾波和卡爾曼濾波[1]。1.2.1加權(quán)最小二乘濾波采用何種濾波方法，主要取決于事先能掌握多少先驗(yàn)信息。領(lǐng)先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)特性一無所知時(shí)，一般采用最小二乘濾波。如果僅僅掌握測量誤差的統(tǒng)計(jì)特性，可以采馬爾可夫估計(jì)，即加權(quán)陣為的最小二乘濾波，其中是測量噪聲的協(xié)方差矩陣。忽略狀態(tài)噪聲的影響，測量噪聲是均值為0，協(xié)方差矩陣為的高斯白噪聲向量序列；為對(duì)角陣，那么加權(quán)最小二乘濾波公式為〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕其中、和分別為濾波增益矩陣、協(xié)方差矩陣和預(yù)測協(xié)方差矩陣。1.2.2濾波當(dāng)目標(biāo)作等速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，描述目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)X是兩維向量，即，這里的和分別是位置和速度的分量。設(shè)目標(biāo)狀態(tài)方程為〔5〕其中，，式中狀態(tài)噪聲w為均值為0的高斯白噪聲序列。測量方程為〔6〕其中，式中是0均值的高斯白噪聲。濾波方程為〔7〕〔8〕〔9〕近幾十年來，基于以上濾波算法的變形算法開展非常迅速，尤其是自適應(yīng)的卡爾曼算法更是占據(jù)了現(xiàn)代雷達(dá)中跟蹤算法的主導(dǎo)地位。對(duì)于卡爾曼濾波算法將在下一節(jié)中詳細(xì)表達(dá)。1.3目標(biāo)跟蹤技術(shù)的困境1.3.1卡爾曼濾波的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性數(shù)據(jù)偏差是普遍存在的，這就是導(dǎo)致了濾波穩(wěn)定性的問題?？柭鼮V波的穩(wěn)定性問題是濾波器能否應(yīng)用的一個(gè)關(guān)鍵問題。由于卡爾曼濾波不但存在對(duì)系統(tǒng)模型的強(qiáng)依賴性與魯棒性差的缺陷，而且在系統(tǒng)到達(dá)平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)將喪失對(duì)突變狀態(tài)的跟蹤能力，因此該方法對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤能力有限。而喪失對(duì)突變狀態(tài)的跟蹤能力，就是一種很嚴(yán)重的算法丟跟蹤狀態(tài)。如果實(shí)際濾波過程中，在某一過程或者某種條件下測量值出現(xiàn)奇值，那么濾波結(jié)果會(huì)受到很大干擾。有時(shí)直接導(dǎo)致以后的濾波值不收斂，以至目標(biāo)跟蹤喪失。因此，如何解決好目標(biāo)跟蹤的穩(wěn)定性〔即濾波過程的穩(wěn)定性〕也是我們所面臨的問題。1.3.2收斂速度的問題卡爾曼濾波算法中都很注意濾波的收斂速度問題，濾波收斂快慢直接影響到目標(biāo)跟蹤的穩(wěn)定度和對(duì)目標(biāo)的鎖定速度，因此，濾波的收斂速度是評(píng)價(jià)一個(gè)濾波器性能的重要指標(biāo)。1.3.3濾波過程中系統(tǒng)偏差的問題在相同的測量條件下做一系列觀測，假設(shè)誤差的大小及符號(hào)表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者按照一定的規(guī)律變化，這類誤差為系統(tǒng)偏差。系統(tǒng)偏差對(duì)測量結(jié)果影響很大，且一般具有積累性，應(yīng)該盡可能消除或者限制到最小程度，我們一般解決這個(gè)問題的方法都是用離線或者稱為后處理的方法，所以不能在線處理誤差。非線性濾波問題往往用狀態(tài)變量方程來描述，從而可采用卡爾曼濾波的方法，并由此帶來了一系列的方便。假設(shè)該系統(tǒng)偏差事先已經(jīng)知道，只要觀測值減去該偏差然后再進(jìn)行濾波即可。但如果該偏差存在而且未知，就需要在線處理這些系統(tǒng)偏差。2卡爾曼濾波理論2.1卡爾曼濾波的根本算法卡爾曼濾波在近20年來取得了長足的開展。把目標(biāo)的位置，速度和加速度作為目標(biāo)狀態(tài)矢量，通過目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)方程來描述目標(biāo)狀態(tài)的變化，利用遞推的計(jì)算方法，目標(biāo)的狀態(tài)可以方便的估計(jì)出來，這樣目標(biāo)的航跡就可以建立起來[2-3]。建立在非線性運(yùn)動(dòng)模型上的卡爾曼濾波稱為擴(kuò)展的卡爾曼濾波。在雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)中，我們所用到的是離散型卡爾曼濾波。離散卡爾曼濾波的狀態(tài)方程、測量方程以及推廣方程如下[4-5]：狀態(tài)方程：〔10〕測量方程：〔11〕上兩式中，為k時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)，和為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，為協(xié)方差矩陣為Q的狀態(tài)噪聲，為k時(shí)刻的測量狀態(tài)，為測量轉(zhuǎn)移矩陣，為協(xié)方差矩陣為R的測量噪聲。狀態(tài)預(yù)測方程：〔12〕其中是上一狀態(tài)的預(yù)測結(jié)果，是上一狀態(tài)的最優(yōu)結(jié)果。預(yù)測估計(jì)值協(xié)方差矩陣：〔13〕卡爾曼增益矩陣：〔14〕濾波估計(jì)值：〔15〕濾波估計(jì)值協(xié)方差矩陣：〔16〕在卡爾曼濾波過程中，只有確定了狀態(tài)估計(jì)初始值和濾波估計(jì)值協(xié)方差矩陣的初始值，整個(gè)濾波過程才能啟動(dòng)。一般情況下，我們將初始估計(jì)值的值定為整個(gè)系統(tǒng)的第一次觀測值，將濾波估計(jì)值的協(xié)方差矩陣的初始值可以擬訂為一個(gè)對(duì)角陣，雖然大多數(shù)實(shí)際情況并非如此，但是這樣做也是符合理論要求的，并且對(duì)于我們的運(yùn)算也有簡化作用。整個(gè)濾波循環(huán)過程如下列圖：圖1卡爾曼濾波循環(huán)過程2.2卡爾曼濾波器的性質(zhì)由卡爾曼濾波器的推導(dǎo)過程可知，卡爾曼濾波器具有以下性質(zhì)：被估計(jì)值系統(tǒng)的第k+1時(shí)刻的狀態(tài)值的卡爾曼濾波值，就是的無偏的最小方差估計(jì)。而且，濾波誤差方差陣是基于的所有線性估計(jì)中的最小均方誤差陣。對(duì)于一維的情況，測量噪聲協(xié)方差矩陣增大時(shí)，增益矩陣k變小。這就說明，如果測量噪聲越大，該增益取的越小，以減弱測量噪聲對(duì)估計(jì)值的影響，而使預(yù)測值所占最后的結(jié)果比重加大。從這5個(gè)推導(dǎo)公式中可以看出，當(dāng)矩陣，Q，R，同乘以一個(gè)常數(shù)時(shí)，增益矩陣K的值不變。由推導(dǎo)過程我們還可以看出，當(dāng)或者Q矩陣變小，或者同時(shí)變小的時(shí)候，也變小，K矩陣也減小。從直觀上看，這是自然的，因?yàn)?，P變小表示估計(jì)值或者預(yù)測值比擬好，又因?yàn)镼變小表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移隨機(jī)波動(dòng)減小。所以新的測量值對(duì)狀態(tài)的估計(jì)值的矯正影響減弱，于是增益矩陣K應(yīng)當(dāng)變小。從上面性質(zhì)的直觀分析可知，增益陣K與Q成正比，與R成反比。可以歸納為：當(dāng)R越大，測量噪聲越大，因此測量值不準(zhǔn)確性更大，所以K要變小，以保證測量值在最后估計(jì)結(jié)果中所占的比重比擬小：而口比擬大的時(shí)候，說明狀態(tài)噪聲比擬大，因此預(yù)測值受狀態(tài)噪聲干擾比擬嚴(yán)重，所以K值比擬大，以保證預(yù)測值在最后估計(jì)結(jié)果中所占的比重比擬小。狀態(tài)噪聲越大，狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣Q的值越大，這樣更有利于捕捉目標(biāo)機(jī)動(dòng)狀態(tài)，濾波收斂速度快，減少喪失跟蹤的概率，但是這樣所得到的濾波結(jié)果精度比擬差;相反，狀態(tài)噪聲越小，狀態(tài)噪聲協(xié)方差矩陣Q的值越小，這樣所得到的濾波結(jié)果精度比擬好，但是濾波收斂速度慢，當(dāng)目標(biāo)發(fā)生大機(jī)動(dòng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)，喪失跟蹤的可能性比擬大。3基于卡爾曼濾波的雷達(dá)目標(biāo)檢測3.1情景假設(shè)假定有一個(gè)二座標(biāo)雷達(dá)對(duì)一平面上運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)進(jìn)行觀測，目標(biāo)在秒沿軸作恒速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為-15米/秒，目標(biāo)的起始點(diǎn)為(2000米,10000米)，在秒向軸方向做的慢轉(zhuǎn)彎，加速度均為0.075米/秒2，完成慢轉(zhuǎn)彎后加速度將降為零，從秒開始做的快轉(zhuǎn)彎，加速度為0.3米/秒2，在660秒結(jié)束轉(zhuǎn)彎，加速度降至零。雷達(dá)掃描周期秒，和獨(dú)立地進(jìn)行觀測，觀測噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差均為100米。3.2卡爾曼濾波算法分析為了簡單起見，僅對(duì)軸方向進(jìn)行考慮，且考慮位移和速度兩個(gè)狀態(tài)。MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r2\h首先，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)沿軸方向的運(yùn)動(dòng)可以用下面的狀態(tài)方程描述[6]：〔17〕其中表示k時(shí)刻的位移，表示k時(shí)刻的速度，表示加速度。 用矩陣的形式表述狀態(tài)方程為〔18〕在上式中，，，，。 考慮雷達(dá)的觀測，得出觀測方程為〔19〕其GOTOBUTTONZEqnNum162522REFZEqnNum162522\!(2.3)中，，為零均值的噪聲序列，方差。 對(duì)目標(biāo)進(jìn)行預(yù)測，由相關(guān)理論可得到下面的迭代式：〔20〕其中GOTOBUTTONZEqnNum514726REFZEqnNum514726\!(2.4)，，反映了由前各觀測值對(duì)目前狀態(tài)的估計(jì)。而預(yù)測的誤差協(xié)方差可表示為〔21〕 對(duì)于最正確濾波，迭代表達(dá)式為〔22〕在上式GOTOBUTTONZEqnNum774484REFZEqnNum774484\!(2.6)中，為卡爾曼增益。 而濾波誤差的協(xié)方差為〔23〕 在應(yīng)用上面的公式進(jìn)行卡爾曼濾波時(shí)，需要指定初值。由于實(shí)際中通常無法得到目標(biāo)的初始狀態(tài)，我們可以利用前幾個(gè)觀測值建立狀態(tài)的初始估計(jì)，比方采用前兩個(gè)觀測值得到第二個(gè)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)為〔24〕此時(shí)，估計(jì)誤差為〔25〕而誤差協(xié)方差矩陣為，〔26〕3.3仿真實(shí)驗(yàn)3.3.1實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備 為了真實(shí)地反映出Kalman濾波的效果，采用了Monte-Carlo方法，采用屢次實(shí)驗(yàn)取均值的方法進(jìn)行研究，可以計(jì)算出估計(jì)的誤差均值和方差，其表達(dá)式為〔27〕而誤差的標(biāo)準(zhǔn)差可以表示為〔28〕在GOTOBUTTONZEqnNum847533REFZEqnNum847533\!(2.11)上式GOTOBUTTONZEqnNum415465REFZEqnNum415465\!(2.12)中，就是進(jìn)行Monte-Carlo仿真的次數(shù)，而為取樣點(diǎn)數(shù)。當(dāng)仿真的次數(shù)越多時(shí)，實(shí)驗(yàn)的效果越接近于實(shí)際，但是計(jì)算的速度會(huì)明顯變慢。在仿真時(shí)，需要根據(jù)實(shí)際適中選取。在本程序中，取。另外，在仿真過程中，為了進(jìn)一步研究目標(biāo)的航跡，在660秒后又進(jìn)行了一段時(shí)間的勻速運(yùn)動(dòng)仿真。實(shí)驗(yàn)仿真基于MATLAB實(shí)現(xiàn)，程序參考網(wǎng)絡(luò)文獻(xiàn)[7]實(shí)現(xiàn)。3.3.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析圖2-圖4給出了在給定情境下，目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)真實(shí)軌跡、雷達(dá)觀測數(shù)據(jù)及卡爾曼濾波估計(jì)圖。圖5-圖8給出了卡爾曼濾波估計(jì)在x方向和y方向的誤差均值和標(biāo)準(zhǔn)差。圖2目標(biāo)運(yùn)動(dòng)真實(shí)軌跡圖3雷達(dá)觀測數(shù)據(jù)圖4卡爾曼濾波估計(jì)圖5卡爾曼濾波在x方向上的估計(jì)誤差均值圖6卡爾曼濾波在y方向上的估計(jì)誤差均值圖7卡爾曼濾波在x方向上的估計(jì)誤差標(biāo)準(zhǔn)差圖8卡爾曼濾波在y方向上的估計(jì)誤差標(biāo)準(zhǔn)差由圖可知，卡爾曼濾波估計(jì)預(yù)測運(yùn)動(dòng)目標(biāo)軌跡與真實(shí)軌跡大致相同，只有在秒向軸方向做的慢轉(zhuǎn)彎，及在從秒沿y軸方向做的快轉(zhuǎn)彎時(shí)與真實(shí)軌跡出入較大。因此可以看出卡爾曼濾波算法對(duì)于動(dòng)態(tài)目標(biāo)的跟蹤有著比擬好的效果，而且可以較好地抑止環(huán)境中的噪聲影響。個(gè)人體會(huì)隨機(jī)數(shù)字信號(hào)處理這門講了很多知識(shí)，課堂上講得也比擬快，學(xué)完這門課幾乎沒有任何概念。通過這次大作業(yè)，把卡爾曼濾波器的原理復(fù)習(xí)了一遍，并把它應(yīng)用到雷達(dá)目標(biāo)追蹤，自己編程實(shí)現(xiàn)卡爾曼濾波器目標(biāo)軌跡預(yù)測，從而真正意識(shí)到了卡爾曼濾波器在數(shù)值估計(jì)和預(yù)測方面的強(qiáng)大性能。參考文獻(xiàn)[1]秦勤.雷達(dá)目標(biāo)跟蹤的卡爾曼濾波方法的研究[D].大連海事大學(xué),2006.[2]張秀杰