2023年山東省聊城市冠縣中考數(shù)學(xué)二模試卷（含解析）

2023年山東省聊城市冠縣中考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題有且僅有一個(gè)答案）

1.對于一個(gè)實(shí)數(shù)m如果它的倒數(shù)不存在，那么。等于（）

A.-1B.1

2.下面幾何圖形的俯視圖是（）

3.下列式子運(yùn)算正確的是（）

A.33+32=35B.（j2）3=-a6

C.（-岸b）2=-a3b2D.（-2）-2=4

4.下列事件中，屬于確定事件的是（）①拋出的籃球會(huì)下落；②從裝有黑球、白球的

袋中摸出紅球；③14人中至少有2人是同月出生：④買一張彩票，中1000萬大獎(jiǎng).

A.①②B.③④C.①②③D,①②④

5.如圖，直線ABVCD,N2=68°,那么/I的度數(shù)是（）

A.68°B.58°C.22°D.32°

6.如圖，一塊等腰直角三角板，它的斜邊BC=6c〃?，內(nèi)部△￡>￡廠的各邊與△A8C的各邊分

別平行，且它的斜邊EF=4a〃，則△QEF的面積與陰影部分的面積比為（）

A.2：3B.4：9C.4：5D.2：5

7.如圖，△ABC內(nèi)接于O。，AB=AC,ZB=70°,則NOCB等于()

A.40°B.50°C.60°D.65°

8.已知等腰AABC的邊是方程/-7x+10=0的根，則△ABC的周長為（）

A.9B.9或12C.6或15D.6或12或15

9.如圖，在正方形4BCQ中，按如下步驟作圖：①連接AC,相交于A點(diǎn)O；②分別以

點(diǎn)、B,C為圓心、大于/BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E；③連接OE交BC于點(diǎn)F；

④連接4F交80于點(diǎn)G.若知=4亞，則OG的長度為（）

A.1B.2C./D.72

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,8分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在。3

上，OC-.。8=1：3,連接AC,過點(diǎn)。作。P〃AB交AC的延長線于點(diǎn)尸.若P（l,1）,

32

11.如圖是拋物線y/ax2+bx+c（a#0）圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1,3）,

與X軸的一個(gè)交點(diǎn)8（4,0）,直線（〃zWO）與拋物線交于A、3兩點(diǎn)，下列

結(jié)論：①2。+〃=0；②而c>0；③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（-1,0）；④方程ax2+bx+c

=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；⑤當(dāng)1VXV4時(shí)，有y2〈yi,其中正確的是（）

12.課本中有這樣一句話：”利用勾股定理，可以作出加,百，遙…的線段（如圖）”.記

△OAAi,△0442,…，△04〃-&的內(nèi)切圓的半徑分別為內(nèi)，相，…，rn9若小+廢+…

A.24B.25C.26D.27

二、填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分）

13.二次根式中，字母K的取值范圍是.

14.從0,暮，近,-7,沖>五個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則抽出的數(shù)是有理數(shù)的概率

為.

15.一個(gè)扇形的弧長是IOTT,其圓心角是150°,此扇形的面積為.

16.如圖，在Rtz^ABC中，ZC=90°,以頂點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交

AC,AB于點(diǎn)例，N,再分別以點(diǎn)例，N為圓心，以大于aMN的長為半徑畫弧，兩弧交

于點(diǎn)P,作射線A尸交邊BC于點(diǎn)。，若AC=6,A8=10,則C。的長為

C

D

ANB

17.如圖，點(diǎn)A,B是半徑為2的。0上的兩點(diǎn)，且AB=2，E，則下列說法正確的

②在圓上取異于A,8的一點(diǎn)C,則△A8C面積的最大值為2百.

③以AB為邊向上作正方形，與。。的公共部分的面積為3號(hào).

④取AB的中點(diǎn)C,當(dāng)AB繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路線長為2n.

三、解答題（共8小題，滿分69分）

18.解方程：x（%-6）=6.

19.為慶祝黨的二十大勝利召開，某學(xué)校開展了一系列學(xué)習(xí)黨史的活動(dòng)，并開展了黨史相關(guān)

的知識(shí)測試.為了解七、八年級學(xué)生的測試成績，進(jìn)行了抽樣調(diào)查，過程如下，請補(bǔ)充

完整.

【收集數(shù)據(jù)】：

從七、八兩個(gè)年級各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的測試成績（百分制）如下：

七年級:73,82,75,89,93,96,76,84,85,85,90,90,98,77,65,90,87,

90,95,98；

八年級；67,88,92,93,99,83,80,75,72,91,92,92,95,94,85,85,92,

69,88,96；

［整理、描述數(shù)據(jù)］:

對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行分段整理如下:

成績X60?7070?8080?9090?100

人數(shù)

年級

七年級1469

八年級22610

【分析數(shù)據(jù)】：

兩個(gè)年級測試成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

七年級85.9a90

八年級86.489.5b

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)a=,b=.

(2)小明是該校八年級的學(xué)生，他本次測試成績?yōu)?7分，小明說：“因?yàn)槲业某煽兏?/p>

于我們年級的平均數(shù).所以我的成績高于我們年級一半學(xué)生的成績.“請你判斷小明的

話是否正確，并說明理由.

(3)若測試成績不少于90分記為優(yōu)秀，請你估計(jì)七年級學(xué)生本次測試成績的優(yōu)秀率，

并給七年級的老師提出一條建議.

20.如圖，在四邊形ABCQ中，AB^AD,CB=CD,AC,BQ交于點(diǎn)。，過點(diǎn)B作BE〃CD

交AC于點(diǎn)E,連結(jié)DE.

(1)求證：四邊形BCOE為菱形.

(2)若4B=5,E為AC的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形BCDE為正方形時(shí)，求BC的長.

21.如圖，是某時(shí)刻太陽光線，光線與地面的夾角為45°.小星身高1.6米.

(1)若小星正站在水平地面上4處時(shí)，那么他的影長為多少米？

(2)若小星來到一個(gè)傾斜角為30°的坡面底端3處，當(dāng)他在坡面上至少前進(jìn)多少米時(shí),

他的影子恰好都落在坡面上？

太陽光線

22.我縣在創(chuàng)建全國文明城市過程中，決定購買A,B兩種樹苗對某路段道路進(jìn)行綠化改造,

已知購買A種樹苗8棵，B種樹苗3棵，要950元；若購買A種樹苗5棵，8種樹苗6

棵，則需要800元.

(1)求購買A，B兩種樹苗每棵各需多少元？

(2)考慮到綠化效果和資金周轉(zhuǎn)，購進(jìn)A種樹苗要多于B種樹苗，且用于購買這兩種樹

苗的資金不能超過7650元，若購進(jìn)這兩種樹苗共100棵，則有哪幾種購買方案？

(3)在(2)的條件下，哪種方案最省錢？最少費(fèi)用是多少？

23.為預(yù)防流感，學(xué)校對教室采取藥熏法消毒.已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含

藥量y(毫克)與時(shí)間x(分鐘)成正比例函數(shù)關(guān)系，藥物燃燒完后，y與x成反比例函

數(shù)關(guān)系(如圖示).現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為6毫克.

研究表明：

①當(dāng)空氣中每立方米含藥量低于L6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室；

②當(dāng)空氣中每立方米含藥量不低于3毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí)，才能有效殺滅空

氣中的病菌.

依據(jù)信息，解決下列問題：

(1)從消毒開始，至少需要經(jīng)過多少分鐘后，學(xué)生才能回到教室？

(2)你認(rèn)為此次消毒是否有效？并說明理由.

24.如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的直線互相垂直，垂足為

D,A。交OO于點(diǎn)E,且4c平分/D48.

(1)求證：直線CO是00的切線；

(2)連接BC,若BC=3,4c=4,求4E的長.

25.已知二次函數(shù)>=-e*x2+￡>x+c圖象的對稱軸與x軸交于點(diǎn)A(1,0),圖象與y軸交于

4

點(diǎn)B(0,3),C、。為該二次函數(shù)圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè))，且/。。

=90°.

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)C與點(diǎn)2重合，求tan/CZM的值；

(3)點(diǎn)C是否存在其他的位置，使得tan/CDA的值與(2)中所求的值相等？若存在，

請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題有且僅有一個(gè)答案）

1.對于一個(gè)實(shí)數(shù)m如果它的倒數(shù)不存在，那么a等于（）

A.-1B.1C.2D.0

【分析】根據(jù)0沒有倒數(shù)即可求解.

解：對于一個(gè)實(shí)數(shù)。，如果它的倒數(shù)不存在，那么a等于0.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，倒數(shù)，關(guān)鍵是掌握0沒有倒數(shù)的知識(shí)點(diǎn).

2.下面幾何圖形的俯視圖是（）

【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

解：該幾何體的俯視圖如圖所示：

故選：H.

【點(diǎn)評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖.

3.下列式子運(yùn)算正確的是（）

A.33+32=35B.（-a2）3=-a6

C.（-解匕）2=-a362D.（-2）2—4

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)判斷A選項(xiàng)；根據(jù)塞的乘方和積的乘方判斷B選項(xiàng)；根據(jù)積的

乘方判斷C選項(xiàng)；根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉判斷。選項(xiàng).

解：A選項(xiàng)，32+33=9+27=36^35,故該選項(xiàng)不符合題意；

B選項(xiàng)，原式=-〃6,故該選項(xiàng)符合題意；

C選項(xiàng)，原式=〃〃，故該選項(xiàng)不符合題意；

。選項(xiàng)，原式=4■，故該選項(xiàng)不符合題意；

4

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了合并同類項(xiàng)，幕的乘方和積的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，掌握，。=令（〃

ap

WO）是解題的關(guān)鍵.

4.下列事件中，屬于確定事件的是（）①拋出的籃球會(huì)下落；②從裝有黑球、白球的

袋中摸出紅球；③14人中至少有2人是同月出生；④買一張彩票，中1000萬大獎(jiǎng).

A.①②B.③④C.①②③D.①②④

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

解：①拋出的籃球會(huì)下落，是必然事件，屬于確定事件；

②從裝有黑球、白球的袋中摸出紅球，是不可能事件，屬于確定事件；

③14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，屬于確定事件；

④買一張彩票，中1000萬大獎(jiǎng)，是隨機(jī)事件；

屬于確定事件的是①②③，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條

件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事

件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

5.如圖，直線（〃/2,ABLCD,N2=68°,那么N1的度數(shù)是（）

【分析】由兩直線平行同位角相等得到N2=N3,再由48與垂直，利用垂直的定義

得到NBMC為直角，得到/I與N3互余，由N3的度數(shù)求出N1的度數(shù).

解：；直線

；./2=/3=68°,

'."AB1.CD,

.?.NCMB=90°,

.?.Zl+Z3=90",又N3=68°,

AZ1=22°，

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查了平行線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)有：兩直線平行同位角相等；兩直線

平行內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).

6.如圖，一塊等腰直角三角板，它的斜邊8C=6C〃3內(nèi)部△OEF的各邊與△ABC的各邊分

別平行，且它的斜邊則△OEF的面積與陰影部分的面積比為()

A.2：3B.4：9C.4：5D.2：5

【分析】發(fā)布期間兩個(gè)等腰直角三角形端點(diǎn)面積，可得結(jié)論.

解：:△ABC,△￡>￡：/是等腰直角三角形，BC=6cm,EF=4cm,NA=/D=90°,

；.AB=AC=笄8c=3&(an),DE=DF=^^EF=2?(cm),

：./\ABC的面積=、X3&義3&=9Cem2),A￡>￡F的面積=/x2&X2&=4

(cm2),

.?.陰影部分的面積=9-4=5(cm2),

.?.△OE/的面積與陰影部分的面積比為4：5.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面枳等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握等

腰直角三角形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.

7.如圖，ZVIBC內(nèi)接于O。，AB=AC,NB=70°,則NOCB等于()

A

【分析】連接03,先利用等腰三角形的性質(zhì)可得NA5C=NACB=7(r,從而利用三角

形內(nèi)角和定理可得NA=40°,然后再利用圓周角定理可得NBOC=2/A=80°,最后利

用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

解：連接。&

?.,AB=AC,

AZABC=ZACB=70°,

ZA=1800-ZABC-ZACB=40°,

???NBOC=2NA=80°,

OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=—(180°-ZBOC)=50°,

2

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合

圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

8.已知等腰△ABC的邊是方程x2-7x+10=0的根，貝"△ABC的周長為()

A.9B.9或12C.6或15D.6或12或15

【分析】先利用因式分解法解方程得到幻=5,忿=2,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等腰△

A8C的三邊長可以為5、5、2或5、5、5或2、2、2,然后分別計(jì)算對應(yīng)的△ABC的周

長.

解：？-7尤+10=0,

(x-5)(x-2)=0,

x-5=0或x-2=0,

所以xi=5,X2—2,

當(dāng)?shù)妊黙ABC的邊長分別為5、5、2時(shí)，ZXABC的周長為5+5+2=12；

當(dāng)?shù)妊黙ABC的邊長分別為5、5、5時(shí)，△ABC的周長為5+5+5=15；

當(dāng)?shù)妊鰽BC的邊長分別為2、2、2時(shí)，△ABC的周長為2+2+2=6,

綜上所述，△A8C的周長為6或12或15.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了三角

形三邊的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì).

9.如圖，在正方形A8C。中，按如下步驟作圖：①連接AC,8。相交于A點(diǎn)。；②分別以

點(diǎn)、B,C為圓心、大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E③連接OE交BC于點(diǎn)F；

④連接AF交80于點(diǎn)G.若與)=4亞，則OG的長度為()

A.1B.2C.—D.M

3

【分析】證明。尸〃A8,OF^AB,求出OB,可得結(jié)論.

2

解：；四邊形A8CQ是正方形，

：.AB=AD=BC=CD=4^>NBAD=90°,OA=OC=OB=OD,

?**BO=VAD2+AB2=J(4&)2+(4M)2=8'

：.OB=OD=4,

由作圖可知OE垂直平分線段BC,

:.BF=CF,

：.OC=-OA,

：.OF//AB,FO=—AB,

2

.OG=OF=1

*"GB-AB-T

?*.OG——OB——.

33

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B分別在x軸負(fù)半軸和），軸正半軸上，點(diǎn)C在。3

上，OC-.OB=1：3,連接AC,過點(diǎn)。作。尸〃48交AC的延長線于點(diǎn)尸.若尸（1,1）,

貝I]tan/ACO的值是（）

A.—B.3C.—D.2

32

【分析】根據(jù)OP〃A8,證明出△OCPSABCA,結(jié)合OC：。8=1：3得到CP：AC=

OC-.BC=1：2,過點(diǎn)尸作PQLx軸于點(diǎn)Q,根據(jù)NAOC=/AQP=90°,得到CO//PQ,

根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=l：2,根據(jù)尸（1,1）,得到

PQ=OQ=\,得到4。=2,則可求得4。=3,根據(jù)正切的定義即可得到tan/APQ的值,

從而可求tan/ACO的值.

解：'：OP//AB,

:.△OCPsXBCk,

.0CCP

BCAC

VOC：OB=1：3,

.0C1

??__—,

BC2

.CP1

??_—,

AC2

過點(diǎn)P作PQ_Lx軸于點(diǎn)Q，如圖，

:.CO//PQ,

：.OQ：AO=CP：AC=\：2,ZACO=ZAPQ,

VP(1,1),

：.PQ=OQ=\f

：.AO=2OQ=2f

???AQ=3,

/.tan/APQ="^=3,

tanNAC0=tan/APQ=3.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，坐標(biāo)與圖形，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到0Q

AO=CP：AC=1：2是解題的關(guān)鍵.

11.如圖是拋物線y「ax2+bx+c(a聲0)圖象的--部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,3),

與x軸的一個(gè)交點(diǎn)8(4,0),直線y2=，nr+〃(mWO)與拋物線交于A、B兩點(diǎn)、,下列

結(jié)論：①2a+b=0；②浦c>0；③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(-1,0)；④方程ax2+bx+c

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)、方程與二次函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)與不等式的關(guān)系一一判斷

即可.

b

解：①；拋物線對稱軸為直線X=1,

2a

:.b=-2a,

2a+b=0,故①正確；

②；拋物線開口向下，與y軸相交于正半軸，

."CO,c>0,

:*b=-2a>0,

.".abc<0,故②錯(cuò)誤；

③??,拋物線的對稱軸為直線x=l,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)8（4,0）,

另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,故③錯(cuò)誤；

④從圖象可以知道，拋物線頂點(diǎn)為（1,3）,

二拋物線％=以2+法+，與直線y=3有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

方程ax2+hx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故④正確；

⑤由圖象可知，當(dāng)1cxV4時(shí)，yi>y2,故⑤正確；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、方程與二次函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)與不等式的關(guān)系等知

識(shí)，解答關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.

12.課本中有這樣一句話：“利用勾股定理，可以作出衣，M，遙…的線段（如圖）”.記

△OAAi,△0442,…，△04〃-小的內(nèi)切圓的半徑分別為門，ri,rn,若門+廢+…

【分析】設(shè)△O4A,△OA1A2,…，△04的內(nèi)切圓圓心分別為。2,…，設(shè)圓

。與△0A4的三邊相切于點(diǎn)8,C,D,四邊形A30C是正方形，然后利用切線長定理

列式計(jì)算得n=1+1-迎,同理在△04A2中，四邊形MEOiF是正方形，求出

2

唔叵得到規(guī)律得〃唔返”唔叵…“_l+A/n-Vn+1

>n----------------------------------

進(jìn)而利用一元二次方程求解即可解決問題.

解:如圖，設(shè)△O4A1,△Q4也，…，△OA”iA〃的內(nèi)切圓圓心分別為Oi,。2,…,

設(shè)圓O］與△0A4的三邊相切于點(diǎn)8,C,D,

：.ZABO=ZACO=90°,

由題意“利用勾股定理，可以作出我,

???乙4=90°,

AZA=ZABO=ZACO=90°,

??.四邊形A50C是正方形，

：.AB=AC=OB=rif

：.AB=AC=1-n,

A\C=A\D=]-n,

**OA\=-^2，

1-n+1-n=yf2f

.,.-1+1-72

2

同理在△044中，四邊形AiEQ尸是正方形,

.\A2G=A2F=\-底,

0G=0E=y/2~「2,

,：0Ai=M，

?'-i-廢+M-廢=通，

.一1/-M

..及-------------,

2

同理一上墾4%=小應(yīng)返『紅星叵

222

._1+1-^2,1^/2-V31+^3-V4,1W4-V5

2222

lWnWn^l

十--------------------------------10,

2

...n+l-G=]0,

2

AH+1-Jn+l=20,

-19=Jn+1，

(?-19)2=〃+l,

整理得：ri1-39H+360=0,

??Alj-15,772=24,

當(dāng)〃=15時(shí)，代入n-19=Jn+l，不成立，舍去，

AH=24.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，規(guī)律型：圖形的變化類，勾股定理，一元

二次方程，解題的關(guān)鍵是尋找規(guī)律.

二、填空題(共5小題，每小題3分，滿分15分)

13.二次根式亞丁中，字母x的取值范圍是X》,.

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案.

解：根據(jù)題意，得2x-l20,

解得x>|.

故答案為：x>￡.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題

的關(guān)鍵.

14.從0,-1,-7,專工五個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則抽出的數(shù)是有理數(shù)的概率為

3.

【分析】先找出有理數(shù)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案.

解：在0,41&，-7,這五個(gè)數(shù)中，有理數(shù)有0,日，-7這3個(gè)，

抽出的數(shù)是有理數(shù)的概率為

5

故答案為：45

【點(diǎn)評】此題主要考查了概率公式，正確得出有理數(shù)的個(gè)數(shù)是解題關(guān)鍵.

15.一個(gè)扇形的弧長是10n,其圓心角是150°,此扇形的面積為60K.

【分析】先根據(jù)題意可算出扇形的半徑，再根據(jù)扇形面積公式即可得出答案.

解：根據(jù)題意可得，

設(shè)扇形的半徑為r,

兀

則/=nr

180

150兀r

即IOTT

180

解得：r=12,

12X10冗=60m

故答案為：60n.

【點(diǎn)評】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，熟練掌握扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解

決本題的關(guān)鍵.

16.如圖，在RtZWBC中，ZC=90°,以頂點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交

AC,A8于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，以大于AMN的長為半徑畫弧，兩弧交

于點(diǎn)尸，作射線AP交邊BC于點(diǎn)。，若AC=6,A8=10,則CD的長為3

【分析】利用基本作圖得到AP平分/BAC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)D到AC和AB

的距離相等，則利用三角形面積公式得到；.5兇8：SMBD^AC：AB=3：5,而S“CD：S

△ABD=CD：BD,所以CD：BD=3；5,然后利用勾股定理計(jì)算出BC,從而得到CD的

長.

解：由作法得4P平分/B4C,

.?.點(diǎn)。到AC和AB的距離相等,

:?S^ACD：S^ABD=AC：AB=6：10=3：5,

■:S&ACD：S^ABD—CD：BD,

:.CD：BD=3：5,

VZC=90°,AC=6,AB=10,

ABC=V102-62=8,

3

ACD=—X8=3.

8

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.也考

查了角平分線的性質(zhì)和勾股定理.

17.如圖，點(diǎn)4,8是半徑為2的。。上的兩點(diǎn)，且AB=2百，則下列說法正確的是①

③④.

①圓心。到AB的距離為1.

②在圓上取異于A,B的一點(diǎn)C,則4ABC面積的最大值為班.

③以AB為邊向上作正方形，與。。的公共部分的面積為3733^.

④取AB的中點(diǎn)C,當(dāng)AB繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路線長為2n.

【分析】由垂徑定理，勾股定理求出。"=1,延長“0交圓于C,即可求出△ABC的最

大面積，當(dāng)AB繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路線是以0為圓心半徑是1的圓，即可

求出C運(yùn)動(dòng)的路線長，以AB為邊向上作正方形，與。。的公共部分的面積=扇形。PQ

的面積的面積X3,于是可以得到答案.

解：如圖①，0HLAB于H,

：,AH=lAB=lx2,/3=yf3,

,.?。4=2,

???。”=g2科2=1,

故①正確，符合題意；

如圖①延長H0交圓于C,此時(shí)AABC的面積最大，

"：CH=OC+OH=2+l=3,AB=26,

.?.△ABC的面積=々1小。，=30，

故②錯(cuò)誤，不符合題意；

如圖②四邊形ABNM是正方形，連接4Q,PB,作OKLAB于K,

.?.△OAB的面積=々1比0長=92百乂1=6，

"?OP=OQ=OA=OB,

：./\OAP的面積=Z^Q4B的面積=Z\08Q的面積=?,

VZPOe=120°,

扇形OPQ的面積=絲匹匹￡=飛,

3603

...以AB為邊向上作正方形，與。。的公共部分的面積=扇形OPQ的面積+4OAB的面

積X3=3百+萼

O

故③正確，符合題意；

取AB的中點(diǎn)C,連接OC,OA,OB,

?：OA=OB,

J.OCLAB,

；?OC=V0A2-AC2=V22-(V3)2=1,

.?.當(dāng)A8繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路線是以。為圓心半徑是1的圓，

；.C運(yùn)動(dòng)的路線長是如XI=2R，

故④正確，符合題意；

故答案為：①③④.

【點(diǎn)評】本題考查扇形面積的計(jì)算，三角形面積的計(jì)算，垂徑定理，勾股定理，掌握以

上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共8小題，滿分69分）

18.解方程：x（x-6）=6.

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則把原方程變形，利用配方法解出方程.

解：原方程變形為：N-6X=6,

貝I]N-6X+9=6+9,即（X-3）2=15,

-'X-3=15,

X2—3--715.

【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步驟是

解題的關(guān)鍵.

19.為慶祝黨的二十大勝利召開，某學(xué)校開展了一系列學(xué)習(xí)黨史的活動(dòng)，并開展了黨史相關(guān)

的知識(shí)測試.為了解七、八年級學(xué)生的測試成績，進(jìn)行了抽樣調(diào)查，過程如下，請補(bǔ)充

完整.

【收集數(shù)據(jù)】：

從七、八兩個(gè)年級各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的測試成績（百分制）如下：

七年級：73,82,75,89,93,96,76,84,85,85,90,90,98,77,65,90,87,

90,95,98；

八年級；67,88,92,93,99,83,80,75,72,91,92,92,95,94,85,85,92,

69,88,96；

[整理、描述數(shù)據(jù)J：

對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行分段整理如下：

成績X60?7070?8080?9090^x^100

人數(shù)

年級

七年級1469

八年級22610

【分析數(shù)據(jù)】：

兩個(gè)年級測試成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

七年級85.9a90

八年級86.489.5b

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)a=88,b=92.

(2)小明是該校八年級的學(xué)生，他本次測試成績?yōu)?7分，小明說：“因?yàn)槲业某煽兏?/p>

于我們年級的平均數(shù).所以我的成績高于我們年級一半學(xué)生的成績.“請你判斷小明的

話是否正確，并說明理由.

(3)若測試成績不少于90分記為優(yōu)秀，請你估計(jì)七年級學(xué)生本次測試成績的優(yōu)秀率，

并給七年級的老師提出一條建議.

【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義解答即可；

(2)根據(jù)中位數(shù)的意義解答即可；

(3)利用樣本估計(jì)總體即可.

解：(1)把七年級20名學(xué)生的測試成績從小到大排列為65,73,75,76,77,82,84,

85,85,87,89,90,90,90,90,93,95,96,98,98；

所以排在中間的兩個(gè)數(shù)是87,89,故中位數(shù)。=義羅=88；

八年級20名學(xué)生的測試成績中92出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)6=92；

故答案為：88；92；

(2)小明的話錯(cuò)誤，理由如下：

因?yàn)樾∶鞅敬螠y試成績?yōu)?7分，低于中位數(shù)89.5,所以小明的成績低于我們年級一半學(xué)

生的成績；

(3)七年級學(xué)生本次測試成績的優(yōu)秀率為：4X100%=45%；

建議七年級的學(xué)生加強(qiáng)學(xué)習(xí)黨史(答案不唯一).

【點(diǎn)評】此題考查了用樣本估計(jì)總體以及眾數(shù)、中位數(shù)的定義，眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)

最多的數(shù).中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)重新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)

(最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))，叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，

不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會(huì)出錯(cuò).

20.如圖，在四邊形ABCO中，AB^AD,CB=CD,AC,8。交于點(diǎn)O,過點(diǎn)B作

交AC于點(diǎn)E,連結(jié)?！?/p>

(1)求證：四邊形8CDE為菱形.

(2)若AB=5,E為AC的中點(diǎn)，當(dāng)四邊形8CDE為正方形時(shí)，求BC的長.

【分析】(1)先判斷AC為BD的垂直平分線得到ACLBD,OB=OD,再證明△EOB

^△C0￡>得到EO=C。，于是可判斷四邊形3CDE為平行四邊形，然后利用CB=CD可

判斷四邊形8C0E是菱形；

⑵設(shè)OB=x,根據(jù)正方形的判定當(dāng)OE=OB=x時(shí)，四邊形BCDE是正方形，此時(shí)BC

=ax,由于4E=CE=2x,則在RtAAOB中利用勾股定理得到x2+(3x)2=52,解方

程》=叵，從而得到此時(shí)BC的長.

2

【解答】(1)證明：：AB=A￡>,CB=CD,

，AC為的垂直平分線，

BPAC±BD,OB=OD,

■:BE//CD,

：.ZEBO=ZCDO,

在△EOB和△COO中，

'NEBO=NCDO

-ZB0E=ZD0C.

OB=OD

：./\EOB^/\COD(ASA),

:.EO=CO,

/.四邊形BCDE為平行四邊形.

,:CB=CD,

四邊形BCDE是菱形;

(2)解：設(shè)OB=x,

???四邊形8CCE是菱形，

.?.當(dāng)0E=08=x時(shí)，四邊形8CDE是正方形，

此時(shí)BC=\[2X>

???￡為AC的中點(diǎn),

.\AE=CE=2xf

222

在RtAAOB中，OB+OA=ABf

(3x)2=52,

解得X2=-皿(舍去)，

22

:.BC=皿X粵力，

即當(dāng)8c的長為遙時(shí)，四邊形8CZ)E為正方形.

【點(diǎn)評】本題考查了正方形：熟練掌握正方形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.也考查了

菱形的判定與性質(zhì).

21.如圖，是某時(shí)刻太陽光線，光線與地面的夾角為45°.小星身高1.6米.

(1)若小星正站在水平地面上A處時(shí)，那么他的影長為多少米？

(2)若小星來到一個(gè)傾斜角為30°的坡面底端B處，當(dāng)他在坡面上至少前進(jìn)多少米時(shí),

他的影子恰好都落在坡面上？

【分析】(1)直接利用太陽光線與地面成45°角得到等腰直角三角形，然后利用等腰三

角形的兩直角邊相等求得影長即可；

(2)利用斜坡BF的坡度i的值得到NF8G=30°,然后設(shè)FG=x米，則BF=2x米，

從而得2G的長、EG=EF+FG=(x+1.6)米，最后在Rt△砂G中利用NEBG=45°得

到8G=EG,從而列出關(guān)于x的方程，求解即可.

解：（1）如圖：由題意得：40=1.6米，ZZ）CA=45°,

故AO=AC=1.6米，

答：小星在A處的影子為1.6米.

(2)VZFBG=30°,

設(shè)「G=x米，則B尸=2%米.

:.BG=Mx米.

:.EG=EF+FG=(x+1.6)米.

在RtZXEBG中，NEBG=45°,

：.BG=EG.

\p^x=1.6+x.

解得：X=4.

5

小星在斜坡上的影子為：BF=2x,B|J2X-1（A/3+1）=《■（V3+D（米）.

55

答：當(dāng)他在坡面上至少前進(jìn)5（百+1）米時(shí)，他的影子恰好都落在坡面上.

5

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意整理出直角

三角形，從而求解.

22.我縣在創(chuàng)建全國文明城市過程中，決定購買A,8兩種樹苗對某路段道路進(jìn)行綠化改造,

已知購買A種樹苗8棵，8種樹苗3棵，要950元；若購買A種樹苗5棵，8種樹苗6

棵，則需要800元.

（1）求購買A,8兩種樹苗每棵各需多少元？

（2）考慮到綠化效果和資金周轉(zhuǎn)，購進(jìn)A種樹苗要多于B種樹苗，且用于購買這兩種樹

苗的資金不能超過7650元，若購進(jìn)這兩種樹苗共100棵，則有哪幾種購買方案？

（3）在（2）的條件下，哪種方案最省錢？最少費(fèi)用是多少？

【分析】（1）設(shè)購買A種樹苗每棵需x元，B種樹苗每棵需y元，根據(jù)題意列出二元一

次方程組，解方程組即可求解；

(2)設(shè)購進(jìn)A種樹苗加棵，則購進(jìn)2種樹苗(100-/H)棵，根據(jù)題意列出一元一次不

等式組，解不等式組即可求解;

(3)比較各方案即可得答案.

解：(1)設(shè)購買A種樹苗每棵需尤元，8種樹苗每棵需y元,

8x+3y=950

依題意得

5x+6y=800'

卜=100

解得ly=50

答：購買A種樹苗每棵需100元，B種樹苗每棵需50元.

(2)設(shè)購進(jìn)A種樹苗"2棵,則購進(jìn)B種樹苗(100-m)棵,

依題意得：卜〉10°-：,

[100m+50(100-m)<7650

解得：50V，〃W53,

又；，"為正整數(shù)，

.?.雁可以為51,52,53,

???共有3種購買方案，

方案1：購進(jìn)A種樹苗51棵，B種樹苗49棵；

方案2：購進(jìn)A種樹苗52棵，8種樹苗48棵；

方案3：購進(jìn)A種樹苗53棵，3種樹苗47棵.

(3)方案1：購進(jìn)A種樹苗51棵，8種樹苗49棵；51X100+49X50=7550元，

方案2：購進(jìn)A種樹苗52棵，8種樹苗48棵；52X100+48X50=7600元，

方案3：購進(jìn)A種樹苗53棵，8種樹苗47棵.53X100+47X50=7650元，

購進(jìn)A種樹苗51棵，8種樹苗49棵最省錢.

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出

方程組與不等式組是解題的關(guān)鍵.

23.為預(yù)防流感，學(xué)校對教室采取藥熏法消毒.已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含

藥量y(毫克)與時(shí)間X(分鐘)成正比例函數(shù)關(guān)系，藥物燃燒完后，y與X成反比例函

數(shù)關(guān)系(如圖示).現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為6毫克.

研究表明：

①當(dāng)空氣中每立方米含藥量低于1.6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室；

②當(dāng)空氣中每立方米含藥量不低于3毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí)，才能有效殺滅空

氣中的病菌.

依據(jù)信息，解決下列問題：

（1）從消毒開始，至少需要經(jīng)過多少分鐘后，學(xué)生才能回到教室?

（2）你認(rèn)為此次消毒是否有效？并說明理由.

【分析】（1）直接利用正比例函數(shù)解析式求法得出答案；

（2）利用反比例函數(shù)解析式求法得出答案.

解：（1）設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y=區(qū)，

X

把（8,6）代入得：女=48,

故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是；

X

當(dāng)y=1.6時(shí)，代入y=整得x=30,

x

答：從消毒開始，至少需要經(jīng)過30分鐘后，學(xué)生才能回到教室：

（2）此次消毒有效，

理由：藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間x（分鐘）成正比例,

所以設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是>=依（ZW0）,

將點(diǎn)（8,6）代入，得上=與，

4

即自變量x的取值范圍是0WxW8：

將>=3分別代入>=鼻，y=整得，x=4和x=16,

那么持續(xù)時(shí)間是16-4=12>10分鐘，所以有效殺滅空氣中的病菌.

【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

24.如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)，AO和過點(diǎn)C的直線互相垂直，垂足為

D,AO交。。于點(diǎn)E,且AC平分/D48.

（1）求證：直線是。。的切線；

（2）連接BC,若BC=3,AC=4,求AE的長.

D

E

【分析】（1）如圖所示，連接。C,根據(jù)角平分線的定義和等邊對等角證明/0C4=N

CAD,則AO〃OC,由A￡>_LC。，可證OCLCD,即可證明直線CQ是。。的切線;

（2）先求出CE=BC=3,利用勾股定理求出A8=5,證明△ABCs/XAC。求出CD—，

5

利用勾股定理求出DE則AE=AD-DE="^.

555

【解答】（1）證明：如圖所示，連接OC,

〈AC平分ND48,

：.ZCAD=ZCAB,

?：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCAf

：.ZOCA=ZCADf

：.AD//OC,

ADLCD,

：.OC±CDf

又丁點(diǎn)c在。。上，

???直線co是。。的切線；

（2）解：如圖所示，連接CE,

D

C

月仁-----*---------

\°

由(1)得NCA￡>=/CAB,

?■?CE=BC-

:?CE=BC=3,

：AB