萬有引力模型

本課程為考試課

作業(yè)〔10%〕+筆記〔10%〕+考卷〔論文80%〕序言一教學(xué)目的1.通過講解什么是數(shù)學(xué)模型,為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型等內(nèi)容,使學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)方法解決實際問題時的數(shù)學(xué)形式,它是實際問題和數(shù)學(xué)間的橋梁.2.使學(xué)生了解到在科學(xué)技術(shù)高度進展的今日,數(shù)學(xué)在解決實際問題中的功能不斷提高,甚至是不行缺少的.3.在重大問題的決策中,對方案及可行性分析中,數(shù)學(xué)模型是特別重要的.4.讓學(xué)生進一步把握數(shù)學(xué)的學(xué)科特點.5.了解數(shù)學(xué)的理論體系.6.了解數(shù)學(xué)之進展概況.7.培育學(xué)生運用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的力量.8.培育學(xué)生的科研論文寫作力量.二本課性質(zhì)作為數(shù)學(xué)系畢業(yè)生,大局部從事初等數(shù)學(xué)教學(xué)的爭論,而在大學(xué)學(xué)習(xí)階段主要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)(這與初等數(shù)學(xué)相距甚遠(yuǎn)),這是為什么?實質(zhì):對數(shù)學(xué)有一個本質(zhì)的理解(有利于數(shù)學(xué)的爭論)-----居高臨下.數(shù)學(xué)的一個重要方面:數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)與其它學(xué)科一樣,都是為人類生產(chǎn)斗爭和社會實踐效勞的.數(shù)學(xué)在與實踐的關(guān)系中,不僅有理論上的價值與作用,而且對深入了解其它學(xué)科是有根底性的作用.數(shù)學(xué)的作用就是解決實際問題.有的就是直接解決實際問題.科學(xué)爭論是由試驗階段進入理性階段(以推理為主的),此時,數(shù)學(xué)的作用就更大了.例:衛(wèi)星軌道確實定.(歷史上海王星的覺察以及哈雷慧星的軌道計算都是由數(shù)學(xué)系算出來的)現(xiàn)在自然科學(xué)方面的論文(物理,化學(xué),自動掌握,…)沒有數(shù)學(xué)論證,價值就不大.定義:數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)是對客觀世界中的某一特定對象,為了某個特定目的,作出一些必要的簡化和假設(shè),運用適宜的數(shù)學(xué)工具,得到的一個數(shù)學(xué)構(gòu)造.(可以是公式,圖表,圖象等)解決實際問題的數(shù)學(xué)公式:三角形中的正弦公式:余弦公式:

公式,方程,曲線,圖表…等為了解決實際問題,找出事物本身的機理,建立數(shù)學(xué)模型(簡稱建模).解出數(shù)學(xué)模型,找到規(guī)律.模型一.萬有引力模型萬有引力定律的覺察是人類走向科學(xué)的一項重大覺察.其作用之大是無法比較的.它為當(dāng)今的天文學(xué)和航天科學(xué)奠定了根底.在這個模型中,包括兩個局部:㈠.Newton是怎樣通過數(shù)學(xué)方法得到這肯定律的;㈡.在比Newton更一般的狀況下,用向量分析法推導(dǎo)定律.Newton推導(dǎo)萬有引力的根底.①Kepler三定律.②Newton其次定律.Newton對“月球繞地球按圓形軌道運行”進展?fàn)幷?第一次提出：“月球按圓形軌道運行是地球?qū)υ虑虻囊λ隆?Newton通過計算圓運動的向心加速度,又依據(jù)Newton其次定律得到引力公式.為驗證引力公式的正確性,他比較了通過引力所得的加速度與圓運動的向心加速度,計算結(jié)果二者是一樣的.把這個無法通過試驗證明的規(guī)律從理論上給出了證明.

Newton得到的萬有引力定律是在特殊狀況下得到的,對于一般狀況,即橢圓軌道上的定律是否成立,還不能確定,Newton曾試圖爭論一般狀況,但未成功.今日數(shù)學(xué)進展了,數(shù)學(xué)工具也增加了.用向量分析的方法,證明在橢圓軌道上運行的形體,受焦點上星體的引力,也是定律所表述的.要求學(xué)生了解Newton在知道萬有引力過程中的想法,從Newton第肯定律(慣性定律:任何物體保持靜止,勻速直線運動)動身,首先他考慮到:月球按圓形軌道運行,必有其動力學(xué)緣由,也就是必有看不見的外力在作用它.從這一堅決信念動身推得了定律.其次,當(dāng)時通過試驗方法是不能證明定律成立的.Newton通過他的其次定律(加速度定律),由引力產(chǎn)生的向心加速度與圓運動向心加速度相等的方法,證明定律的正確性.太陽系中各行星按橢圓軌道繞太陽運行,太陽在橢圓的一個焦點上,用向量分析法都能證出太陽對行星的引力符合萬有引力定律.太水金地火木土天海冥九大行星示意圖萬有引力模型.Newton:1684年在《自然哲學(xué)》發(fā)表的.定律:宇宙中任何物體之間,都存在相互作用的吸引力.這種引力的大小與它們的質(zhì)量乘積成正比,與二者距離的平方成反比,作用力方向沿兩個物體聯(lián)線方向.定律適用范圍:大至宇宙,小至地球上任意兩物體.(一)定律的來源探討:不是通過試驗得到的,而是通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到的.此公式是Newton于1666年得到的,以后很多科學(xué)家都想通過試驗證明它,都未成功.1740年.布格,Buger.1712年.馬斯科林.Maskilin.1854年.艾里.Anlli.1880年.蒙登哈爾.Mengdenhar.他們的作法:把一個小山作為,在山的四周用線垂下一個小球,考察小球的偏擺,然后確定引力系數(shù),都未成功.直到1798年(離Newton覺察定律130多年后),卡文迪斯(Cavendish)用很簡單的試驗確定了引力關(guān)系和定律的正確性,并確定了引力系數(shù)此后此數(shù)字相繼得到修正.1892年.龐廷.Pantin.1895年.博斯.Boss.1930年.海爾.Hale.上面一些科學(xué)家的工作,都說明Newton制造萬有引力定律時,不是通過試驗得到的.(二)Newton制造萬有引力定律,是從地心引力開頭的,是從地球?qū)υ虑虻囊﹂_頭的.此前已有的力學(xué),天體力學(xué)學(xué)問:蘋果熟了往地上落.月球按圓形軌道繞地球運行.這些現(xiàn)象都有其動力學(xué)緣由.按牛頓的慣性定律:蘋果應(yīng)在原位置上始終不落,月球應(yīng)按直線勻速運動.以上兩種現(xiàn)象,違反了慣性定律,其中必有其動力學(xué)緣由.其中必有一種力作用著.這種力不是以明顯的形式表現(xiàn)出.是以看不見的形式作用在蘋果和月球上的(以場的形式作用著).這是地球產(chǎn)生的引力.當(dāng)時Newton還想到,蘋果被引力拉到地面上了,而月球沒被拉下來,只影響了它的運行狀態(tài),由直線變成曲線.其緣由是距離越大,引力就越小;距離越小,引力就越大.從地球?qū)υ虑虻囊χ譅幷?月球沿圓形軌道圍繞地球以勻速運行,地球在圓的中心.設(shè)地球引力為,則有.為月球質(zhì)量,為向心加速度.圓運動向心加速度.地球心與月球心距離為.圓運動的速度為.設(shè)月球運行周期為,即經(jīng)過的時間,月球運轉(zhuǎn)一個周期,其走過的距離為.由Kepler第三定律知為橢圓的長半軸.(三)引力公式的驗證得到的引力公式是否符合實際,對它的正確性要進展驗證.方式:由圓運動推出的向心加速度由引力公式推出的向心加速度看二者是否相等?Newton在地球?qū)υ虑虻囊χ?驗證了他的公式.但是他認(rèn)為必需在更大的范圍內(nèi)驗證,以保證他的正確性.他著手爭論太陽對于行星的引力來驗證公式.由于行星軌道都是橢圓(長短軸相差較大),他用圓代替橢圓,把太陽放在焦點上.由于無法應(yīng)用Kepler三定律,結(jié)果失敗.今日,我們應(yīng)用向量分析法很簡潔證出.今日我們在太陽系中,推出太陽和各行星的引力(把地球?qū)υ虑虻囊ν茝V到太陽系中成為萬有引力).(五)萬有引力定律的意義對于人類了解自然和指導(dǎo)人們實踐,意義如何?有的人會認(rèn)為:對于計算地球上兩物體間的引力似乎意義不大,確實如此.但對于天體的爭論,意義就特別大了.1.在太陽系中應(yīng)用萬有引力定律.經(jīng)過計算,覺察了新的行星----海王星.海王星的覺察:1781年Herschel通過天文觀測覺察了天王星(體積是地球的100倍),天文學(xué)家觀看這顆行星的運行軌道時,覺察它不是橢圓.某些地方覺察特別.對此現(xiàn)象的解釋:一些人認(rèn)為在太陽系的邊界上,萬有引力定律可能不成立,才消失此狀態(tài).但也有些天文學(xué)家從萬有引力定律動身來分析這種現(xiàn)象,認(rèn)為產(chǎn)生這種現(xiàn)象的緣由是天王星軌道四周存在一顆現(xiàn)在還看不見的星體,是它對天王星攝動的結(jié)果法國天文學(xué)家Leverrier就持有這種觀點,依據(jù)萬有引力定律爭論天王星的特別.通過計算確定了那顆看不見的行星的位置,質(zhì)量及其運行軌道.(承受微分方程的數(shù)值解法)Leverrier把自己的計算結(jié)果和算法告知了柏林天文臺.不長時間后,在1846.9.23,通過天文學(xué)家的搜尋,就在Leverrier指定的空域上找到了這顆行星,其質(zhì)量和運行軌道和Leverrier所得的結(jié)論完全一樣.此行星稱為海王星,居太陽第八顆行星.(水金