四川省眉山市仁壽第一中學(xué)校（北校區(qū)）2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

高2023級(jí)半期考試數(shù)學(xué)試卷全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)并集的定義求解即可.【詳解】，,.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】通過(guò)求出的范圍，再通過(guò)充分性和必要性的概念得答案.【詳解】由得或，因?yàn)榭赏瞥龌?，滿足充分性，或不能推出，不滿足必要性.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可求得結(jié)果．【詳解】，故選：B．4.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A.8 B.17 C.20 D.25【答案】D【解析】【分析】利用，展開后通過(guò)基本不等式求最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：D.5.如圖所示，在中，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得：.故選：A6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式求得，然后利用二倍角公式計(jì)算即可.【詳解】，則，則，故選：D.7.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，從而得出值域．【詳解】．故值域?yàn)椋蔬x：B．8.已知函數(shù)，若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】恰有3個(gè)零點(diǎn)，即的圖象與的圖象恰有3個(gè)不同的交點(diǎn)，借助的圖象求解即可.【詳解】設(shè)，則恰有3個(gè)零點(diǎn)，即的圖象與的圖象恰有3個(gè)不同的交點(diǎn).的圖象如圖所示.不妨設(shè)，所以，所以，即，即，所以，所以，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù) D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)得其表達(dá)式，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，故A正確：，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，C正確：又，所以在上單調(diào)遞減，又是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ACD．10.已知，則下列選項(xiàng)中能使成立的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：，，，，故A正確；對(duì)于B：，，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，，故C正確；對(duì)于D：，，，，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.在上單調(diào)遞增D.不等式的解集為【答案】BD【解析】【分析】由奇函數(shù)的定義可求解A、B；用特值法可判斷C；分段求解不等式可判斷D.【詳解】，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，故B正確；因?yàn)?，，又，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集為，故D正確.故選：BD.12.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.的單調(diào)減區(qū)間為C.圖象的一條對(duì)稱軸方程為D.點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心【答案】ABC【解析】【分析】由題可知，解得，又在的圖象上，結(jié)合得，得，即可判斷A；根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷B、C、D.【詳解】由題可知，所以，解得，所以，又在的圖象上，所以，所以，所以，又，所以，所以，故A正確；令，解得，所以的單調(diào)減區(qū)間為，故B正確；令，解得，當(dāng)時(shí)，，故C正確；令，解得，令，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值得出答案.【詳解】.故答案為：.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】【分析】通過(guò)函數(shù)的定義域可得中，解出即可.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)榈茫瑢?duì)于有，，即的定義域?yàn)?故答案為：.15.已知函數(shù)，則______．【答案】##【解析】【分析】先由計(jì)算出，借助與關(guān)系的判斷函數(shù)的性質(zhì)，借助函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.【詳解】由，則，有，故，故答案為：.16.已知函數(shù)，則的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得為偶函數(shù)，根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合奇偶性與單調(diào)性求解即可.【詳解】由，，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)，均在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以由，得，解得或，即的解集為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步聚．17.求值：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】第一小問借助指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得到；第二小問借助兩角和的正弦公式將拆開即可得到.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】原式.18.已知向量與的夾角為，且，．向量與共線，（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求向量與的夾角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)共線向量定理，即可求解；（2）根據(jù)向量夾角公式，，再代入數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.【小問1詳解】若向量與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，則，則；【小問2詳解】由（1）知，，，，，，所以，且，所以.19.設(shè)函數(shù).（1）求的圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心的坐標(biāo)；（2）求在上的最值.【答案】（1）；；（2），.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得答案；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值．小問1詳解】因?yàn)?，令，解得，所以的?duì)稱軸方程為，令，得，可得函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為；【小問2詳解】因?yàn)椋?，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，，故.20.已知.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)不含參的一元二次不等式的解法即可求解；(2)當(dāng)時(shí)不等式成立；當(dāng)時(shí)，根據(jù)一元二次不等式恒成立，列出不等式組，解之即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，或，則的解集為；【小問2詳解】由題意可知恒成立.①當(dāng)，即時(shí)，不等式為對(duì)任意恒成立，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，對(duì)于任意恒成立，只需，解得，所以.綜合①②可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.某水產(chǎn)公司擬在養(yǎng)殖室修建三個(gè)形狀、大小完全相同的長(zhǎng)方體育苗池．其平面圖如圖所示，每個(gè)育苗池的底面積為200平方米，深度為2米，育苗池的四周均設(shè)計(jì)為2米寬的甬路．設(shè)育苗池底面的一條邊長(zhǎng)為x米（），甬路的面積為S平方米．（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知育苗池四壁造價(jià)為200元/平方米，池底的造價(jià)為600元/平方米，甬路的造價(jià)為100元/平方米，若不考慮其他費(fèi)用，求x為何值時(shí)，總造價(jià)最低，并求最低造價(jià)．【答案】（1），（2）米時(shí)，總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為459200元.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到養(yǎng)殖室的總面積，從而表達(dá)出函數(shù)關(guān)系式；（2）在第（1）問的基礎(chǔ)上，表達(dá)出總造價(jià)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并利用基本不等式求出最小值.【小問1詳解】由題意可得每個(gè)育苗池另一邊長(zhǎng)為米，則，；【小問2詳解】設(shè)總造價(jià)為元，則，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，所以米時(shí)，總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為459200元.22.已知函數(shù)，其中，若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，且函數(shù)為奇函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)，利用圖象平移規(guī)律得，由結(jié)合求得，即可得解；（2）令，方程可化為，令，，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間和上分別有一個(gè)實(shí)數(shù)根，或有一個(gè)實(shí)根為1，另一實(shí)根在區(qū)間上，分類討論求解即可.小問1詳解】，.又是奇函數(shù)，所以，有，可得，整理得，由，有，得，由，可得，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，.【小問