2023年河南省新鄉(xiāng)一中豫北名校高三年級(jí)模擬考試 數(shù)學(xué)理科【含答案】

2022-2023年度河南省高三年級(jí)模擬考試

數(shù)學(xué)（理科）

考生注意：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.

2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.

3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

[設(shè)集合A={x|x—9<0},3={x|x+2a<0},且A8={x[—3<xW2},則々=（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合A，再利用一元一次不等式的性質(zhì)求出集合8,然后利用

交集的運(yùn)算性質(zhì)即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榧?=口|爐一940}="|—34尤43},

集合8={x|x+2a?0}={x|x4-2a},

又因?yàn)锳c8={x|-34x<2},所以一%=2,解得：。=一1,

故選：A.

2.若z=l—i，則|z2+3—2i|=（）

A.5/5B.5C.3D.3^/2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模計(jì)算即可解決.

【詳解】由題知，

|z2+3-2i|=|1-2i+i2+3-2i|=|3-4i|=V9+16=5,

故選：B

3.已知向量4=（元+2,—3）,方=（1一3蒼2）,若則（）

A.-2B.2C.1D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的共線定理可知，存在實(shí)數(shù)丸使得a=4)，再根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可計(jì)算得

出結(jié)果.

【詳解】由4〃。，且都是非零向量，可知存在實(shí)數(shù)2使得a=/lb，

即滿足a=(尤+2,-3)=肪=Z(l-3x,2)

x=\

x+2="l-3x)'曰

所以《c'。,得"3

—3=2A---

2

故選：C.

4.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增的是()

A./(x)=sinx-x2B.f(x)=ln(2-x)-ln(x+2)C./(%)=e-D.

2r-1

/(%)

2'+l

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)選取特殊值可排除AB,利用偶函數(shù)的定義可以排除C,根據(jù)奇函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)

判斷D.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?(xXsinx—/的定義域?yàn)?-,+8),

所以函數(shù)/(x)=sinx-Y不是奇函數(shù)，不符合條件，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)/(x)=ln(2一x)-ln(x+2)的定義域?yàn)?-2,2),

/(D=-ln3,/(-l)=ln3,/(-1)>/(1),

函數(shù)/(幻=111(2-％)-111(%+2)在(—2,2)不是增函數(shù)，不符合條件，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)/(x)=的定義域?yàn)?F,+8),

-X.XXI-X

f(-x)=~函數(shù)/(外=三匚為偶函數(shù)，不符合條件，C錯(cuò)誤;

2*-1/、1-2”

D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)/(幻=會(huì)、的定義域?yàn)?TQ+8)=—/(x),所以函數(shù)

1+2工

2X-1

f(x)=-~!?為奇函數(shù)，

八/2'+1

2

將函數(shù)式變?yōu)?(%)=1-5節(jié)，因?yàn)楹瘮?shù)y=2,在(f,+8)單調(diào)遞增，且2、〉0，

所以函數(shù)y=2'+1在(-co,+oo)單調(diào)遞增，且2'+1>1,

29

所以函數(shù)y=在(-co,+x>)單調(diào)遞減，且。<2**］<2,

2

所以隨著*增大，函數(shù)/(x)=l-丞不■的函數(shù)值也增大，即/(X)是單調(diào)遞增函數(shù)，符合條件.

故選：D.

5.已知某圓臺(tái)的上底面和下底面的面積分別為3兀、12兀，高為6,則該圓臺(tái)的體積為()

A.36兀B.4()兀C.42nD.457r

【答案】C

【解析】

【分析】利用臺(tái)體的體積公式可求得該圓臺(tái)的體積.

【詳解】由題意可知，該圓臺(tái)的體積為/=：*卜兀+12兀+，§菽1蘇b6=42兀.

故選：C.

6.必(2%-，)的展開式中常數(shù)項(xiàng)為()

A.-160B.60C.240D.-192

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得要得的展開式中常數(shù)，只需求出(2x—工］的展式中匯2項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)定

kx)Ix)

理求出出(2x-4］的展式中方2項(xiàng)即可得答案.

IX)

【詳解】解：因?yàn)椋?x—L1的展式為：

=q（2x）~?（--y=c;-2~?（-i）r.6-r（x-'y=q-26-r?（-iy-x6-2r,

Xx

要得/（zx—的展開式中常數(shù)，只需求出（2x—的展式中x-2項(xiàng)即可.

所以令6-2廠=-2,

解得r=4,

所以（2x—的展式中M項(xiàng)的系數(shù)為c：26—4.（—1）4=15x4x1=60,

IX）

所以產(chǎn)（2工一，］的展開式中常數(shù)項(xiàng)為60.

故選：B.

7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行

一千二百六十里，問(wèn)日增幾何？”其大意是：現(xiàn)有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前

一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.關(guān)于該問(wèn)題，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.1=15B.此人第三天行走了一百二十里

C.此人前七天共行走了九百一十里D.此人前八天共行走了一千零八十里

【答案】A

【解析】

［分析］設(shè)此人第〃（〃eN*）天走?！袄?，則數(shù)列｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”,

由題意可得出關(guān)于％、d方程組，解出d的值，可判斷A選項(xiàng)；利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷B選項(xiàng)；

利用等差數(shù)列的求和公式可判斷CD選項(xiàng).

【詳解】設(shè)此人第”（〃eN*）天走里，則數(shù)列｛對(duì)｝是公差為d的等差數(shù)列，記數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,

q=100

由題意可得「八旌,s“，解得d=10,A錯(cuò)；

-9%+36cl—1260

%=q+2d=120,B對(duì)；

6x7

S7=7^+—1/=910,C對(duì);

7xX

S8=8^+—J=1080,D對(duì).

故選：A.

8.已知函數(shù)/(x)=cos(2x+°)(—"萬(wàn))的圖象向右平移專個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)g(x)=sin2x的

圖象重合，則/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

715萬(wàn)7171

k兀+,k兀+(keZ)k九一,k兀+(keZ)

A.~6_B.~6

LT-3_

712乃7171

k兀+,k兀中(keZ)k兀一，左乃+(keZ)

C.~6~T_D.y~6_

【答案】C

【解析】

【分析】由題意利用三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律求出平移之后的解析式，令其等于sin2x,利用誘導(dǎo)公式以

及三角函數(shù)的周期性求出。的值，即可得/(x)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可求解.

【詳解】函數(shù)/(x)=cos(2x+(p)[-7iW。")的圖象向右平移專個(gè)單位長(zhǎng)度后

(萬(wàn)、

可得y=cos2x----+(p=cos2x------\-(p,

I12j_\67

因?yàn)樗玫膱D象與g(x)=sin2x的圖象重合,

所以cos2x--+^9J=sin2x=cos^2x--j,

jrjr

可得：---+0=---+2左4(％GZ),

62

jr

所以0=+eZ),

TT

因?yàn)橐荒薟?！床?，所以々=o,*=-可，

所以/(x)=C0S—

TT

令2k兀&2x---<2k7v+7[{kGZ),

3

jr27r

解得k7u-\——<x<k7u-\---(keZ),

63

7T2TT/.、

即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kn+-,kn+—(ZeZ).

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是平移之后的圖象與g(x)=sin2x圖象重合，需要將兩個(gè)解析式

化為同名的，求出f(x)再利用整體代入的方法求單調(diào)區(qū)間.

9.若P是一個(gè)質(zhì)數(shù)，則像2尸-1這樣的正整數(shù)被稱為梅森數(shù).從50以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則這

兩個(gè)數(shù)都為梅森數(shù)的概率為O

1331

C

A.一5-

353525

【答案】A

【解析】

【分析】找出50以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)和梅森數(shù)，利用組合數(shù)公式和古典概型概率計(jì)算公式可得答案.

【詳解】50以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47共15個(gè),

梅森數(shù)有22-1=3，23-1=7，25-1=31三個(gè),

從50以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)有Ci=105種情況，

,31

兩個(gè)數(shù)都為梅森數(shù)有C；=3種情況，所以兩個(gè)數(shù)都為梅森數(shù)的概率為而=行.

故選：A.

10.已知拋物線C:y2=一12彳的焦點(diǎn)為F,動(dòng)點(diǎn)M在C上，圓M的半徑為1,過(guò)點(diǎn)F的直線與圓〃相切

于點(diǎn)N,則FMFN的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】由題作圖，由圖可得根=根據(jù)拋物線定義可得怛加|等于點(diǎn)〃到準(zhǔn)線x=3的

距離，根據(jù)圖形可得最小值情況，從而可得的最小值.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€C：V=—i2x,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（一3,0）,如下圖所示：連接MN,過(guò)加作"Q垂

直準(zhǔn)線x=3于Q,

FN

則在直角中，cosZNFM=——，

FM

所以FM.FN=|FM|-|F?/|-COSNNFM=|F/V|2=|FM|2-|M/V|2=|fM|2-1,

由拋物線的定義得：IbMklMQl，

則由圖可得|MQ|的最小值即拋物線頂點(diǎn)0到準(zhǔn)線x=3的距離，即=3,

所以（FM/N）=8.

故選：D.

11.已知數(shù)列｛%｝滿足4.一%1=3"-1,%源+4.=3”+5（“eN*）,則數(shù)列｛4｝的前40項(xiàng)和S40=（）

3"+397?341+39703"+1976321+197

AA.-------B.-------C.-------D.-------

2222

【答案】D

【解析】

【分析】由已知，根據(jù)題意由。2"一。2"-1=3"-1,。2"+1+"2"=3"+5（”eN*）可得：

%+i=6（〃eN）,從而計(jì)算（4+0,）+（。5+?7）+（。9+41）++（%+。39）=10'6=60,由

aa

2?-2n-i=3"-1（"eN*）遞推可得：%+2一。2.+1=3向一1（〃eN*）,結(jié)合/向+a2,l=3"+5（"eN*）

可得：%+2+。2"=4?（3"+l）（〃eN*）,從而計(jì)算3+4）+（。6+6）+（40+42）+,，+38+。40），

將兩組和合并即可完成求解.

【詳解】由已知，數(shù)列｛q｝滿足％一%-l=3"T（〃eN"）①，％用+%,=3"+5（〃€^嶺，

②一①得；a2n+l+a2ll_,=6(“eN"

所以(q+4)+(4+%)+(%+劭)++(%+/9)=1。'6=60,

由=3"-1(〃€]\*)遞推可得：a2n+2-a2n+l=3'用③,

③+②得；a2n+2+a2n=4?(3"+l，/eN"),

(4+。4)+(。6+%)+(q()+/)++(&+%)

=4.(3'+l)+4-(33+l)+4-(35+l)+.+4-(3I9+l)

=4(3'+33+35++319)+4X10

+40

1-9

321-3

+40,

2

所以

S40=(4+'4)+(&5+%)+(%+41)++(%+%)+(4+44)+(“6+4)+(010+《2)++(48+”4O)

32l-3

+100

2

321+197

2

故選：D.

12.已知根>0,若不等式me'">lnx恒成立，則加的取值范圍為()

A.」,+8B.卜c

l2e2

【答案】B

【解析】

【分析1當(dāng)0(尤<1時(shí)，不等式〃?eM>lnx顯然成立，當(dāng)x>l時(shí)，轉(zhuǎn)化為e"*-lne心>xlnx恒成立，利

InxInx

用函數(shù)/(X)=xlnx(x>1)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為加>—在(1,+8)上恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=—(X>1),

XX

利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，可求出身的取值范圍.

【詳解】由Inx有意義，知x>0,

因?yàn)?%>0,所以當(dāng)0<xWl時(shí)，me'm>0>Inx<0,不等式根e””>lnx顯然成立,

當(dāng)x>l時(shí)，不等式me"">In%恒成立，等價(jià)于如?e""〉xlnx恒成立，

等價(jià)于e/?IV-Ine〃”>xlnx恒成立，

設(shè)/(x)=xln無(wú)(x>1),因?yàn)?(x)=lnx+x?1=lnx+l>0,

x

所以fM在(1,4w)上單調(diào)遞增，

因m>0,尤>1,所以e〃墳>1，

所以e〃“?Ine小>xlnx恒成立，等價(jià)于/(e/ztv)>f(x),

又了⑶在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以不等式/化3)>/(此等價(jià)于e〃“〉x在(1，48)上恒成立，等價(jià)于

InY

ax>In%在(1,-8)上恒成立，等價(jià)于m>---在(1,+8)上恒成立，

x

人/、Inx/、八e--x-lnx1-lnx

令g(x)=:(x>l),則g,㈤=二^=丁,

X

當(dāng)l<x<e時(shí)，g'(x)>o,當(dāng)%>e時(shí)，g'(x)<0,

所以g(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，在(e,+oo)上單調(diào)遞減，

所以g(x)max=g(e)=-.

e

所以〃z>皿在(1,4w)上恒成立等價(jià)于m>~.

xe

綜上所述：加的取值范圍為(%

故選：B

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

x+3y-5<0

13.設(shè)x,y滿足約束條件,則z=2x+y的最大值為.

x-^-1<0

【答案】5

【解析】

【分析】作出可行域，數(shù)形結(jié)合求解，

【詳解】作出可行域如圖所示，由z=2x+y得y=-2x+z,

Z表示斜率為—2的直線與)'軸的截距,

數(shù)形結(jié)合得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(2,1)時(shí)z取最大值5，

14.已知F(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe［0,+8)時(shí)，/(x)=2,———,則不等式/(3x-l)</(I-X)的解

x+1

集為.

【答案】(F,g)

【解析】

【分析】由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性轉(zhuǎn)化后求解，

【詳解】由函數(shù)y=2'與y=--1一均在［0,+8)上單調(diào)遞增，

x+1

故/(*)在［0,+00)上單調(diào)遞增，

而F(X)為R上奇函數(shù)，故/(X)在R上單調(diào)遞增，

/(3x-1)</(1一%)等價(jià)于3X一1<1一》，得x<g,

故答案為：)

15.如圖，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=BC=2,ZABC=6Q°,將ACD沿邊AC翻折,

使點(diǎn)D翻折到P點(diǎn),且=2正，則三棱錐P-ABC外接球的表面積是.

P

【答案】2071

【解析】

【分析】先證明出面PAC,作出的外心0',過(guò)。'作O'O//BC,判斷出三棱錐P—ABC

外接球的球心。必在直線O'O上，設(shè)外接球的半徑為「，利用球的性質(zhì)列方程

求出r,即可求出三棱錐P—ABC外接球的表面積.

【詳解】在梯形A8CD中，AB//CD,AD=DC=BC=2,NABC=60°,

所以梯形ABCD為等腰梯形，NA0C=NBCO=12O°.

因?yàn)锳D=￡)C,ZA￡)C=120°，所以ND4C=NACO=30°,所以

ZACB=ZBCD-ZACD=120°-30°=90°,即

Be

所以AC=BCtan600=2G，AB=——=4.

cos60°

因?yàn)镻C=BC=2,PB=2母，所以PC?+BC?=PB?，所以PCJ_5C.

又4。匚面抬。，「。＜=面%。，4。PC=C,

所以BC1面PAC.

在△ZAC中，ZPAC=ZACP=30°,ZAPC=120。,作出其外心。如圖所示:

所以O(shè)'A=OP=O'C=2,NPO4=ZPO'C=60°.

過(guò)O'作O'O//BC,由球性質(zhì)可知，三棱錐尸一ABC外接球的球心。必在直線0'0上.

設(shè)外接球的半徑為「，由球的性質(zhì)可得：=忸小，即2J7萬(wàn)=2,解得：產(chǎn)=5.

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4兀/=20n.

故答案為：2()71.

7T

16.已知橢圓G和雙曲線G有共同的左、右焦點(diǎn)K，K，M是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且/耳知鳥=?,記G和G

的離心率分別為4*2,則e,e2的最小值是.

【答案】顯

2

【解析】

【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為q，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為火，根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可解出|朋耳|，|摩卜

2->/22+V2

結(jié)合|耳勾=ZF,MF=^,根據(jù)余弦定理列式，可得方程

2c,2I-+----2=4,最后根據(jù)基本不等

eie2

式答案.

【詳解】不妨設(shè)M為第一象限的點(diǎn).

如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為％,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為出，

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義知|嗎|+|M4|=2q,制4卜22，

所以眼耳1=4+4，=q-%,

設(shè)出用=2c在中，NRMF?71

4

由余弦定理得，4c之（Q[+）-+（%-〃2）--2（Q]+生）（4-。2）COS",

化簡(jiǎn)得（2-夜）a：+（2+夜）a；=4。2,

2-V22+V2

即=4（0<q<1,e2>l）,

所以4="g+Wz2

e\e2

所以"V等’當(dāng)且僅當(dāng)十二等時(shí)’即d=￥，e；=音等號(hào)成立，

所以，e,的最小值為正

2

故答案為：顯.

2

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.己知的內(nèi)角A,3,C所對(duì)的邊分別為a,仇c,且a(sinA-sinC)+csinC=bsinB.

(1)求角B；

(2)若匕=5,求周長(zhǎng)的最大值.

【答案】⑴-

3

(2)15

【解析】

【分析】(D利用正弦定理、余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得cosB,由此求得8.

(2)利用正弦定理將二ABC的周長(zhǎng)用角來(lái)表示，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得周長(zhǎng)的最大值.

【小問(wèn)1詳解】

22?21

由正弦定理得a2-ac+c2=b2,由余弦定理得cosB=",

2ac2

由于8€(0,兀)，所以3=方.

【小問(wèn)2詳解】

由正弦定理得一日一=一竺=一匚，

sinAsinBsinC

a_c_5_

sinAsinC735/3，

T

"平sinA,c=

—sinC,

6百

ABC的周長(zhǎng)為

a+b+c=%inA+半sinC+5=%inA+%inT5

v37373-4

101.

sinA+cosA+—sinA+5

27

=5\Z3sinA+5cosA+5=1OsinIA+看)+5,

,兀71571

由于,AH----G

66'T

所以sin]A+2卜^1,1,10sin^A+^e(5,10],10sin^A+|^+5e(10,15]

當(dāng)A+g=5,即A=1時(shí)，10sin(A+￡]+5=15

所以周長(zhǎng)的最大值為15.

18.甲、乙兩家公司生產(chǎn)同一種零件，其員工的日工資方案如下：甲公司，底薪140元，另外每生產(chǎn)一個(gè)

零件的工資為2元；乙公司，無(wú)底薪，生產(chǎn)42個(gè)零件以內(nèi)(含42個(gè))的員工每個(gè)零件4元，超出42個(gè)的

部分每個(gè)5元.假設(shè)同一公司的員工一天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)相同，現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名員工，并

分別記錄其30天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)，得到如下頻數(shù)表：

甲公司一名員工生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)頻數(shù)表

生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)3839404142

天數(shù)59565

乙公司一名員工生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)頻數(shù)表

生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)4041424344

天數(shù)39693

若將頻率視為概率，回答以下問(wèn)題：

(1)現(xiàn)從記錄甲公司某員工30天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3天的個(gè)數(shù)，求這3天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)都不

高于39的概率；

(2)小明打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘生產(chǎn)零件的工作，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)

的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小明做出選擇，并說(shuō)明理由.

13

【答案】(1)—

145

(2)小明應(yīng)該選擇到甲公司應(yīng)聘，理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)甲公司員工生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)頻數(shù)表以及古典概型概率公式計(jì)算可得結(jié)果;

(2)設(shè)甲公司員工的日工資為X，則X的所有可能取值為：216,218,220,222,224,求出X的分布列

以及數(shù)學(xué)期望；設(shè)乙公司員工的日工資為y,則丫的所有可能取值為：160,164,168,173,178,求出y的

分布列以及數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)數(shù)學(xué)期望的大小可作出選擇.

【小問(wèn)1詳解】

記”這3天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)都不高于39”為事件〃，

13

則P(M)

145

13

所以這3天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)都不高于39的概率為百

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)甲公司員工的日工資為X,

當(dāng)生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)為38個(gè)時(shí)，X.=38x2+140=216元,

當(dāng)生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)為39個(gè)時(shí)，X.=39x2+140=218元,

當(dāng)生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)為40個(gè)時(shí)，X=40x2+140=220元,

當(dāng)生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)為41個(gè)時(shí)，X.=41x2+140=222元,

當(dāng)生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)為42個(gè)時(shí)，X.=42x2+140=224元,

5103

又P(X=156)=±=±,P(X=158)=—=—,

3063010

p(X=16())=』=LP(X=162)=—

306305

51

一=

P(X=164)6-

30

所以X的分布列為:

X216218220222224

3j_J_

p

610656

所以￡(*)=216*2+218乂2+220*,+222、1+224乂！=219.8元.

610656

所以甲公司員工的日工資的平均值為219.8元.

設(shè)乙公司員工的日工資為丫，

則當(dāng)生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)為40個(gè)時(shí)，y=40x4=160元,

當(dāng)生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)為41個(gè)時(shí),Y=41x4=164元，

當(dāng)生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)為42個(gè)時(shí),y=42x4=168元，

當(dāng)生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)為43個(gè)時(shí),y=42x4+5=173元，

當(dāng)生產(chǎn)零件個(gè)數(shù)為44個(gè)時(shí),￥=42x4+2x5=178元,

3193

又p（y=i60）=3=—,p（y=164）=—=—,

30103010

p（Y=168）=M（,”=173）9__3_

30-l0

31

p（y=178）=—=—,

3010

所以y的分布列為:

Y160164168173178

1331

P

101051010

13131

所以E（y）=160x—+164x3+168x—+173x—+178x—=168.5元.

101051010

所以乙公司員工的日工資的平均值為168.5元.

因?yàn)?68.5<219.8,所以如果僅從日工資的角度考慮的話，小明應(yīng)該選擇到甲公司應(yīng)聘.

19.在四棱錐P-ABCD中，平面PAD，底面ABCD,底面ABCD是菱形,E是PO的中點(diǎn)，Q4==3,

AB=2,NABC=60°.

(1)證明：PB〃平面EAC；

(2)求直線EC與平面以8所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解

⑵迦

35

【解析】

【分析】（1）構(gòu)造中位線，通過(guò)線線平行證明線面平行;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先求平面必8的法向量，再求EC與法向量所成角的余弦值，再得到結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

如圖1,連接BO，設(shè)AC與交于點(diǎn)尸，連接EE.

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以尸為BO的中點(diǎn)，又E是尸。的中點(diǎn),

所以EFHPB，又￡Fu平面EAC,PB0平面EAC,

所以PBH平面EAC-,

如圖2,取A￡＞的中點(diǎn)0.

在中，PA=PD=3,A5=AD=2,。為A￡＞的中點(diǎn)，所以P01AZ），

所以PO=yJPD2-OD2="一1=20?

因?yàn)槠矫娴酌鍭BCQ,平面Q4DC底面A8CZ）=A￡）,

所以PO1底面ABC。，又OCu底面ABC。，

所以POJ_OC.

在菱形ABCQ中，AB=2,ZABC=60°,所以△4BC與△AC。是等邊三角形,

所以O(shè)CJ_A￡>,AC=2,OC=5

以。為原點(diǎn)，OC為x軸，為），軸，0P為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),A(O,-1,O),￡>(0,1,0),C(V3,0,0),網(wǎng)石,-2,0),P(0,0,2間,

UUD（6,-今-夜），岌=（3-1,0）

則EC,P4=,-

ABn=O

設(shè)〃=（x,y,z）為平面Q46的一個(gè)法向量，則＜

PAn=Q

y/3x-y=0廣彌r-

即＜r-,令X=1,則y=百,z=---->則〃=（1,^3,-

-y-2\]2z=0.4

V3-TT4Vio

后屈35

---x----

24

所以直線EC與平面所成角的正弦值勺叵.

35

22

20.已知雙曲線C:二-4=1（4＞0,。＞0）的右焦點(diǎn)為廠（2,0）,且點(diǎn)Q（0,6）在雙曲線C上.

ab

（1）求雙曲線C的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線C的右支交于A,B兩點(diǎn),在x軸上是否存在不與尸重合的點(diǎn)P,使得點(diǎn)F到

直線布，P8的距離始終相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

【答案】（1）x2-^-=l

3

（2）存在，2（3，°），理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）首先得C=2,再將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入雙曲線方程，聯(lián)立方程求解/,力2,即可求雙曲線方程;

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P（〃,o）,據(jù)題意設(shè)43/=陽(yáng)+2（m。0）,聯(lián)立方程得到x+%，再由點(diǎn)尸到

直線PAPB的距離相等可得即人+即3=。，由此代入式子即可求得點(diǎn)P坐標(biāo)，再考慮斜率不存在的情況即

可

【小問(wèn)1詳解】

由題意得，c=2,

2__3_

所以■一記1

所以"=1，b?=3,

a2+〃=4

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/-工=1；

3

【小問(wèn)2詳解】

假設(shè)存P（〃,o）,設(shè)A（X［，x）,B（X2，y2）,

由題意知，直線斜率不為0,設(shè)直線AB:X=〃？+2（/〃HO）,

x=my^2

,消去x,得（3〃，-1）丁2+］2m），+9=0,

聯(lián)立《2y2.

X---------=1

3

則3.-100,A=(12^)2-4x9(3機(jī)2-1)=36(>+1)>0,

12m9

且y+%=

3m2-1

因?yàn)槭沟命c(diǎn)尸到直線PA,PB的距離相等，所以尸尸是/A尸8的角平分線,

XI%=0，則乂(/?^2+2—〃)+%(陽(yáng)i+2—〃)=0,

則kpx+kPB=O,即

x[-nx^-n

整理得2"%必+（2-〃）（y+必）=0,故2”：x9—（2”）*126=0,

3m-13m~-1

即3根一2加（2-/）=0,因?yàn)榧印?,所以〃=g,此時(shí)

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，易得尸（g,o）也能讓點(diǎn)尸到直線網(wǎng)，PB的距離相等;

綜上所述，故存在尸（g,。］滿足題意

21.已知函數(shù)/（x）=e"'-gax2-x-l.

（1）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的xNO,都有/（x）2o；

n1

（2）證明：＞21n（n+l）-nln2（A:eN\neN）.

人=ik

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】證明四2a("+1),所以/'(%)=四5—以一12(a—l)(ar+l)?O,求函數(shù)/(x%,,20即

可.

根據(jù)21n(〃+l)=2(ln：+ln|+lng++ln等)原題可以轉(zhuǎn)化證明

?1"C1A,j11/1\2

^->^21nI+--^ln2,也就是證明〃>-1+-結(jié)合第一問(wèn)可得.

*-=1k*=i\A=I2\k)

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)函數(shù)g(x)=e*-x-l,g<x)=e*-l,x>0/.^,(x)=ex-l>0

.?.8(》)在［0,+8)上單調(diào)遞增，，8(%)28(0)=6°-0-1=0,即e*2x+l

e6U>ax+\.'.ae^>a(ax+l)

又因?yàn)?'(x)=ae""一辦-12a(ax+l)-(tzx+l)=(a-l)(at+l),因?yàn)閍?l,x>0

所以(a-l)(分+1)20,即以'(X)NO在［0,+8)恒成立,所以7?(x)”(O)=e°-O-O-l=O,得證.

【小問(wèn)2詳解】

.,z八…，234”+11/2,3,4,〃+1)

v7V123nJ［\23nJ

/Ar_|_1J/1

=^2In----,而〃ln2=2,欲證^―>21n(^+l)-/?ln2(Z:eN\z?eN")

k=ik2=1k=1k

也就是證對(duì)WZwN"!>2In卜+，］一In2即可.

即證l+工-Zln2

k=\Kk=T\K)k=\k\k)

即證(>ln+，即證%>：［+￡)，觀察可知與/(x)有關(guān)系,

由(1)知a=l時(shí)/(6=6'-；%2-］-120對(duì)》20恒成立

即12,/+1+1>,/+1+,='(犬+1)2,故1=,得J>，［1+工］證畢.

2222'，k2lk)

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的

第一個(gè)題目計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

r~

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為.3+'3/（/為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸

y=2+，

的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為p--=4sin6?.

P

（1）求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

1I

（2）設(shè)直線/與y軸交于點(diǎn)A,與曲線C交于M,N兩點(diǎn)，求=7丁+不7商的值.

【答案】⑴/:x-百y+6=0；C:f+（），-2）2=9

⑵口

64

【解析】

X=OCOS0

【分析】（1）通過(guò)直線的參數(shù)方程，通過(guò)消參得到直線的普通方程；通過(guò)＜.八將曲線C化成直角

y=psm0

坐標(biāo)即可.

（2）首先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，將直線/代入曲線。的直角坐標(biāo)方程，

結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)橹本€/的參數(shù)方程為a為參數(shù)），

y=2+1

所以直線/的普通方程為+石=0；

己知曲線C的極坐標(biāo)方程為。一￡=4sin6,化簡(jiǎn)整理得：02-4Qsine-5=0.

BPWx2+y2-4y-5=0,化簡(jiǎn)整理得曲線C的直角坐標(biāo)方程為f+（y—2丫=9.

【小