北京市師大附中2024屆高一上數學期末質量檢測試題含解析

北京市師大附中2024屆高一上數學期末質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．設奇函數在上為增函數，且，則不等式的解集為A. B.C. D.2．已知，且，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.3．若集合，則集合的所有子集個數是A.1 B.2C.3 D.44．已知函數是定義域為奇函數，當時，，則不等式的解集為A. B.C. D.5．函數的圖像大致為()A. B.C. D.6．某幾何體的三視圖如圖所示,它的體積為()A.72π B.48πC.30π D.24π7．設全集，集合，則等于A. B.C. D.8．已知，并且是終邊上一點，那么的值等于A. B.C. D.9．下列集合與集合相等的是（）A. B.C. D.10．已知函數，且，則A. B.0C. D.311．已知，則等于（）A. B.C. D.12．已知，，，那么a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．給出下列命題：①函數是偶函數；②方程是函數的圖象的一條對稱軸方程；③在銳角中，；④函數的最小正周期為；⑤函數的對稱中心是，，其中正確命題的序號是________.14．在正方體中，直線與平面所成角的正弦值為________15．為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象向右平移_________個單位長度而得16．函數的圖像與直線y＝a在(0，)上有三個交點，其橫坐標分別為，，，則的取值范圍為_______.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．已知函數，.（1）若在上單調遞增，求實數a的取值范圍；（2）求關于的不等式的解集.18．已知半徑為的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線相切．求：（1）求圓的方程；（2）設直線與圓相交于兩點，求實數的取值范圍；19．已知函數過點（1）求的解析式；（2）求的值；（3）判斷在區(qū)間上的單調性，并用定義證明20．某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預計年利潤低于10%時，則該企業(yè)就考慮轉型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來利潤y(百萬元)與年投資成本x(百萬元)變化的一組數據：年份2015201620172018投資成本x35917…年利潤y1234…給出以下3個函數模型：①；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)（1）選擇一個恰當函數模型來描述x，y之間的關系，并求出其解析式；（2）試判斷該企業(yè)年利潤超過6百萬元時，該企業(yè)是否要考慮轉型21．旅行社為某旅行團包飛機去旅游，其中旅行社的包機費為元.旅行團中的每個人的飛機票按以下方式與旅行社結算：若旅行團的人數不超過人時，飛機票每張元；若旅行團的人數多于人時，則予以優(yōu)惠，每多人，每個人的機票費減少元，但旅行團的人數最多不超過人.設旅行團的人數為人，飛機票價格元，旅行社的利潤為元.（1）寫出每張飛機票價格元與旅行團人數之間的函數關系式；（2）當旅行團人數為多少時，旅行社可獲得最大利潤？求出最大利潤.22．已知函數是定義在上的奇函數，且.（1）確定函數的解析式，判斷并證明函數在上的單調性；（2）若存在實數，使得不等式成立，求正實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、D【解析】由f(x)為奇函數可知，＝<0.而f(1)＝0，則f(－1)＝－f(1)＝0.當x>0時，f(x)<0＝f(1)；當x<0時，f(x)>0＝f(－1)又∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數，∴奇函數f(x)在(－∞，0)上為增函數所以0<x<1，或－1<x<0.選D點睛：解函數不等式：首先根據函數的性質把不等式轉化為的形式，然后根據函數的單調性去掉“”，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在外層函數的定義域內2、D【解析】對A，C利用特殊值即可判斷；對B，由對數函數的定義域即可判斷，對D，由指數函數的單調性即可判斷.【詳解】解：對A，令，，則滿足，但，故A錯誤；對B，若使，則需滿足，但題中，故B錯誤；對C，同樣令，，則滿足，但，故C錯誤；對D，在上單調遞增，當時，，故D正確.故選：D.3、D【解析】根據題意，集合的所有子集個數，選4、A【解析】根據題意，由函數的解析式分析可得在為增函數且，結合函數的奇偶性分析可得在上為增函數，又由，則有，解可得的取值范圍，即可得答案.【詳解】根據題意，當時，，則在為增函數且，又由是定義在上的奇函數，則在上也為增函數，則在上為增函數，由，則有，解得：，即不等式的解集為；故選：A【點睛】本題考查函數奇偶性與單調性結合，解抽象函數不等式，有一定難度.5、B【解析】分析：通過研究函數奇偶性以及單調性，確定函數圖像.詳解：為奇函數，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點睛：有關函數圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復.6、C【解析】由題意，結合圖象可得該幾何體是圓錐和半球體的組合體，根據圖中的數據即可計算出組合體的體積選出正確選項.由圖知，該幾何體是圓錐和半球體的組合體，球的半徑是3，圓錐底面圓的半徑是3，圓錐母線長為5，由圓錐的幾何特征可求得圓錐的高為4，則它的體積.考點：由三視圖求面積、體積7、A【解析】,=8、A【解析】由題意得：，選A.9、C【解析】根據各選項對于的集合的代表元素，一一判斷即可；【詳解】解：集合，表示含有兩個元素、的集合，對于A：，表示含有一個點的集合，故不相等；對于B：，表示的是點集，故不相等；對于C：，表示方程的解集，因為的解為，或，所以對于D：，故不相等故選：C10、D【解析】分別求和，聯立方程組，進行求解，即可得到答案.【詳解】由題意，函數，且，，則，兩式相加得且，即，，則，故選D【點睛】本題主要考查了函數值的計算，結合函數奇偶性的性質建立方程組是解決本題的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.11、A【解析】利用換元法設，則，然后利用三角函數的誘導公式進行化簡求解即可【詳解】設，則，則，則，故選：12、B【解析】根據指數函數單調性比較大小.【詳解】因為在上是增函數，又，所以，所以，故選B.【點睛】本題考查利用指數函數單調性比較指數冪的大小，難度較易.對于指數函數（且）：若，則是上增函數；若，則是上減函數.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、①②③【解析】由誘導公式化簡得函數，判斷①正確；求出函數的圖象的對稱軸（），當時，，判斷②正確；在銳角中，由化簡得到，判斷③正確；直接求出函數的最小正周期為，判斷④錯誤；直接求出函數的對稱中心是，判斷⑤錯誤.【詳解】①因為函數，所以函數是偶函數，故①正確；②因為函數，所以函數圖象的對稱軸（），即（），當時，，故②正確；③在銳角中，，即，所以，故③正確；④函數的最小正周期為，故④錯誤；⑤令，解得，所以函數的對稱中心是，故⑤錯誤.故答案為：①②③【點睛】本題考查三角函數的圖象與性質、誘導公式與三角恒等變換，是中檔題.14、【解析】連接AC交BD于O點，設交面于點E，連接OE，則角CEO就是所求的線面角，因為AC垂直于BD，AC垂直于，故AC垂直于面.設正方體的邊長為2，則OC=，OE=1，CE，此時正弦值為故答案為.點睛：求線面角，一是可以利用等體積計算出直線的端點到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；高二時還會學到空間向量法，可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可．面面角一般是要么定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利用幾何關系求出二面角，要么建系來做．15、（答案不唯一）；【解析】由于，再根據平移求解即可.【詳解】解：由于，故將函數的圖象向右平移個單位長度可得函數圖像.故答案為：16、【解析】由x∈(0，)求出，然后，畫出正弦函數的大致圖像，利用圖像求解即可【詳解】由題意因為x∈(0，)，則，可畫出函數大致的圖則由圖可知當時，方程有三個根，由解得，解得，且點與點關于直線對稱，所以，點與點關于直線對稱，故由圖得，令，當為x∈(0，)時，解得或，所以，，，解得，，則，即.故答案為：【點睛】關鍵點睛：解題關鍵在于利用x∈(0，)，則畫出圖像，并利用對稱性求出答案三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）根據二次函數圖象的性質確定參數a的取值區(qū)間；（2）確定方程的根或，討論兩根的大小關系得出不等式的解集.【詳解】（1）因為函數的圖象為開口向上的拋物線，其對稱軸為直線由二次函數圖象可知，的單調增區(qū)間為因為在上單調遞增，所以所以，所以實數的取值區(qū)間是；（2）由得：方程的根為或①當時，，不等式的解集是②當時，，不等式的解集是③當時，，不等式的解集是綜上，①當時，不等式的解集是②當時，不等式的解集是③當時，不等式的解集是18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（1）求圓的方程有兩種方法：①幾何法，通過研究圓的性質進而求出圓的基本量．②代數法，即設出圓的方程，用待定系數法求解，利用待定系數法的關鍵是建立關于a，b，r或D，E，F的方程組．本題利用幾何性質；（2）利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關系；也可利用直線的方程與圓的方程聯立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關系試題解析：（1）設圓心為，因圓C與直線相切，故，又，所以所求圓的方程為（2）因直線與圓M相交于兩點，所以圓心到直線的距離小于半徑故，解得考點：圓的方程及直線與圓的位置關系19、（1）（2）（3）在區(qū)間上單調遞增；證明見解析【解析】（1）直接將點的坐標代入函數中求出，從而可求出函數解析式，（2）直接利用解析求解即可，（3）利用單調性的定義直接證明即可【小問1詳解】∵函數∫過點，∴，∴，得的解析式為：【小問2詳解】【小問3詳解】在區(qū)間上單調遞增證明：，且，有∵，∴∴，即∴在區(qū)間上單調遞增20、（1）可用③來描述x，y之間的關系，y＝log2(x－1)；（2）該企業(yè)要考慮轉型.【解析】（1）把(3，1)，(5，2)分別代入三個函數中，求出函數解析式，然后再把x＝9代入所求的解析式中，若y＝3，則選擇此模型；（2）由（1）可知函數模型為y＝log2(x－1)，令log2(x－1)>6，則x>65，再由與比較，可作出判斷.【詳解】（1）由表格中的數據可知，年利潤y是隨著投資成本x的遞增而遞增，而①是單調遞減，所以不符合題意將(3,1)，(5,2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，得解得∴.當時，，不符合題意；將(3,1)，(5,2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，得解得∴y＝log2(x－1)當x＝9時，y＝log28＝3；當x＝17時，y＝log216＝4.故可用③來描述x，y之間的關系．（也可通過畫散點圖或不同增長方式選擇）（2）令log2(x－1)≥6，則x≥65.∵年利潤＜10%，∴該企業(yè)要考慮轉型21、（1）；（2）當旅游團人數為或時，旅行社可獲得最大利潤為元.【解析】（1）討論和兩種情況，分別計算得到答案.（2），分別計算最值得到答案.【詳解】（1）依題意得，當時，.當時，；∴（2）